1、2020-2021 学年甘肃省兰州市第四片区九年级（上）期中数学试卷学年甘肃省兰州市第四片区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1已知 5x6y（y0） ，那么下列比例式中正确的是（ ） A B C D 2x1 是下列哪个方程的解（ ） Ax10 B （x+1）20 C2 D2x+y1 3如图，直线 a，b，c 被直线 l1，l2所截，交点分别为点 A，C，E 和点 B，D，F已知 abc，且 AC 3，CE4，则的值是（ ） A B C D 4一元二次方程 x26x+50 配方后可化为（ ） A
2、 （x3）214 B （x+3）214 C （x3）24 D （x+3）24 5菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A四条边相等，四个角相等 B对角线相等 C对角线互相垂直 D两组对边分别平行且相等 6小明制作了 3 张卡片，分别涂上了红、黑、蓝三种颜色从这三张卡片中随机抽取两张恰好是“红蓝” 的概率是（ ） A B C D 7已知ABCABC，AB8，AB6，则（ ） A2 B C3 D 8已知一元二次方程 x22xm0 有两个实数根，那么 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 9如图，菱形 ABCD 的周长为 24cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD
3、 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长等于（ ） A3cm B4cm C2.5cm D2cm 10小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“锤子” 小红、小明获 胜的概率分别是 P1，P2，则下列结论正确的是（ ） AP1P2 BP1P2 CP1P2 DP1P2 11在菱形 ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点， （如图）则EAF 等于（ ） A75 B45 C60 D30 12股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价 的 10%后，便不能再跌，叫做跌停
4、已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价若这两天此 股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是（ ） A （1+x）2 B （1+x）2 C1+2x D1+2x 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13因式分解法解一元二次方程 x22x0，可化为两个一元一次方程，即 ， 14如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DEAC 于点 E，EDC：EDA1：2，且 AC10，则 EC 的长度是 15已知 a，b 可以取2，1，1，2 中的任意一个值（ab） ，则直线 yax+b 经过第一、二、四象
5、限的 概率是 16如图，等边ABC 的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP1，D 为 AC 上一点，若APD60，则 CD 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 12 小题，共小题，共 72 分）分） 17解方程：x22x+10 18如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF，DF求证：BFDF 19李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步 骤正确的顺序是 已知：如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，DFAC， 求证：ADEDBF 证明：又DFAC， DE
6、BC， ABDF， ADEB， ADEDBF 20端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家 的精装、简装两个品种的盒装粽子现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种 （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法求选购方案） ； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档粽子被选中的概率是多少？ 21已知长度为 x1，2，x+1，3 的线段成比例，求 x 的值 22不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2+x10； （2） （m1）x2+2x+30（其中 x 是未知数，且 m1） 23如图，在平面直角坐标系内有两点 A（
7、2，0） ，B（，0） ，CB 所在直线的方程为 y2x+b，连接 AC （1）求 b 的值； （2）求证：AOCCOB 24如图，已知 ACFEBD，求证：+1 25如图，在矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E，F 分别在 AB，CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使 点 A，D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1，D1处，求阴影部分图形的周长 26某农场要建立一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m） ，另三边用木栏围成，木栏长 40m设 平行于墙的边长为 xm，鸡场的面积为 S （1）试说明 S 能达到 180m2吗？能达到 250m2？（参考数据：3.2）
8、（2）填表，并通过下表请你表述 S 与 x 之间的关系： x（m） 5 10 15 20 25 S（m2） 27解方程（x1）25（x1）+40 时，我们可以将 x1 看成一个整体，设 x1y，则原方程可化为 y25y+40，解得 y11，y24当 y1 时，即 x11，解得 x2；当 y4 时，即 x14，解得 x 5，所以原方程的解为 x12，x25请利用这种方法求下列方程： （1） （2x+5）2（2x+5）20； （2）32x43x+30 28 【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 OAE 平分BAC，交 BC 于点 E作 DFAE 于点 H，分别交
