1、第第 2 讲讲 数的整除数的整除 内容概述： 掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填 问题，以及多位数的构成问题等。 典型问题： 兴趣篇兴趣篇 1.下面有 9 个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。在这些自然数中，请问： （1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？ （2）有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？ 2.有如下 9 个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些能被 3 整除？哪些
2、能被 9 整除？哪些能同时被 2 和 3 整除？ 3.一个三位数64的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值： （1）如果要求这个三位数能被 3 整除，“”可能等于多少？ （2）如果要求这个三位数能被 4 整除，“”可能等于多少？ （3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能，“”可能等于多少？ 4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。雯雯收了 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老 师给了雯雯一张纸条， 上面写着“交来校服费238元”其中有一滴墨水， 把方格处的数字污染得看不清了。 牛牛看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个
3、数字是多少吗？ 5.四位数29能同时被 3 和 5 整除，求出所有满足要求的四位数。 6.四位偶数6 4 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数。 7.多位数 32 3232321 n个 能被 11 整除，满足条件的n最小是多少？ 8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可 以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。王经理打算 申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码。请问：他申请的号码可能是多少？ 9.一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位
4、数能被 4 整除。这个四位数最大是多少？ 10.（1）一个多位数（两位及两位以上） ，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0。如果它能被 11 整除， 那么这个多位数最小是多少？ （2）一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？ 拓展篇拓展篇 1.判断下面 11 个数的整除性： 23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407. （1）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？ （2）哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？ （3）哪些数能被 3 整除？哪些数能
5、被 9 整除？ （4）哪些数能被 11 整除？ 2.173是一个四位数。 数学老师说： “我在其中的方框内先后填入 3 个数字， 得到 3 个四位数， 依次能被 9、 11、8 整除。”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？ 3.五位数307能同时被 11 和 25 整除。这个五位数是多少？ 4.牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只 剩下“678”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问： 这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？ 5.六位数2008能同时被 9 和 11 整除。
6、这个六位数是多少？ 6.请从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数。这个五位数最大 是多少？ 7.雯雯写了一个两位数 59，牛牛写了一个两位数 89，他们让羊羊写一个一位数放在 59 与 89 之间拼成一个 五位数5989，使得这个五位数能被 7 整除。请问：羊羊写的数是多少？ 8.已知 51 位数 255259 5555999 个个 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？ 9.用数字 6、7、8 各两个，要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。 10.牛牛和羊羊玩一个数字游戏。牛牛先将一个三位数的百位与
