1、第第 1 章章 三角形的证明单元综合训练三角形的证明单元综合训练 1已知如图，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BC3，则ADE 的面积为（ ） A1 B2 C5 D无法确定 2如图，已知AOEBOE15，EFOB，ECOB 于点 C，EGOA 于点 G，若 EC3，则 OF 长 度是（ ） A3 B4 C5 D6 3已知：如图，在ABC 中，边 AB 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 G、D，若AGC 的周长为 31cm， AB20cm，则ABC 的周长为（ ） A31cm B41cm C51cm D61cm 4如图，在ABC 中，ACBC，点 D 在 AC 边上，点 E
2、在 CB 的延长线上，DE 与 AB 相交于点 F，若 C50，E25，则BFD 的度数为（ ） A100 B120 C140 D150 5已知在平面直角坐标系 xOy 中，O（0，0） ，A（4，3）点 B 在 x 轴或 y 轴上移动，若 O、A、B 三点可构 成等腰三角形，则符合条件的 B 点有（ ） A9 个 B8 个 C7 个 D6 个 6如图，ABC 中，ADBC 交 BC 于 D，AE 平分BAC 交 BC 于 E，F 为 BC 的延长线上一点，FGAE 交 AD 的延长线于 G， AC 的延长线交 FG 于 H， 连接 BG， 下列结论： DAEF； DAE （ ABDACE）
3、； SAEB： SAECAB： AC； AGHBAE+ACB， 其中正确的结论有 （ ） 个 A1 B2 C3 D4 7如图，RtABC 中，ACB90，ABC30，AC6，D 是线段 AB 上一个动点，以 BD 为边在 ABC 外作等边BDE若 F 是 DE 的中点，则 CF 的最小值为（ ） A6 B8 C9 D10 8如图，给定由 10 个点（任意相邻两点距离为 1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个 点为顶点构成的正三角形的个数是（ ） A12 B13 C15 D17 9如图，ABC 是等边三角形，P 是三角形内任意一点，D、E、F 分别是 AC、AB、BC 边上的三点，
4、且 PFAB，PDBC，PEAC若 PF+PD+PEa，则ABC 的边长为（ ） Aa Ba Ca Da 10一副三角板如图摆放，点 F 是 45角三角板 ABC 的斜边的中点，AC4当 30角三角板 DEF 的直 角顶点绕着点 F 旋转时，直角边 DF，EF 分别与 AC，BC 相交于点 M，N在旋转过程中有以下结论： MFNF：四边形 CMFN 有可能为正方形；MN 长度的最小值为 2；四边形 CMFN 的面积保持 不变；CMN 面积的最大值为 2其中正确的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 11如图，在ABC 中，B30，C45，AEBC 于点 E，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D
5、，交 AB 于点 F，若 BD6，则 CE 的长为（ ） A2 B2 C3 D3 12如图，C90，AC10，BC5，AXAC，点 P 和点 Q 从 A 点出发，分别在线段 AC 和射线 AX 上运动，且 ABPQ，当点 P 运动到 AP ，ABC 与APQ 全等 13如图，BE 和 CE 分别为ABC 的内角ABC 和外角ACD 的平分线，BEAC 于点 H，CF 平分ACB 交 BE 于点 F，连接 AE，则下列结论：ECF90；AECE；BFC90+BAC； BAC2BEC；AEHBCF，正确的为 14如图，在ABC 中，ABAC，A50，AB 的垂直平分线分别交 AC 和 AB 于点
6、D 和 E，那么DBC 度 15已知等腰三角形的两边长分别为 x 和 y，且 x 和 y 满足|x3|+（y1）20，则这个等腰三角形的周长 为 16在ABC 中，B50，当A 为 时，ABC 是等腰三角形 17如图，已知 P、Q 是ABC 的边 BC 上的两点，且 BPQCPQAPAQ，则BAC 18如图，直线 lm，等边ABC 的顶点 B 在直线 m 上，边 BC 与直线 m 所夹锐角为 20，则1 的度数 为 19已知 a、b、c 是ABC 的三边的长，且满足 a2+2b2+c22b（a+c）0，则此三角形的形状为 20如图，六边形 ABCDEF 的六个内角都等于 120，若 ABBCC
