1、2020 年江苏省南通市中考数学最后一卷（年江苏省南通市中考数学最后一卷（A 卷）卷） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符分在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1 5 的倒数是（ ） A5 B5 C D 2下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a5 Ca6a3a2 D （ab2）3a3b6 3已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组 合体中正方体的个数最多是（ ） A10 B9 C8
2、 D7 4已知点 P（33a，12a）在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 5经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，若这 3 种可能性相同，若两辆汽车经过这 个十字路口，一辆车左转，另外一辆车右转的概率是（ ） A B C D 6在直角坐标平面内，已知点 M（4，3） ，以 M 为圆心，r 为半径的圆与 x 轴相交，与 y 轴相离，那么 r 的取值范围为（ ） A0r5 B3r5 C4r5 D3r4 7关于 x 的方程 3x2m1 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 8当时，方程（k2）x2（2k1）x+k0 实数
3、根的个数（ ） A1 B2 C1 或 2 D无法确定 9如图，O1的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD 的中心，O1O2垂直 AB 于 P 点，O1O28若将O1绕点 P 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，O1与正方形 ABCD 的边只 有一个公共点的情况一共出现（ ） A3 次 B5 次 C6 次 D7 次 10如图，在菱形 ABCD 中，AC6，BD6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连 接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ） A6 B3 C2 D4.5 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 8
4、小题，前小题，前 3 题每小题题每小题 3 分，后分，后 5 题每小题题每小题 3 分，共分，共 29 分不需要写出解答过程，分不需要写出解答过程， 请把最后结果填在题中横线上）请把最后结果填在题中横线上） 11截止到今天，世界上有 696 万人感染新冠病毒，请把 696 万用科学记数法表示 12因式分解：a3b39a 13设一元二次方程 x23x10 的两根分别是 x1，x2，则 x1+x2（x223x2） 14 （4 分）圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则它的侧面积为 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD2，AC3，则 sinB 的值是 1
5、6 （4 分）已知二次函数 y（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足1x3 时，与其对应的函数 值 y 的最小值为 4，则 h 的值为 17 （4 分）如图，在 RtABC 中，AB4，BC3，点 D 在斜边 AB 上，连接 CD 把ACD 沿直线 CD 翻 折，使点 A 落在同一平面内的点 A处当 AD 与 RtABC 的直角边垂直时，AD 的长为 18 （4 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+2xa+20 的两个不相等的实数根都在2 和 0 之间（不包括2 和 0） ，则 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 小题，共小题，共 91 分，需要写出解
6、答过程分，需要写出解答过程 19解方程 先化简在求值，选择你最喜欢的一个数代入求值 20列方程解应用题： 某列车平均提速 60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 200km，提速后比提速前多行驶 100km，求 提速前该列车的平均速度 21某水果批发市场新采购一批水果，有苹果，西瓜，香蕉和桃子 4 个品种，统计后将结果绘制成条形统 计图（如图） ，已知西瓜占这批水果的 40%，根据以上信息，回答下列问题： 求这批水果的总质量； 补全条形统计图； 若用扇形图表示结果，则苹果对应扇形的圆心角为 （写出计算过程） 22如图，AD、AE 分别是ABC 的角平分线和高线 （1）若B50，C60，求
7、DAE 的度数； （2）若CB，猜想DAE 与CB 之间的数量关系，并加以证明 23已知：如图，AM 为O 的切线，A 为切点，过O 上一点 B 作 BDAM 于点 D，BD 交O 于点 C， OC 平分AOB （1）求AOB 的度数； （2）当O 的半径为 2cm，求 CD 的长 24已知，如图，正比例函数 yax 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A（3，2） （1）填空：a ；k （2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中 0m3，过点 M 作直线 MBx 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线 ACy 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB 于点 D 当 BMDM 时，求ODM