7、个位填好，然后羊羊来填写这个三位数的十 位。如果最后这个三位数能被 11 整除，那么羊羊获胜，否则牛牛获胜。牛牛想了一会，想到了一个必胜的 办法。请问：牛牛想到的办法是什么？ 11.对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的 新数都不能被1N 整除。请问：一共有多少个不大于 10 的破坏数？ 12.一个五位数，它的末三位为 999。如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？ 超越篇超越篇 1. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？ 2.将自然数 1,2，3，依次写下去形成一个多位数“1234567891
8、01112”。写出某个数N时，所形成的多 位数恰好第一次能被 90 整除。请问：N是多少？ 3.雯雯的爸爸买回来两箱杯子。两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价 117. 元”、“总价 127.元” （、 、四个数字已辨认不清，但是它们互不相同） 。爸爸告诉雯雯，其中一箱装了 99 只A型杯子， 另一箱装了 75 只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分。 但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱， 也不记得哪个箱子装的是A型杯子， 哪个箱子装的是B型杯子了。 爸爸知道雯雯的数学水平很厉害，于是他想考考雯雯。 雯雯看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了。” 同学们
9、，你能像雯雯一样把价签上的数分辨出来吗？ 4.牛牛在一张纸条上依次写下 2、3、4、5、6、7 这 6 个数字，形成一个六位数。羊羊把这张纸条撕成了三 节。 这三节纸条上的数加起来得到的和 （如图 2-1， 三节纸条上的和为 23+456+7=486） 能被 55 整除。 请问： 羊羊可能是在什么位置撕断的这张纸条？ 5.将一个自然数N接在任一自然数的右面 （例如将 2 接在 13 的右面得到 132） ， 如果所得的新数都能被N整 除，那么称N为“神奇数”。请求出所有的两位“神奇数”。 （希望杯培训试题） 6.在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除。方
10、框中的两位数是多少？ 7.多位数A由数字 1、3、5、7、9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意 一个数字整除。求这样的A的最小值。 8.有一些自然数， 从左向右读与从右向左读是完全一样的， 我们将这样的数称作“回文数”。 比如 2332、 181、 77 都是回文数。如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？ 第第 2 讲讲 数的整除数的整除 内容概述：内容概述： 掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补
11、填 问题，以及多位数的构成问题等。问题，以及多位数的构成问题等。 典型问题：典型问题： 兴趣篇兴趣篇 1.下面有下面有 9 个自然数：个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：。在这些自然数中，请问： （1）有哪些数能被）有哪些数能被 2 整除？哪些能被整除？哪些能被 4 整除？哪些能被整除？哪些能被 8 整除？整除？ （2）有哪些数能被）有哪些数能被 5 整除？哪些能被整除？哪些能被 25 整除？哪些能被整除？哪些能被 125 整除？整除？ 【分析】【分析】(1)能被 2 整除的数末位应是 2 的倍数，有：14，80，152，6
12、50，434，9064,； 能被 4 整除的末两位应为 4 的倍数，有：80,152,9064； 能被 8 整除的末三位应为 8 的倍数，有：80,152,9064； （2）能被 5 整除的末位应为 5 的倍数，有 35,80,650,4375,24125； 能被 25 整除的末两位应为 25 的倍数，有：650,4375,24125； 能被 125 整除的末三位应为 125 的倍数，有：4375,24125； 2.有如下有如下 9 个三位数：个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些能被。这些数中哪些能被 3 整除？哪些整除？哪些 能被能被
