1、第第 22 讲讲 计数综合一计数综合一 兴趣篇兴趣篇 1、 现有面值 1 元的钞票 3 张，面值 5 元的钞票 1 张，面值 10 元的钞票 2 张。如果从中取出一些钞票（至 少取 1 张） ，可能凑出多少种不同的总钱数？ 2、 一本书从第 1 页开始编排页码，到最后一页结束时共用了 1983 个数码。这本书共有多少页？ 3、 费叔叔带着昊昊、铮铮、包包一起到圆明园游玩。他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或 者最右边，一共有多少种不同的站法？ 4、 有 13 个球队参加篮球比赛。比赛分两个组，第一组 7 个队，第二组 6 个队。各组内先进行单循环赛（即 每队都要与本组中其他各队比赛一
2、场） ，然后由两组的第 1 名再比赛一场决定冠亚军。请问：一共需要 比赛多少场？ 5、 从 5 瓶不同的纯净水，2 瓶不同的可乐和 6 瓶不同的果汁中，拿出 2 瓶不同类型的饮料，共有多少种不 同的选法？ 6、 从 4 台不同型号的等离子电视和 5 台不同型号的液晶电视中任意取出 3 台， 其中等离子电视与液晶电视 至少要各有 1 台，共有多少种不同的取法？ 7、 从 1 至 9 中取出 7 个不同的数，要求它们的和是 36，共有多少种不同的取法？ 8、 用 0、1、2、3、4 这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 9、 用两个 1、一个 2、一个 3、一个 4 可以组成多少个不同的
3、五位数？ 10、 在所有不超过 1000 的自然数中，数字 9 一共出现了多少次？ 拓展篇拓展篇 1、把自然数 1 至 2008 依次写成一排，得到一个多位数 123456789101112130620072008。请问： （1）这个多位数一共有多少位？ （2）从左向右数，这个多位数的第 2008 个数字是多少？ 2、商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着 9 个球。其中红色的、黄色的和绿色的球各有 3 个，而且每 种颜色的球都分别标有 1、2、3 号。顾客从箱子里摸出 3 个球，如果 3 个球的颜色全部相同或者各不相 同，就可以中奖。已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比
4、二等奖少。问：到 底哪种中奖方式是一等奖，哪种中奖方式是二等奖呢？ 3、工厂某日生产的 10 件产品中有 2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3 件进行检查，问： （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种？ 4、如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？ 5、6 名学生和 4 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 3 名学生和 2 名老师，一共有多少种分队的 方法？ 6、10 个人围成一圈，从中选出 3 个人。要求这 3 个人中恰有 2 人相邻，一共有多
5、少种不同选法？ 7、用 0、1、2、3、4、5 这六个数字可以组成多少个没有重复的四位数？其中偶数有多少个？ 8、用 1、2、3、4 这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？ 9、用两个 1、两个 2、两个 3 可以组成多少个不同的六位数？ 10、5 名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法： （1）5 个人站成一排； （2）5 个人站成一排，小强必须站在中间； （3）5 个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间； （4）5 个人站成一排，小强、大强必须站在两边； （5）5 个人站成一排，小强、大强都没有站在边上。 11、6 名小朋友ABCDEF
6、、 、 、 、 、站成一排。若AB、两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若AB、 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？ 12、学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生。某此比赛后他们站成一排照相，请问： （1）如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？ （2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？ 超越篇超越篇 1、有 6 种不同颜色的小球，请问： （1）如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种方法？ （2）如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法？ （3）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取