8、 的面积； 当 BM2DM 时，求出直线 MA 的解析式 25在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：yax22ax3a（a0）和点 A（0，3） ，将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，得到点 B （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线 C1的对称轴； （3）把抛物线 C1沿 x 轴翻折，得到一条新抛物线 C2，抛物线 C2与抛物线 C1组成的图象记为 G，若图 象 G 与线段 AB 恰有一个交点时，结合图象，求 a 的取值范围 26如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E （1）求证：A
9、BAFCBCD； （2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是线段 DE 上的动点设 DPx cm，梯形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式 y 是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由 27在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ，且 x1x2，y1y2，若 P， Q 为某个矩形的两个顶点， 且该矩形的边均与某条坐标轴垂直， 则称该矩形为点 P， Q 的 “相关矩形” ， 如图为点 P，Q 的“相关矩形”示意图 （1）已知点 A 的坐标为（1，0） ， 若点 B 的坐标为（3，1） ，求点 A，B
10、 的“相关矩形”的面积； 点 C 在直线 x3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2）O 的半径为，点 M 的坐标为（m，3） ，若在O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形” 为正方形，求 m 的取值范围 2020 年江苏省南通市中考数学最后一卷（年江苏省南通市中考数学最后一卷（A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符分在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1
11、5 的倒数是（ ） A5 B5 C D 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得答案 【解答】解： 5 5 5 的倒数是：， 即 5 的倒数是 故选：D 2下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 B （a2）3a5 Ca6a3a2 D （ab2）3a3b6 【分析】 直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、 积的乘方运算法则分别分析得出答案 【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误； B、 （a2）3a6，故此选项错误； C、a6a3a3，故此选项错误； D、 （ab2）3a3b6，正确； 故选：D 3已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视
12、图与俯视图如图所示，则该组 合体中正方体的个数最多是（ ） A10 B9 C8 D7 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数 和个数，从而算出总的个数 【解答】解：从俯视图可得最底层有 5 个小正方体，由主视图可得上面一层是 2 个，3 个或 4 个小正方 体， 则组成这个几何体的小正方体的个数是 7 个或 8 个或 9 个， 组成这个几何体的小正方体的个数最多是 9 个 故选：B 4已知点 P（33a，12a）在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】由点 P 在第四象限，可得出关于 a 的一元一次不
13、等式组，解不等式组即可得出 a 的取值范围， 再对照四个选项即可得出结论 【解答】解：点 P（33a，12a）在第四象限， ， 解不等式得：a1； 解不等式得：a a 的取值范围为a1 故选：C 5经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，若这 3 种可能性相同，若两辆汽车经过这 个十字路口，一辆车左转，另外一辆车右转的概率是（ ） A B C D 【分析】此题可以采用列表法或树状图求解可以得到一共有 9 种情况，两辆汽车一辆左转，一辆右转 的有 2 种情况，根据概率公式求解即可 【解答】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示： 这两辆汽车行驶方向共有 9 种
14、可能的结果，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有 2 种，且所有结果 的可能性相等， P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）， 故选：D 6在直角坐标平面内，已知点 M（4，3） ，以 M 为圆心，r 为半径的圆与 x 轴相交，与 y 轴相离，那么 r 的取值范围为（ ） A0r5 B3r5 C4r5 D3r4 【分析】先求出点 M 到 x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可 【解答】解：点 M 的坐标是（4，3） ， 点 M 到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 4， 点 M（4，3） ，以 M 为圆心，r 为半径的圆与 x 轴相交，与 y 轴相离， r 的取值范围是 3r4，
