1、专题专题 05 05 等腰旋转模型等腰旋转模型 一、解答题一、解答题 1如图， ACB 和 DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E在同一直线上，连接 BE （1）如图 1，若CABCBACDECED50 求证：ADBE； 求AEB 的度数 （2）如图 2，若ACBDCE90 ，CF 为 DCE中 DE边上的高，试猜想 AE，CF，BE之间的关系， 并证明你的结论 【答案】 （1）见解析；80 ； （2）AE2CF+BE，理由见解析 【分析】 （1） 通过角的计算找出ACD=BCE， 再结合 ACB和 DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC， DC=EC”， 利用全等三角形的判定（SAS）即可证
2、出 ACDBCE，由此即可得出结论 AD=BE； 结合中的 ACDBCE 可得出ADC=BEC，再通过角的计算即可算出AEB 的度数； （2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角 形即可求出线段 AD、DE的长度，二者相加即可证出结论 【详解】 （1）证明：CABCBACDECED50 ， ACBDCE180 2 50 80 ， ACBACD+DCB，DCEDCB+BCE， ACDBCE， ACB， DCE都是等腰三角形， ACBC，DCEC， 在 ACD和 BCE 中， ACBC ACDBCE DCEC ， ACDBCE（SAS） ， AD
3、BE 解：ACDBCE， ADCBEC， 点 A、D、E 在同一直线上，且CDE50 ， ADC180 CDE130 ， BEC130 ， BECCED+AEB，CED50 ， AEBBECCED80 （2）结论：AE2CF+BE 理由：ACB， DCE都是等腰直角三角形， CDECED45 ， CFDE， CFD90 ，DFEFCF， ADBE， AEAD+DEBE+2CF 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证 明是本题的解题关键 2在 ABC中，BAC=90 ，AC=AB，点 D 为直线 BC上的一动点，以 AD为边作 AD
4、E（顶点 ADE 按逆时针方向排列） ，且DAE=90 ，AD=AE，连接 CE （1）如图 1，若点 D在 BC边上（点 D与 BC不重合） ， 求证： ABDACE； 求证： 222 DEBDCD （2）如图 2，若点 D在 CB的延长线上，若 DB=5，BC=7，则 ADE的面积为_ （3）如图 3，若点 D在 BC的延长线上，以 AD 为边作等腰 Rt ADE，DAE=90 ，连结 BE，若 BE=10， BC=6，则 AE的长为_ 【答案】 （1）见解析；见解析； （2）169 4 ； （3）34 【分析】 （1）根据BAC=DAE，推出BAD=CAE，再结合 AB=AC，AD=AE
5、，即可证明 ABDACE， 根据ABD=ACE，可得ABD+ACB=ACE+ACB=BCE，根据 BD=CE，即可证明结论； （2）过点 A作 AFDE 于点 F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得 AF 1 2 DE，利用全等 三角形的判定定理可得 ABDACE， 由全等三角形的性质可得ADBAEC， DBEC， 易得 EC5， DC12，利用勾股定理可得 DE的长，利用三角形的面积公式可得结论； （3）根据 Rt BCE中，BE10，BC6，求得 CE 22 10 -6 8，进而得出 CD862，在 Rt DCE 中，求得 DE 22 28 = 68，最后根据 ADE 是等腰直角
6、三角形，即可得出 AE 的长 【详解】 （1）BAC=DAE， BAD=CAE， 又AB=AC，AD=AE， ABDACE， ABDACE， ABD=ACE，BD=CE， ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90 ， 22222 DECDCECDBD； （2）过点 A作 AFDE于点 F ADAE， 点 F是 DE的中点， DAE90 ， AF 1 2 DE， 同理可证 ABDACE， ADBAEC，DBEC， DB5，BC7， EC5，DC12， DAE90 ， ADEAED90 ， ADCCDEAED90 ， AECAEDCDE90 ， 即CEDCDE90 ， ECD90 ， DE2C
7、E2CD225144169， DE0， DE13， AF 13 2 ， ADE 的面积为 1 2 DEAF 1 2 1313 2 169 4 ； （3）由（1）可知： ABDACE， BDCE，ABDACE， BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90 ， Rt BCE 中，BE10，BC6， CE 22 10 -6 8， BDCE8， CD862， Rt DCE 中，DE 22 28 = 68， ADE 是等腰直角三角形， AE 2 DE 68 2 = 34 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当 的辅助线是解答此题的关键 3
