1、第第 20 讲讲 直线形计算三直线形计算三 内容概述 学习直线形中的各类比例关系，重点是与三角形相关的、与平行线相关的比例关系；学习勾股定理并能简 单运用。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 20-1，在三角形ABC中，AD的长度是AB的 3 4 ，AE的长度是AC的 2 3 。请问：三角形AED的面积 是三角形ABC面积的几分之几？ 2.如图 20-2，AC的长度是AD的 4 5 ，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半。请问：AE是AB的 几分之几？ 3.如图 20-3，深 20 厘米的长方形水箱装满水放在平台上。 （1）当水箱像图 20-4 这样倾斜，水箱中水流出 1 5 ，这时A
2、B长多少厘米？ （2）如图 20-5，当水箱这样倾斜到AB的长度为 8 厘米后，再把水箱放平，如图 20-6，这时水箱中水的深 度是多少厘米？ 图20-1 B D C E A 图20-2 B E D C A B A B A 图20-6图20-5图20-4图20-3 4.如图 20-7，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线ACBD、分成 4 个部分。三角形AOB的面积是 2 平方千米，三角形BOC的面积是 3 平方千米，三角形COD的面积是 1 平方千米。如果公园由大小为 6.9 万 平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？ 5.如图 20-8， 在梯形ABCD中，
3、三角形ABO的面积是 6 平方厘米， 且BC的长是AD的 2 倍。 请问： 梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 6.如图 20-9，已知平行四边形ABCD的面积为 72，E点是BC上靠近B点的三等分点，求图中阴影部分的面 积。 图20-7 O D A B C 图20-8 C D B A O 图20-9 O D CE B A 7.图 20-10 中的两个正方形的边长分别为 6 分米和 8 分米，求阴影部分的面积。 8.如图 20-11，梯形ABCD的对角线相互垂直。三角形AOB的面积是 12，OD的长是 4，求OC的长。 9.在图 20-12 中， 正方形ABCD的边长为 5 厘米， 且三角形
4、CEF的面积比三角形ADF的面积大 5 平方厘米， 求CE的长。 10.如图 20-13，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米） 。 拓展篇拓展篇 图20-10 图20-11 O C D B A 图20-12 E F D C B A 图20-13 15 6 8 1.如图 20-14，已知 1 3 AEAC， 1 4 CDBC， 1 5 BFAB，试求 DEF ABC 三角形的面积 三角形的面积 的值？ 2.如图 20-15，已知长方形ADEF的面积是 16，三角形ADB的面积是 2，三角形ACF的面积是 4。请问： 三角形ABC的面积是多少？ 3.如图 20-16，3 个相同的正方
5、形拼在一起，每个正方形的边长为 6，求三角形ABC的面积。 4.图 20-17 中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形 的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 图20-14 E C D A B F 图20-15 F C E B D A 图20-16 B E A D C F 5.图 20-18 中四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，如果三角形ABD的面积是 30 平方厘米，三角形 ABC的面积是 48 平方厘米，三角形BCD的面积是 50 平方厘米。请问：三角形BOC的面积是多少？ 6.如图 20-19，梯形A
6、BCD中，三角形ABE的面积是 60 平方米，AC的长是AE的 4 倍，梯形ABCD的面积 是多少平方米？ 7.如图 20-20 所示，梯形ABCD的面积是 36，下底长是上底长的 2 倍，阴影三角形的面积是多少？ 8.如图 20-21，边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积。 图20-17 7 6 图20-18 O C D A B 图20-19 E B C DA 图20-20 O C BA D 9.如图 20-22， 在正方形ABCD中，EF、分别是BCCD、的中点， 已知正方形ABCD的面积为 60 平方厘米， 求阴影部分的面积。 10.如图 20-2
7、3 所示，平行四边形ABCD的边BC长 10 厘米，直角三角形BCE的直角边EC长 8 厘米，已知 两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大 10 平方厘米，求CF的长。 11.如图 20-24，已知D是BC的中点，E是AC的中点。三角形ABC由至这 5 部分组成，其中的面积 比多 6 平方厘米。请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？ 图20-21 O H G F E D C B A 图20-22 E C F D B A 图20-23 G E F D C B A 图20-24 B D C E A 12.根据图 20-25 中所给的条件，求梯形ABCD的面积。 超越篇超越篇 1.在图 20-
