1、专题专题 04 04 等腰直角三角形构造三垂直模型等腰直角三角形构造三垂直模型 一、解答题一、解答题 1如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 yk1xb的图象与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y轴交于点 B，且与正比例函数 ykx的图象交点为 C（3，4） （1）求 k值与一次函数 yk1xb 的解析式； （2）在 x轴上有一动点 P，求当 PB+PC最小时 P 点坐标 （3）若点 D在第二象限， DAB 是以 AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点 D的坐标； 【答案】 （1）k= 4 3 ，y= 2 3 x+2； （2）P(1，0)； （3） （5，3）或（2，5） 【分析】 （
2、1）根据待定系数法求解即可； （2）作点 B关于 x 轴对称的点 B ，连接 BC，交 x 轴于点 P，此时 PB+PC最小，求出直线 BC的解析 式，求出直线 BC与 x轴的交点坐标即可； （3）分两种情况讨论：当DAB=90 时；当DBA=90 时，添加辅助线构造全等三角形进行求解即 可 【详解】 解： （1）由题意，将点 C(3，4)代入 y=kx 中，得：4=3k， 解得：k= 4 3 ， 再将点 C(3，4)、点 A（3，0）代入 yk1xb 中，得： 1 1 30 34 kb kb ， 解得： 1 2 3 2 k b ， 函数 yk1xb 的解析式为：y= 2 3 x+2； （2）
3、如图，作点 B 关于 x轴对称的点 B ，连接 BC，交 x轴于点 P，此时 PB+PC最小， 在 y= 2 3 x+2中，令 x=0，则 y=2， B(0，2)，则 B （0，2） ， 设直线 BC 的解析式为 yk2x2， 将 C（3，4）代入得：4=3k22，解得：k2=2， 直线 BC 的解析式为 y2x2， 令 y=0，由 0=2x2得：x=1， 点 P 坐标为（1，0） ； （3）根据题意，OA=3，OB=2，分两种情况： 当DAB=90 时，DA=AB， 过点 D作 DMx轴于 E， DAM+BAO=90 ，BAO+ABO=90 ， DAM=ABO， DMA=AOB=90 ，DA
4、=AB， DAMABO(AAS)， DM=OA=3，MA=OB=2， D(5，3)； 当DBA=90 时，DB=AB， 过 D作 DNy轴于 N， 同理可证 DBNBAO(AAS)， BN=OA=3，DN=OB=2， D （2，5） ， 故点 D的坐标为（5，3）或（2，5） 【点睛】 本题是一次函数的综合题，主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判 定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识，熟练掌握一次函数的相 关知识，添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键 2在ABC中，ACB90 ，ACBC，直线，MN 经过
5、点 C，且 ADMN 于点 D，BEMN于点 E （1）当直线 MN绕点 C旋转到如图 1 的位置时，求证：DEAD+BE； （2）当直线 MN绕点 C旋转到如图 2 的位置时，求证：DEADBE； （3）当直线 MN绕点 C旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直 接写出这个数量关系，不要证明 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）DEBEAD 【分析】 （1）由题意易得DAC+ACD90 ，则DACBCE，进而可证 ADCCEB，然后根据全等三角 形的性质可求解； （2）由题意易得CEB=ADC=90 ，则可求CAD=BCE，进而可证 CA
6、DBCE，然后根据全等三 角形的性质可求解； （3）根据题意可证 CADBCE，然后根据全等三角形的性质可求解 【详解】 （1）证明：ADMN，BEMN， ADCCEB90 ， DAC+ACD90 ， ACB90 ， BCE+ACD90 ， DACBCE， 在 ADC 和 CEB， ADCCEB DACECB ACCB ， ADCCEB（AAS） ， CDBE，ADCE， DECE+CDAD+BE； （2）证明：ADMN，BEMN， ADCCEB90 ， DAC+ACD90 ， ACB90 ， BCE+ACD90 ， DACBCE， AC=BC， ADCCEB， CDBE，ADCE， DECE
7、CDADBE； （3）解：DEBEAD，理由如下： ADMN，BEMN， ADCCEB90 ， DAC+ACD90 ， ACB90 ， BCE+ACD90 ， DACBCE， AC=BC， ADCCEB， CDBE，ADCE， DEBEAD 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定 及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键 3课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示： （1）求证： ADCCEB； （2）已知 DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a 的大小（每块砖的厚度相同） 【答案】 （1）见详解；
