1、 1 第第 17 讲讲 数列与数表数列与数表 兴趣篇兴趣篇 1、1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3，100。请观察上面数列的规律，问： （1）这个数列一共有多少项？ （2）这个数列所有数的总和是多少？ 2、观察数组（1,2,3） ， （3,4,5） ， （5,6,7） ， （7,8,9）的规律，求： （1）第 20 组中三个数的和； （2）前 20 组中所有数的和。 3、一个数列的第一项是 1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项 的二倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。请问： （1）第
2、100 项是多少？ （2）前 100 项的和是多少？ 4、如图，方格表中的数是按照一定规律填入的。请观察方格表，并填出“？”处的数。 5、如图，数阵中的数是按一定规律排列的，请问： （1）100 在第几行、第几列？ （2）第 20 行第 3 列的数是多少？ 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 2 6、如图，从 4 开始的自然数是按某种规律排列的，请问： （1）100 在第几行，第几列？ （2）第 5 行第 20 列的数是多少？ 7、如图所示，把偶数 2、4、6、8，排成 5 列。各列从左
3、到右依次为第 1 列、第 2 列、第 3 列、第 4 列和第 5 列，请问： （1）100 在第几行，第几列？ （2）第 20 行第 2 列的数是多少？ 8、如图，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： （1）100 在第几行？100 是这一行左起第几个数？ （2）第 25 行左起第 5 个数是多少？ 3 9、如图，把从 1 开始的自然数排成数阵。试问：能否在数阵中放入一个 33 的方框。使得它围住的几个 数之和等于： （1）1997； （2）2016； （3）2349。 如果可以，请写出方框中最大的数。 10、如图，将 1 至 400 这 400 个自然数顺次填入 2020 的方格表
4、中，试问： （1）246 在第几行，第几列？ （2）第 14 行第 13 列的数是多少？ （3）所有阴影方格中数的总和是多少？ 拓展篇拓展篇 1、1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，0。请观察上面数列的规律，请问： 4 （1）这个数列有多少项是 2？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 2、一列由两个数组成的数组： （1,1） ， （1,2） ， （2,2）,(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4), (3,4), (4,4),(1,5)，请问： （1）第 100 组内的两数之和是多少？ （2）前 55 组中“5”这个数
5、出现了多少次？ 3、有一列数，第一个数是 3，第二个数是 4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。 从这列数种取出连续的 50 个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的 500 个 数，500 个数的和最大又是多少？ 4、如图，把从 1 开始的自然数填在图上，1 在射线OA上，2 在射线OB上，3 在射线OC上，4 在射线OD 上，5 在射线OE上，6 在射线OF上，7 在射线OG上，8 在射线OH在，9 又回到射线OA上，如此循 环下去，问：78 在哪条射线上？射线OE上的第 30 个是多少？ 5、如图，将从 5 开始的连续自然数按规律填入数阵中，请问：
6、（1）123 应该排在第几列？ （2）第 2 行第 20 列的数是多少？ 5 6、如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： （1）500 在第几行，第几列？ （2）第 100 行第 2 列是多少？ 7、如图所示，数阵中的数字是按一定规律排列的。这个数阵中第 60 行左起第 4 个数字是多少？ 8、中国古代的纪年方法叫“干支纪年” ，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的。 天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年。
7、在干支纪年种，每六十年纪年 方式循环一次。 公元纪年则是国际通行的纪年方式。 图是 1911 年到 1926 年的公元纪年与干支纪年的对照表。请问： （1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元 1911 年，是干支纪年的辛亥年，请问公元 2049 年是干支 纪年的什么年？ （2）21 世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？ （3） “戊戌变法”发生在 19 世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？ 6 9、如图所示，将 1 至 400 这 400 个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数。 “1”所处的 位置为第 1 行； “2,3,4”所处的位置为第 2 行；请问： （1）第 15