7、D3cm，DE2cm，则这个六边形的 周长等于 cm 212424 ，若 是一个直角三角形的其中一个锐角， 则另一个锐角是 22如图，在ABC 和DCB 中，AD90，ACBD，AC 与 BD 相交于点 O （1）求证：ABCDCB； （2）OBC 是何种三角形？证明你的结论 23如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB，过点 D 作直线分别交 AB、AC 于点 E、F，若 AEAF，BE 4，CF2，回答下列问题： （1）证明：EDFD； （2）试找出BDC 与A 的数量关系，并说明理由； （3）求 EF 的长 24如图ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D，E，垂足分别是
8、 M，N （1）若 BC10，求ADE 的周长 （2）若BAC100，求DAE 的度数 25如图，ABC 中，ABAC，DE 垂直平分 AC，若A30，求BCD 的度数 26如图，已知在ABC 中，ACBCAD，CDEB， 求证：CDE 是等腰三角形 27如图，在ABC 中，ABAC，BAC36，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于点 D，E 是 AB 的中点， 连接 ED 并延长，交 BC 的延长线于点 F，连接 AF，求证： （1）EFAB； （2）ACF 为等腰三角形 28如图，点 M，N 分别在正三角形 ABC 的 BC，CA 边上，且 BMCN，AM，BN 交于点 Q求证：BQM
9、60 29如图，已知AOB60，点 P 在边 OA 上，点 M、N 在边 OB 上 （1）若PNO60，证明PON 是等边三角形； （2）若 PMPN，OP12，MN2，求 OM 的长度 30如图，等边ABC 中，点 D 在延长线上，CE 平分ACD，且 CEBD 说明：ADE 是等边三角形 31如图 1，直线 PQ直线 MN，垂足为 O，AOB 是直角三角形，AOB90，斜边 AB 与直线 PQ 交 于点 C （1）若AAOC30，则 BC BO（填“” “” “” ） ； （2）如图 2，延长 AB 交直线 MN 于点 E，过 O 作 ODAB，若DOBEOB，AEO，求AOE 的度数（用
10、含 的代数式表示） ； （3）如图 3，OF 平分AOM，BCO 的平分线交 FO 的延长线于点 R，A36，当AOB 绕 O 点 旋转时（斜边 AB 与直线 PQ 始终相交于点 C） ，问R 的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改 变，请说明理由 参考答案参考答案 1解：过 D 作 BC 的垂线交 BC 于 G，过 E 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于 F， EDF+FDC90， GDC+FDC90， EDFGDC， 于是在 RtEDF 和 RtCDG 中， ， DEFDCG， EFCGBCBGBCAD321， 所以，SADE（ADEF）2（21）21 故选：A 2解：AOEBOE1
11、5，ECOB 于点 C，EGOA 于点 G， CEEG3， EFOB， COEOEF15 EFG15+1530，EOFOEF， OFEF2EG236 故选：D 3解：DG 是 AB 的垂直平分线， GAGB， AGC 的周长为 31cm， AG+GC+ACBC+AC31cm，又 AB20cm， ABC 的周长AB+AC+BC51cm， 故选：C 4解：ABC 中，ACBC，C50， ABC（18050）65， ABC 是BEF 的外角， BFEABCE652540， BFD18040140， 故选：C 5解：分三种情况说明： 以点 O 为圆心，OA 长为半径画圆， 与 x 轴、y 轴有 4 个
12、交点， 这 4 个交点分别与点 O、A 构成 4 个等腰三角形； 以点 A 为圆心，OA 长为半径交 x 轴和 y 轴的正半轴有 2 个点， 这 2 个交点分别与点 O、A 构成 2 个等腰三角形； 作 OA 的垂直平分线交 x 轴和 y 轴的正半轴有 2 个点， 这 2 个交点分别与点 O、A 构成 2 个等腰三角形； 综上所述：符合条件的 B 点有：4+2+28（个） 故选：B 6解：如图，AE 交 GF 于 M， ADBC，FGAE， ADEAMF90， AEDMEF， DAEF；故正确； AE 平分BAC 交 BC 于 E， EAC， DAE90AED， 90（ACE+EAC） ， 9
13、0（ACE+） ， （1802ACEBAC） ， （ABDACE） ， 故正确； AE 平分BAC 交 BC 于 E， 点 E 到 AB 和 AC 的距离相等， SAEB：SAECAB：CA；故正确， DAEF，FDGFME90， AGHMEF， MEFCAE+ACB， AGHCAE+ACB， AGHBAE+ACB；故正确； 故选：D 7解：如图所示，连接 BF， 等边BDE 中，F 是 DE 的中点， BFDE，BF 平分DBE， DBF30，即点 F 在DBE 的角平分线上运动， 当点 D 在 CF 上时，CFB90，根据垂线段最短可知，此时 CF 最短， 又ABC30， CBF60， R
