1、2019-2020 学年江苏省苏州市张家港市九年级（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市张家港市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 小题小题.每小题每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内）要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内） 1如果 3a2b（ab0） ，那么比例式中正确的是（ ） A B C D 2抛物线 y（x2）2+1 的顶点坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，
2、1） 3用配方法解方程 x22x80 时，配方后得到的方程为（ ） A （x+1）27 B （x1）27 C （x+1）29 D （x1）29 4在ABC 中，C90若 sinA，则 tanB 的值为（ ） A B C D3 5化简： （1+）的结果为（ ） A B C D 6如图，在ABC 中，DEBC，AD9，DB3，CE2，则 AC 的长为（ ） A6 B7 C8 D9 7如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE如果 A70，那么DOE 的度数为（ ） A35 B38 C40 D42 8如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列
3、图形中的三角形（阴影部分）与A1B1C1相似的是（ ） A B C D 9如图，在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC2，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 的长为半径作 半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（ ） A B+ C2 D4 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，结合图象分析 下列结论：abc0； 3a+c0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1，x2；若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m 3 且 n2，其中正确的结论有
4、（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把你的答案填在答题卷相应的横线上）把你的答案填在答题卷相应的横线上） 11计算： 12比较大小：2sin60+tan45 4cos60（用“”或“”或“”连接） 13圆锥的底面半径为 5cm，母线长为 12cm，其侧面积为 cm2 14已知二次函数 yax2+bx+c 与一次函数 yx 的图象如图所示，则不等式 ax2+（b1）x+c0 的解集 为 15如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BOD100，则BCD 16如图，D，E
5、分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DEAC，AE，CD 相交于点 O，若 SDOE：SCOA 1：9，则 SDBE与 SOCE的比是 17如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 x，y 的正半轴上，以 AB 所在的直线为对称轴将ABO 翻折，使点 O 落在点 C 处，若点 C 的坐标为（4，8） ，则AOC 的外接圆半径为 18如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，AB4，CAAB，PDAC 于点 D，连接 AP，设 AP 的 中点为 E，若 APx，DEDPy，则 y 的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题小题.共共 76 分，把解答过程写
6、在答题卷相应的位置上分，把解答过程写在答题卷相应的位置上.解答时应写出必要的计算过解答时应写出必要的计算过 程、推演步骤或文字说明）程、推演步骤或文字说明） 19 （5 分）已知：二次函数 yx2+bx3 的图象经过点 A（2，5） （1）求二次函数的解析式， （2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标 20 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A、B、C 作一圆弧 （1）直接写出该圆弧所在圆的圆心 D 的坐标； （2）求的长（结果保留 ） 21 （6 分）在 RtABC 中，C90，A60，AB4，解这个直角三角形 22 （6 分）如图，在ABC 中，B90，AB4，BC2，以 AC