8、行正中间的数是多少？ （2）第 12 行中所有空白三角形内的数之和是多少？ （3）前 8 行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？ 10、如图，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来。请问： （1）150 在第几行，第几列？ （2）第 5 行第 10 列的数是多少？ 11、如图，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来。请问： （1）200 排在第几行，第几列？ （2）第 18 行第 22 列的数是多少？ 7 12、如图所示，把自然数按规律排列起来。如果用“土”字型阴影覆盖出 8 个数并求和，且和为 798。这 8 个数中最大的数是多少？（ “土”字不能旋转或翻转） 超越篇
9、超越篇 1、下面的数组时按一定顺序排列的： （1,1） ， （1,2） ， （2,1） ， （1,3） ， （2,2） ， （3,1） ， （1,4） ， （2,3） ，。 请问： （1）其中第 70 个括号内的数分别是多少？ （2）前 50 个括号内各数之和是多少？ 2、桌子上有一堆球，如果球的总数量是 10 的倍数，就平均分成 10 堆并拿走其中 9 堆；如 果球的总数量不是 10 的倍数，就添加不多于 9 个球，使球数变为 10 的倍数，再平均分 成 10 堆并拿走其中 9 堆。这个过程称为一次“操作” 。若球仅为一个，则不做“操作” 。 如果最初有 19491948194754321
10、个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球？ 8 3、在图所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为 391。问：在所有这样 的数组中，哪一组内的两个数乘积最小？ 4、图中的数是按一定规律排列的，那么第 6 行第 23 列的数字是多少？ 5、将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图所示的方式排列。请问： （1）第 1 行从左往右数的第 15 个字是多少？ （2）第 1 列从上往下数的第 25 个字是多少？ （3）第 25 行的第 15 个字是多少？ 6、将自然数从 1 开始，顺次排成如图所示的螺旋形，其中 2,3,5,7，处为拐点，请问： （1）第 30 个拐点处的数
11、是多少？ （2）前 30 个拐点处的各数之和是多少？ 9 7、如图，把从 1 开始的连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有 40 行，请通过计算回答 下列问题： （1）第 1 行的数是多少？ （2）第 20 行中最大数与最小数之和是多少？ （3）第 35 行中最大数与最小数之和是多少？ 8、 （2004 年走进美妙的数学花园团体总决赛试题）如图，25 个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三 角形。在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的棱形的两组相 对的顶点上所放置的数的和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是 100、200、300。
12、 求所有顶点上数的总和。 第第 17 讲讲 数列与数表数列与数表 兴趣篇兴趣篇 1 1、1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,31,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3，100100。请观察上面数列的规律，问：。请观察上面数列的规律，问： 10 （1 1）这个数列一共有多少项？这个数列一共有多少项？ （2 2）这个数列所有数的总和是多少？）这个数列所有数的总和是多少？ 【分析】 （1）根据题意，由于 1、4、7、10 一直到 100 为等差数列，共有： （100-1） 3+1=34 项。所以这个数列一 共有：2
13、 34-1=67 项。 （2）根据题意，这个数列的所有的和为： 111231471006617171783 2 2、观察数组（、观察数组（1,2,31,2,3） ， （） ， （3,4,53,4,5） ， （） ， （5,6,75,6,7） ， （， （7,8,97,8,9）的规律，求：的规律，求： （1 1）第第 2020 组中三个数的和；组中三个数的和； （2 2）前前 2020 组中所有数的和。组中所有数的和。 【分析】 （1） 根据题意，观察末位：第 1 组为 3，第 2 组为 5，第 3 组为 7，第 4 组为 9，第 20 组的最后一个数 为 41，所以第 20 组的三个数的和为：