13、 9 整除？哪些能同时被整除？哪些能同时被 2 和和 3 整除？整除？ 【分析】【分析】 能被 3 整除的应为数字和为 3 的倍数，有：387,228,975,525,882,837； 能被 9 整除的数字和应为 9 的倍数，有：387，882，837； 能同时被 2 和 3 整除的数有：228、882。 3.一个三位数一个三位数64的十位数字未知。请分别根据下列要求找出的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：中合适的取值： （1）如果要求这个三位数能被）如果要求这个三位数能被 3 整除，整除，“”可能等于多少？可能等于多少？ （2）如果要求这个三位数能被）如果要求这个三位数能
14、被 4 整除，整除，“”可能等于多少？可能等于多少？ （3）这个三位数有没有可能同时被）这个三位数有没有可能同时被 3 和和 4 整除，如果有可能，整除，如果有可能，“”可能等于多少？可能等于多少？ 【分析】【分析】 （1）数字和保证是 3 的倍数，则可填写 2,5,8； （2）能被 4 整除，则末两位能被 4 整除，则可填写 0、2、4、6、8； （3）既能被 3 又能被 4 整除，则两者均需符合，应填 2 或者 8 4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。新学年开学了，同学们要改穿新的校服。雯雯雯雯收了收了 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。位同学的校服费（每人交的钱一样多）
15、交给老师。 老师给了老师给了雯雯雯雯一张纸条，上面写着一张纸条，上面写着“交来校服费交来校服费238元元”其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清 了。了。牛牛牛牛看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？ 【分析】【分析】 令该四位数为2 38a，则数字和应为 9 的倍数，所以，5a。 5.四位数四位数29能同时被能同时被 3 和和 5 整除，求出所有满足要求的四位数。整除，求出所有满足要求的四位数。 【分析】【分析】 由于该数能被 5 整
16、除，则末位为 0 或者 5； （1）当末位为 5 时，2 95a应为 3 的倍数，则 a 可等于 2、5、 8；此时四位数有 2295,2595,2895； （2）当末位为 0 时，2 90a应为 3 的倍数，则 a 可等于 1，4，7，此时的四位数有 2190,2490,2790。 所以满足条件的四位数共有 6 个，如上。 6.四位偶数四位偶数64能被能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数。整除，求出所有满足要求的四位数。 【分析】【分析】 令该数为6 4a b，根据题意，能被 11 整除的数应为从末位开始，奇数位数字之和与偶数位数字 之和的差应为 11 的倍数。所以10a b ，并且为
17、偶数，则共有 4 个满足条件的四位数分别为： 6248,6446,6644,6842。 7.多位数多位数 32 3232321 n个 能被能被 11 整除，满足条件的整除，满足条件的n最小是多少？最小是多少？ 【分析】【分析】 能被 11 整除的数应为奇数位数字之和与偶数位数字之和的差应为 11 的倍数。 则奇数位数字之和应该为：31n；偶数位数字之和为：2n. 则 n 的最小值为 10。 8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他，目前只有形如一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可的号码可 以申请。也就是说，在申请
18、号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。王经理打算以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。王经理打算 申请一个能同时被申请一个能同时被 8 和和 11 整除的号码。请问：他申请的号码可能是多少？整除的号码。请问：他申请的号码可能是多少？ 【分析】【分析】 令该数为1234 6 8a b，根据题意，该数能被 8 整除，所以该数必然能被 4 整除，则 b 应为 0、 2、4、6、8，该数又能被 8 整除，则 b 为 0 或者 4 或者 8。 而该数又能被 11 整除，奇数位数字之和为：20；偶数位数字之和为：4ab 。由于18a b ，
19、则5ab或者16a b 。 在5ab时，有 1 4 a b ，或者 5 0 a b 在16a b 时，有一组解， 8 8 a b 所以，他申请的号码共有 3 种可能。 9.一个各位数字互不相同的四位数能被一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被 4 整除。这个四位数最大是多少？整除。这个四位数最大是多少？ 【分析】【分析】 由于四位数要尽可能的大，则位数高的要尽可能的大，又该数的千位百位十位所组成的三位 数，则前三位最大为 984，则令该四位数为984a，这个四位数又能被 9 整除。所