14、tABC 中，ACB90，ABC30，AC6， BCAC6， RtBCF 中，CFBCsinCBF9， 故选：C 8解：如图所示， 边长为 1 的正三角形共有 1+3+59 个， 边长为 2 的正三角形共有 3 个，边长为 3 的正三角形共有 1 个， 边长为的正三角形有 2 个，红颜色和蓝颜色的两个三角形， 综上可知：共有 9+3+1+215 个， 故选：C 9解：延长 EP 交 BC 于点 G，延长 FP 交 AC 于点 H，如图所示： PFAB，PDBC，PEAC， 四边形 AEPH、四边形 PDCG 均为平行四边形， PEAH，PGCD 又ABC 为等边三角形， FGP 和HPD 也是
15、等边三角形， PFPGCD，PDDH， PE+PD+PFAH+DH+CDAC， ACa； 故选：D 10解：连接 CF， F 为 AB 中点，ACBC，ACB90， AFBFCF，CFAB， AFM+CFM90 DFE90，CFM+CFN90， AFMCFN 同理，A+MCF90，MCF+FCN90， AFCN， 在AMF 与CNF 中， ， AMFCNF（ASA） ， MFNF 故正确； 当 MFAC 时，四边形 MFNC 是矩形，此时 MAMFMC，根据邻边相等的矩形是正方形可知正 确； 连接 MN，当 M 为 AC 的中点时，CMCN，根据边长为 4 知 CMCN2，此时 MN 最小，最
16、小值为 2，故错误； 当 M、N 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形 ADFCEF， SCEFSAMF S四边形CDFESAFC 故正确； 由于MNF 是等腰直角三角形，因此当 DM 最小时，DN 也最小； 即当 DFAC 时，DM 最小，此时 DNBC2 DNDN2 ； 当CEF 面积最大时，此时DEF 的面积最小 此时 SCMNS四边形CFMNSFMNSAFCSDEF422， 故正确 故选：C 11解：连接 AD，如图： AB 的垂直平分线交 BC 于点 D， ADBD6， 在ABC 中，B30， BADB30， ADEB+BAD60 AEBC 于点 E， AED90，
17、 DAE30， DEAD3， AE3， C45， AEC 为等腰直角三角形， ECAE3， 故选：D 12解：AXAC， PAQ90， CPAQ90， 分两种情况： 当 APBC5 时， 在 RtABC 和 RtQPA 中， RtABCRtQPA（HL） ； 当 APCA10 时， 在ABC 和PQA 中， RtABCRtPQA（HL） ； 综上所述：当点 P 运动到 AP5 或 10 时，ABC 与APQ 全等； 故答案为：5 或 10 13解：CF 平分ACB，CE 平分ACD， ACFACB，ACEACD， ECFACF+ACE（ACB+ACD）90，故正确； BE 平分ABC，BEAC
18、， ABECBE，BHABHC90， BAH+ABE90，ACB+EBC90， BACBCA， ABBC， BEAC， AHCH， EAEC，故正确； BFC180（FBC+FCB）180（ABC+ACB）180（180BAC） 90+BAC，故正确； 设ACEECDx，ABEEBCy， 则有 ，可得BAC2BEC，故正确， EAEC，BEAC， AEBBEC， FCH+ACE90，ACE+BEC90， FCHBECAEB， ACFBCF， AEHBCF，故正确 故答案为： 14解：ABAC，A50， ABCC65， DE 是 AB 的垂直平分线， DADB， ABDA50， DBCABCAB
19、D15 故答案为：15 15解：|x3|+（y1）20， x3，y1 当腰长为 3 时，三边长为 3、3、1，周长3+3+17； 当腰长为 1 时，三边长为 3、1、1，1+13，不能组成三角形 故答案为：7 16解：B 是顶角，A（180B）265； B 是底角，BA50 A 是顶角，BC50，则A18050280， 当A 的度数为 50或 65或 80时，ABC 是等腰三角形 故答案为：50或 65或 80 17解：BPQCPQAPAQ， APQ 为等边三角形，ABP 为等腰三角形，AQC 为等腰三角形， PAQAPQAQP60， 在ABP 和CAQ 中， ABPACQ， QACBAPQ3
20、0， 同理：BAP30， BACBAP+PAQ+QAC30+60+30120 故答案为：120 18解：如图所示，过点 C 作直线 nm，在直线 m 上取一点 D， 直线 lm， lmn， 12，3CBD20， ABC 为等边三角形， ACB60， 2+360， 2603602040， 140 故答案为：40 19解：由已知条件 a2+2b2+c22b（a+c）0 化简得， （ab）2+（bc）20 ab0，bc0 即 ab，bc abc 故答案为等边三角形 20解：分别作直线 AB、CD、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点 G、H、P，如图所示： 六边形 ABCDEF 的六个角都是 12
