1、 2021 年中考数学考点训练几何专题圆的综合（四） 1（1）初步思考： 如图 1，在PCB中，已知PB2，BC4，N为BC上一点且BN1，试证明：PNPC （2）问题提出： 如图 2，已知正方形ABCD的边长为 4，圆B的半径为 2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小 值 （3）推广运用： 如图 3，已知菱形ABCD的边长为 4，B60，圆B的半径为 2，点P是圆B上的一个动点，求PD PC的最大值 2如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与O交于点D，E为O 上一点，且满足EACACB，连接BD，BE （1）求证：ABE2CBD； （2）过点D作AB
2、的垂线，垂足为F，若AE6，BF，求O的半径长 3如图，ABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F （1）若CADAED，求证：AC为O的切线； （2）若DE2EFEA，求证：AE平分BAD； （3）在（2）的条件下，若AD4，DF2，求O的半径 4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作Q交BD于点E，连接并 延长AE交x轴于点F，连接DF （1）求线段AE的长； （2）若ABBO2，求 tanAFC的值； （
3、3）若DEF与AEB相似，求EF的值 5如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与O 交于点F，延长BA到点G，使得BGFGBC，连接FG （1）求证：FG是O的切线； （2）若O的半径为 4 当OD3，求AD的长度； 当OCD是直角三角形时，求ABC的面积 6如图，在矩形ABCD中，AB6，BC9，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作ECD的外接O， 交AD于点F，交AE于点G，连接FG （1）求证AFGAED； （2）当BE的长为 时，AFG为等腰三角形； （3）如图，若BE1，求证：AB与O相切 7如图 RtABC中，ABC90，
4、P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作O交BC于点D，与AC的另 一个交点E，连接DE （1）当时， 若130，求C的度数； 求证ABAP； （2）当AB15，BC20 时 是否存在点P，使得BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长； 以D为端点过P作射线DH， 作点O关于DE的对称点Q恰好落在CPH内， 则CP的取值范围为 （直 接写出结果） 8已知：ABC是O的内接三角形，AB为直径，ACBC，D、E是O上两点，连接AD、DE、AE （1）如图 1，求证：AEDCAD45； （2）如图 2， 若DEAB于点H，过点D作DGAC于点G，过点E作EKAD于点K， 交AC于点F，求
5、证： AF2DG； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若CDFGAD，DK3，求O的半径 9如图 1，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是O外一点且满足DCAB，连接AD （1）求证：CD是O的切线； （2）若ADCD，AB10，AD8，求AC的长； （3）如图 2，当DAB45时，AD与O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明 10如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作O交AB于点F，连接DB交O于点H，E是BC上的一点， 且BEBF，连接DE （1）求证：DAFDCE （2）求证：DE是O的切线 （3）若BF2，DH，求四边形ABCD的面积 参考答案 1（
6、1）证明：如图 1， PB2，BC4，BN1， PB24，BNBC4 PB2BNBC 又BB， BPNBCP PNPC； （2）如图 2，在BC上取一点G，使得BG1， （3）同（2）中证法，如图 3， 取BG1， 当点P在DG的延长线上时，PDPC的最大值，最大值为 2解：（1）AB是O的直径， ADB90，即DAB+DBA90， BM是O的切线， ABBC， ABC90，即CBD+DBA90， DABCBD， ABC90， ACB90BAC， EACACB， EAC90BAC 90（EACBAE）， BAE2EAC90， AB是直径， AEB90， ABE90BAE 90（2EAC90）
7、2（90EAC） 2（90ACB） 2CAB 2CBD ABE2CBD； （2）如图，连接DO并延长交AE于点G， DOB2BAD， ABE2CAB， DOBABE， DGBE， AGOAEB90， AGEGAE3， AOGDOF， OAOD， AOGDOF（AAS） DFAG3， 又OFOBBFOD， 在 RtDOF中，根据勾股定理，得 OD2DF2+OF2， 即OD232+（OD）2， 解得OD 答：O的半径长为 3证明：（1）AB是直径， BDA90， DBA+DAB90， CADAED，AEDABD， CADABD， CAD+DAB90， BAC90， 即ABAC，且AO是半径， AC
