1、2019-2020 学年江苏省南通市如东县八年级（下）期末数学试卷学年江苏省南通市如东县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1下列图案是中心对称图形的是（ ） A B C D 2在函数 y中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 3下列不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是
2、（ ） AABCD，ADBC BOAOC，OBOD CABCD，ADBC DABCD，ADBC 4已知一次函数 ykx1，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 5正方形具有而矩形不具有的性质是（ ） A对角相等 B对角线互相平分 C对角线相等 D对角线互相垂直 6某校有 25 名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前 12 名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩， 她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这 25 名同学成绩的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 7 在如图44的正方形网格中， MNP
3、绕某点旋转一定的角度， 得到M1N1P1， 则其旋转中心可能是 （ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 8某农场 2017 年玉米产量为 100 吨，2019 年玉米产量为 169 吨，求该农场玉米产量的年平均增长率设 该农场玉米产量的年平均增长率为 x，则依题意可列方程为（ ） A100（1+x）2169 B169（1x）2100 C169（1+x）2100 D100（1x）2169 9如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停 下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行， 乙车原地返回 设 x 小时后两车间的距离为 y 千米， y
4、关于 x 的函数关系如图所示，则乙车的速度为（ ） A50 千米/小时 B45 千米/小时 C40 千米/小时 D35 千米/小时 10如图，已知菱形 ABCD 的边长为 6，点 M 是对角线 AC 上的一动点，且ABC120，则 MA+MB+MD 的最小值是（ ） A B3+3 C6+ D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，第小题，第 1113 小题每小题小题每小题 3 分，第分，第 1418 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 29 分不需写分不需写 出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11方程 x
5、22x 的解为 12在ABCD 中，A42，则C 13一组数据：2，3，4，5，6 的方差是 14 （4 分）已知一次函数 y2x1 的图象经过点（3，m） ，则 m 的值是 15 （4 分）已知 m、n 是方程 x22x50 的两个根，那么 m2+mn+2n 16 （4 分）如图，已知直线 l1：ykx+b 与直线 l2：ymx+n 相交于点 P（4，3） ，则关于 x 的不等式 mx+nkx+b 的解集为 17 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 点 F，若 CF2，FD4，则 BC 的长为 18 （4
6、分） 已知过点 P （m， km1） 的直线与函数 y|x3|的图象有两个交点， 则 k 的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 91 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 19 （10 分）解方程： （1）x2+2x3； （2）x（x4）82x 20 （10 分） “新型冠状病毒肺炎”疫情牵动着亿万国人的心，为进一步加强疫情防控工作，某校利用网络 平台进行疫情防控知识测试，测试题共 10 道题目，每小题 10 分小明同学对 801 和 802 两个班
7、各 40 名同学的测试成绩进行了整理和分析，数据如下： 801 班成绩频数分布直方图如图： 802 班成绩平均分的计算过程如下，80.5（分） ； 数据分析如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 801 82.5 m 90 158.75 802 80.5 75 n 174.75 根据以上信息，解决下列问题： （1）m ，n ； （2）你认为 班的成绩更加稳定，理由是 ； （3）在本次测试中，801 班甲同学和 802 班乙同学的成绩均为 80 分，你认为两人在各自班级中谁的成 绩排名更靠前？请说明理由 21 （10 分）已知直线 l1：y2x+4 分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，直线