7、 为边作ACE，ACE90，AC CE，延长 BC 至点 D，使 CD5，连接 DE求证：ABCCED 23 （8 分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 D 处测得楼房顶部 A 的仰 角为 30，沿坡面向下走到坡脚 C 处，然后在地面上沿 CB 向楼房方向继续行走 10 米到达 E 处，测得 楼房顶部 A 的仰角为 60已知坡面 CD10 米，山坡的坡度 i1：（坡度是指坡面的铅直高度与 水平宽度的比） （1）求点 D 离地面高度（即点 D 到直线 BC 的距离） ； （2）求楼房 AB 高度 （结果保留根式） 24 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上
8、一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，ADEC 交 EC 的延长线于点 D，连接 AC （1）求证：AC 平分DAE； （2）若 cosDAE，BE2，求O 的半径 25 （8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧） （1）如图 1，若抛物线的对称轴为直线 x3，AB4 点 A 的坐标为（ ， ） ，点 B 的坐标为（ ， ） ； 求抛物线的函数表达式； （2）如图 2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经 过点 O，且与 x 正半轴交于点 C，记平移后的抛物线顶点为 P
9、，若OCP 是等腰直角三角形，求点 P 的 坐标 26 （10 分）如图，线段 AB 经过O 的圆心，交O 于 A，C 两点，BC1，AD 为O 的弦，连接 BD， BADABD30，连接 DO 并延长交O 于点 E，连接 BE 交O 于点 M （1）求证：直线 BD 是O 的切线； （2）求切线 BD 的长； （3）求线段 BM 的长 27 （10 分）如图，抛物线 ya（x1） （x3） （a0）与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使OCAOBC （1）求线段 OC 的长度； （2）设直线 BC 与 y 轴交于点 D，点 C 是 BD 的中点时，求直线 B
10、D 和抛物线的解析式， （3）在（2）的条件下，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一点，过 P 作 PEBC 于点 E，作 PFAB 交 BD 于点 F，是否存在一点 P，使得 PE+PF 最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由 28 （10 分）如图 1，在ABCD 中，AB3cm，BC5cm，ACAB，ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到 PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当PNM 停止平 移时，点 Q 也停止移动，如图 2，设移动时间为 t（s） （04） ，连结 PQ，MQ，解答下列问题： （1）当 t
11、为何值时，PQMN？ （2）当 t 为何值时，CPQ45？ （3）当 t 为何值时，PQMQ？ 2019-2020 学年江苏省苏州市张家港市九年级（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市张家港市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 小题小题.每小题每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内）要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内） 1如果 3a2b（ab0） ，那么比例式中正确
12、的是（ ） A B C D 【分析】先逆用比例的基本性质，把 3a2b 改写成比例的形式，使相乘的两个数 a 和 3 做比例的外项， 则相乘的另两个数 b 和 2 就做比例的内项；进而判断得解 【解答】解：3a2b， a：b2：3，b：a3：2， 即 a：2b：3， 故 A，B 均错误，C 正确，D 错误 故选：C 2抛物线 y（x2）2+1 的顶点坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 【分析】抛物线的顶点式为：ya（xh）2+k，其顶点坐标是（h，k） ，可以确定抛物线的顶点坐标 【解答】解：抛物线 y（x2）2+1 是以抛物线的顶点式给出的， 其顶点
13、坐标为： （2，1） 故选：A 3用配方法解方程 x22x80 时，配方后得到的方程为（ ） A （x+1）27 B （x1）27 C （x+1）29 D （x1）29 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤求解可得 【解答】解：x22x80， x22x8， 则 x22x+18+1，即（x1）29， 故选：D 4在ABC 中，C90若 sinA，则 tanB 的值为（ ） A B C D3 【分析】根据 sinA，假设 BCx，AB3x，得出 ACx，再利用锐角三角函数的定义得出 tanB 的值 【解答】 ：在 RtABC 中，C90，sinA， 假设 BCx，AB3x， AC2x tanB2
