1、 第第 24 讲讲 抽屉原理二抽屉原理二 兴趣篇兴趣篇 1. 将 60 个红球、8 个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？ 2. 17 名同学参加一次考试，考试题是 3 道判断题（答案只有对或错） ，每名同学都在答题纸上依次写上了 3 道题目的答案。请问：至少有几名同学的答案是一样的？ 3. 任意写一个由数字 1、 2 组成的六位数， 从这个六位数中任意截取相邻两位， 可得一个两位数， 请证明： 在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等。 4. 将 1 至 6 这 6 个自然数随意填在图 24-1 的六个圆圈中， 试说明： 图中至少有一行的数字之和不小于 8。 5、从 1
2、，2，3，99，100 这 100 个数中任意选出 51 个数。请说明： （1）在这 21 个数中，一定有两个数的差等于 50； （2）在这 51 个数中，一定有两个数差 1。 6、从 1，2，3，21 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于 4？ 7、从 1 至 11 这 11 个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为 12？ 8、 （1）任给 4 个自然数，请说明：一定有两个数的差是 3 的倍数； （2）至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是 7 的倍数？ 9、至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十
3、位数字相同的 两位数。 10、在一个边长为 2 厘米的等边三角形内（包括边界）选出 5 个点，请证明：一定有两个点之间的距离不 大于 1。 拓展篇拓展篇 1、如图 24-2，将 2 行 5 列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是 一样的。 2、任意写一个由数字 1、2、3 组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数， 请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等。 3、27 只小猴分 140 颗花生，每只小猴最少分 1 颗，最多分 9 颗。请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗 数一样多？ 4、能否在 44 方格表的每个格子
4、中填入 1、2、3 中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上 的和互不相同？ 5、从 1 至 99 这 99 个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于 100？最多可以 取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于 5？ 6、如果在 1，2，n 中任取 19 个数，都可以保证其中必有两个数的差是 6，那么 n 最大是多少？ 7、从 1 至 50 这 50 个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？ 8、从 1 至 30 这 30 个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除。请问：最多能取出 多少个数？ 9、请说明：任意 5 个数中必
5、有 3 个数的和是 3 的倍数。 10、任选 7 个不同的数，请说明：其中必有 2 个数的和或者差是 10 的倍数。 11、有 9 个人，每人至少与另外 5 个人互相认识。试证明：可以从中找到 3 个人，他们彼此相互认识。 12、 （1）在一个边长为 1 的正方形里放入 3 个点，以这 3 个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？ （2）在一个边长为 1 的正方形中随意放入 9 个点，这 9 个点任何三点不共线，请说明：这 9 个点中一定有 3 个点构成的三角形面积不超过 1 8 。 超越篇超越篇 1、 从 1 至 12 这 12 个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一