8、l2经过直线 l1上的点 C（m，2） ， 且与 y 轴的负半轴交于点 D，若BCD 的面积为 3 （1）直接写出点 A，B，C 的坐标； （2）求直线 l2的解析式 22 （11 分）在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEDB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若DAB60，且 AB4，求 OE 的长 23 （11 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k1）x+k20 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若这个方程的两根为 x1，x2，且满足 x123x1x
9、2+x221，求 k 的值 24 （11 分）某商场以每件 220 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 280 元时，每天可售出 30 件， 为了迎接“618 购物节” ，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降 价 1 元，那么商场每天就可以多售出 3 件 （1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品 应降价多少元？ 25 （14 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，点 F 是 AE 的中点 （1）如图，若点 G，H 分别是 ED，BC 的
10、中点； 判断 FG 和 HC 之间的关系，并说明理由； 求证：DEHFHE； （2）如图，若 CEAC，连接 BF，DF求证：BFDF 26 （14 分）如图 1，平面内三点 O，M，N，如果将线段 OM 绕点 O 旋转 90得 ON，称点 N 是点 M 关于点 O 的“等直点” ，如果 OM 绕点 O 顺时针旋转 90得 ON，称点 N 是点 M 关于点 O 的“正等 直点” ，如图 1 （1）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 P（2，1） 在 P1（1，2） ，P2（2，1） ，P3（1，2）三点中， 是点 P 关于原点 O 的“等直点” ； 若直线 l1：ykx+4 交 y 轴于点
11、M，若点 N 是直线 l1上一点，且点 N 是点 M 关于点 P 的“等直点” ， 求直线 l1的解析式； （2）如图 3，已知点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 在直线 l2：y3x 上，若点 B 关于点 A 的“正等直点”C 在坐标轴上，D 是平面内一点，若四边形 ABCD 是平行四边形，直接写出点 D 的坐标 2019-2020 学年江苏省南通市如东县八年级（下）期末数学试卷学年江苏省南通市如东县八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，恰
12、有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1下列图案是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 2在函数 y中，自变量 x 的取值范围是
13、（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据被开方数是非负数，可得自变量 x 的取值范围 【解答】解：由题意，得 2x0， 解得 x2， 故选：D 3下列不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是（ ） AABCD，ADBC BOAOC，OBOD CABCD，ADBC DABCD，ADBC 【分析】根据平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可 【解答】解：如图所示： A、ABCD，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意； B、OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意； C、ABCD，ADBC， 四边形 ABCD 是等腰梯
14、形，故本选项符合题意； D、ABCD，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意， 故选：C 4已知一次函数 ykx1，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限 【分析】根据“一次函数 ykx1 且 y 随 x 的增大而增大”得到 k0，再由 k 的符号确定该函数图象所 经过的象限 【解答】解：一次函数 ykx1 且 y 随 x 的增大而增大， k0，该直线与 y 轴交于 y 轴负半轴， 该直线经过第一、三、四象限 故选：C 5正方形具有而矩形不具有的性质是（ ） A对角相等 B对角线