8、如图 1，在 Rt ABC中，A90 ，ABAC，点 D，E分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，点 M， P，N分别为 DE，DC，BC的中点 （1）观察猜想：图 1中，线段 PM与 PN的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把 ADE绕点 A逆时针方向旋转到图 2的位置，连接 MN，BD，CE，判断 PMN的形状， 并说明理由； （3）拓展延伸：把 ADE绕点 A在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出 PMN面积的最大 值 【答案】 （1）PMPN，PMPN； （2） PMN是等腰直角三角形理由见解析； （3）S PMN最大 49 2 【分析】 （1）由已知
9、易得BDCE，利用三角形的中位线得出 1 2 PMCE， 1 2 PNBD，即可得出数量关系， 再利用三角形的中位线得出/PMCE得出DPMDCA，最后用互余即可得出位置关系； （2）先判断出ABDACE，得出BDCE，同（1）的方法得出 1 2 PMBD， 1 2 PNBD，即可 得出PMPN，同（1）的方法由MPNDCEDCBDBCACBABC ，即可得出结论； （3）方法 1：先判断出MN最大时，PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大 AMAN，最后用面积公式即可得出结论方法 2：先判断出BD最大时，PMN的面积最大，而BD 最大是14ABAD，即可得出结论 【详解】 解
10、： （1）点P，N是BC，CD的中点， / /PNBD， 1 2 PNBD， 点P，M是CD，DE的中点， / /PMCE， 1 2 PMCE， ABAC，ADAE， BDCE， PMPN， /PNBD， DPNADC， /PMCE， DPMDCA， 90BAC， 90ADCACD， 90MPNDPMDPNDCAADC， PMPN， 故答案为：PMPN，PMPN； （2）PMN是等腰直角三角形 由旋转知，BADCAE， ABAC，ADAE， ()ABDACE SAS ， ABDACE，BDCE， 利用三角形的中位线得， 1 2 PNBD， 1 2 PMCE， PMPN， PMN是等腰三角形，
11、同（1）的方法得，/PMCE， DPMDCE， 同（1）的方法得，/PNBD， PNCDBC， DPNDCBPNCDCBDBC， MPNDPMDPNDCEDCBDBC BCEDBCACBACEDBC ACBABDDBCACBABC， 90BAC， 90ACBABC， 90MPN， PMN是等腰直角三角形； （3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形， MN最大时，PMN的面积最大， /DEBC且DE在顶点A上面， MN最大AMAN， 连接AM，AN， 在ADE中，4ADAE，90DAE， 2 2AM ， 在Rt ABC中，10ABAC， 5 2AN ， 2 25 27
12、2MN 最大 ， 222 111149 (7 2) 22242 PMN SPMMN 最大 方法 2：由（2）知，PMN是等腰直角三角形， 1 2 PMPNBD， PM最大时，PMN面积最大， 点D在BA的延长线上， 14BDABAD， 7PM， 22 1149 7 222 PMN SPM 最大 【点睛】 此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形 的判断和性质， 直角三角形的性质的综合运用； 解 （1） 的关键是判断出 1 2 PMCE， 1 2 PNBD， 解 （2） 的关键是判断出ABDACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，PMN的面积
13、最大 4 （1）操作发现：将等腰Rt ABC与等腰Rt ADE按如图 1 方式叠放，其中90 ACBADE，点 D，E分别在AB，AC边上，M为BE的中点，连结CM，DM小明发现CMDM，你认为正确 吗？请说明理由 （2）思考探究：小明想：若将图 1中的等腰Rt ADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会 如何呢？为此进行以下探究： 探究一：将图 1 中的等腰Rt ADE绕点A沿逆时针方向旋转45（如图 2） ，其他条件不变，发现结论 CMDM依然成立请你给出证明 探究二：将图 1 中的等腰Rt ADE绕点A沿逆时针方向旋转135（如图 3） ，其他条件不变，则结论 CMDM还成立吗？