6、个数的倍数？ 2、 （1）请说明：在任意的 68 个自然数中，必有两个数的差是 67 的倍数； （2）请说明：在 1，11，111，1111，这一列数中必有一个是 67 的倍数。 3、 求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到 6 个数 a、b、c、d、e、f，使得（a-b）（c-d）（e-f） 是 105 的倍数。 4、 从 1 至 25 这 25 个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于另两个 不同数的乘积。 5、 25 名男生与 25 名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一个，他（或她）的两边都是女生。 6、 时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，
7、11，12 这 12 个数，在其上任意做 n 个 120的扇形， 每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的 n 个扇形中总能恰好取出 3 个， 这 3 个扇形能覆盖整个钟面的全部 12 个数，求 n 的最小值。 7、 （1）将一个 55 的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个 顶点处的四个方格同色； （2）将一个 419 的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四 个顶点处的四个方格同色。 7、 从 1 至 2000 这 2000 个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于 4 也不等于
8、7？ 第第 24 讲讲 抽屉原理二抽屉原理二 兴趣篇兴趣篇 5. 将将 60 个红球、个红球、8 个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？ 【分析】【分析】先将 8 个白球排成一排，再把 60 个红球放在白球的 7 个间隙和两端。那么相当于把 60 个苹果放 入729个抽屉。6096.6，因此至少有617 个红球连在一起。 【答案】【答案】7 个个 6. 17 名同学参加一次考试，考试题是名同学参加一次考试，考试题是 3 道判断题（答案只有对或错） ，每名同学都在答题纸上依次写上道判断题（答案只有对或错） ，每名同学都在答题纸上依次写上
9、了了 3 道题目的答案。请问：至少有几名同学的答案是一样的？道题目的答案。请问：至少有几名同学的答案是一样的？ .【分析】【分析】3 道判断题，共有2228 种答案，看成 8 个抽屉。1782.1，因此至少有 3 名同学的答 案是一样的。 【答案】【答案】3 名名 7. 任意写一个由数字任意写一个由数字 1、 2 组成的六位数， 从这个六位数中任意截取相邻两位， 可得一个两位数， 请证明：组成的六位数， 从这个六位数中任意截取相邻两位， 可得一个两位数， 请证明： 在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等。在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等。 【分析】【分析】由
10、1,2 功能组成11,12,21,22这 4 种不同的两位数，而从六位数中截取两位数共有615 种方法。 541.1，根据抽屉原理，至少有其中两个两位数相等。 【答案】【答案】从六位数中共能截出五个两位数，但一共只有从六位数中共能截出五个两位数，但一共只有 11、12、21、22 四种情况。四种情况。 8. 将将 1 至至 6 这这 6 个自然数随意填在图个自然数随意填在图 24-1 的六个圆圈中， 试说明： 图中至少有一行的数字之和不小于的六个圆圈中， 试说明： 图中至少有一行的数字之和不小于 8。 【分析】【分析】 第一行最大是 6， 那么后两行的数字之和最小为1234515。1527.1
11、， 根据抽屉原理， 后两行必有一行不小于 8。 图图 24-1 【答案】【答案】1+2+3+4+5+6=21，所以每行平均数为，所以每行平均数为 7，第一行最大为，第一行最大为 6，小于，小于 7，所以至少有一行大于，所以至少有一行大于 7。 5、从从 1，2，3，99，100 这这 100 个数中任意选出个数中任意选出 51 个数。请说明：个数。请说明： （1）在这）在这 21 个数中，一定有两个数的差等于个数中，一定有两个数的差等于 50； （2）在这）在这 51 个数中，一定有两个数差个数中，一定有两个数差 1。 【分析】【分析】 （1）根据差为 50 构造 50 个抽屉： 1,51 ,
