1、2020-2021 学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1二次函数 y（x4）2+3 图象的顶点坐标是（ ） A （4，3） B （2，3） C （4，3） D （2，3） 2已知 2x3y（xy0） ，那么下列比例式中成立的是（ ） A B C D 3如图，在ABC 中，DEBC，EFAB，下列等式成立的是（ ） A B C D 4下列结论两个全等三角形是相似三角形；所有正方形都相似；任意两个等腰三角形都相似； 所有菱形都相似；两个等腰直角三角形相似其中结论正确的有（
2、 ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 5二次函数 yx22x3 的图象如图所示当 y0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） A1x3 Bx1 Cx3 Dx3 或 x3 6如图，函数 y（x1）2+c 的图象与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，则另一交点的横坐标为（ ） A4 B3 C2 D1 7如图，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y上，且 ABx 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 8在 RtABC 中ABC90，AB3，BC6，点 D 是 AC 边上一动点，过点 D 作 DEBC，垂足为 E作 DFCB，交
3、 AB 于点 F四边形 DEBF 的面积 S 与线段 DE 之间关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 8 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9已知反比例函数，其图象所在的每个象限内 y 随着 x 的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例 函数关系式： 10如图，在ABC 中，DEBC，如果 AD3，DB4，AE2那么 EC 11二次函数 yx2+20 x 图象的对称轴是 12 如图， 在平行四边形 ABCD 中， E 是边 BC 上的点， AE 交 BD 于点 F， 如果， 那么 13如图，小明从路灯下，向前走了 5 米，发现自己在
4、地面上的影子长 DE 是 2 米如果小明的身高为 1.6 米，那么路灯高地面的高度 AB 是 米 14已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，AD8，BD2，那么 CD 15 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 yx 的图象与反比例函数 y的图象交于 A， B 两点， 如果点 A， B 的纵坐标是 y1，y2，那么 y1+y2的值是 16ABC 的三边长为，2，ABC的两边长为 1，要使ABCABC，那么ABC 的第三条边长是 三、解答题（共三、解答题（共 12 道题，道题，17-24 题，每题题，每题 5 分；分；25-28 题，每题题，每题 7 分。共分。共 6
5、8 分）分） 17在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请在方格纸中画出两个相似但不全等的格点 三角形，再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标 18在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+1 的图象与反比例函数 y图象相交于点 A（m，2） （1）求反比例函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的图象 19如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 是边 DC 上一点，连接 AE，F 为 AE 上一点且BFE C，求证：ABFAED 20已知一次函数 y1kx+n 与二次函数 y2x2+bx+c 的图象都经过（1，2） ，
6、（3，2）两点 （1）请你求出一次函数、二次函数的表达式 （2）当 x 取何值时，y1y2 21已知二次函数 yx2+ax2（a0） （1）它的图象与 x 轴有交点吗？说明你的理由 （2）如果二次函数 yx2+ax2 的图象的对称轴为 x，请你求出它与 x 轴的交点坐标，并求出两个 交点之间的距离 22如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB，喷水口 A 距地面 2 米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求 水流的最高点 P 到喷水枪 AB 所在直线的距离为 1 米，且水流着地点 C 距离水枪底部 B 的距离为米， 那么水流的最高点距离地面是多少米？ 23在ABC 中，ABAC，ADAE，DE 与