7、出 3 个排成一列，共有多少种方法？ （4）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法？ 2、有一些四位数的 4 个数字分别是 2 个不同的奇数和 2 个不同的偶数，而且不含有数字 0。 这样的四位数有几个？ 3、用 1、2、3、4 这四个数字组成四位数，至多允许有 1 个数字重复两次。例如 1234、1233 和 2414 是满 足条件的，而 1212、3334 和 3333 都不满足条件。请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？ 4、四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组成。请问： （1）如果要求同类型的节目
8、连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？ （2）如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？ 5、在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐。而且第二排的每 个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排队方法？ （1992 年第 8 届迎春杯试题） 6、有 9 张同样大小的圆形纸片。其中标有数字“1”的纸片有 1 张；标有数字“2”的纸片有 2 张；标有数字“3” 的纸片有 3 张；标有数字“4”的纸片也有 3 张。把这 9 张圆形纸片如图所示放置在一起，要求标有相同数 字的纸片不许靠在一起。请问： （1）如果
9、在M处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ （2）如果在M处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ 7、从三个 0、四个 1、五个 2 中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？ 8、8 个人站队，铮铮必须站在昊昊和包包的中间（不一定相邻） ，小惠和大智不能相邻，小光和大亮必须相 邻，满足要求的站法一共有多少种？ 第第 22 讲讲 计数综合一计数综合一 兴趣篇兴趣篇 11、 现有面值现有面值 1 元的钞票元的钞票 3 张，面值张，面值 5 元的钞票元的钞票 1 张，面值张，面值 10 元的钞票元的钞票 2 张。张。如果从中取出一些钞票如果从中取出一些钞票 （
10、至少取（至少取 1 张） ，可能凑出多少种不同的总钱数？张） ，可能凑出多少种不同的总钱数？ 【分析】可以有 1、2、3、5、6、7、 8；加 1 张 10 元的即可以有：11、12、13、15、16、17、18；加 2 张 10 元的有：21、22、23、25、26、27、28。 10 元、20 元。所以共有：3 7+2=23 种； 12、 一本书从第一本书从第 1 页开始编排页码，到最后一页结束时共用了页开始编排页码，到最后一页结束时共用了 1983 个数码。这本书共有多少页？个数码。这本书共有多少页？ 【分析】1 到 9 共有 9 个数码； 10 到 99 共有 2 90=180 个数码
11、； 100 到 999 共有：3 900=2700 个数码。 1983-189=1794 1794 3=598。 所以共有：100+598-1=697 页； 13、 费叔叔带着费叔叔带着昊昊昊昊、铮铮铮铮、包包包包一起到圆明园游玩。他们四人站成一排照相，其中费叔叔要一起到圆明园游玩。他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最站在最 左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？左边或者最右边，一共有多少种不同的站法？ 【分析】2 3 2 1=12 种； 14、 有有 13 个球队参加篮球比赛。比赛分两个组，第一组个球队参加篮球比赛。比赛分两个组，第一组 7 个队，第二组个队，第二组 6 个队。各组内先
12、进行单循环个队。各组内先进行单循环 赛（即每队都要与本组中其他各队比赛一场） ，然后由两组的第赛（即每队都要与本组中其他各队比赛一场） ，然后由两组的第 1 名再比赛一场决定冠亚军。请问：一名再比赛一场决定冠亚军。请问：一 共需要比赛多少场？共需要比赛多少场？ 【分析】 22 76 766 5 C +C +2=+2=21+15+1=37 2 12 1 个； 15、 从从 5 瓶不同的纯净水，瓶不同的纯净水，2 瓶不同的可乐和瓶不同的可乐和 6 瓶不同的果汁中，拿出瓶不同的果汁中，拿出 2 瓶不同类型的饮料，共有多少瓶不同类型的饮料，共有多少 种不同的选法？种不同的选法？ 【分析】【分析】 （1