12、 2,52 , 3,53 . 50,100。51 个数中，至少有 2 个数在 同一个抽屉，那么这两个数的差为 50。 （2）根据差为 1 构造 50 个抽屉： 1,2 , 3,4 , 5,6 . 99,100。51 个数中，至少有 2 个数在同一个抽屉， 那么这两个数的差为 1。 【答案】【答案】 （1）构造）构造 50 个抽屉： （个抽屉： （1，51） ， （， （2，52） ， （） ， （3，53） ， （） ， （50，100） ，） ，51 个数至少有个数至少有 2 个数落入同个数落入同 一个抽屉；一个抽屉； （2）构造）构造 50 个抽屉： （个抽屉： （1，2） ， （， （3
13、，4） ， （） ， （5，6） ， （） ， （99，100） ，） ，51 个数至少有个数至少有 2 个数落入同一个抽屉。个数落入同一个抽屉。 6、从从 1，2，3，21 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于 4？ 【分析】【分析】根据差为 4 构造 12 个抽屉： 1,5 , 2,6 , 3,7 , 4,89,13 , 10,14 , 11,15 , 12,16 , 17,21 ,， 18 , 19 , 20，为了让任意两数差不为 4，那么每个抽屉最多取 1 个数，因此最多可以取 12 个数。例如
14、： 1,2,3,4,9,10,11,12,17,18,19,20。 【答案】【答案】12 个个 7、从从 1 至至 11 这这 11 个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为 12？ 【分析】【分析】根据和为 12 构造 6 个抽屉： 1,11 , 2,10 , 3,9 , 4,8 , 5,7 , 6。根据抽屉原理，至少取出617 个数，才能保证其中有两个数在同一个抽屉，即，和为 12。 【答案】【答案】7 个个 8、 （1）任给）任给 4 个自然数，请说明：一定有两个数的差是个自然数，请说明：一定有两个数
15、的差是 3 的倍数；的倍数； （2）至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是）至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是 7 的倍数？的倍数？ 【分析】【分析】 （1）把所有自然数按照被 3 除的余数分为“余 0（整除）”，“余 1”，“余 2”这 3 个抽屉。根据抽屉 原理，4 个自然数中，至少有 2 个数在同一个抽屉，即被 3 除的余数相同。那么这两个数的差是 3 的倍数。 （2）把所有自然数按照被 7 除的余数分为“余 0”至“余 6”这 7 个抽屉。根据抽屉原理，至少取718 个数 才能保证一定有两个数的差是 7 的倍数。 【答案】【答案】 （1）自然数除以）自然数除以 3 的余数一共只
16、有的余数一共只有 0、1、2 三种，所以三种，所以 4 个自然数中一定有两个数除以个自然数中一定有两个数除以 3 同余；同余； （2）8 个个 9、至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的 两位数。两位数。 【分析】【分析】 .个位与十位数字相同的两位数必然是 11 的倍数。 把 1099 的自然数按照被 11 除的余数分为“余 0” 至“余 10”这 11 个抽屉。 根据抽屉原理， 至少取11 1 12 个数才能保证一定有两个数的差是 11 的倍数。 【
17、答案】【答案】12 个个 10、在一个边长为在一个边长为 2 厘米的等边三角形内（包括边界）选出厘米的等边三角形内（包括边界）选出 5 个点，请证明：一定有两个点之间的距离不个点，请证明：一定有两个点之间的距离不 大于大于 1。 【分析】【分析】连接等边三角形的 3 边中点，把等边三角形分成了 4 个边长为 1 厘米的小等边三角形。根据抽屉 原理，5 个点中必有 2 个点在同一个小等边三角形中。那么这两个点之间的距离不大于 1 【答案】【答案】 构造构造 4 个抽屉 （小等边三角形， 如图个抽屉 （小等边三角形， 如图） ，） ， 5 个点中一定有个点中一定有 2 个落入同一个小等边三角形中。