7、BC 的延长线交于 M求证：BM：CMBD：CE 24 小明在学习完正比例函数y1x和反比例函数y2之后， 想自己试着研究函数yy1+y2的图象和性质， 即 y+x 的图象和性质请你结合学习函数的经验，帮助小明补充完整学习探索过程 （1）函数 y+x 自变量 x 的取值范围是 （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 y a 2 2 其中 a 的值是 （3）在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点画出该函数的 图象 （4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可） ： ； 25如图，在矩形 ABCD 中，AC 是对角线，点 O，E
8、 分别是 AC，AB 的中点，连接 OE在直线 AD 上是否 存在一点 F，使得OCF 与EOA 相似，如果存在，请你画出点 F，并证明你的结论；如果不存在，请 说明理由 26等腰ABC，ABAC8，BAC120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30角的透明三角板，使 30 角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP； （2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F 探究 1：BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论） 探究 2：连接 EF，B
9、PE 与PFE 是否相似？请说明理由； 设 EFm，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S 27在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 经过点（2，3） ，对称轴为直线 x1 （1）求抛物线的表达式； （2）如果垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，其中 x10，x20，与 y 轴 交于点 C，求 BCAC 的值； （3） 将抛物线向上或向下平移， 使新抛物线的顶点落在 x 轴上， 原抛物线上一点 P 平移后对应点为点 Q， 如果 OPOQ，直接写出点 Q 的坐标 28已知直线 yx+4与 x 轴、y 轴分别交于 A，B
10、两点，ABC60，BC 与 x 轴交于点 C （1）求 C 点坐标 （2）若动点 P 从 A 点出发，沿 AC 向点 C 运动（不与 A，C 重合） ，同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向 点 A 运动（不与 C，A 重合） ，动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个 单位长度设APQ 的面积为 S，P 点的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值 范围 （3）在（2）的条件下，当APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在一点 N，使以 A，Q， M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标
11、；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1二次函数 y（x4）2+3 图象的顶点坐标是（ ） A （4，3） B （2，3） C （4，3） D （2，3） 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标 【解答】解：y（x4）2+3， 此函数的顶点坐标为（4，3） ， 故选：C 2已知 2x3y（xy0） ，那么下列比例式中成立的是（ ） A B C D 【分析】由 2x3y（y0） ，根据比例的性质，即可求得答案
12、 【解答】解：2x3y（y0） ， 或 故选：B 3如图，在ABC 中，DEBC，EFAB，下列等式成立的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段长比例定理和相似三角形的判定和性质进行判断即可 【解答】解：A、DEBC，EFAB， AD：DBAE：EC，AE：CEBF：CF， ，所以 A 选项的等式成立； B、EFAB， ，所以 B 选项的等式不成立； C、DEBC， ADEABC， ，所以 C 选项的等式不成立； D、DEBC， BD：ADCE：AE， EFAB， CEFCAB， ， ，所以 D 选项的等式不成立 故选：A 4下列结论两个全等三角形是相似三角形；所有正方形都相似；任