13、） 若选择纯净水、可乐：5 2=10； （2） 若选择纯净水、果汁：5 6=30； （3） 若选择可乐、果汁：2 6=12； 所以，共有：52 种不同的选法； 16、 从从 4 台不同型号的等离子电视台不同型号的等离子电视和和 5 台不同型号的液晶电视中任意取出台不同型号的液晶电视中任意取出 3 台，其中等离子电视与液台，其中等离子电视与液 晶电视至少要各有晶电视至少要各有 1 台，共有多少种不同的取法？台，共有多少种不同的取法？ 【分析】有【分析】有 22 54 4 C5 C70 种； 17、 从从 1 至至 9 中取出中取出 7 个不同的数，要求它们的和是个不同的数，要求它们的和是 36，
14、共有多少种不同的取法？，共有多少种不同的取法？ 【分析】由于12345678945 ，现在取出 7 个数，使得他们的和为 36，则可认为是取两个 数，使得他们的和为：9.，有：1+8=2+7=3+6=4+5，共计 4 种不同的取法。 18、 用用 0、1、2、3、4 这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 【分析】共能组成44 3 296 个没有重复数字的五位数。 9、用两个、用两个 1、一个、一个 2、一个、一个 3、一个、一个 4 可以组成多少个不同的五位数？可以组成多少个不同的五位数？ 【分析】 （1 1） 若 1 在首位，有：4 3
15、 2 124 种； （2 2） 若 1 不在首位，有：3 4 336 种。 所以共能组成 60 种不同的五位数。 19、 在所有不超过在所有不超过 1000 的自然数中的自然数中，数字，数字 9 一共出现了多少次？一共出现了多少次？ 【分析】对于 000 到 999 来说，共有 1000 3=3000 个数码，每一个数码出现的概率是一样的，均为： 1 10 。 而 000 与 1000 均没有数码 1，所以数字 9 一共出现了 1 3000300 10 次。 拓展篇拓展篇 1、把自然数、把自然数 1 至至 2008 依次写成一排，得到一个多位数依次写成一排，得到一个多位数 1234567891
16、01112130620072008。请问：。请问： （1）这个多位数一共有多少位？）这个多位数一共有多少位？ （2）从左向右数，这个多位数的第）从左向右数，这个多位数的第 2008 个数字是多少？个数字是多少？ 【分析】 （1）1 到 9 共有：9 个数字； 10 到 99 共有：2 90=180 个数字； 100 到 999 共有：3 900=2700 个数字； 1000 到 2008 共有：4 1009=4936 个数字。 所以这个多位数共有 7825 位。 （2）从左往右数，2008 18936061 ，则从左往右数，这个多位数的第 2008 个数字是 6。 2、商场里举行抽奖活动，在一
17、个大箱子里放着、商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着 9 个球。其中红色的、黄色的和绿色的球各有个球。其中红色的、黄色的和绿色的球各有 3 个，而且每个，而且每 种颜色的球都分别标有种颜色的球都分别标有 1、2、3 号。顾客从箱子里摸出号。顾客从箱子里摸出 3 个球，如果个球，如果 3 个球的颜色全部相同或者各不相个球的颜色全部相同或者各不相 同同，就可以中奖，就可以中奖。已知这两种。已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少。问：到中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少。问：到 底哪种中奖方式是一等奖，哪种中奖方式是二等奖呢？底哪种中奖方式是一等奖
18、，哪种中奖方式是二等奖呢？ 【分析】三种颜色的球全部相同的可能性有 3 种；3 种颜色球各不相同的选法有：3 3 327 种。 所以摸出 3 个颜色相同的球是一等奖，摸出 3 个颜色各不相同的球是二等奖。 3、工厂某日生产的、工厂某日生产的 10 件产品中有件产品中有 2 件次品，从这件次品，从这 10 件产品中件产品中任意抽出任意抽出 3 件进行检查，问：件进行检查，问： （1）一共有多少种不同的抽法？）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的）抽出的 3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的）抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种？件
19、中至少有一件是次品的抽法有多少种？ 【分析】【分析】 （1） 共有： 3 3 10 10 3 3 10 9 8 120 3 2 1 A C A 种； （2） 抽出的 3 件中恰好有一件是次品，则另外两件是正品，共有： 2 8 256C种； （3） 抽出的 3 件产品都不是次品共有： 3 8 56C 种； 运用排除法，则抽出的 3 件产品中至少有一件是次品的抽法有 64 种； 4、如图，在半圆弧及其直径上共有如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？ 【分析】根据题意，有： 33 94 80CC个。 5、6 名学生和名学生和