14、请说明理由 【答案】 （1）正确，理由见解析； （2）证明见解析； （3）成立，理由见解析 【分析】 （1）连接 DM 并延长，作 BNAB，与 DM 的延长线交于 N，连接 CN，先证明 EMDBMN，得到 BN=DE=DA，再证明 CADCNB，得到 CD=CN，证明 DCM是等腰直角三角形即可； （2）探究一：延长 DM交 BC于 N，根据平行线的性质和判定推出DEM=MBC，根据 ASA 推出 EMDBMN，证出 BN=AD，证明 CMD为等腰直角三角形即可； 探究二：作 BNDE交 DM 的延长线于 N，连接 CN，根据平行线的性质求出E=NBM，根据 ASA 证 DCANCB，推出
15、 DCN 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出 CMD为等腰直 角三角形 【详解】 解： （1）如图一，连接 DM 并延长，作 BNAB，与 DM的延长线交于 N，连接 CN， EDA=ABN=90 ， DEBN， DEM=MBN， 在 EMD和 BMN中， DEMNBM EMBM EMDNMB ， EMDBMN（ASA） ， BN=DE=DA，MN=MD， 在 CAD和 CNB中， 45 ACBC ACBN BNDA ， CADCNB， CD=CN， DCN是等腰直角三角形，且 CM 是底边的中线， CMDN， DCM是等腰直角三角形， DM=CM； （2）探究一， 理由：如图
16、二，连接 DM并延长 DM交 BC于 N， EDA=ACB=90 ， DEBC， DEM=MBC， 在 EMD和 BMN中， DEMNBM EMBM EMDNMB ， EMDBMN（ASA） ， BN=DE=DA，MN=MD AC=BC， CD=CN， DCN是等腰直角三角形，且 CM 是底边的中线， CMDM，DCM= 1 2 DCN=45 =BCM， CMD为等腰直角三角形 DM=CM； 探究二， 理由：如图三，连接 DM，过点 B 作 BNDE交 DM 的延长线于 N，连接 CN， E=MBN=45 点 M 是 BE的中点， EM=BM 在 EMD和 BMN中， EMBN EMBM DM
17、ENMB EMDBMN（ASA） ， BN=DE=DA，MN=MD， DAE=BAC=ABC=45 ， DAC=NBC=90 在 DCA和 NCB 中 DABN DACNBC CABC ， DCANCB（SAS） ， DCA=NCB，DC=CN， DCN=ACB=90 ， DCN是等腰直角三角形，且 CM 是底边的中线， CMDM，DCM= 1 2 DCN=45 =CDM， CMD为等腰直角三角形 DM=CM 【点睛】 本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和 判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较
18、好，难度较 大 5在ABC中，ABAC ，D是直线BC上一点（不与点B、C重合） ，以AD为一边在AD的右侧作 ADE，ADAE，DAEBAC，连接CE. （1）如图，当 D在线段BC上时，求证：BD CE. （2）如图，若点D在线段CB的延长线上，BCE，BAC.则、之间有怎样的数量关系？ 写出你的理由. （3）如图，当点D在线段BC上，90BAC，4BC ，求 DCE S最大值. 【答案】 （1）见解析； （2），理由见解析； （3）2 【分析】 （1）证明ABDACE SAS，根据全等三角形的性质得到BDCE； （2）同（1）先证明ABDACE SAS，得到ACE=ABD，结合等腰三角形
19、的性质和外角和定理 用不同的方法表示ACE，得到和关系式； （3） 同 （1） 先证明ABDACE SAS， 得到 ABCADCE SS 四边形 ， 那么 DCEADEADCE SSS 四边形 ， 当ADBC时， ADE S最小，即 DCE S最大 【详解】 解： （1）BACDAE， BACDACDAEDAC， BADCAE， 在ABD和ACE中， ABAC BADCAE ADAE ， ABDACE SAS， BDCE； （2）同（1）的方法得ABDACE SAS， ACE=ABD，BCE=， ACE= ACB+BCE=ACB+， 在ABC中， AB= AC，BAC=， ACB=ABC =
20、1 2 (180 -)= 90 - 1 2 ， ABD= 180 -ABC= 90 + 1 2 ， ACE=ACB += 90- 1 2 +， ACE=ABD = 90 + 1 2 ， 90 - 1 2 += 90+ 1 2 ， = ； （3）如图，过 A做AHBC于点 H， ABAC，90BAC， 45ABC， 1 2 2 BHAHBC， 同（1）的方法得，ABDACE SAS， AECABD SS , AECADCABDADC SSSS ， 即 1 4 2 ABCADCE SSBC AH 四边形 ， DCEADEADCE SSS 四边形 ， 当 ADE S最小时， DCE S最大， 当AD