14、39+40+41=120； （2） 第 1 组的所有数和为 6，第 2 组的所有数和为 12；第 3 组的所有数和为 18第 20 组的所有数和为 120。 所以，前 20 组的所有数的和为： 612020 1260 2 3、一个数列的第一项是 1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项 的二倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。请问： （1）第 100 项是多少？ （2）前 100 项的和是多少？ 分析： （1）根据题意，依次填写可能为：1、2、4、8、16、12、4、8、16、12以，2、4、8、16、12 四个 为一个周期。 则第 1
15、00 项是：10024242 所以，第 100 项是 8； （2）前 100 项之和为：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 1224 + 4 + 8 = 975 【答案】 （1）8； （2）975 4、如图，方格表中的数是按照一定规律填入的。请观察方格表，并填出“？”处的数。 【分析】观察，每两个数的差由 2 逐渐递增，由于 91 比 78 大 13，所以？处应填写 105。 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 11 5、如图，数阵中的数是按一定规律排列的，请问： （1）100 在
16、第几行、第几列？ （2）第 20 行第 3 列的数是多少？ 【分析】【分析】 （1）根据题意， 1008124，所以 96 应在第 24 行第 4 列。则 100 在第 25 行第 6 列； （2） 第 20 行第 4 列的数为：20 4=80。所以第 20 行第 3 列的数为 79。 【答案】 （1）第 25 行第 6 列； （2）79 6、如图，从 4 开始的自然数是按某种规律排列的，请问： （1）100 在第几行，第几列？ （2）第 5 行第 20 列的数是多少？ 【分析】 （1）由于10038121，所以 100 在第 25 列第 1 行； （2） 第 20 列的第一个数为：38108
17、3，所以第 20 列第 5 行的数为 83。 7、如图所示，把偶数 2、4、6、8，排成 5 列。各列从左到右依次为第 1 列、第 2 列、第 3 列、第 4 列和第 5 列，请问： （1）100 在第几行，第几列？ （2）第 20 行第 2 列的数是多少？ 12 【分析】【分析】 （1）由于1001472，则第 100 在第 15 行第 2 列上； （2）20 行第 1 列的数为：10 14=140，所以，第 20 行第 2 列的数为 138。 8、如图，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： （1）100 在第几行？100 是这一行左起第几个数？ （2）第 25 行左起第 5 个数
18、是多少？ 【分析】【分析】 （1 1）根据题意，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91，由于加到奇数的最后一个数都在左边，所 以 100 在第 14 行。是这一行中的 100-91=9 个数； （2） 第 25 行的第一个数为： 12525 325 2 ，所以第 25 行起左起第 5 个数为 321。 【答案】 （1）第 14 行，左起第 9 个数； （2）321 9、如图，把从 1 开始的自然数排成数阵。试问：能否在数阵中放入一个 33 的方框。使得它围住的几个 数之和等于： （1）1997； （2）2016； （3）2349。 如果可以，请写出方框中最大的数。 1
19、3 【分析】左上角的数为：1+2+3+8+9+10+15+16+17=81。 由于每向右移动一位，即增加 9，最多可向右移动 4 次，向下移动一位可增加 63。 由于： （1）1997811916 1916633026,， 不是 9 的倍数； （2）2016811935 1935633045,，无法向右移动 5 次； （3）2349812268 22686336,； 所以，只有 2349 是可以的，应向下移动 36 次， 所以最大的数为：73617269 10、如图，将 1 至 400 这 400 个自然数顺次填入 2020 的方格表中，试问： （1）246 在第几行，第几列？ （2）第 14
20、 行第 13 列的数是多少？ （3）所有阴影方格中数的总和是多少？ 【分析】 （1）由于24620126，所以第 246 是在第 13 行第 6 列； （2） 第 13 行的第 20 列的数为：260；所以第 14 行第 13 列的数为 273； （3） 所有阴影方格中的数的总和应为： 12243400203958381401040108020 【答案】 （1）第 13 行，第 6 列； （2）273； （3）8020 14 拓展篇拓展篇 1、1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，0。请观察上面数列的规律，请问： （1）这个数列有多少项是