20、 4 名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是 3 名学生和名学生和 2 名老师，一共有多少种分队的名老师，一共有多少种分队的 方法？方法？ 【分析】考虑一支队伍，相当于从 6 个学生里选择 3 个，从 4 名老师里选择 2 个，共有： 32 64 20 6 120CC 种； 6、10 个人围成一圈，从中选出个人围成一圈，从中选出 3 个人。要求这个人。要求这 3 个人中恰有个人中恰有 2 人相邻，一共有多少种不同选法？人相邻，一共有多少种不同选法？ 【分析】先选择两个相邻的共有 10 种选法，再从另外 6 个不与他们两人不相邻的 6 个里选择 1 个，
21、共有： 10660个。 7、用、用 0、1、2、3、4、5 这这六个数字可以组成多少个没有重复的四位数？六个数字可以组成多少个没有重复的四位数？其中偶数有多少个？其中偶数有多少个？ 【分析】 （1）组成没有重复数字的四位数，共有： 5 54 3300 个； （2）其中要有偶数的话，则末位一定只能是 0 或者或者 4； 当末位是 0 时，有：54 360 个； 当末位是 2 或者 4 时有：244 396 个。 所以偶数共有 156 个。 【拓展】这些四位数的和是多少？【拓展】这些四位数的和是多少？ 【分析】分析】当 1 在百位上，共有 20 个数，所有百位的和为：1 20 100； 当 1 放
22、在十位上，共有：16 个，所有十位上的和为：1 16 10； 当 1 放在个位上，共有：16 个，所有个位上的和为：16。 对应的当 2、3、4、5 也有类似情况。 所以他们的和为： 123452000123451601234516 15 217632640 8、用、用 1、2、3、4 这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数这些三位数的和是多少？的和是多少？ 【分析】 （【分析】 （1）共能组成：4 3 224 个没有重复数字的三位数； （2）当 1 在百位上时，共有 6 个数，所有百位上的和为：1 6 100 ； 当 1 在十位
23、上时，共有 6 个数，所有十位上的和为：1 6 10 ； 当 1 在个位上时，共有 6 个数，所有个位上的和为：1 6； 对应的 2、3、4 也有类似情况。 所以所有三位数的和为： 1 2346 1001 2346 101 23466660 9、用两个用两个 1、两个、两个 2、两个、两个 3 可以可以组成多少个不同的六位数？组成多少个不同的六位数？ 【分析】考察 1 放在首位的情况，此时在余下的五个位置要放 1 个 1,2 个 2,2 个 3。 则先考虑 1，有 5 种方法；再考虑从 4 个空里选择 2 个空放 2，则另外两个数也已固定，共有： 2 4 6C 种； 所以 1 放在首位的共有：
24、5 6=30 个。所以 1 在首位共有 30 个不同的六位数； 则 2、3 类似，共有 90 个不同的六位数。 10、5 名同学站成一排，名同学站成一排，在在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法： （1）5 个人站成一排；个人站成一排； （2）5 个人站成一排，小强必须站在中间；个人站成一排，小强必须站在中间； （3）5 个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间； （4）5 个人站成一排，小强、大强必须站在两边；个人站成一排，小强、大强必须站在两边； （5）5 个人站成一排，小强、大强都没有站在边上个人
25、站成一排，小强、大强都没有站在边上。 【分析】 (1)5 个人站成一排，共有： 5 5 120A 个； （2）小强必须在中间有： 4 4 24A 个； （3）小强与大强选一人站在中间有： 4 4 248A个； （4）小强与大强必须站在两边有：2 3 2 1 12 个； （5）5 个人站成一排，小强、大强都没有在边上，有3 2 3 2 136 种。 【拓展】【拓展】 5 名同学站成一排，恰好有名同学站成一排，恰好有 1 人站在小强与大强中间。人站在小强与大强中间。 【分析】首先从另外 3 个人里挑选出 1 个人站在小强与大强中间，有 3 种选法；小强与大强互换有 2 种选 法；将 3 人打包，与
26、另外两人排列，有 6 种。 所以共有：36 个； 11、6 名小朋友名小朋友ABCDEF、 、 、 、 、站成一排。若站成一排。若AB、两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若AB、 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？ 【分析】 （1）由于 A、B 必须相邻有： 5 5 2240A种； （2）若AB、两人不能相邻，一共有 65 65 2480AA 种； 12、学校乒乓球队一共有学校乒乓球队一共有 4 名男生和名男生和 3 名女生。某此比赛后他们站成一排照相，请问：名女生。某此比赛后他们站成一排照相，请问： （1）