21、BC 2AD，时最小， 2 1 2 2 ADE SAD ， 422 DCE S 最大 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问 中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的 6 （1）问题发现与探究： 如图 1，,ACBDCE都是等腰直角三角形，90ACBDCE ， 点 A， D， E在同一直线上，CMAE 于点 M，连接 BD，则： （1）线段 AE，BD之间的大小关系是_； ADB ； （2）求证：AD=2CM+BD； 如图 2，3，在等腰直角三角形 ABC 中，90ACB ，过点 A作直线，在直线上取点 D，45A
22、DB ， 连接 BD，BD=1，AC= 2，则点 C到直线的距离是多少 【答案】 （1）AEBD，90 ； （2）证明见解析； 3+1 2 或 3-1 2 【分析】 （1） 根据等腰直角三角形的性质得到 ACBC， CECD， 由ACBDCE90 ， 得到ACEBCD， 证得 ACDBCE，根据全等三角形的性质得到 AEBD，AECBDC，根据邻补角的定义得到 AEC135 即可得到结论； 根据等腰直角三角形的性质即可得到结论 （2）如图 2，过 C 作 CHAD 于 H，CECD交 AD于 E，于是得到 CDE是等腰直角三角形，由（1） 知，AEBD1，ADB90 ，根据勾股定理得到 AB
23、2AC2，AD 22 AB -BD = 3，由等腰直 角三角形的性质即可得到结论 【详解】 （1）解：ACB和 DCE 均为等腰直角三角形， ACBC，CECD， ACBDCE90 ， ACEBCD， 在 ACE与 BCD 中， ACBC，ACEBCD，CECD， ACDBCE， AEBD，AECBDC， CEDCDE45 ， AEC135 ，BDC135 ，ADB90 ； 故答案为：AEBD，90 ； 证明：在等腰直角三角形 DCE中，CM为斜边 DE上的高， CMDMME， DE2CM， AEDEAD2CMBE； （2）解：如图， 过 C 作 CHAD于 H，CECD 交 AD于 E， 则
24、 CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AEBD1，ADB90 ， AB= 2AC2， AD 22 AB -BD = 3， DEADAE31， CDE是等腰直角三角形， CH 1 2 DE 3-1 2 ， 如图所示， 过 C 作 CHAD于 H，CECD 交 AD于 E， 则 CDE是等腰直角三角形，由（1）知，AEBD1，ADB90 ， AB 2AC2， ADAD 22 AB -BD = 3， DEAEAD13， CDE是等腰直角三角形， CH 1 2 DE 3+1 2 ， 点 C到直线的距离是 3+1 2 或 3-1 2 ， 故答案为： 3+1 2 或 3-1 2 【点睛】 此题主要考查了全
25、等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的 关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 7直线 mn，点 A、B分别在直线 m，n 上（点 A在点 B的右侧） ，点 P 在直线 m上，AP 1 3 AB，连接 BP，将线段 BP 绕点 B顺时针旋转 60 得到 BC，连接 AC交直线 n 于点 E，连接 PC，且ABE为等边三角 形 （1）如图，当点 P 在 A的右侧时，请直接写出ABP 与EBC的数量关系是 ，AP 与 EC的数量 关系是 （2）如图，当点 P 在 A的左侧时， （1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理
26、由 （3）如图，当点 P 在 A的左侧时，若 PBC的面积为 9 3 4 ，求线段 AC 的长 【答案】 （1）ABPEBC，APEC； （2）成立，见解析； （3） 6 7 7 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到ABE60 ，ABBE，根据旋转的性质得到CBP60 ，BCBP，根 据全等三角形的性质得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到ABE60 ，ABBE，根据旋转的性质得到CBP60 ，BCBP，根 据全等三角形的性质得到结论； （3）过点 C作 CDm于 D，根据旋转的性质得到 PBC是等边三角形，求得 PC3，设 APCEt，则 ABAE3t，得到 AC2t，根据平行线的性
27、质得到CADAEB60 ，解直角三角形即可得到结论 【详解】 解： （1）ABE是等边三角形， ABE60 ，ABBE， 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60 得到 BC， CBP60 ，BCBP， ABP60 PBE，CBE60 PBE， 即ABPEBC， ABPEBC（SAS） ， APEC； 故答案为：ABPEBC，APEC； （2）成立，理由如下， ABE是等边三角形， ABE60 ，ABBE， 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60 得到 BC， CBP60 ，BCBP， ABP60 PBE，CBE60 PBE， 即ABPEBC， ABPEBC（SAS） ， APEC； （3）