15、互相平分 C对角线相等 D对角线互相垂直 【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断 【解答】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等， 互相平分， 所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直 故选：D 6某校有 25 名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前 12 名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩， 她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这 25 名同学成绩的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 【分析】由于有 25 名同学参加比赛，要取前 12 名参加决赛，故应考虑中位数的大小 【解答】解：某校有 25 名同学参加比赛，取前 12 名参加
16、决赛， 成绩超过中位数（即第 13 名成绩）即可参加决赛， 她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这 25 名同学成绩的中位数， 故选：A 7 在如图44的正方形网格中， MNP绕某点旋转一定的角度， 得到M1N1P1， 则其旋转中心可能是 （ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【分析】连接 PP1、NN1、MM1，分别作 PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点 就是旋转中心 【解答】解：MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1， 连接 PP1、NN1、MM1， 作 PP1的垂直平分线过 B、D、C， 作 NN1的垂直平分线过 B、A， 作 MM1的垂直平
17、分线过 B， 三条线段的垂直平分线正好都过 B， 即旋转中心是 B 故选：B 8某农场 2017 年玉米产量为 100 吨，2019 年玉米产量为 169 吨，求该农场玉米产量的年平均增长率设 该农场玉米产量的年平均增长率为 x，则依题意可列方程为（ ） A100（1+x）2169 B169（1x）2100 C169（1+x）2100 D100（1x）2169 【分析】根据该农场 2017 年及 2019 年玉米的产量，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：依题意，得：100（1+x）2169 故选：A 9如图，设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙
18、车追上甲车后，两车停 下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行， 乙车原地返回 设 x 小时后两车间的距离为 y 千米， y 关于 x 的函数关系如图所示，则乙车的速度为（ ） A50 千米/小时 B45 千米/小时 C40 千米/小时 D35 千米/小时 【分析】设甲车的速度为 mkm/h，乙车的速度为 nkm/h，根据题意列出方程即可求出答案 【解答】解：设甲车的速度为 mkm/h，乙车的速度为 nkm/h， 由图象可知：， 解得：n45， 故选：B 10如图，已知菱形 ABCD 的边长为 6，点 M 是对角线 AC 上的一动点，且ABC120，则 MA+MB+MD 的最小值是（ ）
19、A B3+3 C6+ D 【分析】过点 D 作 DEAB 于点 E，连接 BD，根据垂线段最短，此时 DE 最短，即 MA+MB+MD 最小， 根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出 DE 的长，进而可得结论 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于点 E，连接 BD， 菱形 ABCD 中，ABC120， DAB60，ADABDCBC， ADB 是等边三角形， MAE30， AM2ME， MDMB， MA+MB+MD2ME+2DM2DE， 根据垂线段最短，此时 DE 最短，即 MA+MB+MD 最小， 菱形 ABCD 的边长为 6， DE3， 2DE6 MA+MB+MD 的最小值是 6 故
20、选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，第小题，第 1113 小题每小题小题每小题 3 分，第分，第 1418 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 29 分不需写分不需写 出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11方程 x22x 的解为 x10，x22 【分析】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解 【解答】解：x22x x22x0， x（x2）0， 解得：x10，x22， 故答案为：x10，x22 12在ABCD 中，A42，则C 42 【分析】由平行四边形的性质对角相等
21、，即可得出结果 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AC42， 故答案为：42 13一组数据：2，3，4，5，6 的方差是 2 【分析】根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差计算公式可以解答本题 【解答】解：， 2， 故答案为：2 14 （4 分）已知一次函数 y2x1 的图象经过点（3，m） ，则 m 的值是 5 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 m 的值，此题得解 【解答】解：一次函数 y2x1 的图象经过点（3，m） ， m2315 故答案为：5 15 （4 分）已知 m、n 是方程 x22x50 的两个根，那么 m2+mn+2n 4 【分析】根据根