27、如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？）如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？ （2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？ 【分析】（1） 插板法： 由于男生不能相邻， 则男生只能插在女生中间， 女生共有 4 个空， 所以共有： 43 43 144AA 种； （2）捆绑法，将女生放在一起，则共有： 35 35 720AA(种) 超越篇超越篇 1、有有 6 种不同颜色的小球，请问：种不同颜色的小球，请问： （1）如果每种颜色的球都只有）如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出个，从这些球中取出 3 个排成一列，共
28、有多少种方法？个排成一列，共有多少种方法？ （2）如果每种颜色的球都只有）如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出个，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法？个装到袋中，共有多少种方法？ （3）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种方法？个排成一列，共有多少种方法？ （4）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出）如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方法？个装到袋中，共有多少种方法？ 【分析】【分析】 （1） 共有： 3 6 6 5 4 120A ; （
29、2） 共有： 3 3 6 6 3 3 6 5 4 20 3 2 1 A C A ; （3） 第一个球有 3 种选法； 第二个球有 6 种选法， 第三个球也有 6 种选法， 共有：666216 种选法； （4） 若这些球只有 1 种颜色，有 6 种选法； 若这些球有 2 种颜色，则必然有一种颜色是有两个球，另一种颜色是有一个球。所以共有：6 530种； 若这些球友 3 种颜色，则共有： 3 3 6 6 3 3 6 5 4 20 3 2 1 A C A 种选法。 所以共有 56 种选法。 2、有一些四位数的、有一些四位数的 4 个数字分别是个数字分别是 2 个不同的奇数和个不同的奇数和 2 个不同
30、的偶数个不同的偶数，而且不含有数字，而且不含有数字 0。 这样的四位数有几个？这样的四位数有几个？ 【分析】 （1）选出的奇数共有： 2 2 5 5 2 2 10 A C A 种方法； （2）选出偶数共有： 2 2 4 4 2 2 6 A C A 种方法； （3）由于没有数字 0，共有：4 3 2 124 种方法。 所以共有：24 6 101440 3、用用 1、2、3、4 这四个数字组成四位数，至多允许有这四个数字组成四位数，至多允许有 1 个数字重复两次。例如个数字重复两次。例如 1234、1233 和和 2414 是满是满 足条件的，而足条件的，而 1212、3334 和和 3333 都
31、不满足条件。请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？都不满足条件。请问：一共能组成多少个满足条件的四位数？ 【分析】根据题意,四个数字均互不相同，共有：4 3 2 124 个； 若有且只有一个相同，则有： 12 43 4 3 144CC 个。 所以共有符合条件的数 168 个。 4、四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由 2 个舞蹈、个舞蹈、2 个演唱和个演唱和 3 个小品组成。请问：个小品组成。请问： （1）如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？）如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？ （2）如果第
32、一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？）如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序？ 【分析】 （【分析】 （1）使用捆绑法，将舞蹈、演唱、小品写在一块，则有： 2233 2233 144AAAA种； （2） 现在共有 7 个位置， 则 3 个小品分别有 5 与 4 与 3 种选法； 则共有：5 4 3 4 3 2 1 1440 种选法； 5、在一次合唱比赛中，有身高互不相同的在一次合唱比赛中，有身高互不相同的 8 个人要站成两排，每排个人要站成两排，每排 4 个人，且前后对齐。而且第二排的每个人，且前后对齐。而且第二排的每 个人都要比他身前的那个人
33、高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排队方法？个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住。一共有多少种不同的排队方法？ 【分析】【分析】根据题意，可以考虑八个位置，两个两个考虑，第一列有： 2 8 28C 种选法；还余下 6 个学生； 第二列有： 2 6 15C 种选法，还余下 4 个学生； 第三列有： 2 4 6C 种选法，还余下 2 个学生； 第四列有：1 种选法。 所以一共有： 222 864 2520CCC种； （1992 年第年第 8 届迎春杯试题）届迎春杯试题） 6、有有 9 张同样大小的圆形纸片。张同样大小的圆形纸片。其中标有数字其中标有数字“1”的纸片有的纸片有 1 张；