28、过点 C作 CDm于 D， 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60 得到 BC， PBC是等边三角形， 3 4 PC2 9 3 4 ， PC3， 设 APCEt，则 ABAE3t， AC2t， mn， CADAEB60 ， AD 1 2 ACt，CD3AD3t， PD2+CD2PC2， （2t）2+3t29， t 3 7 7 （负值舍去） ， AC2t 6 7 7 【点睛】 本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知 识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解 8 （1）如图，Rt ABC中，ABAC，90BAC，D为B
29、C边上的一点，将ABD 绕点A逆时 针旋转 90 至ACF，作AE平分DAF交BC于点E，易证明： 222 BDCEDE 若2DEBD， 则以BD、DE、EC为边的三角形的形状是_； （2）如图，四边形ABCD中，90BADBCD，ABAD，若四边形ABCD的面积是 32， 2CD ，求BC的长度； （3）ABC是以BC为底的等腰直角三角形， 点D是ABC所在平面内一点， 且满足4AD，6BD， 2CD ，请画草图并求ADC的度数 【答案】 （1）等腰直角三角形； （2）7 2； （3）图见解析，135 或 45 【分析】 （1）要判断以BD、DE、EC为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只
30、需证明BDEC即可； （2）先构造出ABEADC，进而判断出CAEV是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE的面 积，由此求出AC，CE即可； （3）分情况讨论：当点D在ABC内时，作AEAD，使AEAD，连接CE，DE，利用全等三 角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；当点D在ABC外时，作AEAD，使AEAD，连 接CE，DE，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题 【详解】 解： （1） 222 BDCEDE， 以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形， 2DEBD ，设BDa，则 2DEa ， 222 2aECa， ECa， BDEC， 以BD、DE、EC为边的三角形的形
31、状是等腰直角三角形 故答案：等腰直角三角形 （2）如图，延长CB至E，使BECD，连接AE， 在四边形ABCD中， 90BADBCD， 180ABCADC， 180ABCABE， ABEADC， 在ABE和ADC中， , , , ABAD ABEADC BECD ABEADC SAS ， AEAC，BAEDAC， 90CAEBAEBACDACBAC， 2 1 2 ACE SAC ， 四边形ABCD的面积为 32， ACEABCD SS 四边形 ， 2 1 32 2 AC， 8AC（负值已舍） ， 28 2ECAC ， 8 227 2BCECBE 图 （3）画图如图， 当点D在ABC内时，如图，
32、过点A作AEAD，使AEAD，连接CE，DE， 90BACDAE ， BADCAE， 在BAD和CAEV中， ABAC BADCAE ADAE ， BADCAE SAS， 6BDCE， 24 2DEAD ，2CD ， 222 ECEDCD， 90EDC， 45ADE， 4590135ADC； 当点D在ABC外时，如图，过点A作AE AD，使AEAD，连接CE，DE， 90BACDAE ， BADCAE， 在BAD和CAEV中， ABAC BADCAE ADAE ， BADCAE SAS， 6BDCE， 24 2DEAD ，2CD ， 222 ECEDCD， 90EDC， 45ADE， 45AD
33、C 综上所述，ADC的度数为 135 或 45 图 图 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关 键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 9点 C为线段 AB 上一点，以 AC 为斜边作等腰Rt ADC，连接 BD在ABD外侧，以 BD为斜边作等 腰Rt BED，连接 EC （1）如图 1，当DBA30时： 求证：ACBD； 判断线段 EC与 EB的数量关系，并证明； （2）如图 2，当 0 DBA45 时，EC 与 EB 的数量关系是否保持不变？如果不变，请你证明 EC=EB 【