14、 故选：B 5化简： （1+）的结果为（ ） A B C D 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得 到结果 【解答】解：原式 故选：C 6如图，在ABC 中，DEBC，AD9，DB3，CE2，则 AC 的长为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例性质求出 AE，然后计算 AE+EC 即可 【解答】解：DEBC， ，即， AE6， ACAE+EC6+28 故选：C 7如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE如果 A70，那么DOE 的度数为
15、（ ） A35 B38 C40 D42 【分析】连接 CD，由圆周角定理得出BDC90，求出ACD90A20，再由圆周角定理 得出DOE2ACD40即可， 【解答】解：连接 CD，如图所示： BC 是半圆 O 的直径， BDC90， ADC90， ACD90A20， DOE2ACD40， 故选：C 8如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与A1B1C1相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可 【解答】解：因为A1B1C1中有一个角是 135，选项中，有 135角的三角形只有 B，且满足两边成比 例夹角相等， 故选：B 9如图，在
16、RtABC 中，ABC90，AB2，BC2，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 的长为半径作 半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（ ） A B+ C2 D4 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得 DE 的长、DOB 的度数，然后根据图形可知阴影部 分的面积是ABC 的面积减去AOD 的面积和扇形 BOD 的面积，从而可以解答本题 【解答】解：在 RtABC 中，ABC90，AB2，BC2， tanA， A30， DOB60， ODAB， DE， 阴影部分的面积是：， 故选：A 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x，结合
17、图象分析 下列结论：abc0； 3a+c0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1，x2；若 m，n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m 3 且 n2，其中正确的结论有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从 而可以解答本题 【解答】解：由函数图象可得， a0，b0，c0， 则 abc0，故正确； ，得 ab， x3 时，y9a3b+c0， 6a+c0， c6a， 3a+c3a6a3a0，故正确； 由图象可知，当 x时
18、，y 随 x 的增大而增大，当x0 时，y 随 x 的增大而减小，故错误； 抛物线 yax2+bx+c（a0）与 X 轴交于点（3，0） ，其对称轴为直线 x， 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为（2，0） ， ax2+bx+c0 的两个根为 x13，x22， a+b+c（）20 的两个根为 x13，x22， 一元二次方程 cx2+bx+a0 的两根分别为 x1，x2，故正确； 该函数与 x 轴的两个交点为（3，0） ， （2，0） ， 该函数的解析式可以为 ya（x+3） （x2） ， 当 y3 时，3a（x+3） （x2） 当 y3 对应的 x 的值一个小于3，一个大于 2， 若 m，
19、n（mn）为方程 a（x+3） （x2）+30 的两个根，则 m3 且 n2，故错误； 故选：A 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把你的答案填在答题卷相应的横线上）把你的答案填在答题卷相应的横线上） 11计算： 6 【分析】根据有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可 【解答】解：原式4（）6， 故答案为：6 12比较大小：2sin60+tan45 4cos60（用“”或“”或“”连接） 【分析】首先代入特殊角的三角函数值计算出 2sin60+tan45和 4cos60的值，再比较大小
20、即可 【解答】解：2sin60+tan452+11， 4cos6042， 1， 12， 2sin60+tan454cos60， 故答案为： 13圆锥的底面半径为 5cm，母线长为 12cm，其侧面积为 60 cm2 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解 【解答】解：圆锥的侧面积2512260 故答案为：60 14已知二次函数 yax2+bx+c 与一次函数 yx 的图象如图所示，则不等式 ax2+（b1）x+c0 的解集为 1x3 【分析】根据当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 ax2+bx+cx，继而可求得答案 【解答】解：当 1x3 时，二次函数值小于一