22、与系数的关系得出 m+n2，mn5，根据 m22m50 求出 m25+2m，代入即可 【解答】解：m、n 是方程 x22x50 的两个根， m+n2，mn5，m22m50， m22m+5， m2+mn+2n 2m+5+mn+2n 5+22+5 4 故答案为：4 16 （4 分）如图，已知直线 l1：ykx+b 与直线 l2：ymx+n 相交于点 P（4，3） ，则关于 x 的不等式 mx+nkx+b 的解集为 x4 【分析】观察函数图象得到当 x4 时，直线 l2：ymx+n 在直线 l1：ykx+b 的下方，于是得到不等 式 mx+nkx+b 的解集 【解答】解：根据图象可知，不等式 mx+
23、nkx+b 的解集为 x4 故答案为 x4 17 （4 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 点 F，若 CF2，FD4，则 BC 的长为 4 【分析】首先过点 E 作 EMBC 于 M，交 BF 于 N，易证得ENGBNM（AAS） ，MN 是BCF 的中 位线，根据全等三角形的性质，即可求得 GNMN，由折叠的性质，可得 BG6，继而求得 BF 的值， 又由勾股定理，即可求得 BC 的长 【解答】解：过点 E 作 EMBC 于 M，交 BF 于 N， 四边形 ABCD 是矩形， AABC90，ADBC， EMB9
24、0， 四边形 ABME 是矩形， AEBM， 由折叠的性质得：AEGE，EGNA90， EGBM， 在ENG 与BNM 中， ， ENGBNM（AAS） ， NGNM， CMDE， E 是 AD 的中点， AEEDBMCM， EMCD， BN：NFBM：CM， BNNF， NMCF1， NG1， BGABCDCF+DF6， BNBGNG615， BF2BN10， BC4 故答案为：4 18 （4 分）已知过点 P（m，km1）的直线与函数 y|x3|的图象有两个交点，则 k 的取值范围为 k 1 【分析】由点 P（m，km1）可知：过点 P（m，km1）的直线恒过点（0，1） ，由于过点 P（
25、m，km 1）的直线与函数 y|x3|的图象有两个交点，结合图象即可求出 k 的范围 【解答】解：点 P（m，km1） ， m0 时，km11， 过点 P（m，km1）的直线恒过（0，1）， 设过点 P（m，km1）的直线 l 为 ykx1， 当直线 l 经过点（3，0）时，则 3k10， k， 过点 P（m，km1）的直线与函数 y|x3|的图象有两个交点， 直线不能与 yx3 平行， k1， k1， 故答案为：k1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 91 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明
26、、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 19 （10 分）解方程： （1）x2+2x3； （2）x（x4）82x 【分析】 （1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得 【解答】解： （1）x2+2x+14， （x+1）24， x+12，x+12， 则 x11，x23 （2）x（x4）+2（x4）0， （x+2） （x4）0， x+20，x40， 即 x12，x24 20 （10 分） “新型冠状病毒肺炎”疫情牵动着亿万国人的心，为进一步加强疫情防控工作，某校利用网络 平台进行疫情防控知识测试，测试题共 10 道题目，每小题 10 分小明同学对 801 和 802 两个班各 40 名
27、同学的测试成绩进行了整理和分析，数据如下： 801 班成绩频数分布直方图如图： 802 班成绩平均分的计算过程如下，80.5（分） ； 数据分析如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 801 82.5 m 90 158.75 802 80.5 75 n 174.75 根据以上信息，解决下列问题： （1）m 85 ，n 70 ； （2）你认为 801 班的成绩更加稳定，理由是 801 班成绩的方差小于 802 班的方差，说明波动小， 更稳定 ； （3）在本次测试中，801 班甲同学和 802 班乙同学的成绩均为 80 分，你认为两人在各自班级中谁的成 绩排名更靠前？请说明理由 【分析】 （1）
28、将 801 班的学生成绩排序后，计算中间位置的两个数的平均数即可得到中位数，从 802 班 的平均数的计算过程可得成绩为 70 分出现次数最多，因此众数是 70； （2）从方差的大小进行判断； （3）从甲、乙两位学生的成绩和所在班级的成绩的中位数进行比较得出答案 【解答】解： （1）将 40 名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为85， 因此中位数是 85，即 m85； 根据 802 班的平均数的计算可知，成绩为 70 分出现的次数最多，是 17 次， 因此众数是 70，即 n70； 故答案为：85，70； （2）801 班， 因为 801 班成绩的方差小于 802 班的方