9、AB，AC 于点 F，G （1）判断AFG 的形状并说明理由； （2）求证：BF2OG 【迁移应用】 （3）记DGO 的面积为 S1，DBF 的面积为 S2，当 S1：S21：3 时，求 AD：AB 的值 2020-2021 学年甘肃省兰州市第四片区九年级（上）期中数学试卷学年甘肃省兰州市第四片区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1已知 5x6y（y0） ，那么下列比例式中正确的是（ ） A B C D 【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两 项叫做比例的内项，根据两内
10、项之积等于两外项之积可得答案 【解答】解：A、，则 5y6x，故此选项错误； B、，则 5x6y，故此选项正确； C、，则 5y6x，故此选项错误； D、，则 xy30，故此选项错误； 故选：B 2x1 是下列哪个方程的解（ ） Ax10 B （x+1）20 C2 D2x+y1 【分析】此题可把 x1 的值，代入选项中，看选项左右边的值是否相等，若相等，则 x1 是方程 的解 【解答】解：将 x1 分别代入 A、B、C、D 四个选项中 A、左边20右边，故本选项不合题意； B、左边0右边，故本选项符合题意； C、左边22右边，故本选项不合题意； D、左边2+y1右边，故本选项不合题意； 故选：
11、B 3如图，直线 a，b，c 被直线 l1，l2所截，交点分别为点 A，C，E 和点 B，D，F已知 abc，且 AC 3，CE4，则的值是（ ） A B C D 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可 【解答】解：abc， ， ， 故选：C 4一元二次方程 x26x+50 配方后可化为（ ） A （x3）214 B （x+3）214 C （x3）24 D （x+3）24 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可 【解答】解：x26x5， x26x+94， （x3）24 故选：C 5菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A四条
12、边相等，四个角相等 B对角线相等 C对角线互相垂直 D两组对边分别平行且相等 【分析】根据菱形、矩形、正方形的边、角及对角线的性质逐个选项分析即可 【解答】解：A、矩形的四条边可能不相等，菱形的四个角可能不相等，故 A 不符合题意； B、菱形的对角线可能不相等，故 B 不符合题意； C、矩形的对角线可能不垂直，故 C 不符合题意； D、菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有两组对边分别平行且相等的性质，故 D 符合题 意 故选：D 6小明制作了 3 张卡片，分别涂上了红、黑、蓝三种颜色从这三张卡片中随机抽取两张恰好是“红蓝” 的概率是（ ） A B C D 【分析】先画出树状图，共有
13、6 个等可能的结果，随机抽取两张恰好是“红蓝”的结果有 2 个，然后由 概率公式即可得出答案 【解答】解：画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果，从这三张卡片中随机抽取两张恰好是“红蓝”的结果有 2 个， 从这三张卡片中随机抽取两张恰好是“红蓝”的概率， 故选：C 7已知ABCABC，AB8，AB6，则（ ） A2 B C3 D 【分析】直接利用相似三角形的性质求解 【解答】解：ABCABC， 故选：B 8已知一元二次方程 x22xm0 有两个实数根，那么 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于 0，列出关于 m 的不等
14、式，求出不等式的 解集即可得到 m 的范围 【解答】解：一元二次方程 x22xm0 有两个实数根， 4+4m0， 解得：m1 故选：B 9如图，菱形 ABCD 的周长为 24cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长等于（ ） A3cm B4cm C2.5cm D2cm 【分析】先求出菱形的边长 AB，再根据菱形的对角线互相平分判断出 OE 是ABD 的中位线，然后根据 三角形的中位线等于第三边的一半解答 【解答】解：菱形 ABCD 的周长为 24cm， 边长 AB2446cm， 对角线 AC、BD 相交于 O 点， BODO， 又E 是 A
15、D 的中点， OE 是ABD 的中位线， OEAB63cm 故选：A 10小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“锤子” 小红、小明获 胜的概率分别是 P1，P2，则下列结论正确的是（ ） AP1P2 BP1P2 CP1P2 DP1P2 【分析】 根据题意画出相应的树状图， 找出小红、 小明获胜的情况数， 进而求出 P1， P2的值， 比较即可 【解答】解：根据题意画出树状图，如图所示： 所有等可能的情况数有 6 种，其中小红获胜的情况有 2 种，小明获胜的情况有 2 种， 则 P1P2， 故选：A 11在菱形 ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F
16、，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点， （如图）则EAF 等于（ ） A75 B45 C60 D30 【分析】首先连接 AC，由四边形 ABCD 是菱形，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，且 E、F 分别为 BC、 CD 的中点， 易得ABC 与ACD 是等边三角形， 即可求得BD60， 继而求得BAD， BAE， DAF 的度数，则可求得EAF 的度数 【解答】解：连接 AC， AEBC，AFCD，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点， ABAC，ADAC， 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD， ABBCAC，ACCDAD， BD60， BAEDAF30，BAD180B