21、次函数值， ax2+bx+cx， ax2+（b1）x+c0 不等式 ax2+（b1）x+c0 的解集为 1x3， 故答案为 1x3 15如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BOD100，则BCD 130 【分析】先根据圆周角定理求出A 的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论 【解答】解：BOD100， A50 四边形 ABCD 是圆内接四边形， BCD18050130 故答案为：130 16如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DEAC，AE，CD 相交于点 O，若 SDOE：SCOA 1：9，则 SDBE与 SOCE的比是 2：3 【分析】 根据相似三角形的判
22、定定理得到DOECOA， 根据相似三角形的性质定理得到， 从而可得到 BE：EC1：2，求出 SBDE：SCDEBE：EC，即可得出答案 【解答】解：DEAC， DOECOA， 又SDOE：SCOA1：9， ， 即 SOCESDEC， DEAC， ABEBCA， ， 即 SDEC2SBED， SDBE与 SOCE的比是SDEC：SDEC2：3， 故答案为：2：3 17如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 x，y 的正半轴上，以 AB 所在的直线为对称轴将ABO 翻折，使点 O 落在点 C 处，若点 C 的坐标为（4，8） ，则AOC 的外接圆半径为 【分析】先确定三角形外接圆的圆心，再
23、根据已知条件和勾股定理分别求出 OC、OB 和 AO 的长，进而 可以求出外接圆的半径 【解答】解：如图， 过点 C 作 CEy 轴于点 E， 连接 OC 交 AB 于点 D， 根据翻折可知：AB 是 OC 的垂直平分线， 作 AO 的垂直平分线交 AB 于点 O， 则点 O即为AOC 的外心， 设 OBCBx， 点 C（4，8） CE4，OE8， 则 OC4 CDOD2， EB8x， 在 RtCEB 中，根据勾股定理，得 x2（8x）2+42，解得 x5， 即 OBBC5， BD OD2BDAD AD4 设 OOAOr， 则 DO4r， （4r）2+（2）2r2 解得 r 所以AOC 的外接
24、圆半径为： 故答案为： 18如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，AB4，CAAB，PDAC 于点 D，连接 AP，设 AP 的 中点为 E，若 APx，DEDPy，则 y 的最大值为 【分析】连接 BP，易证PDAAPB，得到，那么 DPx2，由 PDAC，AP 的中点为 E， 可得 DEAPx，结合条件得到 yxx2，配方即可得到 y 的最大值 【解答】解：连接 BP AB 为直径， APB90，PAB+B90， CAAB， PAB+PAD90， BPAD PDAC， PDA90 在PDA 与APB 中， ， PDAAPB， ， APx，AB4， DPx2， PDAC，AP 的中
25、点为 E， DEAPx， DEDPy， yxx2（x1）2+， y 的最大值为 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题小题.共共 76 分，把解答过程写在答题卷相应的位置上分，把解答过程写在答题卷相应的位置上.解答时应写出必要的计算过解答时应写出必要的计算过 程、推演步骤或文字说明）程、推演步骤或文字说明） 19 （5 分）已知：二次函数 yx2+bx3 的图象经过点 A（2，5） （1）求二次函数的解析式， （2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标 【分析】 （1）将 A（2，5）代入 yx2+bx3，求得 b 值，则二次函数的解析式可得； （2）令 y0，解得
26、x 值，则二次函数的图象与 x 轴的交点坐标可得 【解答】解： （1）将 A（2，5）代入 yx2+bx3 得 54+2b3 解得：b2 二次函数的解析式为 yx2+2x3 （2）令 yx2+2x30 则： （x1） （x+3）0 解得：x13，x21 二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为（3，0） 、 （1，0） 20 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A、B、C 作一圆弧 （1）直接写出该圆弧所在圆的圆心 D 的坐标； （2）求的长（结果保留 ） 【分析】 （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点 即为圆心； （2）利用弧长公