21、2？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 【分析】 （1） 两个两个看，可以看到规律，从 100 到每次少 2，共有 51 组数。 又观察每组第一个数，可知 1,2，3,2。四个为一个周期，由于 514=123，所以有：122+1=25 项是 2， 又从 100 递减到 2，也会有一个。所以共有 26 个 2。 （2）这个数列的所有项的总和为：024100121 2321 2+3=2652 2、一列由两个数组成的数组： （1,1） ， （1,2） ， （2,2）,(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4), (3,4), (4,4),(1,5)，请问： （1）第 100 组内的
22、两数之和是多少？ （2）前 55 组中“5”这个数出现了多少次？ 【分析】 观察每一组内的第二个数， 则知第二组是几， 第二位是这个数就有几个， 由于1231391， 则第 100 组内的两个数为，9+14=23； 同样，据上面所述规律，由于1231055，当该组的第二个数是 5 时，这样的组数有 5+1=6 个， 当该组的第二个数是 6、7、 8、9、10 时，分别对应的有 1 个 5，所以 5 共出现了 10 次。 【答案】 （1）23； （2）11 次 3、有一列数，第一个数是 3，第二个数是 4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。 从这列数种取出连续的 50 个数，并
23、求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的 500 个 数，500 个数的和最大又是多少？ 【分析】根据观察，这一列数的个位为：3、 4、 7、1、8、9、7、6、3、9、2、1、3、4、7、1,12 个位 一个周期，由于501242，共有 4 个周期余为 2，所以从 8 开始连续 50 个数的和最大，为： 89604257； 而50012418，正面考虑较为复杂，可从反面开始考虑，从一个周期里去掉 4 个数，而且使其尽量的 小，显然是，2，1，3，4，此时和为：604160102510 【答案】257；2510 4 4、如图，把从如图，把从 1 1 开始的自然数填在图上，开始的自然
24、数填在图上，1 1 在射线在射线OA上，上，2 2 在射线在射线OB上，上，3 3 在射线在射线OC上，上，4 4 在射线在射线OD 上，上，5 5 在射线在射线OE上，上，6 6 在射线在射线OF上，上，7 7 在射线在射线OG上，上，8 8 在射线在射线OH在，在，9 9 又回到射线又回到射线OA上，如此循上，如此循 环下去，问：环下去，问：7878 在哪条射线上？射线在哪条射线上？射线OE上上的第的第 3030 个是多少？个是多少？ 15 【分析】根据题意，8 个一周期，78896。78 所在的射线与 6 所在的射线一样，为 OF； 线段 OE 上第一个为 5，第二个为 5+8=13，第
25、三个为 5+28=21，第 30 个为，5+298=237 【答案】射线OF上；237 5、如图，将从 5 开始的连续自然数按规律填入数阵中，请问： （1）123 应该排在第几列？ （2）第 2 行第 20 列的数是多少？ 【分析】根据题意，由于1235243，所以 123 应该排在第 25 列； 第 20 列的第一个数为：205100，所以第 2 行的第 20 列的数是 101。 【答案】 （1）第 24 列； （2）101 6、如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： （1）500 在第几行，第几列？ （2）第 100 行第 2 列是多少？ 16 【分析】观察，知两行为一个完整周期，
26、有 9 个数，5009=555。 所以 500 在第 111 行，第 5 列； 第 98 行的最后一个数为：499=441。 所以第 100 行的第 2 列为：441+7=448； 【答案】 （1）第 111 行，第 5 列； （2）448 7、如图所示，数阵中的数字是按一定规律排列的。这个数阵中第 60 行左起第 4 个数字是多少？ 【分析】第 60 行的第 4 个数字相当于求数 123456789101112的第 859+4=476 个数字是多少？ 由于 1 到 9 共有 9 个数字； 10 到 99 共有 290=180 个数字； 100 到 999 共有：3900=2700 个数字，第
27、 476 个数字应该在 100 到 999 之间。 476-189=287,2873=952，则相当于 194 过后 195 的第二个数字，即为 9。 【答案】9 8、中国古代的纪年方法叫“干支纪年” ，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的。 天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 17 以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年。在干支纪年种，每六十年纪年 方式循环一次。 公元纪年则是国际通行的纪年方式。 图是 1911 年到 1926 年的公元纪年与干支纪