8、26 中，1 OABABCBCDCDEDEF SSSSS ，请问： CDF S是多少？ 2.如图 20-27，ABCDEF为正六边形。GHIJKL、 、 、 、 、分别为ABBCCDDEEFFA、边上的三等 分点，形成了正六边形GHIJKL。请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？ 3.如图 20-28， 等腰直角三角形ABC的面积是 8，AECF， 四边形BEOF的面积比三角形AOC的面积大 4， 求AE的长。 图20-25 D BA C 10 13 12 15 图20-26 F E D C B A O 图20-28 O E F C B A 4.如图 20-29，ABCD是正方形，4AE
9、DF，已知三角形AEG与三角形DEF的面积比为2:3，求三角形 EFG的面积。 5.如图 20-30，正方形ABCD的面积为 1，2BFFC，求阴影四边形FHJG的面积。 6.如图 20-31，四边形BCDE是正方形，三角形ABC是直角三角形。若AB长 3 厘米，AC长 4 厘米，试求 三角形ABE的面积。 7.如图 20-32，一个长方形被分为面积比为5:6:7:8:9的ABCDE、 、 、 、五块，其中A和B是长方形，且A 图20-29 G E D F CB A 图20-30 H G J D F C A B 的长等于B的周长的一半。请问：ABCDE、 、 、 、的周长比为多少？ 8.如图
10、20-33，三角形ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，PQ、为AB边上的两点。又已知AP长度为 3，BQ长度为 4，45PCQ，那么PQ的长度是多少？ 第第 20 讲讲 直线形计算三直线形计算三 内容概述 学习直线形中的各类比例关系，重点是与三角形相关的、与平行线相关的比例关系；学习勾股定理并能简 单运用。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 20-1，在三角形ABC中，AD的长度是AB的 3 4 ，AE的长度是AC的 2 3 。请问：三角形AED的面积 是三角形ABC面积的几分之几？ 图20-32 A C E D B 图20-33 QBA C P 【分析】 33 44 AD ADAB AB
11、22 33 AE AEAC AC 由“鸟头” ： 321 432 ADE ABC S S 2.如图 20-2，AC的长度是AD的 4 5 ，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半。请问：AE是AB的 几分之几？ 【分析】 4 5 ABCABD SS 12 25 AEDABCABD SSS 2 = 5 AED ABD SAE ABS 3.如图 20-3，深 20 厘米的长方形水箱装满水放在平台上。 （1）当水箱像图 20-4 这样倾斜，水箱中水流出 1 5 ，这时AB长多少厘米？ （2）如图 20-5，当水箱这样倾斜到AB的长度为 8 厘米后，再把水箱放平，如图 20-6，这时水箱中水的深
12、 度是多少厘米？ 图20-1 B D C E A 图20-2 B E D C A B A B A 图20-6图20-5图20-4图20-3 B D C E A B E D C A 【分析】 （1） 12 =2= 1 55 2 ACDACD BCD SS S S 矩形 2202 12 5205 ADAB AB BD （2） 112083 2222010 ACDACD BCD SSAD SSBD 矩形 1 3 20620614 10 hh 4.如图 20-7，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线ACBD、分成 4 个部分。三角形AOB的面积是 2 平方千米，三角形BOC的面积是 3 平方千米，
13、三角形COD的面积是 1 平方千米。如果公园由大小为 6.9 万 平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】 1 22 33 AOBCOD AOD BOC SS S S ，人工湖面积为（无） 注：原题有误 5.如图 20-8， 在梯形ABCD中， 三角形ABO的面积是 6 平方厘米， 且BC的长是AD的 2 倍。 请问： 梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 8 12 A B D C 图20-7 O D A B C 2 31 O D A B C B A 【分析】6 CODAOB SS 1 2 AD BC 可设 AOD Sa ，4 BOC Sa 有 2 46693
14、aaaa 512151227 ABCD Sa 6.如图 20-9，已知平行四边形ABCD的面积为 72，E点是BC上靠近B点的三等分点，求图中阴影部分的面 积。 【分析】 111 7212 366 ABEABCABCD SSS 721260 AECD S 2 3 EC AD S4 9 EOC S DOA 故设4S EOCa ，9S DOAa 6S AOES DOCa 12 64692560 5 AECD Saaaaaa 722 6 =14 55 AEO Sa 7.图 20-10 中的两个正方形的边长分别为 6 分米和 8 分米，求阴影部分的面积。 【分析】 6 148 ABBCBC ADDE
15、图20-8 C D B A O 图20-9 O D CE B A 图20-10 4a 6 6 a “1” “2” C D B A O 12 4a 6a 6a 9a O D CE B A 8 6 C E D B A 7 24 BC 12472 6 277 ABC S 8.如图 20-11，梯形ABCD的对角线相互垂直。三角形AOB的面积是 12，OD的长是 4，求OC的长。 【分析】12 CODAOB SS 1 12424 2 OCODOC 6OC 9.在图 20-12 中， 正方形ABCD的边长为 5 厘米， 且三角形CEF的面积比三角形ADF的面积大 5 平方厘米， 求CE的长。 【分析】设