18、个落入同一个小等边三角形中。 拓展篇拓展篇 1、如图如图 24-2，将，将 2 行行 5 列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是 一样的。一样的。 【分析】【分析】用 1 表示黑色，0 表示白色，那么每一列有 1 1 1 0 0 1 0 0 这 4 种染法。而共有 5 列，那么根据抽屉原理，至少有 2 列的染色方法是一样的。 图图 24-2 【答案】【答案】图中有图中有 5 列，一共只有列，一共只有 4 种不同的染色方式。种不同的染色方式。 2、任意写一个由数字任意写一个由数字 1、2、3
19、 组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数， 请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等。请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等。 【分析】【分析】从三十位数中共能截取30228个三位数，而用 1,2,3 组成的三位数共有3 3 327 个。那么根 据抽屉原理，截取的三位数中，至少有两个相等。 【答案】【答案】一共可以截出一共可以截出 28 个三位数，但由个三位数，但由 1、2、3 组成的三位数只有组成的三位数只有 27 个。个。 3、27 只小猴分只小猴分 140
20、 颗花生，每只小猴最少分颗花生，每只小猴最少分 1 颗，最多分颗，最多分 9 颗。请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗。请问：其中至少有几只小猴分到的花生 颗数一样多？颗数一样多？ 【分析】【分析】每个猴子拿到的花生数共有 9 种可能，那么最少有2793只猴子拿到的花生数相同，此时 31 2.9135 140， 还有 5 颗花生没有分。 那么可以给其中一个拿 1 颗花生的猴子再多拿 5 颗， 那么就有 4 个猴子拿到 6 颗花生。因此至少有 4 只小猴分到的花生数一样多。 【答案】【答案】4 只只 4、能否在能否在 44 方格表的每个格子中填入方格表的每个格子中填入 1、2、3 中的一个数字，
21、使得每行、每列以及它的两条对角线上中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上 的和互不相同？的和互不相同？ 【分析】【分析】不能。 从 1,2 或 3 中任取 4 个数相加， 所得的和最小是1 1 1 14 ， 最大是333312， 共有12419 种 可能，看做 9 个抽屉。44的方格表有 4 行、4 列、2 个对角线，共有 10 个和。1091.1，根据抽屉 原理，至少有两个对角线上的和相同。 【答案】【答案】不能不能 5、从从 1 至至 99 这这 99 个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于 1
22、00？最多可以？最多可以 取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于 5？ 【分析】【分析】 （1）根据和为 100 构造 50 个抽屉： 1,99 , 2,98 , 3,97 . 49,51 , 50。要让任意两个数的和不 为 100，那么每个抽屉中最多取一个数。即，最多可以取 50 个数。 （2）根据差为 5 构造 50 个抽屉 1,6 , 2,7 , 3,8 , 4,95,10 , 11,16 ,., 93,98 , 94,99 , 95， ，为了让任意两数差不为 5，那么每个抽屉最多取 1 个数，因此最多可以取 50 个数。例如： 1,2,3,4,
23、5,11,12,13,14,15,.,91,92,93,94,95。 【答案】【答案】50 个；个； 50 个个 6、如果在如果在 1，2，n 中任取中任取 19 个数，都可以保证其中必有两个数的差是个数，都可以保证其中必有两个数的差是 6，那么，那么 n 最大是多少？最大是多少？ 【分析】【分析】根据差为 6 构造抽屉 1,7 , 2,8 , 3,9 , 4,105,11 , 6,12 ,.，由于 19 个数中必有两个数的差为 6， 那么最多有 18 个抽屉。2 1836，那么n最大是 36。 【答案】【答案】36 7、从从 1 至至 50 这这 50 个自然数中至少要选出多少个数，才能保证
24、其中必有两个数互质？个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？ 【分析】【分析】1-50 中共有 25 个偶数，这些数有公因数 2。那么至少要 26 个数。 我们把 1-50 分为 25 个抽屉： 1,2 , 3,4 , 5,6 . 49,50，那么每个抽屉中的两个数都是互质的。根据抽 屉原理，至少取 26 个数，才能保证其中有 2 个数在同一个抽屉，那么这两个数互质。 【答案】【答案】26 个个 8、从从 1 至至 30 这这 30 个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7 整除。请问：最多能取出整除。请问：