15、 故选：D 7关于 x 的方程 3x2m1 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 【分析】先求出方程的解，再根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可 【解答】解：解方程 3x2m1 得：x， 关于 x 的方程 3x2m1 的解为正数， 0， 解得：m， 故选：B 8当时，方程（k2）x2（2k1）x+k0 实数根的个数（ ） A1 B2 C1 或 2 D无法确定 【分析】先计算根的判别式得到（2k1）24（k2）k4k+1，根据，即可得出 0，然后根据判别式的意义判断根的情况 【解答】解：当 k2 时，是一元一次方程，有一个实数根， 当 k2 时，b24ac（2k1）
16、24（k2）k4k+1 当时，4k+10 该方程有两个不相等的实数根 故选：C 9如图，O1的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD 的中心，O1O2垂直 AB 于 P 点，O1O28若将O1绕点 P 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，O1与正方形 ABCD 的边只 有一个公共点的情况一共出现（ ） A3 次 B5 次 C6 次 D7 次 【分析】根据O1的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD 的中心，O1O2垂直 AB 于 P 点，设 O1O2交圆 O 于 M，求出 PM4，得出圆 O1与以 P 为圆心，以 4 为半径的
17、圆相外切，即可 得到答案 【解答】解：O1的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD 的中心，O1O2垂直 AB 于 P 点， 设 O1O2交圆 O 于 M， PM8314， 圆 O1与以 P 为圆心，以 4 为半径的圆相外切， 根据图形得出有 5 次 故选：B 10如图，在菱形 ABCD 中，AC6，BD6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连 接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ） A6 B3 C2 D4.5 【分析】 作点 E 关于 AC 的对称点 E， 过点 E作 EMAB 于点 M， 交 AC 于点 P， 由 PE+
18、PMPE +PMEM 知点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点，利用 S菱形ABCDACBDABEM 求解可 得答案 【解答】解：如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E，过点 E作 EMAB 于点 M，交 AC 于点 P， 则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值， 其 PE+PMPE+PMEM， 四边形 ABCD 是菱形， 点 E在 CD 上， AC6，BD6， AB3， 由 S菱形ABCDACBDABEM 得663EM， 解得：EM2， 即 PE+PM 的最小值是 2， 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 8 小题，前小题，前 3 题每小题题每小题 3
19、 分，后分，后 5 题每小题题每小题 3 分，共分，共 29 分不需要写出解答过程，分不需要写出解答过程， 请把最后结果填在题中横线上）请把最后结果填在题中横线上） 11截止到今天，世界上有 696 万人感染新冠病毒，请把 696 万用科学记数法表示 6.96106 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：696 万69600006.96106 故答案为：6.96106 12因式分解：a3b39a a（a2b39） 【分析】原式提取公因式即可 【解答】解：原式a（a2b39） 故答案为：a（a2b39） 13
20、设一元二次方程 x23x10 的两根分别是 x1，x2，则 x1+x2（x223x2） 3 【分析】由题意可知 x223x21，代入原式得到 x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题 【解答】解：一元二次方程 x23x10 的两根分别是 x1，x2， x123x110，x223x210，x1+x23， x223x21， x1+x2（x223x2）x1+x23， 故答案为 3 14 （4 分）圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则它的侧面积为 12 【分析】根据圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积 【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：rl2612， 故答案为：
21、12 15 （4 分）如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD2，AC3，则 sinB 的值是 【分析】首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 AB 的长度，然后根据锐角三角函数的定义求 出 sinB 即可 【解答】解：RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，CD2， AB2CD4， 则 sinB 故答案为： 16 （4 分）已知二次函数 y（xh）2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足1x3 时，与其对应的函数 值 y 的最小值为 4，则 h 的值为 3 或 5 【分析】由解析式可知该函数在 xh 时取得最小值 0，xh 时，y 随 x 的增大而增大；