20、以6a 。所以这个 四位数最大为 9846 10.（1）一个多位数（两位及两位以上） ，它的各位数字互不相同，并且含有数字）一个多位数（两位及两位以上） ，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0。如果它能被。如果它能被 11 整除，整除， 那么这个多位数最小是多少？那么这个多位数最小是多少？ （2）一个多位数，它的各位数字之和为）一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？整除，那么这个多位数最小是多少？ 【分析】【分析】 （1）根据题意，该位的各位数字互不相同，且还能被 11 整除。不存在这样的两位数； 则必为三位数，令该三位数为abc
21、，则有：acb 为 11 的倍数，又因为其中一项为 0，则若 c 为 0，显 然不存在； 则只能 b 为 0，则此时11ac ，满足条件的最小的多位数为 209； （2）根据题意，该多位数也不可能是两位数，因为两位数中能被 11 整除的数必为偶数； 若该数为三位数，令该数为abc，则有13acb ，且有0acb 或者 11，由于两个数的和与两 个数的差必然同时为奇数或者同时为偶数。 所以只能是13acb 与11acb 同时成立。 所以有： 1b，12ac ，则这样的多位数最小是 319。 拓展篇拓展篇 1.判断下面判断下面 11 个数的整除性：个数的整除性： 23487,3568,8875,6
22、765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407. （1）这些数中，有哪些数能被）这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被整除？哪些数能被 8 整除？整除？ （2）哪些数能被）哪些数能被 25 整除？哪些数能被整除？哪些数能被 125 整除？整除？ （3）哪些数能被）哪些数能被 3 整除？哪些数能被整除？哪些数能被 9 整除？整除？ （4）哪些数能被）哪些数能被 11 整除？整除？ 【分析】【分析】 （1）末两位能被 4 整除，该数即能被 4 整除； 末三位能被 8 整除，该数即能被 8 整除。 所以，能被 4 整除的数有：3568，5880，6512，864
23、； 能被 8 整除的数有：3568，5880,6512,864； （2）末两位是 25 的倍数，该数就能被 25 整除； 末三位是 125 的倍数，该数就能被 125 整除。 所以能被 25 整除的数有：8875,93625； 能被 125 整除的数有：8875,93625； （3）数字和是 3 的倍数即能被 3 整除，数字和为 9 的倍数即能被 9 整除。 所以，能被 3 整除的数有：23487，6765，5880,198954,864； 能被 9 整除的数有：198954,864； （4）从末位开始，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果为 11 的倍数，即为 11 的倍数。 则为 11
24、的倍数的有：6765,6512,407； 2.173是一个四位数。 数学老师说：是一个四位数。 数学老师说： “我在其中的方框内先后填入我在其中的方框内先后填入 3 个数字， 得到个数字， 得到 3 个四位数， 依次能被个四位数， 依次能被 9、 11、8 整除。整除。”问：数学老师在方框中先后填入的问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？个数字之和是多少？ 【分析】【分析】 方法一：方法一： 能被6整除的数， 其数字和是3的倍数， 且末位为0，2，4，6，8的其中之一17311， 当内填入1，4，7时，为3的倍数，但只有4为偶数，所以当内填入4组成的数为6的倍数 17311，当
25、内填入7时，1735的数字和为18，为9的倍数，所以当内填7所组成的数为 9的倍数； 173的奇数位数字和为7 ，偶位数数字和为134，所以当内填11478时， 奇数位数字和和与偶数位数字和的差为11，所组成的数为11的倍数； 所以，这三种情况下填入内的数字的和为78419 方法二：方法二：采用试除法 用1730试除，173091922，1730111573，173062882 所以依次添上(92)7、 (113)8、 (62)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、 6整除 所以，这三种情况下填入内的数字的和为78419 3.五位数五位数307能同时被能同时被 11 和和 2
26、5 整除。这个五位数是多少？整除。这个五位数是多少？ 【分析】【分析】该数能被 25 整除，则末两位应为 25 的倍数。所以个位为 5。 则令该五位数为3 075a，则该数的奇数位数字和为：8；偶数位数字和为7a，则有：1a 。 所以这个五位数为 31075。 4.牛叔叔给牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只 剩下剩下“678”，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资