25、最多能取出 多少个数？多少个数？ 【分析】【分析】根据自然数被 7 除的余数，把 1-30 分为 7 组： 余 11,8,15,22,29共 5 个； 余 22,9,16,23,30共 5 个； 余 33,10,17,24共 4 个； 余 44,11,18,25共 4 个； 余 55,12,19,26共 4 个； 余 66,13,20,27共 4 个； 整除7,14,2128共 4 个。 为了让任意两个数的和不为 7 的倍数，那么余 1 和余 6 的数不能一起取，同理，余 2 和余 5 的，余 3 和余 4 的不能一起取。而能被 7 整除的数只能取一个。那么最多可以取前 3 组的所有数字和第
26、7 组的 1 个数字， 共554115 个。 9、请请说明：任意说明：任意 5 个数中必有个数中必有 3 个数的和是个数的和是 3 的倍数。的倍数。 【分析】【分析】自然数除以 3 的余数有 0,1,2 三种。若 5 个自然数种存在其中 3 个除以 3 的余数相同，那么这 3 个 数之和必为 3 的倍数。 否则， 必然存在 3 个数除以 3 的余数分别为 0,1,2， 那么这 3 个数的和为 3 的倍数。 【答案】【答案】分两种情况说明：如果分两种情况说明：如果 5 个数中存在个数中存在 3 个数除以个数除以 3 的余数相同，那这的余数相同，那这 3 个数之和是个数之和是 3 的倍数；如的倍数
27、；如 果果 5 个数中不存在个数中不存在 3 个数除以个数除以 3 同余，则必然存在三个数除以同余，则必然存在三个数除以 3 分别余分别余 0、1、2，那这，那这 3 个数的和是个数的和是 3 的的 倍数。倍数。 10、任选任选 7 个不同的数，请说明：其中必有个不同的数，请说明：其中必有 2 个数的和或者差是个数的和或者差是 10 的倍数。的倍数。 【分析】【分析】一个自然数除以 10 的余数有 09 十种，我们可以把这 10 个余数放入 5 个抽屉中： 01,92,83,74,65，。 那么属于同一个抽屉的两个数的和或者差是 10 的倍数。 根据抽屉原理， 7 个数中，至少有两个数来自同一
28、个抽屉，那么这两个数的和或差是 10 的倍数。 【答案】【答案】按除以按除以 10 的余数分类，构造如下的余数分类，构造如下 6 个抽屉： （个抽屉： （0） ， （） ， （1，9） ， （） ， （2，8） ， （） ， （3，7） ， （） ， （4，6） ， （） ， （5） 。） 。 11、有有 9 个人，每人至少与另外个人，每人至少与另外 5 个人互相认识。试证明：可以从中找到个人互相认识。试证明：可以从中找到 3 个人，他们彼此相互认识。个人，他们彼此相互认识。 【分析】【分析】设 9 人分别为, , , , , ,A B C D E F G H I，其中A认识 5 个人，设为,
29、 , ,B C D E F；B也认识 5 个人，除 了A外至少要有 1 个人在, ,C D E F中，设为C，那么, ,A B C互相认识。 【答案】【答案】设设 9 人为人为 A、B、C、D、E、F、G、H、I，不妨设，不妨设 A 认识认识 B、C、D、E、F 这这 5 人，人，B 除了认识除了认识 A 外还认识外还认识 4 人，这人，这 4 人必然有一人是人必然有一人是 C、D、E、F 这这 4 人中的一人。人中的一人。 12、 （1）在一个边长为）在一个边长为 1 的正方形里放入的正方形里放入 3 个点，以这个点，以这 3 个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？个点为顶点连出的三角形面积
30、最大是多少？ （2）在一个边长为）在一个边长为 1 的正方形中随意放入的正方形中随意放入 9 个点，这个点，这 9 个点任何三点不共线，请说明：这个点任何三点不共线，请说明：这 9 个点中一定有个点中一定有 3 个点构成的三角形面积不超过个点构成的三角形面积不超过 1 8 。 【分析】【分析】 （1）正方形中的三角形面积不会超过正方形面积的 1 2 （“一半”模型） 。 （2） 把边长为 1 的正方形分成22的 4 部分， 将这 4 个小正方形看做 4 个抽屉， 那么根据抽屉原理， 9 个点中必有 3 个点在同一个小正方形中，那么这 3 个点构成的三角形的面积不大于小正方形面积的 1 2 ，即