13、意两个等腰三角形都相似； 所有菱形都相似；两个等腰直角三角形相似其中结论正确的有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【分析】根据相似图形的定义分别判断即可确定正确的选项 【解答】解：两个全等三角形是相似三角形，正确，符合题意； 所有正方形都相似，正确，符合题意； 任意两个等腰三角形对应边不一定相等，所以不一定都相似，不正确，不符合题意； 所有菱形的对应角不一定都相等，所以不一定都相似，不符合题意； 两个等腰直角三角形相似，正确，符合题意， 正确的有 3 个， 故选：C 5二次函数 yx22x3 的图象如图所示当 y0 时，自变量 x 的取值范围是（ ） A1x3 Bx1 Cx3 D
14、x3 或 x3 【分析】先观察图象确定抛物线 yx22x3 的图象与 x 轴的交点，然后根据 y0 时，所对应的自变量 x 的变化范围 【解答】解：由图象可以看出： y0 时，自变量 x 的取值范围是1x3； 故选：A 6如图，函数 y（x1）2+c 的图象与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，则另一交点的横坐标为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称求解 【解答】解：y（x1）2+c， 抛物线的对称轴是直线 x1， 函数的图象与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ， 1， x1， 另一交点的横坐标为1 故选：D 7如图
15、，点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y上，且 ABx 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积 S 的关系 S|k|即可判断 【解答】解：过 A 点作 AEy 轴，垂足为 E， 点 A 在双曲线 y上， 四边形 AEOD 的面积为 1， 点 B 在双曲线 y上，且 ABx 轴， 四边形 BEOC 的面积为 3， 四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 312 故选：B 8在 RtABC 中ABC90，AB3，BC6，点 D 是 AC 边上一动
16、点，过点 D 作 DEBC，垂足为 E作 DFCB，交 AB 于点 F四边形 DEBF 的面积 S 与线段 DE 之间关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】在 RtABC 中，tanC，设 DEx，在 RtCDE 中，CE2x，则 BE BCCE62x，即可求解 【解答】解：在 RtABC 中，tanC， 设 DEx，在 RtCDE 中，CE2x， 则 BEBCCE62x， 则 SDEBEx（62x）2x2+6x（0 x3） ， 该函数为开口向下的抛物线的一部分，且抛物线和 x 轴的交点坐标为（0，0）和（3，0） ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9已知反比
17、例函数，其图象所在的每个象限内 y 随着 x 的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例 函数关系式： y（答案不唯一，k0 即可） 【分析】先根据反比例函数图象的性质确定 k 的正负情况，然后写出即可 【解答】解：在每个象限内 y 随着 x 的增大而减小， k0 例如：y（答案不唯一，只要 k0 即可） 10如图，在ABC 中，DEBC，如果 AD3，DB4，AE2那么 EC 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到 EC 的长 【解答】解：DEBC， CE：AEBD：AD， AD3，DB4，AE2， EC， 故答案为： 11二次函数 yx2+20 x 图象的对称轴是 直线
18、 x10 【分析】把二次函数化成顶点式，然后解题即可 【解答】解：yx2+20 x（x10）2+100， 二次函数图象的对称轴是直线 x10 故答案为直线 x10 12如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果，那么 【分析】由平行四边形的性质可证BEFDAF，再根据相似三角形的性质得 BE：DABF：DF 即可 解 【解答】解：ABCD 是平行四边形， BCAD，BCAD BEFDAF BE：DABF：DF BCAD BF：DFBE：BC2：3 13如图，小明从路灯下，向前走了 5 米，发现自己在地面上的影子长 DE 是 2 米如果小明的身高为
19、1.6 米，那么路灯高地面的高度 AB 是 5.6 米 【分析】要求出 AB 的高，可利用相似三角形的性质，对应边成比例就可以求出 【解答】解：ABCD， ECDEBA， ， 而 CD1.6，AD5，DE2， AE7， ， AB5.6 米 故答案为：5.6 14已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，AD8，BD2，那么 CD 4 【分析】根据射影定理列式计算即可 【解答】解：由射影定理得，CD2ADDB， 则 CD4， 故答案为：4 15 在平面直角坐标系 xOy 中， 一次函数 yx 的图象与反比例函数 y的图象交于 A， B 两点， 如果点 A， B 的纵坐标是 y