34、标有数字张；标有数字“2”的纸片有的纸片有 2 张；标有数字张；标有数字“3” 的纸片有的纸片有 3 张；标有数字张；标有数字“4”的纸片也有的纸片也有 3 张。把这张。把这 9 张圆形纸片张圆形纸片如图所示如图所示放置在一起放置在一起，要求，要求标有相同标有相同 数字的纸片不许靠在一起。请问：数字的纸片不许靠在一起。请问： （1）如果在）如果在M处放置标有数字处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ （2）如果在）如果在M处放置标有数字处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ 【分析】本题
35、是简单的组合几何计数问题，求解时要考虑各种可能性，做到不重不漏 （1）由于M位上放置标有数码“3”的纸片，为了使标有相同数码的纸片不靠在一起，因此，另外两个 标有数码“3”的纸片必须放置在右下角和左下角；标有数码“4”的纸片必须放置在与M相邻的六个位置上， 并且相间放置，这样将有两种可能（如图 8） 对于每一种情况，标有数码“1”的纸片均有ABC、 、三个位置可以放置，所以总共有3 26（种）不 同的放置方法 （2）由于M位上放置标有数码“2”的纸片，另一个标有数码“2”的纸片只能放置在左下角或右下角（如 图 9） 对于每一种可能性， 标有数码“1”、 “3”、 “4”的纸片放置在ABC、 、
36、三个位置， 只有六种方法 （如图 10） 所以总共有6212（种）不同的放置方法 图8 A B C 4 4 4 3 33 33 3 4 4 4 C B A 图9 B A2 2CC2 2A B 图10 3 4 1 1 4 3 4 3 1 1 3 43 1 43 1 4 说明：如果M位上放置标有数码“1”的纸片，那么将有多少种不同放置方法？请读者试一试 7、从三个、从三个 0、四个、四个 1、五个、五个 2 中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？ 【分析】分类讨论： (1) 若不选 0，则此时可以再分为 5 类： 选择 5 个 2，此时有 1 个五
37、位数； 选择 4 个 2,1 个 1；若 1 放在首位则有 1 种；若 2 放在首位有 4 种，共有 5 个 5 位数； 选择 1 个 2,4 个 1,与上类似，共有 5 个 5 位数； 选择 3 个 2,2 个 1；若 1 放在首位，有 4 种；若 2 放在首位有 6 种，共有 10 个 5 位数； 选择 2 个 2,3 个 1,；与上类似，共有 10 个 5 位数。 所以若不选 0 的有：31 个； （2）若选择 1 个 0，此时可以再分为 5 类： 选择 4 个 2,0 个 1，此时共有 4 个； 选择 0 个 0,4 个 1，与上类似，共有 4 个； 选择 3 个 2,1 个 1；若
38、1 放在首位有 4 个；若 2 放在首位，有 12 个，共有 16 个； 选择 1 个 2,3 个 1；与上类似，共有 16 个； 选择 2 个 2,2 个 1；若 1 放在首位有 12 个；若 2 放在首位，有 12 个，共有 24 个； 所以若选了 1 个 0，共有 64 个； （3）若选择 2 个 0，此时可以再分为 4 类： 选择 3 个 2,0 个 1，共有： 2 4 6C 个； 选择 2 个 2,1 个 1；若 1 放在首位有：6 个；若 2 放在首位有 12 个；共有 18 个； 选择 1 个 2,2 个 1，与上类似，共有 18 个； 选择 0 个 2,3 个 1，共有 6 个
39、； 所以选择 2 个 0 的时候共有 48 个。 （4）若选择 3 个 0，此时可以再分 3 类。 选择 2 个 2,0 个 1；共有 4 个； 选择 1 个 2,1 个 1；若 1 放在首位共有 4 个；若 2 放在首位共有 4 个，所以共有 8 个； 选择 0 个 2,2 个 1；共有 4 个； 所以共有 16 个。 所以从三个 0、四个 1、五个 2 中挑选出五个数字，能组成 159 个不同的五位数。 8、8 个人站队，个人站队，铮铮铮铮必须站在必须站在昊昊昊昊和和包包包包的中间（不一定相邻）的中间（不一定相邻） ，小惠和大智不能相邻，小光和大亮必须，小惠和大智不能相邻，小光和大亮必须 相邻，满足要求的站法一共有多少种？相邻，满足要求的站法一共有多少种？ 【分析】【分析】 （1）铮铮、昊昊、包包在中间的概率相同，均为 1 3 ； （2）先考虑小光和大亮必须相邻的情况，此时共有： 27 27 AA种； 小光和大亮且小惠与大智也相邻的情况,共有： 226 226 AAA种。 所以小惠和大智不相邻，而小光和小亮相邻的有： 272266 272266 107200AAAAAA种。 所以， 满足铮铮必须在昊昊和包包中间， 而且小惠和大智不相邻， 小光和大亮必须相邻的有： 1 72002400 3 （种）
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