31、 111 248 。 【答案】【答案】 （1） 1 2 ； （； （2）将正方形等分成）将正方形等分成 4 个小正方形，个小正方形，9 个点至少有个点至少有 3 个点落入同一个小正方形，然后利个点落入同一个小正方形，然后利 用（用（1）的结论。）的结论。 超越篇超越篇 8、 从从 1 至至 12 这这 12 个自然数中最多能选出几个数， 使得在选出的数中， 每一个数都不是另一个数的倍数？个自然数中最多能选出几个数， 使得在选出的数中， 每一个数都不是另一个数的倍数？ 【分析】【分析】构造 6 个抽屉： 1,2,4,8 , 3,9 , 5,10 , 6,12 , 7 , 11，那么同一抽屉里的两
32、个数有倍数关系。根 据抽屉原理，最多能取 6 个数，使得任意两数之间没有倍数关系。如：7,8,9,10,11,12。 【答案】【答案】6 个个 9、 （1）请说明：在任意的）请说明：在任意的 68 个自然数中，必有两个数的差是个自然数中，必有两个数的差是 67 的倍数；的倍数； （2）请说明：在）请说明：在 1，11，111，1111，这一列数中必有一个是，这一列数中必有一个是 67 的倍数。的倍数。 【分析】【分析】 （1）自然数除以 67 的余数有 066 这 67 种可能。把它们看做 67 个抽屉，那么根据抽屉原理，任 意 68 个自然数种，至少有两个数在同一个抽屉，即它们除以 67 的
33、余数相同。那么这两个数的差是 67 的倍 数。 （2）取这列数的前 68 个数，根据上一问可以证明，必有其中两个数的差是 67 的倍数。设为 11 111.11,111.11(68) ab ab 个个 ，那么 111010 111.11 111.11111.11000.00111.111000.00 bab aab aa 个个个个个个 是 67 的倍数。而 0 1000.00 a个 显然不是 67 的倍数，因此 1 111.11 b a 个 是 67 的倍数， 1 111.11 b a 个 也是数列中的数，得证。 【答案】【答案】 （1）除以）除以 67 的余数一共有的余数一共有 67 种情况
34、，种情况，68 个数必有两个数除以个数必有两个数除以 67 同余；同余； （2）其中必有两个数除以）其中必有两个数除以 67 同余，而它们的差是同余，而它们的差是 111000 这样的形式，这个数前面若干个这样的形式，这个数前面若干个 1 组成的数组成的数 必定是必定是 67 的倍数。的倍数。 10、 求证：对于任意的求证：对于任意的 8 个自然数，一定能从中找到个自然数，一定能从中找到 6 个数个数 a、b、c、d、e、f，使得（，使得（a-b）（）（c-d） （e-f）是）是 105 的倍数。的倍数。 【分析】【分析】.1053 57 。任取 8 个自然数，必有 2 个数之差是 7 的倍数
35、，设为, a b;剩下的 6 个自然数中， 必有 2 个数之差是 5 的倍数，设为, c d；剩下的 4 个自然数中，必有 2 个数之差是 3 的倍数，设为, e f。那 么有： abcdef是 105 的倍数。 【答案】【答案】105=753，8 个数中一定能找到两个数之差是个数中一定能找到两个数之差是 7 的倍数，在剩下的的倍数，在剩下的 6 个数中必定有两个数之差个数中必定有两个数之差 是是 5 的倍数，在剩下的的倍数，在剩下的 4 个数中一定能找到两个数之差是个数中一定能找到两个数之差是 3 的倍数。的倍数。 11、 从从 1 至至 25 这这 25 个自然数中最多取出多少个数，使得在
36、取出来的这些数中，任何一个数都不等于个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于 另两个不同数的乘积。另两个不同数的乘积。 【分析】【分析】 互异两自然数乘积小于 25 的有：2 36,2 48,.,2 1224 ；3 412,3 5 15, .,3 824 ； 4 520,4 624 。只要把 2,3,4 这 3 个数字去掉，剩下的数字中，没有两个数的乘积等于另一个数。因 此最多能取出 22 个。 【答案】【答案】22 个。个。 12、 25 名男生与名男生与 25 名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一个，他（或她）的两边都是女生。名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至