27、式即可求解 【解答】解： （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心 如图所示，则圆心是（2，0） （2）弧 AC 的半径是 圆心角是 90， 则弧 AC 长是 21 （6 分）在 RtABC 中，C90，A60，AB4，解这个直角三角形 【分析】 先利用直角三角形中两锐角互余， 计算出B 的度数， 根据正弦的定义分别计算 AC、 BC 的长 【解答】解：RtABC 中，C90，A60， B90A30， sinB， AC4sin302， sinA， BC4sin606 22 （6 分）如图，在ABC 中，B90，AB4，BC2，以
28、AC 为边作ACE，ACE90，AC CE，延长 BC 至点 D，使 CD5，连接 DE求证：ABCCED 【分析】先利用勾股定理计算出 AC2，则 CE2，所以，再证明BACDCE然 后根据相似三角形的判定方法可判断ABCCED 【解答】证明：B90，AB4，BC2， AC2， CEAC， CE2， CD5， ， ， B90，ACE90， BAC+BCA90，BCA+DCE90 BACDCE ABCCED 23 （8 分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 D 处测得楼房顶部 A 的仰 角为 30，沿坡面向下走到坡脚 C 处，然后在地面上沿 CB 向楼房方向继续行走
29、 10 米到达 E 处，测得 楼房顶部 A 的仰角为 60已知坡面 CD10 米，山坡的坡度 i1：（坡度是指坡面的铅直高度与 水平宽度的比） （1）求点 D 离地面高度（即点 D 到直线 BC 的距离） ； （2）求楼房 AB 高度 （结果保留根式） 【分析】 （1）根据坡比度 i1：及 CD 的长，可求出点 D 离地面的高度； （2）在两个直角三角形中，分别用 AB 表示 BE、DG，建立方程求解即可 【解答】解： （1）过 D 作 DFBC，垂足为 F， i1：， DF：FC1：，CD10， DF5， 即点 D 离地面的高度为 5 米 （2）由（1）得，CF5， 过点 D 作 DGAB，
30、垂足为 G， 设 ABx，则 AGx5， 在 RtABE 中，BEx， 在 RtADG 中，DG（x5） ， 由 DGFC+CE+BE 得， （x5）5+10+x， 解得，x15+5， 答：AB 的高度为（15+5）米 24 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，ADEC 交 EC 的延长线于点 D，连接 AC （1）求证：AC 平分DAE； （2）若 cosDAE，BE2，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质得出 OCDE，求出 OCAD，根据平行线的性质和等腰三角形 的判定求出OACDAC，根据角平分线的定义
31、得出即可； （2）求出DAECOE，解直角三角形求出即可 【解答】 （1）证明：连接 OC， DE 是O 的切线， OCDE， ADDE， OCAD， OCADAC， OAOC， OCAOAC， DACOAC， AC 平分DAE； （2）解：设O 的半径为 r， OCAD， DAECOE， cosDAEcosCOE，BE2， ， 解得：r4， 即O 的半径为 4 25 （8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+mx+n 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧） （1）如图 1，若抛物线的对称轴为直线 x3，AB4 点 A 的坐标为（ 5 ， 0 ） ，点 B 的坐标为（ 1
32、 ， 0 ） ； 求抛物线的函数表达式； （2）如图 2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经 过点 O，且与 x 正半轴交于点 C，记平移后的抛物线顶点为 P，若OCP 是等腰直角三角形，求点 P 的 坐标 【分析】 （1）根据抛物线的对称性分别求出点 A 的坐标、点 B 的坐标； 利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）作 PDOC 于 D，根据等腰直角三角形的性质得到 PDOD，设出抛物线的顶点式，根据抛物线 经过原点计算，得到答案 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为直线 x3，AB4， 点 A 的坐标为（5，0） ，点 B 的坐标为（1
33、，0） ， 故答案为：5；01；0； 抛物线经过（5，0） ， （1，0） ， ， 解得， 则抛物线的解析式为 yx26x5； （2）如图 2，作 PDOC 于 D， OCP 是等腰直角三角形， PDOCOD， 设点 P 的坐标为（a，a） ， 设抛物线的解析式为 y（xa）2+a， 抛物线经过原点， （0a）2+a0， 解得，a10（不合题意） ，a21， OCP 是等腰直角三角形时，点 P 的坐标为（1，1） 26 （10 分）如图，线段 AB 经过O 的圆心，交O 于 A，C 两点，BC1，AD 为O 的弦，连接 BD， BADABD30，连接 DO 并延长交O 于点 E，连接 BE 交