27、都一样，并且都是整数元。请问： 这这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？名工人的总工资有可能是多少元呢？ 【分析】【分析】 由于该数为 45 的倍数，则末位为 5 的倍数，所以末位能为 0 或者 5， 若末位为 0，则令该五位数为：67 80a，则数字和应为 9 的倍数，有：21 a应为 9 的倍数，所以6a ， 这时的五位数为 67680； 若末位为 5，则令该五位数为：67 85a，则数字和应为 9 的倍数，有：26a应为 9 的倍数， 所以1a 这时的五位数为 67185； 5.六位数六位数2008能同时被能同时被 9 和和 11 整除。这个六位数是多少？整除。这个六位数是多少？ 【
28、分析】【分析】 令该六位数为2008ab，该数既能被 9 整除，又能被 11 整除，则该数能被 99 整除。 根据 99 的整除特征，从末两位开始，两位一段两位一段，所有段数之和为 99 的倍数，就能被 99 整除。则 有：2 8ab，则有1,7ab，所以这个六位数为 120087。 6.请从请从 1、2、3、4、5、6、7 这这 7 个数字中选出个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是个组成一个五位数，使它是 99 的倍数。这个五位数最大的倍数。这个五位数最大 是多少？是多少？ 【分析】【分析】 由于该数要尽可能的大，则首先满足让位数高的尽可能的大。 （1）若万位为 7，则有该五位数为7a
29、bcd，该数又是 99 的倍数，由于7abcd为 99 的倍数，又不可能 达到 198， 则有92abcd，显然用 1、2、3、4、5、 6 中的任何四个都无法满足； （2）若万位为 6，则该五位数为6abcd，则有93abcd，要满足个位为 3，则b与d只能从 1 和 2 里 选；则此时十位数只能从 4 和 5 选择。由于要让位数高的尽可能的大，则有： 5,2,4,1abcd。所以该五位数为 65241。 7.雯雯雯雯写了一个两位数写了一个两位数 59，牛牛牛牛写了一个两位数写了一个两位数 89，他们让，他们让羊羊羊羊写一个一位数放在写一个一位数放在 59 与与 89 之间拼成一个之间拼成一
30、个 五位数五位数59 89，使得这个五位数能被，使得这个五位数能被 7 整除。请问：整除。请问：羊羊羊羊写的数是多少？写的数是多少？ 【分析】【分析】 根据能被 7 整除的特征，末三位为一段，其他未一段，其差若是 7 的倍数，则这个数就能被 7 整 除，则可以令该五位数为：59 89a，则有30a，应为 7 的倍数，所以6a 。 8.已知已知 51 位数位数 255259 5555999 个个 能被能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？整除，中间方格内的数字是多少？ 【分析】【分析】 令该 51 位数为 255259 5555 999a 个个 ，则根据能被 13 整除的特征，三位一段，奇数
31、段之和与偶数段之和 的差如果是 13 的倍数，则其为 13 的倍数。 奇数段之和为：999 999 999 5 9 555 555 555a； 偶数段之和为：999 999 999 555 555 555 其差为：5 9a，则5 9a应为 13 的倍数。则5a 9.用数字用数字 6、7、8 各两个，要组成能同时被各两个，要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。 【分析】【分析】由于这个六位数被 8 整除，后三位只能是 688，768 或者 776 三种情况，分别检验这个六位数被 7 除的情况可知，只有 768768 满足要
32、求. 10.牛牛牛牛和和羊羊羊羊玩一个数字游戏。玩一个数字游戏。牛牛牛牛先将一个三位数的百位与个位填好，然后先将一个三位数的百位与个位填好，然后羊羊羊羊来填写这个三位数的十来填写这个三位数的十 位。如果最后这个三位数能被位。如果最后这个三位数能被 11 整除，那么整除，那么羊羊羊羊获胜，否则获胜，否则牛牛牛牛获胜。获胜。牛牛牛牛想了一会，想到了一个必胜的想了一会，想到了一个必胜的 办法。请问：办法。请问：牛牛牛牛想到的办法是什么？想到的办法是什么？ 【分析】【分析】牛牛填好了个位与百位，若个位与百位填写的数字和小于等于 9，则在十位上填写相应的数即可获 胜； 若牛牛在个位与百位的数字和为 11
33、 及以上，羊羊只需要保证其十位上的数与百位与个位的和的差为 11 即 可。 所以牛牛想到的办法是使得个位与百位的和为 11 的倍数。 11.对于一个自然数对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为，如果具有以下的性质就称为“破坏数破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的 新数都不能被新数都不能被1N 整除。请问：一共有多少个不大于整除。请问：一共有多少个不大于 10 的破坏数？的破坏数？ 【分析】【分析】 根据题意， 假设原数为M， 则有新数应为101 101MN=M+N=N+M-,由于1N 一定能被1N 整 除。101M-是奇数，则当1N 是偶