28、年的对照表。请问： （1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元 1911 年，是干支纪年的辛亥年，请问公元 2049 年是干支 纪年的什么年？ （2）21 世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？ （3） “戊戌变法”发生在 19 世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？ 【分析】 （1）根据题意，10 与 12 的最小公倍数为 60，所以天干地支纪法为 60 一周期。则 2049 年与 2049-120=1929 年的天干地支一样。1929 年的天干为已，地支为巳，所以那一年为乙巳年； （2）根据题意，1924 年为甲子年，则 1924+120=2044 年也为甲子年； （3）从 1922 年的地
29、支开始考虑，当 1922 年地支为戌时，天干为壬； 当 1934 年地支为戌时，天干为甲； 当 1946 年地支为戌时，天干为丙； 当 1959 年地支为戌时，天干为戊； 所以戊戌变法发生在 1898 年。 【答案】 （1）已巳年； （2）2044 年； （3）1898 年 9 9、如图所示，将、如图所示，将 1 1 至至 400400 这这 400400 个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数。 “个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数。 “1 1”所处的”所处的 位置为第位置为第 1 1 行； “行； “2,3,42,3,4”所处的位置为第”所处的位置为第 2
30、2 行；请问：行；请问： 18 （1 1）第第 1515 行正中间的数是多少？行正中间的数是多少？ （2 2）第第 1212 行行中中所有空白三角形内的数之和是多少？所有空白三角形内的数之和是多少？ （3 3）前）前 8 8 行行中中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？ 【分析】 （1） 由于第 1 行有 1 个数， 第 2 行有 3 个数， 第 3 行有 5 个数,则第 n 行有 2n-1 个数， 根据题意， 第 15 行有 29 个数。第 15 行的最后一个数为：1+3+5+7+9+.+29=225。由于第 15 行有
31、 29 个数，则其中 间数为：225-14=211； （2）根据题意，第 11 行中共有：21 个数，则有第 12 行中最后一个数为 144。观察可知，偶数行时， 奇数部分为空白部分。由于第 11 行中的最后一个数为 121。 所以第 12 行中所有空白部分的数字为：123、125143，他们的和为： 1231251431231431121463()； （4） 根据题意， 第 1 行阴影部分比空白部分多：1 个； 第 2 行阴影部分比空白部分多： 2 12； 第 3 行阴影部分比空白部分多： 2 23； 第 4 行阴影部分比空白部分多： 2 34； 第 5 行阴影部分比空白部分多： 2 45；
32、 第 6 行阴影部分比空白部分多： 2 56； 第 7 行阴影部分比空白部分多： 2 67； 第 8 行阴影部分比空白部分多： 2 78； 所以他们的和为： 7815 36176 6 19 10、如图，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来。请问： （1）150 在第几行，第几列？ （2）第 5 行第 10 列的数是多少？ 【分析】由于 144=1212。而 150-144=6。 所以 150 排在第 13 列，第 6 行； 由于第 9 行中的数为 81，则第 10 列第 1 行的数为 82，所以第 5 行第 10 列中的数为 82+4=86。 【答案】 （1）第 6 行，第 13 列； （
33、2）86 11、如图，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来。请问： （1）200 排在第几行，第几列？ （2）第 18 行第 22 列的数是多少？ 【分析】 （1）根据题意，由于 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=+16+17+18+19=190，所以 190 排第 19 行第 1 列，191 排在第 1 行第 20 列。所以第 200 排在 10 行第 11 列； （2）第 18 行的第 1 个数为：1+2+3+18=171。 20 公差为 18。所以第 22 列，为 171+18+19+20+38=741+18=759 【答案】 （1）第 10 行