37、少有一个，他（或她）的两边都是女生。 【分析】【分析】共 50 个座位，我们分为奇数位和偶数位。那么此题即证：必有两个女生坐在相邻的奇数位或偶数 位。根据抽屉原理，至少有 13 个女生位于奇数位或位于偶数位，不妨设为奇数位。13 个女生坐在 25 个奇数位，根据抽屉原理，至少有 2 个女生坐在相邻的奇数位。那么这两个女生之间的人，左右两边 都是女生。 【答案】【答案】将每个位置将每个位置 1，2，3，50 编号，那么至少编号，那么至少有有 13 名女生坐在奇数号或者是偶数号，不妨设有名女生坐在奇数号或者是偶数号，不妨设有 13 名女生坐在奇数号，那么必然有相邻的两个奇数号上都坐着女生。名女生坐
38、在奇数号，那么必然有相邻的两个奇数号上都坐着女生。 13、 时钟的表盘上按标准的方式标着时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，11，12 这这 12 个数，在其上任意做个数，在其上任意做 n 个个 120的扇的扇 形，每一个都恰好覆盖形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的 n 个扇形中总能恰好取出个扇形中总能恰好取出 3 个，这个，这 3 个扇形能覆盖整个钟面的全部个扇形能覆盖整个钟面的全部 12 个数，求个数，求 n 的最小值。的最小值。 【分析】【分析】3 个扇形要覆盖住整个表面，有如下 4 种可能： 1 4,
39、58,912 ; 25,69,101 ; 36,710,11 2 ; 47,811,123。根据抽屉原理，我们从中任取4219 个扇形，总有 3 个在同 一个抽屉，那么这 3 个扇形刚好能覆盖整个表面。 8 个显然是不行的，如：14,25,36,.,811这 8 个扇形。 【答案】【答案】9 7、 （1）将一个）将一个 55 的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个 顶点处的四个方格同色；顶点处的四个方格同色； （2）将一个）将一个 419 的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，
40、请证明：一定存在一个长方形，四的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四 个顶点处的四个方格同色。个顶点处的四个方格同色。 【分析】【分析】 （1）根据抽屉原理，第一行至少有 3 个格子同色，不妨设为前 3 格，同为白色。那么后四行如果 有其中一行的前 3 格有 1 个以上的白格， 那么结论已证。 否则后四行的前 3 格有 3 种可能 （1 为黑， 0 为白） ： 1101 1110 1011 ，如果有其中两行染色相同，那么显然其中有顶点同色的长方形；如果任意两行染色不同， 那么 4 种染法各有 1 个，其中也有黑色长方形。综上，其中必然存在四个顶点同色的长方
41、形。 （2）一个 4 行 19 列的方格表，每个方格染成黑、白、红三色之一。那么根据抽屉原理，每一列中，至少 有两个方格的颜色相同。那么根据这两个格子的颜色和位置，共有 2 4 3 18C 种可能，看做 18 个抽屉。那 么根据抽屉原理，19 列中，至少有两列的相同颜色的格子的颜色和位置都是一样的。那么，这两列中存在 一个四个顶点同侧的长方形。 【答案】【答案】 （1）略； （）略； （2）略。）略。 14、 从从 1 至至 2000 这这 2000 个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于 4 也不等于也不等于 7？ 【分析】【
42、分析】把 111 按照和第一个数差为 4 或 7 分为 4 个抽屉： 1,5,8 , 2,6,9 , 3,7,10 , 4,1111 个数字刚好 构成一个周期。200011181.9，那么我们要让取出的数尽量多，就要在一个周期中取出的数尽量多， 同时前 9 个数中取出的数尽量多。 在 11 个数中不可能取出 6 个或 6 个以上的数满足条件。否则根据抽屉原理，至少有 2 个抽屉中去了两 个数。 在同一抽屉里面取数， 不能取第一个， 那么这 4个数只能是：5,6,8,9;5,7,8,10;6,7,9,10， 其中只有6,7,9,10 中任意两数只差不为 4 或 7。 此时第 4 个抽屉无论取 4 还是 11， 都与其中一个数差为 4， 不满足条件。 因此， 11 个数中最多可以取 5 个数。 每组数中可以取1,4,6,7,9这 5 个数，那么 2000 个数中共可取出181 55910个。即最多可以取出 910 个数，他们任意两个数的差既不为 4，也不为 7 【答案】【答案】910 个个
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