34、O 于点 M （1）求证：直线 BD 是O 的切线； （2）求切线 BD 的长； （3）求线段 BM 的长 【分析】 （1）求出BDO90，再根据切线的判定得出即可； （2）解直角三角形求出 OD、根据勾股定理求出 BD 即可； （3）连接 DM，根据相似三角形的判定得出BMDBDE，得出比例式，再代入求出即可 【解答】 （1）证明：BADABD30， DOB2BAD60， ODB180306090， 即 ODBD， OD 过 O， 直线 BD 是O 的切线； （2）解：设 ODOCr， 在 RtBDO 中，sin30， 解得：r1， 即 OD1，OB1+12， 由勾股定理得：BD； （3）解
35、：连接 DM， DE 是O 的直径， DME90， 即DMBBDE90， DBMDBE， BMDBDE， ， ， 解得：BM 27 （10 分）如图，抛物线 ya（x1） （x3） （a0）与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使OCAOBC （1）求线段 OC 的长度； （2）设直线 BC 与 y 轴交于点 D，点 C 是 BD 的中点时，求直线 BD 和抛物线的解析式， （3）在（2）的条件下，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一点，过 P 作 PEBC 于点 E，作 PFAB 交 BD 于点 F，是否存在一点 P，使得 PE+PF 最大，若存在，请求出该
36、最大值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）解方程求出点 A 的坐标、点 B 的坐标，得到 OA1，OB3，根据相似三角形的性质列出 比例式，求出 OC； （2）根据直角三角形的性质求出 BD，根据勾股定理求出 OD，利用待定系数法求出直线 BD 的解析式， 根据中点的概念求出点 C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）作 PGOB 交 BD 于 G，根据正切的定义得到OBD30，用 PG 分别表示出 PE、PF，根据题 意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答 【解答】解： （1）a（x1） （x3）0， x11，x23， 则点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为
37、（3，0） ， OA1，OB3， OCAOBC， ，即， 解得，OC； （2）在 RtBOD 中，点 C 是 BD 的中点， BD2OC2， 由勾股定理得，OD， 点 D 的坐标为（0，） 设直线 BD 的解析式为：ykx+b， 则， 解得， 则直线 BD 的解析式为：yx， 点 B 的坐标为（3，0） ，点 D 的坐标为（0，） ，点 C 是 BD 的中点， 点 C 的坐标为（，） ， a（1） （3） ， 解得，a， 抛物线的解析式：y（x1） （x3） ，即 yx2x+2； （3）作 PGOB 交 BD 于 G， tanOBD， OBD30， PFAB， PFGOBD30， PFPG，
38、PEBC，PFPG， EPGPFG30， PEPG， PE+PFPG+PGPG， 设点 P 的坐标为（m，m2m+2） ，点 G 的坐标为（m，m） ， PGm（m2m+2） m2+3m3 PE+PFPG 3m2+m 3（m）2+， 则 PE+PF 的最大值为 28 （10 分）如图 1，在ABCD 中，AB3cm，BC5cm，ACAB，ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到 PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当PNM 停止平 移时，点 Q 也停止移动，如图 2，设移动时间为 t（s） （04） ，连结 PQ，MQ，解答下列问题
39、： （1）当 t 为何值时，PQMN？ （2）当 t 为何值时，CPQ45？ （3）当 t 为何值时，PQMQ？ 【分析】 （1）根据勾股定理求出 AC，根据 PQAB，得出，可求 t 的值； （2）如图 2，过点 Q 作 QEAC，则 QEAB，可得，可求 CE，QEt，由等腰 直角三角形的性质可得 PEQEt，即可求 t 的值； （3）如图 2，过点 P 作 PFBC 于 F 点，过点 M 作 MHBC，交 BC 延长线于点 H，可证四边形 PMHF 是矩形， 可得 PMFH5， 通过证明ABCFPC， 可得， 可求 PF， CF， 通过证明PFQQHM，可得 ，即可求解 【解答】解： （1）AB3cm，BC5cm，ACAB， AC4cm， MNAB，PQMN， PQAB， ， ， ts （2）如图 2，过点 Q 作 QEAC，则 QEAB， ， ， CE，QEt， CPQ45， PEQEt， t+t+t4， ts （3）如图 2，过点 P 作 PFBC 于 F 点，过点 M 作 MHBC，交 BC 延长线于点 H， 四边形 PMHF 是矩形， PMFH5， APFC90，ACBPCF， ABCFPC， ， PF，CF， QH5FQ5（CFCQ）， PQMQ， PQF+MQH90，且PQF+FPQ90， FPQMQH，且PFQH90， PFQQHM， ， ts
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