22、当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；根据1x3 时，函数的最小值为 4 可分如下两种情况：若 h1x3，x 1 时，y 取得最小值 4；若1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 4，分别列出关于 h 的方程求解即 可 【解答】解：当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小， 若 h1x3，x1 时，y 取得最小值 4， 可得： （1h）24， 解得：h3 或 h1（舍） ； 若1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 4， 可得： （3h）24， 解得：h5 或 h1（舍） ； 若1h3 时，当 xh 时，y 取得最小值为 0，不是 4， 此种情况不符合题
23、意，舍去 综上，h 的值为3 或 5， 故答案为：3 或 5 17 （4 分）如图，在 RtABC 中，AB4，BC3，点 D 在斜边 AB 上，连接 CD 把ACD 沿直线 CD 翻 折， 使点 A 落在同一平面内的点 A处 当 AD 与 RtABC 的直角边垂直时， AD 的长为 1 或 【分析】由勾股定理得出 AC， 当 ADBC 时，则AAACB，ADAD，易证 ADAC，ACAB，BCH BAC，得出，求得 CH，AH，易证AHDCHB，得出，求 得 AD1，即 AD1； 当 ADAC 时，ADBC，则 ADAD，ACAC，ACDACD，推出ADCA CD，则 ADAC，得出 ADA
24、C 【解答】解：在 RtABC 中，AB4，BC3， AC， 如图 1，当 ADBC， 把ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的 A处， AAACB，ADAD， BCAC， ADAC，ACAB， BB， BCHBAC， ， 即：， CH， AH， AHDCHB， AHDCHB， ， 即：， 解得：AD1， AD1； 如图 2，当 ADAC 时，ADBC， 把ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的 A处， ADAD，ACAC，ACDACD， ADCACD， ADCACD， ADAC， ADAC， 综上所述：AD 的长为：1 或， 故答案为：1 或 18 （4 分）关于
25、 x 的一元二次方程 ax2+2xa+20 的两个不相等的实数根都在2 和 0 之间（不包括2 和 0） ，则 a 的取值范围是 a2 且 a1 【分析】 首先根据根的情况利用根的判别式解得 a 的取值范围， 然后根据根两个不相等的实数根都在2 和 0 之间（不包括2 和 0） ，结合函数图象确定其函数值的取值范围得 a，易得 a 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+2xa+20 的两个不相等的实数根， 224a（a+2）4a28a+44（a1）20， a1， 设 f（x）ax2+2xa+2， 根据题意知，当 a0 时， 如图 1， 由 f（2）0 且 f（0）0 可得，
26、 解得：a2； 当 a0 时，如图 2， 由 f（2）0 且 f（0）0 可得， 该不等式组无解； 综上，a 的取值范围是a2 且 a1， 故答案为：a2 且 a1 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 9 小题，共小题，共 91 分，需要写出解答过程分，需要写出解答过程 19解方程 先化简在求值，选择你最喜欢的一个数代入求值 【分析】根据解分式方程的步骤依次计算即可； 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定 x 的值，继而代入计算 即可得出答案 【解答】解：， ，即 x+3， 两边都乘以（x+3） ，得： （x+3）22， 解得 x13+，x23， 经检验
27、x13+，x23均是分式方程的解， 所以分式方程的解为 x13+，x23； 原式+ （x2）+ 1+ ， x2， 可取 x0， 则原式1 20列方程解应用题： 某列车平均提速 60km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶 200km，提速后比提速前多行驶 100km，求 提速前该列车的平均速度 【分析】设提速前列车的平均速度为 xkm/h，根据提速后，列车用相同时间比提速前多行驶 100km，列方 程求解 【解答】解：设提速前列车的平均速度为 xkm/h， 由题意得， 解得：x120， 经检验，x120 是原分式方程的解，且符合题意 答：提速前列车的平均速度为 120km/h 21某水果批发市
28、场新采购一批水果，有苹果，西瓜，香蕉和桃子 4 个品种，统计后将结果绘制成条形统 计图（如图） ，已知西瓜占这批水果的 40%，根据以上信息，回答下列问题： 求这批水果的总质量； 补全条形统计图； 若用扇形图表示结果，则苹果对应扇形的圆心角为 108 （写出计算过程） 【分析】根据西瓜的质量和所占的百分比，可以计算出这批水果的总质量； 根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出苹果的质量，然后即可将条形统计图补充完整； 根据统计图中的数据，可以计算出苹果对应扇形的圆心角的度数 【解答】解：160040%4000（kg） ， 即这批水果的总质量是 4000kg； 苹果的质量是：4000（160
29、0+1000+200）1200（kg） ， 补全的条形统计图如右图所示； 360108， 即果对应扇形的圆心角为 108， 故答案为：108 22如图，AD、AE 分别是ABC 的角平分线和高线 （1）若B50，C60，求DAE 的度数； （2）若CB，猜想DAE 与CB 之间的数量关系，并加以证明 【分析】 （1）由三角形内角和定理得出BAC70由角平分线定义得出BADDACBAC 35由直角三角形的性质得出BAE40，即可得出结果； （2）由直角三角形的性质得出EAC90C，由角平分线定义得出DACBAC，再由三角 形内角和定理即可得出结论 【解答】解： （1）在ABC 中，B50，C60