29、差，说明波动小，更稳定； 故答案为：801 班，801 班成绩的方差小于 802 班的方差，说明波动小，更稳定； （3）乙同学， 因为 801 班的中位数大于 80 分，说明有一半以上的同学比甲成绩好， 而 802 班的中位数小于 80 分，说明乙同学比一半以上的同学成绩好， 所以乙同学在班级的排名更靠前 21 （10 分）已知直线 l1：y2x+4 分别与 x 轴，y 轴交于点 A，B，直线 l2经过直线 l1上的点 C（m，2） ， 且与 y 轴的负半轴交于点 D，若BCD 的面积为 3 （1）直接写出点 A，B，C 的坐标； （2）求直线 l2的解析式 【分析】 （1）根据图象上点的坐标
30、特征求得即可； （2）根据三角形 BCD 的面积求得 D 的坐标，然后根据待定系数法即可求得 【解答】解： （1）直线 l1：y2x+4 中，令 y0，则 2x+40，解得 x2， A（2，0） ， 令 x0，则 y4， B（0，4） ， 直线 l1：y2x+4 经过 C（m，2） ， 22m+4，解得 m1， C（1，2） ； （2）SBCDBD|xC|3 且 C（1，2） ， BD13 BD6， 点 D 在 y 轴的负半轴上，且 B 为（0，4） D（0，2） ， 设直线 l2的解析式为 ykx+b（k0） ， 直线 l2过 C（1，2） ，D（0，2） ， 解得， 直线 l2的解析式为
31、y4x2 22 （11 分）在四边形 ABCD 中，ABDC，ABAD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CEDB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若DAB60，且 AB4，求 OE 的长 【分析】 （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可 【解答】证明： （1）ABDC， CABACD AC 平分BAD， CABCAD CADACD， DADC ABAD， ABDC 四边形 ABCD 是平行四边形 ABAD， 四边形 ABCD 是菱形； （2）四边形 ABCD
32、是菱形，DAB60， OAB30，AOB90 AB4， OB2，AOOC2 CEDB， 四边形 DBEC 是平行四边形 CEDB4，ACE90 23 （11 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k1）x+k20 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若这个方程的两根为 x1，x2，且满足 x123x1x2+x221，求 k 的值 【分析】 （1）根据根的判别式和非负数的性质即可求解； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到 x1+x21k，x1x2k2，再将它们代入 x12 3x1x2+x221，即可求出 k 的值 【解答】解： （1）（k1）24（k2）（k3）2， （k3）
33、20， 0， 此方程总有两个实数根 （2）由根与系数关系得 x1+x21k，x1x2k2， x123x1x2+x221， （x1+x2）25x1x21， （1k）25（k2）1， 解得 k12，k25 由（1）得无论 k 取何值方程总有两个实数根， k 的值为 2 或 5 24 （11 分）某商场以每件 220 元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 280 元时，每天可售出 30 件， 为了迎接“618 购物节” ，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降 价 1 元，那么商场每天就可以多售出 3 件 （1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场
34、每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品 应降价多少元？ 【分析】 （1）根据总利润单件利润销售数量解答； （2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结 论 【解答】解： （1） （280220）301800 （元） 降价前商场每天销售该商品的利润是 1800 元 （2）设每件商品应降价 x 元， 由题意，得 （280 x220） （30+3x）18002， 解得 x120，x230 要更有利于减少库存， x30 答：每件商品应降价 30 元 25 （14 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长
35、线上一点，点 F 是 AE 的中点 （1）如图，若点 G，H 分别是 ED，BC 的中点； 判断 FG 和 HC 之间的关系，并说明理由； 求证：DEHFHE； （2）如图，若 CEAC，连接 BF，DF求证：BFDF 【分析】 （1）证明 FG 是AED 的中位线，得出 FGAD，FGAD，由 H 是 BC 的中点，得出 CH BC，由矩形的性质得 ADBC，ADBC，即可得出 FGHC，FGHC； 由直角三角形斜边上的中线性质得 CGDEGE，则GEHGCE，由结论得四边形 FHCG 是平行四边形，得出 FHGC，则FHEGCE，即可得出结论； （2）连接 FC，由直角三角形斜边上中线性质