8、为O的切线； （2）DE2EFEA， ，且DEFDEA， DEFAED， EDFDAE， EDFBAE， BAEDAE， AE平分BAD； （3）如图，过点F作FHAB，垂足为H， AE平分BAD，FHAB，BDA90， DFFH2， SABFABFHBFAD， 2AB4BF， AB2BF， 在 RtABD中，AB2BD2+AD2， （2BF）2（2+BF）2+16， BF，BF2（不合题意舍去） AB， O的半径为 4解：（1）点A（0，4）， AO4， AD是Q的直径， AEBAED90， AEBAOB90， BA垂直平分CD， BCBD ABOABE 在ABE和ABO中， ABEABO（
9、AAS） AEAO4； （2）设BOx，则ABx+2， 在 RtABO中，由AO2+OB2AB2得：42+x2（x+2）2， 解得：x3， OBBE3，AB5， EAB+ABE90，ACB+ABC90， EABACB， BFAAFC， BFAAFC ， 设EFx，则AF4+x，BF（4+x）， 在 RtBEF中，BE2+EF2BF2， 32+x2（4+x）2， 解得：x，即EF， tanAFC； （3）当DEFAEB时，BAEFDE， ADEFDE， BD垂直平分AF， EFAE4； 当DEFBEA时，ABEFDE， ABDF， ADFCAB90， DF相切Q， DAEFDE， 设Q交y轴于点
10、G，连接DG，作FHDG于H，如图所示： 则FDHDAG，四边形OGHF是矩形， OGFH， ABEABO， OABEAB， ABAD， DAECAO， CAODAE， DAEDAE， DAEDAGFDEFDH， AGAE4， EFFHOGAO+AG4+48， 综上所述，若DEF与AEB相似，EF的值为 4 或 8 5（1）证明：连接AF， BF为O的直径， BAF90，FAG90， BGF+AFG90， ABAC， ABCACB， ACBAFB，BGFABC， BGFAFB， AFB+AFG90，即OFG90， 又OF为半径， FG是O的切线； （2）解：连接CF，则ACFABF， ABAC
11、，AOAO，BOCO， ABOACO（SSS）， ABOBAOCAOACO， CAOACF， AOCF， ， 半径是 4，OD3， DF1，BD7， 3，即CDAD， ABDFCD，ADBFDC， ADBFDC， ， ADCDBDDF， ADCD7，即AD27， AD（取正值）； ODC为直角三角形，DCO不可能等于 90， 存在ODC90或COD90， 当ODC90时， ACOACF， ODDF2，BD6， ADCD， ADCDAD212， AD2，AC4， SABC4612； 当COD90时， OBOC4， OBC是等腰直角三角形， BC4， 延长AO交BC于点M， 则AMBC， MO2，
12、 AM4+2， SABC4（4+2）8+8， ABC的面积为 12或 8+8 6（1）证明：四边形FGED是O的内接四边形， FGE+ADE180， AGF+FGE180， AGFADE， 又GAFDAE， AFGAED； （2）解：由（1）得：AFGAED， 当AED为等腰三角形时，AFG为等腰三角形， 连接EF，如图所示： 四边形ABCD是矩形，AB6，BC9， CDAB6，ADBC9，BADABCBCDADC90， O是ECD的外接圆，ECD90， DE是O的直径， DFE90， AFE180DFE1809090， BAFABEAFE90， 四边形ABEF是矩形， AFBE，EFAB6，
13、 AED为等腰三角形，分三种情况： 当AEDE时， DFE90， AFDFAD9， BEAF； 当DEAD9 时， 在 RtDCE中，由勾股定理得：CE3， BEBCCE93； 当AEAD9 时， 在 RtABE中，由勾股定理得：BE3； 综上所述，当BE的长为或 93或 3时，AFG为等腰三角形， 故答案为：或 93或 3； （3）证明：过O作OHAB于点H，反向延长OH交CD于点I，如图所示： 则AHI90， 四边形ABCD是矩形， CDAB6，BCDBADADC90， AHIBADADC90， 四边形AHID为矩形， HIAD9，OID90， ECDOID， OICE， BCD90， D
14、E为直径， ODOE， OI是DCE的中位线， DICD3，OIEC， BE1，BC9， EC8， OI84， OHHIOI945， 在 RtDEC中，由勾股定理得：DE10， O的半径OD5 OH是O的半径， 又OHAB， AB与O相切 7（1）解：连接BE，如图 1 所示： BP是直径， BEC90， 130， 50， ， 100， CBE50， C40； 证明：， CBPEBP， ABE+A90，C+A90， CABE，APBCBP+C，ABPEBP+ABE， APBABP， APAB； （2）解：由AB15，BC20， 由勾股定理得：AC25， ABBCACBE， 即152025BE