30、， BAC180506070 AD 是BAC 的角平分线， BADDACBAC35 又AE 是 BC 上的高， AEB90 在BAE 中，BAE90B905040， DAEBAEBAD40355 （2）DAE（CB） 理由如下： AE 是ABC 的高， AEC90， EAC90C， AD 是ABC 的角平分线， DACBAC BAC180BC， DAC（180BC） ， DAEDACEAC （180BC）（90C） （CB） 23已知：如图，AM 为O 的切线，A 为切点，过O 上一点 B 作 BDAM 于点 D，BD 交O 于点 C， OC 平分AOB （1）求AOB 的度数； （2）当O
31、的半径为 2cm，求 CD 的长 【分析】 （1）由 AM 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OA 与 AM 垂直，再由 BD 与 AM 垂直，得到 OA 与 BD 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由 OC 为角平分线得到一对角相等，以 及 OBOC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到BOCOBCOCB60，即可得 出答案； （2）过点 O 作 OEBD 于点 E，进而得出四边形 OADE 是矩形，得出 DC 的长即可 【解答】解： （1）AM 为圆 O 的切线， OAAM， BDAM， OADBDM90， OABD， AOCOCB， OBOC， OBCOCB， O
32、C 平分AOB， AOCBOC， BOCOCBOBC60， AOB120； （2）过点 O 作 OEBD 于点 E， BOCOCBOBC60， OBC 是等边三角形， BEEC1， OEDEDAOAD90， 四边形 OADE 是矩形， DEOA2， ECDC1 24已知，如图，正比例函数 yax 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A（3，2） （1）填空：a ；k 6 （2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中 0m3，过点 M 作直线 MBx 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线 ACy 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB 于点 D 当 BMDM 时，求ODM 的面积； 当 B
33、M2DM 时，求出直线 MA 的解析式 【分析】 （1）将 A 的坐标代入正比例函数解析式中，求出 a 的值；将 A 坐标代入反比例解析式中，即可 求出 k 的值； （2）由 A 的横坐标为 3，得到 BD3，当 BMDM 时，求出 m 的值，将 m 代入反比例解析式中求出 n 的值，确定出 M 坐标，三角形 ODM 以 MD 为底边，OB 为高，利用三角形的面积公式求出即可； 由 BM2DM 及 BD3，求出 m 的长，将 m 的值代入反比例解析式中求出 n 的值，确定出 M 坐标， 设直线 AM 的解析式为 ykx+b，将 A 与 M 的坐标代入得到关于 k 与 b 的方程组，求出方程组的
34、解得到 k 与 b 的值，即可求出直线 AM 的解析式 【解答】解： （1）将 A 的坐标代入正比例函数 yax 中得：23a，解得：a； 将 A 坐标代入反比例函数 y中得：2，解得：k6； 故答案为：；6； （2）由已知得 BD3，当 BMDM 时，m， 当 x时，y4，则 SODM43； 由已知得 BD3，当 BM2DM 时，m32， 当 x2 时，y3，即 M（2，3） ， 设直线 MA 的解析式为 ykx+b， 将 A（3，2） ，M（2，3）代入得：， 解得：， yx+5 25在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：yax22ax3a（a0）和点 A（0，3） ，将点 A 向右
35、平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，得到点 B （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线 C1的对称轴； （3）把抛物线 C1沿 x 轴翻折，得到一条新抛物线 C2，抛物线 C2与抛物线 C1组成的图象记为 G，若图 象 G 与线段 AB 恰有一个交点时，结合图象，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点 B 的坐标； （2）根据抛物线 C1：yax22ax3a（a0）可以求得该抛物线的对称轴； （3）根据翻折的性质和二次函数的性质可以求得 a 的取值范围，本题得以解决 【解答】解： （1）点 A（0，3） ，将点 A 向右平移 2 个单位，再
36、向上平移 5 个单位，得到点 B， 点 B 的坐标为（2，2） ； （2）抛物线 C1：yax22ax3a， 对称轴是直线 x1； （3）当抛物线 C1：yax22ax3a 过点 A（0，3）时， 此时3a3，得 a1， 对称轴是直线 x1， 当 x2 时，y3，点 B 在抛物线 C2下方，此时抛物线 C1与线段 AB 一个交点，抛物线 C2与线段 AB 没有交点， 当抛物线 C1：yax22ax3a 过点（0，2）时， 3a2，得 a， 对称轴是直线 x1， 当 x2 时，y2，点 B 在抛物线 C2上，此时抛物线 C1与线段 AB 一个交点，抛物线 C2与线段 AB 有 一个交点， a 的