36、得出 BFAEAF，由 SAS 证得BFCAFD，得出 BFCAFD， 由等腰三角形的性质得 CFAE， 即CFD+AFD90， 推出CFD+BFC90， 即可得出结论 【解答】 （1）解：判断：FGHC，FGHC；理由如下： 点 F，G 分别是 AE，DE 的中点， FG 是AED 的中位线， FGAD，FGAD， H 是 BC 的中点， CHBC， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC， FGHC，FGHC； 证明：四边形 ABCD 是矩形， BCD90 G 是 DE 的中点， CGDEGE， GEHGCE， FGHC，FGHC， 四边形 FHCG 是平行四边形， FHGC， F
37、HEGCE， GEHFHE，即DEHFHE； （2）证明：连接 FC，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， BADABC90，ADBC， ABE90 F 是 AE 的中点， BFAEAF， FBAFAB， FBCFAD， 在BFC 和AFD 中， BFCAFD（SAS） BFCAFD CEAC，F 是 AE 的中点， CFAE， CFD+AFD90， CFD+BFC90， BFDF 26 （14 分）如图 1，平面内三点 O，M，N，如果将线段 OM 绕点 O 旋转 90得 ON，称点 N 是点 M 关于点 O 的“等直点” ，如果 OM 绕点 O 顺时针旋转 90得 ON，称点 N 是点
38、M 关于点 O 的“正等 直点” ，如图 1 （1）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 P（2，1） 在 P1（1，2） ，P2（2，1） ，P3（1，2）三点中， P1，P3 是点 P 关于原点 O 的“等直点” ； 若直线 l1：ykx+4 交 y 轴于点 M，若点 N 是直线 l1上一点，且点 N 是点 M 关于点 P 的“等直点” ， 求直线 l1的解析式； （2）如图 3，已知点 A 的坐标为（2，0） ，点 B 在直线 l2：y3x 上，若点 B 关于点 A 的“正等直点”C 在坐标轴上，D 是平面内一点，若四边形 ABCD 是平行四边形，直接写出点 D 的坐标 【分析】 （1）
39、将 OP 顺时针旋转 90或逆时针旋转 90，求出旋转后点 P 的对应点坐标，即可求解； 分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质可求点 N 坐标，代入解析式，可求解； （2）分点 C 在 x 轴上和点 C 在 y 轴上，由平行四边形的性质可求解 【解答】解： （1）如图 2，连接 OP，作 PFy 轴，将 OP 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OE，过点 E 作 EHy 轴， PF2，OF1，PFOEHO90， 将 OP 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OE， OPOE，POE90， POF+EOH90， POF+FPO90， FPOEOH， 又PFOEHO90，OEOP， PFOOHE（
40、AAS） ， HEOF1，PFOH2， 点 E（1，2） ， 将 OP 绕点 O 顺时针旋转 90得到 OG， 同理可求点 G（1，2） ， P1，P3是点 P 关于原点 O 的“等直点” ， 故答案为：P1，P3； ykx+4 交 y 轴于点 M， 点 M（0，4） ， 点 N 是点 M 关于点 P 的“等直点” ， MPNP，MPNP， 如图，当线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90得 PN，过 P 作 PQy 轴于点 Q，NKPQ 交 QP 的延长线于 点 K， 则MQPNKP90， QMP+QPMQPM+NPK90， QMPKPN， MPQPNK（AAS） ， MQPK413，PQNK
41、2， 点 N（5，3） ， 点 N 是直线 l1上一点， 35k+4， 解得 k， 直线 l1的解析式为：yx+4， 当线段 MP 绕点 P 逆时针旋转 90得 PN， 同理可得点 N（1，1） ， 1k+4， 解得 k5， 直线 l1的解析式为：y5x+4， 综上所述：直线 l1的解析式为 yx+4 或 y5x+4； （2）如图 3，当点 C 在 x 轴上时， 点 A 的坐标为（2，0） ， OA2， 点 C 是点 B 关于点 A 的“正等直点” ， BAC90，ABAC， 点 B 的横坐标为 2， 点 B 的坐标（2，6） ， AB6AC， OC8， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD6， 点 D（8，6） ； 若点 C 在 y 轴上时，过点 B 作 BEx 轴于 E， 点 C 是点 B 关于点 A 的“正等直点” ， BAC90，ABAC， BAE+CAO90， 又CAO+ACO90， BAEACO， 又ACAB，AOCAEB90， ACOABE（AAS） ， BEAO2，AEOC， 点 B 的纵坐标为2， 点 B 坐标为（，2） ， EO， CO2+， 点 C（0，） ， 设点 D（x，y） ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 互相平分， ， 点 D（，） ， 综上所述：点 D 坐标为（8，6）或（，）
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