34、，第 11 列； （2）759 12、如图所示，把自然数按规律排列起来。如果用“土”字型阴影覆盖出 8 个数并求和，且和为 798。这 8 个数中最大的数是多少？（ “土”字不能旋转或翻转） 分析，若土字在最左边，则其和为：2+10+11+12+20+28+29+30=142，而 798-142=656。 65672=9 余 8。由于土字每向下移动一格即增加 72，每向右移动一格即增加 8。所以这个土字应从最上方 的左上角开始，先向下移动 9 格，再向右移动 1 格，此时 8 个数中最大的是：30+99+1=112 【答案】112 超越篇超越篇 1 1、下面的数组时按一定顺序排列的：下面的数组
35、时按一定顺序排列的： （1,11,1） ， （， （1,21,2） ， （， （2,12,1） ， （） ， （1,31,3） ， （） ， （2,22,2） ， （） ， （3,13,1） ， （） ， （1,41,4） ， （） ， （2,32,3） ，。 请问：请问： （1 1）其中第其中第 7070 个括号内的数分别是多少？个括号内的数分别是多少？ （2 2）前前 5050 个括号内各数之和是多少？个括号内各数之和是多少？ 【分析】和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，。 所以：123456789101166，则第 67 个及以
36、上的括号里的数应为 13， 第 70 个数应为（4,99） （2）根据题意，前 50 个括号各数之和为： 1223344556677889910511385 所以，前 50 个括号之内各数之和为 385。 【答案】 （1） （4,9） ； （2）385 2、桌子上有一堆球，如果球的总数量是 10 的倍数，就平均分成 10 堆并拿走其中 9 堆；如 21 果球的总数量不是 10 的倍数，就添加不多于 9 个球，使球数变为 10 的倍数，再平均分 成 10 堆并拿走其中 9 堆。这个过程称为一次“操作” 。若球仅为一个，则不做“操作” 。 如果最初有 19491948194754321 个球，那么
37、经过多少次“操作”后仅余下一个球？ 【分析】根据题意，相当于求【分析】根据题意，相当于求 19491948194754321 中有多少个数字。 1 到 9 共有：1 9=9 个； 10 到 99 共有：2 90=180 个； 100 到 999 共有：3 900=2700 个； 1000 到 1949 共有：950 4=3800 个。 所以共有：3800+2700+180+9=6689 个。 【答案】6689 次 3 3、在图所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为在图所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为 391391。问：在所有这样。问
38、：在所有这样 的数组中，哪一组内的两个数乘积最小？的数组中，哪一组内的两个数乘积最小？ 【分析】根据题意，第 1 行与第 2 行同列两数之和为 31，第 3 行与第 4 行两数之和为：91,；第 5 行与第 6 行的两数之和为 151，第 7 行与第 8 行两行量数之和为 211，第 9 行与第 10 行两数之和为 271，第 11 行 与第 12 行两数之和为 331，第 13 行与第 14 行两数之和为 391。由于第 1 列相差的数均相差最大，所以 第 13 行的第一个数为：181，第 14 行的第 1 个数为 210。 【答案】181 和 210 4、图中的数是按一定规律排列的，那么第
39、 6 行第 23 列的数字是多少？ 分 析 ： 根 据 题 意 ， 第22列 的 最 后 一 个 数 字 应 为1234567891011 。 的 第 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=253 个数字。 由于 1 到 9 中有数字：19=9 个； 10 到 99 中有数字：290=180 个； 100 到 999 中有数字：3900=2700 个。 所以 253-189=64。 643=21 余 1。 所以第 22 列最后一个数为 121 中的 1，第 23 列第 1 行为 121 中的 2，所以第 23 列第 6
40、 行为 123 中的 1。 22 【答案】1 5 5、将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图所示的方式排列。、将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图所示的方式排列。请问：请问： （1 1）第第 1 1 行从左往右数的第行从左往右数的第 1515 个字是多少？个字是多少？ （2 2）第）第 1 1 列从上往下数的第列从上往下数的第 2525 个字是多少？个字是多少？ （3 3）第）第 2525 行的第行的第 1515 个字是多少？个字是多少？ 分析： （1）根据题意，第 1 行从往右的第 15 个数字应为：1+2+3+4+5+6+。 。 。+15=120. 120 6=20。所以第 1