17、120， EAFBADBAEDAF60 故选：C 12股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价 的 10%后，便不能再跌，叫做跌停已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价若这两天此 股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是（ ） A （1+x）2 B （1+x）2 C1+2x D1+2x 【分析】 股票一次跌停就跌到原来价格的 90%， 再从 90%的基础上涨到原来的价格， 且涨幅只能10%， 所以至少要经过两天的上涨才可以设平均每天涨 x，每天相对于前一天就上涨到 1+x 【解答】解：假设股票的原价是 1，设平均每天涨 x
18、 则 90%（1+x）21， 即（1+x）2， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 13因式分解法解一元二次方程 x22x0，可化为两个一元一次方程，即 x0 ， x20 【分析】利用因式分解法解方程可确定两个一元一次方程 【解答】解：x22x0， x（x2）0， x0 或 x20 故答案为 x0，x20 14如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，DEAC 于点 E，EDC：EDA1：2，且 AC10，则 EC 的长度是 2.5 【分析】根据EDC：EDA1：2，可得EDC30，EDA60，进而得出 DCAC，进而 求得 CE 的长 【解答】解：四边形
19、 ABCD 是矩形， ADC90，ACBD10，OAOCAC5，OBODBD5， OCOD， ODCOCD， EDC：EDA1：2，EDC+EDA90， EDC30，EDA60， DEAC， DEC90， DAC30， DCAC5， ECDC2.5 故答案为：2.5 15已知 a，b 可以取2，1，1，2 中的任意一个值（ab） ，则直线 yax+b 经过第一、二、四象限的 概率是 【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出 a 与 b 都为正数，即为直线 yax+b 经过第一、二、四象 限的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解：列表如下： 2 1 1 2 2 （1，2） （1，2） （2，2
20、） 1 （2，1） （1，1） （2，1） 1 （2，1） （1，1） （2，1） 2 （2，2） （1，2） （1，2） 所有等可能的情况数有 12 种，其中直线 yax+b 经过第一、二、四象限的情况数有 4 种， 则 P 故答案为： 16如图，等边ABC 的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP1，D 为 AC 上一点，若APD60，则 CD 的长为 【分析】根据等边三角形性质求出 ABBCAC3，BC60，推出BAPDPC，证BAP CPD，得出，代入求出即可 【解答】解：ABC 是等边三角形， ABBCAC3，BC60， BAP+APB18060120， APD60， APB+D
21、PC18060120， BAPDPC， 即BC，BAPDPC， BAPCPD， ， ABBC3，CPBCBP312，BP1， 即， 解得：CD， 故答案为： 三解答题三解答题 17解方程：x22x+10 【分析】先找出方程中二次项系数 a，一次项系数 b 及常数项 c，再将 a，b 及 c 的值代入求根公式即可 求出原方程的解 【解答】解：x22x+10， a1，b2，c1， x1； x1+1，x21 18如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF，DF求证：BFDF 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定即可证明 【解答】证明：正方形 ABCD， ABBCC
22、DDA，ADCABC90， DACDCA45，BCABAC45， DCABCA， 在CDF 和CBF 中， ， CDFCBF（SAS） ， DFBF，即 BFDF 19李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步 骤正确的顺序是 已知：如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DEBC，DFAC， 求证：ADEDBF 证明：又DFAC， DEBC， ABDF， ADEB， ADEDBF 【分析】根据相似三角形的判定方法证明即可 【解答】解：DEBC， ADEB， DFAC， ABDF， ADEDBF 故答案为： 20端午
23、节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家 的精装、简装两个品种的盒装粽子现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种 （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法求选购方案） ； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档粽子被选中的概率是多少？ 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得甲厂家的高档粽子被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）树状图如下： 共有 6 种选购方案： （高，精） ， （高，简） ， （中，精） ， （中，简） ， （低，精） ，
24、 （低，简） ； （2）因为先选中高档粽子有 2 种方案，即（高，精） （高，简） ， 高档粽子被选中的概率是 21已知长度为 x1，2，x+1，3 的线段成比例，求 x 的值 【分析】根据四条线段成比例可得方程解答即可 【解答】解：根据线段成比例可得： （x1） ：2（x+1） ：3， 根据比例的基本性质，得：3（x1）2（x+1） ， 解得：x5 22不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2+x10； （2） （m1）x2+2x+30（其中 x 是未知数，且 m1） 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出240，由此可得出方程 2x2+30 没有 实数根； （2）分