15、BE12， 连接DP，如图 11 所示： BP是直径， PDB90， ABC90， PDAB， DCPBCA， ， CPCD， BDE是等腰三角形，分三种情况： 当BDBE时，BDBE12， CDBCBD20128， CPCD810； 当BDED时，可知点D是 RtCBE斜边的中线， CDBC10， CPCD10； 当DEBE时，作EHBC，则H是BD中点，EHAB，如图 12 所示： AE9， CEACAE25916，CHBCBH20BH， EHAB， ， 即， 解得：BH， BD2BH， CDBCBD20， CPCD7； 综上所述，BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为 10 或或 7；
16、 当点Q落在CPH的边PH上时，CP最小，如图 2 所示： 连接OD、OQ、OE、QE、BE， 由对称的性质得：DE垂直平分OQ， ODQD，OEQE， ODOE， ODOEQDQE， 四边形ODQE是菱形， PQOE， PB为直径， PDB90， PDBC， ABC90， ABBC， PDAB， DEAB， OBOP， OE为ABP中位线， PEAE9， PCACPEAE25997； 当点Q落在CPH的边PC上时，CP最大，如图 3 所示： 连接OD、OQ、OE、QD， 同理得：四边形ODQE是菱形， ODQE， 连接DF， DBA90， DF是直径， D、O、F三点共线， DFAQ， OF
17、BA， OBOF， OFBOBFA， PAPB， OBF+CBPA+C90， CBPC， PBPCPA， PCAC12.5， 7CP12.5， 故答案为：7CP12.5 8（1）证明：如图 1，连接CO，CE， AB是直径， ACB90， ACBC， BCAB45， COA2B90， ， CADCED， AEDCADAEDCEDAECCOA45， 即AEDCAD45； （2）如图 2，连接CO并延长，交O于点N，连接AN，过点E作EMAC于M， 则CAN90， ACBC，AOBO， CNAB， AB垂直平分CN， ANAC， NABCAB， AB垂直平分DE， ADAE， DABEAB， NA
18、BEABCABDAB， 即GADNAE， CANCME90， ANEM， NAEMEA， GADMEA， 又GAME90，ADEA， ADGEAM（AAS）， AGEM，AMDG， 又MEF+MFE90，MFE+GAD90， MEFGAD， 又GFME90， ADGEFM（ASA）， DGMF， DGAM， AFAM+MF2DG； （3）CDFGAD，FCDDCA， FCDDCA， CFDCDACBA， ACBC，AB为直径， ABC为等腰直角三角形， CFDCDACBA45， GFD为等腰直角三角形， 设GFGDa，则FDa，AF2a， ， FAKDAG，AKFG90， AFKADG， ，
19、在 RtAFK中， 设FKx，则AK3x， FK2+AK2AF2， x2+（3x）2（2a）2， 解得，xa（取正值）， FKa， 在 RtFKD中，FK2+DK2FD2， （a）2+32（a）2， 解得，a（取正值）， GFGD，AF， FCDDCA， ， CD2CAFC， CD2CG2+GD2， CG2+GD2CAFC， 设FCn， 则（n）2+（）2（+n）n， 解得，n， ACAF+CF+， ABAC， O的半径为 9（1）证明：连接OC，如图 1 所示： AB是O的直径， ACB90， OCOB， BOCB， DCAB， DCAOCB， DCODCA+OCAOCB+OCAACB90，
20、 CDOC， CD是O的切线； （2）解：ADCD ADCACB90 又DCAB ACDABC ，即， AC4， 即AC的长为 4； （3）解：ACBC+EC；理由如下： 在AC上截取AF使AFBC，连接EF、BE，如图 2 所示： AB是直径， ACBAEB90， DAB45， AEB为等腰直角三角形， EABEBAECA45，AEBE， 在AEF和BEC中， AEFBEC（SAS）， EFCE，AFEBCEACB+ECA90+45135， EFC180AFE18013545， EFCECF45， EFC为等腰直角三角形 CFEC， ACAF+CFBC+EC 10（1）证明：如图，连接DF，
21、 四边形ABCD为菱形， ABBCCDDA，ADBC，DABC， BFBE， ABBFBCBE， 即AFCE， DAFDCE（SAS）； （2）由（1）知，DAFDCE，则DFADEC AD是O的直径， DFA90，DEC90 ADBC， ADEDEC90， ODDE， OD是O的半径， DE是O的切线； （2）解：如图，连接AH， AD是O的直径， AHDDFA90， DFB90， ADAB，DH， DB2DH2， 在 RtADF和 RtBDF中， DF2AD2AF2，DF2BD2BF2， AD2AF2DB2BF2， AD2（ADBF）2DB2BF2， AD2（AD2）2（2）222， AD5 AH2 S四边形ABCD2SABD2AHBDAH2220即四边形ABCD的面积是 20
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