41、行从左往右的第 15 个数字是申； （2）根据题意，第1列从上往下的第24个个数字是： 12345678924300 而 300 6=50。所以第 1 列从上往下滴 24 个数字为申。 所以第 1 列从上往下的第 25 个数字是白。 （3）要计算第 25 行中的第 15 个数字，可先计算第 38 行第 1 列的数字，由于第 38 行的第 1 列的数字为： 138382741，74161233。所以第 39 行中的的 1 个数字为由，39-25=14,14 6=2 余 2。所以第 25 行中的第 15 个数字为申。 则有： 【答案】 （1）申； （2）白； （3）申 6 6、将自然数从将自然数从
42、 1 1 开始，顺次排成如图所示的螺旋形，其中开始，顺次排成如图所示的螺旋形，其中 2,3,5,72,3,5,7，处为拐点，请问：，处为拐点，请问： （1 1）第）第 3030 个拐点处的数是多少？个拐点处的数是多少？ （2 2）前前 3030 个拐点处的各数之和是多少？个拐点处的各数之和是多少？ 23 【分析】 （1） 找规律，发现第 1 个拐点为：11+1=2； 第 2 个拐点为：12+1=3； 第 3 个拐点为：22+1=5； 第 4 个拐点为：23+1=7； 第 5 个拐点位：33+1=10； 第 6 个拐点为：34+1=13； 第 7 个拐点为：44+1=17； 第 8 个拐点为：4
43、5+1=21； 第 30 个拐点为：1516+1=341； （2） 前 30 个拐点数之和为： 1111212212311515115161 13225237215312 132537153130 可列通向为： 2 21222nnnn 所以有： 2222 132537153130 212315123451530 11515 151631 230 62 2630 【答案】 （1）241； （2）2630 7 7、如图，把从、如图，把从 1 1 开始的连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有开始的连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有 4040 行，请通过计算回答行，请通过计
44、算回答 下列问题：下列问题： （1 1）第第 1 1 行的数是多少？行的数是多少？ 24 （2 2）第第 2020 行中最大数与最小数之和是多少？行中最大数与最小数之和是多少？ （3 3）第第 3535 行中最大数与最小数之和是多少？行中最大数与最小数之和是多少？ 【分析】 （1） 根据题意，40 行共有：123440820个数，则根据题意有：第 1 行中的数， 应为：820-39=781； （2） 第 20 行中的最大数为：781+19=810； 最小数为： （3） 第 35 行中的最大数为：781+34=815； 最小数为： 【答案】 （1）781； （2）878； （3）1069 8 8
45、、 （20042004 年走进美妙的数学花园团体总决赛试题）年走进美妙的数学花园团体总决赛试题）如图，如图，2525 个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三 角形。在每个小三角形的顶点处都标有一个数角形。在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的棱形的两组相，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的棱形的两组相 对的顶点上所放置的对的顶点上所放置的数的数的和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是 100100、200200、300300。 25 求所有顶点上数的总
46、和求所有顶点上数的总和。 【分析】【分析】 方法一：方法一：根据题意，令紧邻 200 左上角的为 a，右边的为 b，则根据题意，可分别表示出每一个定点的数。 第 6 行的顶点依次可表示为：200，b，2b-200,3b-400,4b-600,300; 第 5 行的顶点依次可表示为：a，a+b-200,a+2b-400,a+3b-600,a+4b-800; 第 4 行的顶点依次可表示为：2a-200,2a+b-400,2a+2b-600,2a+3b-800; 第 3 行的顶点依次可表示为：3a-400,3a+b-600，3a+2b-800; 第 2 行的顶点依次可表示为：4a-600,4a+b-800 第 1 行的定点为：100。 则所有定点之和为：30a+30b-8400+600=30(a+b)-7800. 由于 300=5b-800,而 5a=900. 所以：30a+30b-8400+600=6 2000-7800=4200。 方法二：各结点上的数如下图。 从 100 到 300 这条直线上的各数的平均数是 200，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是 200。 所以 21 个数的平均数是 200，总和为 200214200。
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