34、答案】 （1） 证明见解析；ECEB，证明见解析； （2） EC与 EB的数量关系保持不变，证明见解析 【分析】 （1）先根据等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线可得 1 2 DFAC，再根据直角三角形的性 质可得 1 2 DFBD，然后根据等量代换即可得证； 先根据等腰直角三角形的定义与性质、题的结论可得CDDEEB，45ACDBDE，再根 据角的和差、三角形的外角性质可得60CDE，然后根据等边三角形的判定与性质可得ECDE，由 此即可得证； （2）先根据等腰直角三角形的性质、角的和差可得,ADCDADBCDG ，再根据等腰直角三角形 的判定与性质可得BDGD， 然后根据三角形全等的
35、判定定理与性质可得45ADCG ， 从而可得 90BCG，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证 【详解】 （1）如图 1，过点 D 作DFAB于点 F， Rt ADC是等腰三角形， DF是斜边 AC上的中线， 1 2 DFAC， 又在Rt BDFV中，30DBA， 1 2 DFBD， 11 22 ACBD， 即ACBD； ECEB，证明如下： Rt ADC和Rt BED都是等腰直角三角形， 22 , 22 CDAC DEEBBD，45ACDBDE， 由知，ACBD， CDDE， 30QDBA， 15BDCACDDBA， 60CDEBDCBDE， CDE是等边三角形， ECDEE
36、B； （2）EC 与 EB的数量关系保持不变，证明如下： 如图 2，过点 D作 BD的垂线，交 BE 延长线于点 G，连接 CG， 90BDG， Rt ADC是等腰直角三角形， ,90 ,45ADCDADCAACD ， ADCBDCBDGBDC，即ADBCDG， Rt BED是等腰直角三角形， 45 ,DBEDEBE ， BDG是等腰直角三角形，且BDGD， EBEG（等腰三角形的三线合一） ， 在ABD和CGD中， ADCD ADBCDG BDGD ， ()ABDCGD SAS ， 45ADCG ， 90ACGACDDCG， 18090BCGACG， BCG是直角三角形， 又EBEG， 点
37、E 是 BG的中点，即 EC是斜边 BG上的中线， ECEB 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形斜边上的中线、等 边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2） ，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键 10如图，在Rt ABC中，90ACB，ACBC，点D、E分别在AC、BC边上，DC EC， 连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN （1）BE与MN的数量关系是_ （2）将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜 想，并利用图或图进行证明 【答案】 （1）
38、 2BEMN ； （2）图（2） ： 2B EM N ，图（3） ： 2B EM N ，理由见解析 【分析】 （1）先证明 AD=BE，根据中位线定理证明 PMN为等腰直角三角形，得到 2 2 PMMN ，再进行代换 即可； （2） ：如图（2）连接AD，延长BE交AD于H，交AC于G，先证明ACDBCE，得到，AD=BE， 90AHB，根据中位线定理证明 PMN 为等腰直角三角形，得到 2 2 PMMN ，再进行代换即可 【详解】 解： （1）Rt ABC中， 90ACB，ACBC， BAC=ABC=45 ACBC，DCEC， AD=BE， 点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点， PM，
39、PN分别为 ABE， BAD中位线， PMBE,PM= 1 2 BE,PNAC,PN= 1 2 AD, PM=PN, APM=BPN=45 ， PMN=90 ， PMN 为等腰直角三角形， 22 sin 22 PMMNPNMMNMN， 22BEPMMN ， 即 2BEMN ； （2）图（2） ： 2B EM N 图（3） ： 2B EM N 证明：如图（2） 连接AD，延长BE交AD于H，交AC于G， 90ACBDCEQ， DCAECB， DCEC，ACBC， ACDBCE， CADCBE，BEAD， AGHCGE， 90CADAGHCBECGE， 90AHB， P、M、N分别是AB、AE、B
40、D的中点， /PNAD， 1 2 PNAD， /PMBE， 1 2 PMBE， PMPN， 190MPNAHB ， PMN 是等腰直角三角形， 2MNPM ， 22BEPMMN 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，中位线定理等知识，综合性较强，解题关键理 解运用好中位线性质 11将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，,90OAOB OCODAOBCOD ，连接 ,AC BD （1）如图 1,若A OD、 、三点在同一条直线上，则AC与BD的关系是 ； （2）如图 2，若A O D、 、三点不在同一条直线上,AC与BD相交于点E，连接OE,猜想AEBEOE、 之间的数