16、CEx CEFADF SS 2 1 555 2 5 S ABESABCD x 7x 即7CE 10.如图 20-13，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米） 。 【分析】由勾股定理，上底为 10， 6824 105 h 124 =101560 25 S 梯形 图20-11 O C D B A 图20-12 E F D C B A 图20-13 15 6 8 4 12 O C D B A E F D C B A h 10 15 6 8 拓展篇拓展篇 1.如图 20-14，已知 1 3 AEAC， 1 4 CDBC， 1 5 BFAB，试求 DEF ABC 三角形的面积 三角形的面积
17、的值？ 【分析】设1 ABC S 1 44 3 515 1 33 5420 1 21 346 AEF BDF CDE S S S 4315 1 1520612 DEF S 5 12 DEF ABC S S 2.如图 20-15，已知长方形ADEF的面积是 16，三角形ADB的面积是 2，三角形ACF的面积是 4。请问： 三角形ABC的面积是多少？ 【分析】连AE，则8 ADEAEF SS 844 ACEACF SS C 是 EF 中点。 又 33 826 14 ACE BEBE S DBAF 3 4 BCE ACF SBE SAF , 3 43 4 BCE S 162437 ABC S 3.如
18、图 20-16，3 个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为 6，求三角形ABC的面积。 图20-14 E C D A B F 图20-15 F C E B D A 4 1 31 2 1 E C D A B F 4 6 3 31 2 F C E B D A 【分析】 11 6618 22 ACD SCDAF 由平行线截线段成比例定理： 2 1 ABAE BDEF 11 186 33 BCDACD SS 18612 ABC S 4.图 20-17 中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形 的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一
19、个的面积。 【分析】设另两块面积分别为 x，y，如图： 76 5267 39 xy xy 设 x=6k，y=7k，则 x+y=13k=39k=3 18 21 x y 5.图 20-18 中四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，如果三角形ABD的面积是 30 平方厘米，三角形 ABC的面积是 48 平方厘米，三角形BCD的面积是 50 平方厘米。请问：三角形BOC的面积是多少？ 图20-16 B E A D C F 图20-17 7 6 y x 7 6 6 B E A D C F 【分析】设四个三角形面积依次为 S1，S2，S3，S4。 14 12 23 1324 301 482 503 4
20、 SS SS SS S SS S （2） - （1） ： 2442 1 81 8SSSS （5） 由（3） ： 32 50SS （6） 由（2） ： 12 48SS （7） 将（5） 、 （6） 、 （7）代入（4） ： 22222 48501830SSSSS 2 30 BOC SS 6.如图 20-19，梯形ABCD中，三角形ABE的面积是 60 平方米，AC的长是AE的 4 倍，梯形ABCD的面积 是多少平方米？ 【分析】 41 13 ACAEAD AEECBC 设 ADE Sa ，则9 BEC Sa 又60 CDEABE SS 22 960 6040020aaa 60601020320
21、ABCD S 7.如图 20-20 所示，梯形ABCD的面积是 36，下底长是上底长的 2 倍，阴影三角形的面积是多少？ 【分析】 2 1 AB CD 可设 COD Sa ，4 ABO Sa 2 AODBOC SSa 图20-18 O C D A B 图20-19 E B C DA 图20-20 O C BA D S4 S3 S1 S2 O C D A B 6a 9a a 3 1 E B C DA 9364 ABCD Saa 416 AOB Sa 8.如图 20-21，边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积。 【分析】连 BG。 123 8125 GF B
22、E 设 925 GOFBOE SaSa 92515 BOGEOF SSaaa 1 =122012=643 2 BEFG Saa 梯形 1545 OEF Sa 9.如图 20-22， 在正方形ABCD中，EF、分别是BCCD、的中点， 已知正方形ABCD的面积为 60 平方厘米， 求阴影部分的面积。 【分析】连 DE，设 BEG Sa 由 1 2 BE AD 易知 4 ADG Sa 2 ABGDGE SSa 由对称性 2 ADH Sa 2 AGH Sa 6602305 ABD Saa 210 AGH Sa 4a a 2a2a 图20-20 O C BA D 图20-21 O H G F E D
23、C B A 图20-22 E C F D B A 12 8 12 O H G F E D C B A H G a 2a 2a 2a E C F D B A 10.如图 20-23 所示，平行四边形ABCD的边BC长 10 厘米，直角三角形BCE的直角边EC长 8 厘米，已知 两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大 10 平方厘米，求CF的长。 【分析】S阴 1 1010810 2 EFGABCDBCE SSSCF CF=5 11.如图 20-24，已知D是BC的中点，E是AC的中点。三角形ABC由至这 5 部分组成，其中的面积 比多 6 平方厘米。请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？