20、1，y2，那么 y1+y2的值是 0 【分析】利用正比例函数和反比例函数的性质即可判定点 A 与点 B 关于原点对称，从而得出 y1+y20 【解答】解：一次函数 yx 的图象与反比例函数 y的图象交于 A，B 两点， 点 A 与点 B 关于原点对称， 点 A，B 的纵坐标是互为相反数， y1+y20， 故答案为 0 16ABC 的三边长为，2，ABC的两边长为 1，要使ABCABC，那么ABC 的第三条边长是 【分析】先求出ABC 三边之比，再根据相似三角形对应边成比例解答即可 【解答】解：ABC 的三边长分别为：，2， ABC 的三边长之比为，1：，比例系数是， ABC的两边长分别为 1
21、和，ABCABC， ABC的第三边的长应等于 故答案为： 三解答题三解答题 17在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请在方格纸中画出两个相似但不全等的格点 三角形，再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标 【分析】利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等画两个相似三角形，注意要有一个 钝角要有一个钝角而且要在格点上，所以这个钝角必须是 135 度，就先画一个 135 度的角，然后找在 格点上的边长的相似比相等的相似三角形 【解答】解：以边为主要条件，利用三边成比例来画 注意要有一个钝角而且要在格点上，所以这个钝角必须是 135 度，就先画一个 135
22、度的角，然后找在格 点上的边长的相似比相等的相似三角形， A（0，3） ，B（6，3） ，C（9，0） ，A（0，0） ，B（4，0） ，C（6，2） 18在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx+1 的图象与反比例函数 y图象相交于点 A（m，2） （1）求反比例函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的图象 【分析】 （1）把点 A 的纵坐标代入一次函数解析式，得出 A 点的坐标，进而得出反比例函数的解析式； （2）利用描点法在坐标系内画出两函数的图象 【解答】解： （1）一次函数 yx+1 的图象经过点 A（m，2） 2m+1， m1， A（1，2） ，
23、 A（1，2）在反比例丽数 y图象上， k122， 反比例函数的解析式为 y； （2）画出两函数图象，如图所示： 19如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 是边 DC 上一点，连接 AE，F 为 AE 上一点且BFE C，求证：ABFAED 【分析】由平行线的性质得出D+C180，证得DAFB，根据相似三角形的判定定理可得出 结论 【解答】证明：ADBC， D+C180， BFE+AFB180，BFEC， DAFB， 又， ABFAED 20已知一次函数 y1kx+n 与二次函数 y2x2+bx+c 的图象都经过（1，2） ， （3，2）两点 （1）请你求出一次函数、二次函数的表达式
24、 （2）当 x 取何值时，y1y2 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可 【解答】解： （1）一次函数 y1kx+n 与二次函数 y2x2+bx+c 的图象都经过（1，2） ， （3，2）两点 ， 解得， 一次函数的解析式为 y12x4，二次函数的表达式为 y2x22x1 （2）观察图象可知，当 1x3，y1y2 21已知二次函数 yx2+ax2（a0） （1）它的图象与 x 轴有交点吗？说明你的理由 （2）如果二次函数 yx2+ax2 的图象的对称轴为 x，请你求出它与 x 轴的交点坐标，并求出两个 交点之间的距离
25、 【分析】 （1）根据a241（2）a2+80，即可求解； （2）函数的对称轴 x，解得 a1，则抛物线的表达式为 yx2x2，令 x2x20，解 得 x2 或1，即可求解 【解答】解： （1）a241（2）a2+80， 故抛物线与 x 轴有两个交点； （2）函数的对称轴 x，解得 a1， 则抛物线的表达式为 yx2x2， 令 x2x20，解得 x2 或1， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（2，0） 、 （1，0） ， 故两个交点之间的距离为 2（1）3 22如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB，喷水口 A 距地面 2 米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求 水流的最高点 P 到喷水枪 AB 所
26、在直线的距离为 1 米，且水流着地点 C 距离水枪底部 B 的距离为米， 那么水流的最高点距离地面是多少米？ 【分析】要想求出水流最高点距地面高度，可以先以 B 为原点地面为 x 轴建立直角坐标系，由题目可知 水流抛物线，过点（0，2） 、 （，0） 、 （，0） ，根据这三个点求出抛物线方程，求得最高点 【解答】解：由题目中所给的三点确定出的抛物线方程为： y， 求其最高点 p，由题目可知最高点 p 的 x 的值为 1， 代入原函数求解得：y3.6 米， 答：水流的最高点距离地面是 3.6 米 23在ABC 中，ABAC，ADAE，DE 与 BC 的延长线交于 M求证：BM：CMBD：CE