34、数即一定不能被1N 整除。当N为奇数时，共有 5 种选择， 分别是 1、3、5、7、9 另，只要末位不是 5 该数就一定不能被 5 整数，所以当自然数是 4 时，其添在任何一个数的末位，形成的 新数都不能被 5 整除。 所以共有 6 个这样的 N，分别是 0、1、3、5、7、9。 12.一个五位数，它的末三位为一个五位数，它的末三位为 999。如果这个数能被。如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？整除，那么这个五位数最小是多少？ 【分析】【分析】 令这个数为999ab，则有9991000 999989989 1110abababab 现在只需要1110ab为 23 的倍速即可。
35、令111023abk，则当10k 时，ab有最小整数解为20。所 以最小的这样的五位数为20999。 超越篇超越篇 2. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？整除的数最小是多少？ 【分析】【分析】 由于该数各位数字均互不相同，又能被 45 整除，则数字和为 9 的倍数，且末位为 0 或者 5。由于 0+1+2+3+4=10 大于 9，则数字和应该为 18。为了使其尽量小，先满足首位取 1，再考虑千位取 0， 则个位必须为 5，此时五位数为105ab，数字和为：618ab ，所以最小3,9ab，则这 个五位数为 10395。 2
36、.将自然数将自然数 1,2，3，依次写下去形成一个多位数，依次写下去形成一个多位数“123456789101112”。写出某个数。写出某个数N时，所形成的多时，所形成的多 位数恰好第一次能被位数恰好第一次能被 90 整除。请问：整除。请问：N是多少？是多少？ 【分析】【分析】根据题意 2 902 5 3 ，则现在要恰好第一次能被 90 整除，这个数写到最后时末位应为 0。此时 只需要保证数字和为 9 的倍数即可。 由于123456789的数字和为:45; 111213141516171819的数字和为：945； 212223242526272829的数字和为：9 245 . 则只需要保证102
37、03040为 9 的倍数即可，所以最早加到 80 时就符合条件。所以 N 为 123456789010111213787980时符合条件。 3.雯雯雯雯的爸爸买回来两箱杯子。 两个箱子上各贴有一张价签， 分别写着的爸爸买回来两箱杯子。 两个箱子上各贴有一张价签， 分别写着“总价总价 117. 元元”、 “总价总价 127.元元” （、 、四个数字已辨认不清，但是它们互不相同） 。爸爸告诉四个数字已辨认不清，但是它们互不相同） 。爸爸告诉雯雯雯雯，其中一箱装了，其中一箱装了 99 只只A型杯子，型杯子， 另一箱装了另一箱装了 75 只只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分。型杯子，每只杯子的价格都
38、是整数分。 但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱， 也不记得哪个箱子装的是但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱， 也不记得哪个箱子装的是A型杯子， 哪个箱子装的是型杯子， 哪个箱子装的是B型杯子了。型杯子了。 爸爸知道爸爸知道雯雯雯雯的数学水平很厉害，于是他想考考的数学水平很厉害，于是他想考考雯雯雯雯。 雯雯雯雯看了看，说：看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了。这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了。” 同学们，你能像同学们，你能像雯雯雯雯一样把价签上的数分辨出来吗？一样把价签上的数分辨出来吗？ 【分析】【分析】 （1）117.元可化
39、为117ab分，由题意知该五位数应为 99 的倍数。所以1 17ab应为 99 的 倍数。所以81ab ； （2）127.可化为127ab分，则该数应为 25 的倍数。所以末两位应为 00 或者 25 或者 50 或者 75。又该 数为 75 的倍数，则该数也为 3 的倍数。所以末两位应该填写 50。 4.牛牛牛牛在一张纸条上依次写下在一张纸条上依次写下 2、3、4、5、6、7 这这 6 个数字，形成一个六位数。个数字，形成一个六位数。羊羊羊羊把这张纸条撕成了三把这张纸条撕成了三 节。 这三节纸条上的数加起来得到的和 （如图节。 这三节纸条上的数加起来得到的和 （如图 2-1， 三节纸条上的和