24、【分析】DE 是ABC 的中位线 1 2 DE AB 设 DOE Sa ，则4 AOB Sa 已知462aaa 918 ABDE Sa 1 186 3 DCE S 18624 ABC S 12.根据图 20-25 中所给的条件，求梯形ABCD的面积。 【分析】CE2=152-122=225-144=81=92 CE=9 作 BHDE 于 H，得 DH=5 AB=10-5=5 图20-23 G E F D C B A 图20-24 B D C E A 图20-25 D BA C 10 13 12 15 O a 2a 2a 4a A E C D B 12 H E D BA C 10 13 12 1
25、5 SABCD= 1 2 （5+19）12=144 超越篇超越篇 1.在图 20-26 中，1 OABABCBCDCDEDEF SSSSS ，请问： CDF S是多少？ 【分析】OAOC ；2OBBD 设2OB ， 1 4 DEF ODE SDE ODS ， 13 44 DEOD 33 44 CDF CDF BCD S S S 2.如图 20-27，ABCDEF为正六边形。GHIJKL、 、 、 、 、分别为ABBCCDDEEFFA、边上的三等 分点，形成了正六边形GHIJKL。请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？ 【分析】易知， 1 6 ABCABCDEF SS 而 2 121 3
26、396 BGHABCABCDEF SSS 1 27 ABCDEF S 由对称性，大正六边形中除阴影之外的部分为 12 6 279 ABCDEFABCDEF SS S阴= 7 9 ABCDEF S 3.如图 20-28， 等腰直角三角形ABC的面积是 8，AECF， 四边形BEOF的面积比三角形AOC的面积大 4， 求AE的长。 图20-26 F E D C B A O 1 1 1 1 1 3 4 1 2 F E D C B A O 2 1 21 L K J I H G E D C B F A 【分析】 BEOFAOC SS BCEACF SS 4 BCEACE SS 8 BCEACE SS 联
27、系，解得 6 2 BCE ACE S S 3 BE EA 而 2 8 2164ABAB 1AE 4.如图 20-29，ABCD是正方形，4AEDF，已知三角形AEG与三角形DEF的面积比为2:3，求三角形 EFG的面积。 【分析】设正方形 ABCD 边长为 a。 1 4 22 1 4424 2 AEG DEF a Sa Saa 由已知： 2 16 243 a a a ED=12，CF=12， 16 AEG S ，24 DEF S ， 1 12848 2 CGF S 16 16216244840 EFG S 5.如图 20-30，正方形ABCD的面积为 1，2BFFC，求阴影四边形 FHJG的面
28、积。 图20-28 O E F C B A 图20-29 G E D F CB A O E F C B A a 4 4 G E D F CB A 【分析】 1 12 2 a 1 24 a 1 24 CHF S 3 2 AGAD GFBF 3 5 AG AF ，由“鸟头” ： 311 5220 AGJACF SS S阴= 1113 6202440 6.如图 20-31，四边形BCDE是正方形，三角形ABC是直角三角形。若AB长 3 厘米，AC长 4 厘米，试求 三角形ABE的面积。 【分析】过 A 作 AHEB 于 H，AFBC 于 F 设 AH=h=BF，此为ABE 的高。 由勾股定理，BC=
29、5，BE=5 在 RtABC 中，由射影定理： AB2=BFBC 即 9=h5 9 5 h SABE= 19 54.5 25 7.如图 20-32，一个长方形被分为面积比为5:6:7:8:9的ABCDE、 、 、 、五块，其中A和B是长方形，且A 的长等于B的周长的一半。请问：ABCDE、 、 、 、的周长比为多少？ 图20-30 H G J D F C A B 10k 10k 5k 3k6k3k d=12k c=3k a=2kb=12k A C E D B 【分析】设如图长度为 a、b、c、d， 则 51 306 61 244 A BCDE B CDE Sa bSSSS Sc dSSS 又
30、1 2 2 bccdbd : : :2:12:3:12a b c d 24 CDE SSS，由一半模型：D+x=12 x=12-8=4 得到一个 2：1 比例 又易证那个梯形是等腰梯形，易得各线段长度如图 2 21534 2 12330 10531230 10101232 1291536 A B C D E Ckkk Ckkk Ckkkkk Ckkkk Ckkkk :34:30:30:32:3617:15:15:16:18 ABCDE CCCCC 8.如图 20-33，三角形ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，PQ、为AB边上的两点。又已知AP长度为 3，BQ长度为 4，45PCQ，那么PQ的长度是多少？ 【分析】将ACP 绕点 C 逆时针旋转 90至CBR 的位置，则 BRAB，且 BR=3，连 RQ，由勾股定理， RQ=5 设ACP=BCR=x，BCQ=y ACB=x+45+y=90 x+y=45 RCQ=45又 CQ=CQ，CP=CR PCQRCQ（SAS） PQ=RQ=5 图20-32 A C E D B 图20-33 QBA C P d c ab A C E D B 3 4?3 45 x y x R QBA C P
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