27、【分析】要想证明 BM：CMBD：CE，就得证所在的三角形相似，显然BMD 与CME 不相似，不妨 我们作如图 CFCF，得到BMDCMF，即得到 BM：CMBD：CF再由已知 ADAE 和 CFAB 得：CECF，等量代换得 BM：CMBD：CE 【解答】证明：过点 C 作 CFAB 交 DM 于点 F， EFCADE， ADAE， AEDADE， CEFAED， EFCCEF， CECF， 由 CFAB 可得BMDCMF， ， ， 即 BM：CMBD：CE 24 小明在学习完正比例函数y1x和反比例函数y2之后， 想自己试着研究函数yy1+y2的图象和性质， 即 y+x 的图象和性质请你结
28、合学习函数的经验，帮助小明补充完整学习探索过程 （1）函数 y+x 自变量 x 的取值范围是 x0 （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 y a 2 2 其中 a 的值是 （3）在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点画出该函数的 图象 （4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可） ： 该函数没有最小值没有最大值 ； 该函数 图象关于原点对称 【分析】 （1）分式的分母不等于零； （2）把 x2 代入 y+x 即可求解； （3）根据题意描点、连线即可；再观察图象即可得出该函数的其他性质 【解答】解： （1）自变量 x 的取
29、值范围：x0， 故答案为 x0； （2）把 x2 代入 y+x 得，y2， a， 故答案为； （3）描点、连线画出函数图象如图所示： （4）观察所画出的函数图象，有如下性质：该函数没有最小值没有最大值；该函数图象关于原点 对称 故答案为：该函数没有最小值没有最大值；该函数图象关于原点对称（答案不唯一） 25如图，在矩形 ABCD 中，AC 是对角线，点 O，E 分别是 AC，AB 的中点，连接 OE在直线 AD 上是否 存在一点 F，使得OCF 与EOA 相似，如果存在，请你画出点 F，并证明你的结论；如果不存在，请 说明理由 【分析】过点 O 作 OFAC 交 AD 于点 F，连接 CF，O
30、CF 即为所求 【解答】解：存在，如图，点 F 即为所求 理由：OAOC，OFAC， FAFC， AFOCFO， BADAOF90， EAO+FAO90，FAO+AFO90， EAOAFOCFO， AEEB，AOOC， OEBC， AEOB90， AEOFOC90， CFOCAE 26等腰ABC，ABAC8，BAC120，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30角的透明三角板，使 30 角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP； （2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延
31、长线、边 AC 于点 E、F 探究 1：BPE 与CFP 还相似吗？（只需写出结论） 探究 2：连接 EF，BPE 与PFE 是否相似？请说明理由； 设 EFm，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S 【分析】 （1）找出BPE 与CFP 的对应角，其中BPE+CPF150，CPF+CFP150，得 出BPECFP，从而解决问题； （2）小题同前可证，小题可通过对应边成比例证明，小题求出BPE 中 BE 上的高，求出PEF 中 EF 上的高，得出关系式 【解答】 （1）证明：在ABC 中，BAC120，ABAC， BC30 B+BPE+BEP180， BPE+BEP150， 又EPF
32、30，且BPE+EPF+CPF180， BPE+CPF150， BEPCPF， BPECFP（两角对应相等的两个三角形相似） （2）解：BPECFP； BPE 与PFE 相似 下面证明结论： 同（1） ，可证BPECFP，得，而 CPBP，因此 又因为EBPEPF，所以BPEPFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 由得BPEPFE，所以BEPPEF 分别过点 P 作 PMBE，PNEF，垂足分别为 M、N，则 PMPN 连 AP，在 RtABP 中，由B30，AB8，可得 AP4 所以 PM2，所以 PN2， 所以 sPNEFm 27在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+b