37、取值范围是a1； 同理可得，当抛物线 C2：yax2+2ax+3a 过点 A（0，3）或（0，2）时，可以求得 a1 或 a ， a 的取值范围是1a， 由上可得，a 的取值范围是1a或a1 26如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E （1）求证：ABAFCBCD； （2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是线段 DE 上的动点设 DPx cm，梯形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式 y 是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由 【分析】 （1）先根据 ADCD，DEA
38、C 判断出 DE 垂直平分 AC，再由线段垂直平分线的性质及直角三 角形的性质可得出DCFDAFB，在 RtDCF 和 RtABC 中，DFCACB90，DCF B 可知DCFABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案； （2）先根据勾股定理求出 AC 的长，再由梯形的面积公式即可得出 x、y 之间的函数关系式； 由 EFBC，得AEFABC，由相似三角形的对应边成比例可求出 AB、EF 的长，进而可得出 AEFDEA 及 DF 的长，根据 DEDF+FE 可求出 DE 的长，由中的函数关系式即可得出结论 【解答】证明： （1）ADCD，DEAC， DE 垂直平分 AC， AFCF，DFA
39、DFC90，DAFDCF DABDAF+CAB90，CAB+B90， DCFDAFB 在 RtDCF 和 RtABC 中，DFCACB90，DCFB， DCFABC ，即， ABAFCBCD； （2）解：连接 PB， AB15，BC9，ACB90， AC12， CFAF6 y（x+9）63x+27； 由 EFBC，得AEFABC AEBEAB，EF 由EADAFE90，AEFDEA，得AEFDEA RtADF 中，ADCD10，AF6， DF8 DEDF+FE8+ y3x+27（0 x） ，函数值 y 随着 x 的增大而增大， 当 x时，y 有最大值，此时 y 27在平面直角坐标系 xOy 中
40、，点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ，且 x1x2，y1y2，若 P， Q 为某个矩形的两个顶点， 且该矩形的边均与某条坐标轴垂直， 则称该矩形为点 P， Q 的 “相关矩形” ， 如图为点 P，Q 的“相关矩形”示意图 （1）已知点 A 的坐标为（1，0） ， 若点 B 的坐标为（3，1） ，求点 A，B 的“相关矩形”的面积； 点 C 在直线 x3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2）O 的半径为，点 M 的坐标为（m，3） ，若在O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形” 为正方形，求 m 的取值范围 【分析】
41、 （1）由相关矩形的定义可知：要求 A 与 B 的相关矩形面积，则 AB 必为对角线，利用 A、B 两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积； 由定义可知，AC 必为正方形的对角线，所以 AC 与 x 轴的夹角必为 45，设直线 AC 的解析式为；y kx+b，由此可知 k1，再（1，0）代入 ykx+b，即可求出 b 的值； （2）由定义可知，MN 必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线 MN 与 x 轴的夹角为 45，由因为点 N 在圆 O 上，所以该直线 MN 与圆 O 一定要有交点，由此可以求出 m 的范围 【解答】解： （1）A（1，0） ，B（3
42、，1） 由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， 点 A，B 的“相关矩形”的面积为 212； 由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， 又点 A，C 的“相关矩形”为正方形 直线 AC 与 x 轴的夹角为 45， 设直线 AC 的解析为：yx+m 或 yx+n 把（1，0）分别 yx+m， m1， 直线 AC 的解析为：yx1， 把（1，0）代入 yx+n， n1， yx+1， 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 yx1 或 yx+1； （2）设直线 MN 的解析式为 ykx+b， 点 M，N 的“相关矩形”为正方
43、形， 由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45， k1， 点 N 在O 上， 当直线 MN 与O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 当 k1 时， 作O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行， 其中 A、C 为O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B， 连接 OA，OC， 把 M（m，3）代入 yx+b， b3m， 直线 MN 的解析式为：yx+3m ADO45，OAD90， ODOA2， D（0，2） 同理可得：B（0，2） ， 令 x0 代入 yx+3m， y3m， 23m2， 1m5， 当 k1 时，把 M（m，3）代入 yx+b， b3+m， 直线 MN 的解析式为：yx+3+m， 同理可得：23+m2， 5m1； 综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1m5 或5m1
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