21、0， 六边形 ABCDEF 的每一个外角的度数都是 60， APF、BGC、DHE、GHP 都是等边三角形， GCBC3cm，DHDEEH2cm， GH3+3+28（cm） ， FAPAPGABBG8332（cm） ， EFPHPFEH8224（cm） 六边形的周长为 2+3+3+3+2+417（cm） ； 故答案为：17 21解：242424.4， 9024.465.6， 故答案为 24.4，65.6 22证明： （1）在ABC 和DCB 中，AD90 ACBD，BC 为公共边， RtABCRtDCB（HL） ； （2）OBC 是等腰三角形 RtABCRtDCB ACBDCB OBOC OB
22、C 是等腰三角形 23 （1）证明：过 D 点分别作 DGBC，DKAB，DHAC，垂足分别为 G，K，H，如图， EKDFHD90， BD 平分ABC，CD 平分ACB， DKDGDH， 在EKD 和FHD 中， ， AEAF AEFAFE， EKDFHD（AAS） ， EDFD； （2）解：BDC90+A 理由如下： BD 平分ABC，CD 平分ACB， DBCABC，DCBACB， DBC+DCB（ABC+ACB） ， BDC+DBC+DCB180， BDC+（ABC+ACB）180， A+ABC+ACB180， ABC+ACB180A， BDC+（180A）180， BDC90+A；
23、（3）解：如图， BD，CD 分别平分ABC，ACB， 12，34， 2+7+4180，5+6+7180， 2+45+6，即1+35+6， AEFAFE， 1+53+6， 53，16， BEDCED， ED：CFBE：DF， DEDF， 则 ED2CF BE248， 则 ED， EF2ED 24解： （1）AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E，垂足分别是 M、N， ADBD，AECE， ADE 的周长AD+DE+AEBD+DE+CEBC10 （2）BAC100， B+C180BAC80， ADBD，AECE， BADB，CAEC， BAD+CAE80， DAEBAC（BAD+CAE
24、）1008020 25解：DE 垂直平分 AC， DADC， DCAA30， ABAC， BACB， A+B+ACB180， ACB（18030）2150275， BCDACBDCA753045 BCD 的度数为 45 26证明：ADE+CDE+BDC180，BCD+B+BDC180，CDEB， ADEBCD， ACBC， AB， 在ADE 和BCD 中， ， ADEBCD（ASA） ， DECD， CDE 是等腰三角形 27证明： （1）ABAC，BAC36， ABC72， 又BD 是ABC 的平分线， ABD36， BADABD， ADBD， 又E 是 AB 的中点， DEAB，即 FEA
25、B； （2）FEAB，AEBE， FE 垂直平分 AB， AFBF， BAFABF， 又ABDBAD， FADFBD36， 又ACB72， AFCACBCAF36， CAFAFC36， ACCF，即ACF 为等腰三角形 28证明：BMCN，BCAC，CMAN， 又ABAC，BANACM， AMCBNA，则BNAAMC， MAN+ANB+AQN180 MAN+AMC+ACB180， AQNACB， BQMAQN， BQMAQNACB60 29解： （1）AOB60，PNO60， OPN60， PONPNOOPN， PON 是等边三角形； （2）作 PHMN 于 H，如图， PMPN， MHNHM
26、N1， 在 RtPOH 中，POH60， OPH30， OHOP126， OMOHMH615 30证明：ABC 为等边三角形， BACB60，ABAC， 即ACD120， CE 平分ACD， ACEDCE60， 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， ADAE，BADCAE， 又BAC60， DAE60， ADE 为等边三角形 31解： （1）AOB 是直角三角形， A+B90，AOC+BOC90， AAOC30， BBOC60 BOC 是等边三角形， BCBO 故答案为：； （2）ODAB，AEO， DOE90， DOBBOE， BOE（90）45， AOEAOB+BOE90+45135； （3）R 的度数不变，R27理由如下： 设AOM，则AOC90， OF 平分AOM， FOMRON， CORCON+RON90+， OCBA+AOC36+90126， CR 平分BCO， OCR63， R180（OCR+COR）18063+9027， R 的度数不变，R27
浙公网安备33030202001339号