40、为， 三节纸条上的和为 23+456+7=486） 能被） 能被 55 整除。 请问：整除。 请问： 羊羊羊羊可能是在什么位置撕断的这张纸条？可能是在什么位置撕断的这张纸条？ 【分析】【分析】根据题意，该数要能被 55 整除，则末位只能为 0 或者 5。 又由于无论如何切割，第三张纸条的最后一位都是 7，则前两张纸条的末位和应该为 8 或者 3（不可能） ， 则为 3 与 5 或者 2 与 6， 此时 3 张纸条上的数分别是 2、 3456、 7 或者 23、 45、 67。 求和分别为 3465 与 135。 只有 3465 为 11 的倍数。 所以羊羊是在 2 与 3 之间以及 6 与 7
41、 之间撕的纸条。 5.将一个自然数将一个自然数N接在任一自然数的右面 （例如将接在任一自然数的右面 （例如将 2 接在接在 13 的右面得到的右面得到 132） ， 如果所得的新数都能被） ， 如果所得的新数都能被N整整 除，那么称除，那么称N为为“神奇神奇数数”。请求出所有的两位。请求出所有的两位“神奇神奇数数”。 【分析】【分析】 由于所要求的为两位神奇数，我们可以令该数为ab，则有100MabMab ， 由于Mab能被ab整除，则100M 也能被ab整除，由于M可取任何值，则ab应为 100 的一个两位因数。 所以ab可以 10、20、25、50 共计 4 个神奇数。 （希望杯培训试题）
42、（希望杯培训试题） 6.在六位数在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和和 19 整除。方框中的两位数是多少？整除。方框中的两位数是多少？ 【分析】【分析】 方法一：方法一：采用试除法.设六位数为11 11,11 11 11 1000000 11 11001100abababab 如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除 110011323340191，余191也可以看成不足323191132 所以当00ab132323n时，即00ab是100的倍数时，六位数才是323的倍数 所以有323n的末位只能是1028，
43、所以n只能是6，16，26， 验证有16n 时，132323 165300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意 方法二：方法二：视为数字谜 因为17，19323，所以有： 323 1 111 注意，第 3 行的个位数字为 1，于是乘数的个位数字只能为 7，所以第 3 行为 3237=2261； 于是有 323 7 2261 1 111 所以第 4 行的末位为10165 ，所以乘数的十位数字只能为 5，于是第 4 行为323 51615； 于是有， 323 57 2261 1615 1 111 所以第 5 行在(110011-16150-2261=)91600(119911-1
44、6150-2261=)101500 之间，又是 323100 的倍 数，所以只能为 323003=96900； 于是最终有. 323 357 2261 1615 969 1 153 11 所以题中的方框内应填入 5，3 这两个数字 7.多位数多位数A由数字由数字 1、3、5、7、9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被可以被A中任中任 意一个数字整除。求这样的意一个数字整除。求这样的A的最小值。的最小值。 【分析】【分析】 由于1357925，现在要保证是 9 的倍数，至少需要再添加1 12 ，由于要能被 5 整除，则 5 必
45、须放在末位。现在只需要满足是 7 的倍数即可。 最小的符合除是 7 的倍数的其他所有条件的数为：1113795， 此时7951 113683 不为 7 的倍数， 不符合； 调整至略大，为1113975，此时9751 113863 不为 7 的倍数，不符合； 再调整为1117395，不符； 1117935，此时9351 117819 为 7 的倍数。 所以符合条件的 A 的最小值为1117935。 8.有一些自然数， 从左向右读与从右向左读是完全一样的， 我们将这样的数称作有一些自然数， 从左向右读与从右向左读是完全一样的， 我们将这样的数称作“回文数回文数”。 比如。 比如 2332、 181
46、、 77 都是回文数。如果一个六位回文数除以都是回文数。如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？的商也是回文数，那么这个六位数是多少？ 【分析】【分析】 根据题意，这个六位回文数为 95 的倍数，则必然为 5 的倍数，由于其首位与末位相同，所以 这个六位回文数的首位与末位相同，均为 5。 由于由于999 9554945不符合条件；而六位数的十万位上为 5。则有： 59999595631570 50000595526320 则六位回文数除以 95 的商在 5263 到 6315 之间。 由于其也是回文数。 且不能为偶数。 所以只有 5335， 5445， 5555，5665，5775，5885，5995 这七种选择。 经实验，最后结果为 5555，六位回文数为 527725。
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