41、量关系，并给予证明； （3）如图 3，在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF，直接写出AD与OF之间的关系 【答案】（1）ACBD且ACBD；（2） 2AEBEOE ； 证明见解析；（3）2ADOF且ADOF 【分析】 （1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长 AC交 BD于点 C进行角的等量代换进行分析即可； （2）根据题意在AE上截取AMBE,连接OM，并全等三角形的判定证明AOCBOD和 AMOBEO，进而利用勾股定理得出 222 OMOEME进行分析求解即可； （3） 过点B作BMOC， 交OF的延长线于点M， 延长FO交AD于点N， 证明BFMCFO， AODOBM， 进而
42、即可得到结论 【详解】 解： 1,90OAOB OCODAOBCOD ， (),AOCBOD SASACBD， 延长 AC交 BD于点 C，如下图： ,AOCBOD ACOBCC ， 90 ,90ACOCAOBCCCBCBCC ， 即ACBD，综上ACBD且ACBD， 故答案为：ACBD且ACBD； 22AEBEOE 证明:在AE上截取AMBE,连接OM 90AOBCOD AOBBOCCODBOC AOCBOD 在AOC和BOD中 AOBO AOCBOD OCOD AOCBOD SAS CAODBO 在AMO和BEO中 AMBE MAOEBO AOBO AMOBEO SAS ,OMOEAOMB
43、OE 90AOMMOB 90BOEBOM 222 OMOEME 即 22 2OEME 2OEME MEMAAE 2OEBEAE ； 32ADOF且ADOF，理由如下： 过点 B作 BMOC，交 OF的延长线于点 M，延长 FO 交 AD于点 N， BMOC， M=FOC， BFM=CFO，BF=CF, BFMCFO（AAS） ， OF=MF，BM=CO， DO=CO， DO=BM， BMOC， OBM+BOC=180 ， BOC+AOD=360 -90 -90 =180 ， OBM=AOD， 又AO=BO， AODOBM（SAS） ， AD=OM=2OF ，BOM=OAD， BOM+AON=1
44、80 -90 =90 ， OAD+AON=90 ，即 OFAD 2ADOF且ADOF 【点睛】 本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键. 12在直角坐标系中，O为坐标原点，点 A（4，0） ，点 B（0，4） ，C是 AB中点，连接 OC，将 AOC绕 点 A 顺时针旋转，得到 AMN，记旋转角为 ，点 O，C 的对应点分别是 M，N连接 BM，P 是 BM中点， 连接 OP，PN （）如图当 45 时，求点 M的坐标； （）如图，当 180 时，求证：OPPN且 OPPN； （）当 AOC旋转至点 B，M，N 共线时，求点 M的坐标（直接写
45、出结果即可） 【答案】 （）M（42 2，22） ； （）见解析； （）满足条件的点 M 的坐标为（2，23）或（2， 2 3） 【分析】 （）如图中，过点 M作 MDOA于 D解直角三角形求出 OD，OM即可解决问题 （）如图，当 180 时，点 B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决 问题 （）分两种情形：如图1中，当点 M在线段 BN上时，如图2中，当点 N 在线段 BM上时，分 别求解即可解决问题 【详解】 （）如图中，过点 M作 MDOA 于 D A（4，0） ，B（0，4） ， OAOB4， C 是 AB 的中点， OCCBCA 1 2 AB，且 OCA
46、B， AOC是等腰直角三角形， 当 45 时，点 M在 AB 上， 由旋转可知： AOCAMN， AMOA4MDAD 2 2 AM2 2， ODOAAD42 2， M（42 2，22） （）如图，当 180 时，点 B，A，N 共线，O，A，M共线， BNMBOM90 ，P是 BM 的中点， OPPNPBPM， PMNPNM，POBPBO， NPM180 2PMN，BPO180 2PBO， MPN+BPO360 2（PMN+PBO） MPN+BPO360 2（45 +PMO+PBO） ， PMO+PBO90 ， MPN+BPO90 ， OPN180 （MPN+BPO）90 ， OPPN （）如图1中，当点 M在线段 BN上时， 在 Rt ABN 中，AB4 2，AN22， AB2AN， ABN30 ， BN3AN26，BMBNMN26 2 2， 过点 M 作 MKOB于 K，在 MK 上截取一点 J，使得 BJMJ，设 BKa， ABO45 ， MBK75 ，KMB15 ， JBJM， JBMJMB15 ， BJKJBM+JMB30 ， BJJM2a，KJ3a， BM2BK2+KM2， （2 622） 2a2+（2a+ 3a） 2， 解得 a42 3（负根已经舍弃）
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