33、x+c 经过点（2，3） ，对称轴为直线 x1 （1）求抛物线的表达式； （2）如果垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，其中 x10，x20，与 y 轴 交于点 C，求 BCAC 的值； （3） 将抛物线向上或向下平移， 使新抛物线的顶点落在 x 轴上， 原抛物线上一点 P 平移后对应点为点 Q， 如果 OPOQ，直接写出点 Q 的坐标 【分析】 （1）将点（2，3）代入 yx2+bx+c，可得4+2b+c3，根据对称轴为直线 x1，得出1， 把两个方程联立得到二元一次方程组，求解得出抛物线的表达式； （2）设直线 l 与对称轴交于点 M，根据抛
34、物线的对称性得出 BMAM那么 BCACBM+MCAC AM+MCAC2MC2； （3）先利用配方法求出原抛物线的顶点为（1，4） ，根据上下平移横坐标不变，纵坐标相加减得出新抛 物线的顶点为（1，0） 再设点 P 的坐标为（x，y） ，则 yx2+2x+3，点 Q 的坐标为（x，y4） ，根据 OPOQ 列出方程进而求解即可 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点（2，3） ，对称轴为直线 x1， ， 解得， 抛物线的表达式为 yx2+2x+3； （2）如图，设直线 l 与对称轴交于点 M，则 BMAM BCACBM+MCACAM+MCAC2MC2； （3）yx2+2x+3（x
35、1）2+4， 顶点为（1，4） ， 将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在 x 轴上， 新抛物线的顶点为（1，0） ， 将原抛物线向下平移 4 个单位即可 设点 P 的坐标为（x，y） ，则 yx2+2x+3，点 Q 的坐标为（x，y4） ，则 yy4 OPOQ， x2+y2x2+（y4）2， y2（y4）2， yy4， y（y4） ， y2， y42， 当 y2 时，x2+2x+32， 解得 x1， 点 Q 的坐标为（1+，2）或（1，2） 28已知直线 yx+4与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，ABC60，BC 与 x 轴交于点 C （1）求 C 点坐标 （2）若动点 P 从
36、 A 点出发，沿 AC 向点 C 运动（不与 A，C 重合） ，同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向 点 A 运动（不与 C，A 重合） ，动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个 单位长度设APQ 的面积为 S，P 点的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值 范围 （3）在（2）的条件下，当APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在一点 N，使以 A，Q， M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）对于 yx+4，令 yx+40，解得 x4，令
37、x0，则 y4，则 tanBAO ， 故BAO60， 则 AB2AO8， 而ABC60， 故ABC 为边长为 8 的等边三角形， 即可求解； （2）点 Q 在 BC 上运动时，则 SAPQHttt2，当点 Q 在 AB 上运动时，同理可得：S t （162t） t2+4t，即可求解； （3）分 AQ 是边、AQ 是对角线利用菱形的性质即可求解 【解答】解： （1）对于 yx+4，令 yx+40， 解得 x4，令 x0，则 y4， 故点 A、B 的坐标分别为（4，0） 、 （0，4） ， 则 tanBAO，故BAO60， ABO30，则 AB2AO8， ABC60，故ABC 为边长为 8 的等边
38、三角形， 则 AC8，故点 C（4，0） ； （2）当点 Q 在 BC 上运动时，t 秒时，APt，CQ2t， 过点 Q 作 QHx 轴于点 H，则 QHQCsinACB2tsin60t， 则 SAPQHttt2， 当 t4 时，函数取得最大值为 8， 当点 Q 在 AB 上运动时，t 秒时，APt，点 Q 的纵坐标（162t） ， 同理可得：St （162t） t2+4t， 该抛物线为开口向下的抛物线，当 t4 时，S 随 x 的增大而减小， 故点 Q 在点 B 时，APQ 的面积最大， 当 t4 时，函数取得最大值为 8 即 S； （3）存在，理由： 由（2）知，点 Q 在点 B 时，AP
39、Q 的面积最大，此时 t4，点 Q（0，4） ， 而点 A（4，0） ，设点 M、N 的坐标分别为（0，m） 、 （a，b） ， 由点 A、Q 的坐标得，AQ8，则 AQ264， 当 AQ 是边时，点 A 向右平移 4 个单位向上平移 4个单位得到点 Q， 同样点 M（N）向右平移 4 个单位向上平移 4个单位得到 N（M） ，且 AQAM（AQAN） ， 则， 解得（舍去）或或或， 故点 N 的坐标为（4，0）或（4，8）或（4，8） ； 当 AQ 是对角线时， 则 MN 的中点即为 AQ 的中点，且 AMAQ， 故， 解得， 故点 N 的坐标为（4，） ， 综上，点 N 的坐标为（4，0）或（4，8）或（4，8）或（4，）
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