25、三种情况讨论判断方程根的情况 【解答】解： （1）在方程 2x2+x10 中，1242（1）90， 方程 2x2+kx10 有两个不相等的实数根； （3）在方程（m1）x2+2x+30（其中 x 是未知数，且 m1）中，44（m1）31612m， 当0，即 1612m0 时，则 m且 m1 时，此时方程（m1）x2+2x+30 有两个不相等的实数 根 当0，即 1612m0 时，则 m，此时方程（m1）x2+2x+30 有两个相等实数根； 当0，即 1612m0 时，则 m，此时方程（m1）x2+2x+30 没有实数根 23如图，在平面直角坐标系内有两点 A（2，0） ，B（，0） ，CB 所
26、在直线的方程为 y2x+b，连接 AC （1）求 b 的值； （2）求证：AOCCOB 【分析】 （1）将 B 的坐标代入 CB 的解析式可得 b 的值，进而可得 C 的坐标； （2）根据 BC 的坐标，易得AOC 与COD 中，对应边的比值相等，再根据 OCAB，易得两个三角 形相似 【解答】解： （1）把 B（，0）代入 y2x+b 得 1+b0， 解得 b1； （2）b1， 直线 BC 的解析式为 y2x1， 当 x0 时，y1，则 C（0，1） ， A（2，0） ，B（，0） ，C（0，1） ， OA2，OC1，OB， 2， 又AOCCOB90， AOCCOB 24如图，已知 ACFE
27、BD，求证：+1 【分析】利用平行线分线段成比例定理证明即可 【解答】证明：ACEF， ， FEBD， ， +，得：， 即 25如图，在矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E，F 分别在 AB，CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使 点 A，D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1，D1处，求阴影部分图形的周长 【分析】根据折叠的性质，得 A1EAE，A1D1AD，D1FDF，则阴影部分的周长即为矩形的周长 【解答】解：根据折叠的性质，得：A1EAE，A1D1AD，D1FDF， 则阴影部分图形的周长矩形的周长2（10+5）30 26某农场要建立一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙
28、（墙长 25m） ，另三边用木栏围成，木栏长 40m设 平行于墙的边长为 xm，鸡场的面积为 S （1）试说明 S 能达到 180m2吗？能达到 250m2？（参考数据：3.2） （2）填表，并通过下表请你表述 S 与 x 之间的关系： x（m） 5 10 15 20 25 S（m2） 150 200 【分析】 （1）利用长方形的面积计算公式，可得出 Sx，当 S180 时，可得出关于 x 的一元二 次方程，解之即可求出 x 的值，进而可得出面积能达到 180m2；当 S250 时，可得出关于 x 的一元二次 方程，由根的判别式4000，可得出原方程无实数解，进而可得出面积不能达到 250m2
29、； （2）分别将 x5，x10，x15，x20，x25 代入 Sx，即可求出结论 【解答】解： （1）由题意可知，Sx 当 S180 时，有 x180， 整理得：x240 x+3600， 解得：x120+2（不合题意，舍去） ，x2202； 当 S250 时，有 x250， 整理得：x240 x+5000， （40）2415004000， 原方程无实数解， 面积不能达到 250m2 （2）当 x5 时，Sx； 当 x10 时，Sx150； 当 x15 时，Sx； 当 x20 时，Sx200； 当 x25 时，Sx 故答案为：；150；200； 27解方程（x1）25（x1）+40 时，我们可以
30、将 x1 看成一个整体，设 x1y，则原方程可化为 y25y+40，解得 y11，y24当 y1 时，即 x11，解得 x2；当 y4 时，即 x14，解得 x 5，所以原方程的解为 x12，x25请利用这种方法求下列方程： （1） （2x+5）2（2x+5）20； （2）32x43x+30 【分析】根据题意给出的方法以及根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解： （1）设 2x+5y，则原方程可化为 y2y20， （y2） （y+1）0， 解得 y12，y21 当 y2 时，即 2x+52，解得 x1.5； 当 y1 时，即 2x+51，解得 x3， 所以原方程的解为 x11.5，x2
31、3； （2）原方程可变形为（3x）243x+30， 设 3xt，则原方程可化为 t24t+30， 解得 t11，t23 当 t1 时，即 3x1，解得 x0； 当 t3 时，即 3x3，解得 x1， 所以原方程的解为 x10，x21 28 【性质探究】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 OAE 平分BAC，交 BC 于点 E作 DFAE 于点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G （1）判断AFG 的形状并说明理由； （2）求证：BF2OG 【迁移应用】 （3）记DGO 的面积为 S1，DBF 的面积为 S2，当 S1：S21：3 时，求 AD：AB 的值 【分析】 （
32、1）如图 1 中，AFG 是等腰三角形利用全等三角形的性质证明即可； （2）如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG首先证明 OGOL，再证明 BF 2OL，即可解决问题； （3）如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKACDA90，利用相似三角形的性质解决问题 即可 【解答】 （1）解：如图 1 中，AFG 是等腰三角形； 理由：AE 平分BAC， 12， DFAE， AHFAHG90， AHAH， AHFAHG（ASA） ， AFAG， AFG 是等腰三角形 （2）证明：如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFGOLG， AFAG， AFGAGF， AGFOGL， OGLOLG， OGOL， OLAB， DLODFB， ， 四边形 ABCD 是矩形， BD2OD， BF2OL， BF2OG； （3）解：如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKACDA90， DAKCAD， ADKACD， ， S1OGDK，S2BFAD， 又BF2OG， ， 设 CD2x，AC3x，则 ADx，
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