8、（2）砌墙砖块的厚度 a 为 5cm 【分析】 （1）根据题意可得 ACBC，ACB90 ，ADDE，BEDE，进而得到ADCCEB90 ，再根据 等角的余角相等可得BCEDAC，再证明 ADCCEB 即可 （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答 【详解】 （1）证明：由题意得：ACBC，ACB90 ，ADDE，BEDE， ADCCEB90 ， ACDBCE90 ，ACDDAC90 ， BCEDAC， 在 ADC 和 CEB 中 ADCCEB DACBCE ACBC ， ADCCEB（AAS） ； （2）解：由题意得：一块墙砖的厚度为 a， AD4a，BE3a， 由（1）得： ADCCEB
9、， DCBE3a，ADCE4a， DCCEBEAD7a35， a5， 答：砌墙砖块的厚度 a为 5cm 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件 4已知，A（-1，0） （1）如图 1，B（0，2） ，以 B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角 ABC 求 C点的坐标； 在坐标平面内是否存在一点 P （不与点 C 重合） ， 使 PAB与 ABC 全等？ 若存在， 直接写出 P 点坐标； 若不存在，请说明理由； （2） 如图 2， 点 E为 y轴正半轴上一动点， 以 E为直角顶点作等腰直角 AEM， 设 M （a， b） ， 求 a-b 的值 【答案】 （1）
10、2,3C ；存在，2,1P或1, 1 或3,1； （2）1 【分析】 （1）作 CDy轴于 D，证 CEBBOA，推出 CE=OB=2，BE=AO=1，即可得出答案； （2）分为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案； （3）作 MFy轴于 F，证 EFMAOE，求出 EF，即可得出答案 【详解】 （1）作 CEy轴于 E，如图 1， A（-1，0） ，B（0，2） ， OA=1，OB=2， CBA=90 ， CEB=AOB=CBA=90 ， ECB+EBC=90 ，CBE+ABO=90 ， ECB=ABO， 在 CBE和 BAO 中 ECBABO CEBAO
11、B BCAB CBEBAO， CE=BO=2，BE=AO=1， 即 OE=1+2=3， C（-2，3） 存在一点 P，使 PAB 与ABC全等， 分为三种情况：如图 2，过 P作PEx轴于 E， 则90PABAOBPEA ， 90EPAPAE，90PAEBAO， EPABAO， 在PEA和AOB中 EPABAO PEAAOB PAAB ， PEAAOB， 1PEAO，2EABO， 1 23OE ， 即 P 的坐标是3,1； 如图 3，过 C作CMx轴于 M，过 P作PEx轴于 E， 则90CMAPEA ， CBAPBA， 45PABCAB ，ACAP， 90CAP， 90MCACAM，90CA
12、MPAE， MCAPAE， 在CMA和AEP中， MCAPAE CMAPEA ACAP ， CMAAEP， PEAM，CMAE， 2,3C ，1,0A ， 2 11PE ，03 12OEAEA ， 即 P 的坐标是2,1； 如图 4，过 P 作PEx轴于 E， CBAPAB， ABAP，90CBABAP ， 则90AEPAOB ， 90BAOPAE，90PAEAPE， BAOAPE， 在AOB和PEA中， BAOAPE AOBPEA ABAP ， AOBPEA， 1PEAO，2AEOB， 02 1 1EAEAO ， 即 P 的坐标是1, 1， 综合上述：符合条件的 P的坐标是3,1或1, 1或
13、2,1 （2）过M作MFy轴于F，得到下图 5 ,M a b ,MFa FOb， 由上图得：90AEMEFMAOE ， 90AEOMEF，90MEFEMF， AEOEMF， 在AOE和EMF中 AOEEFM AEOEMF AEEM ， AEOEMF AAS， 1EFAO，MFOE， MNx轴，MF y轴， 90MFOFONMNO ， 四边形 FONM是矩形， MNOF， 1a bMFOFEO OFEFOA 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用 性质进行推理的能力，用了分类讨论思想 5公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学
14、校，DAAB 于点A，CBAB于点B，如图， 已知15DA千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且 90DHC，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？ 【答案】H应建在距离A站 10千米处，学校C到公路的距离是 10千米 【分析】 先根据垂直的定义可得90AB ，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得DBHC， 然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,15AHBC DAHB千米，最后根据线段的和差可得 【详解】 由题意得：DHHC，25AB千米， ,DAAB CBAB ， 90AB ， 90DAHD ， 90DHC， 18090BHDHD
15、CCHA， DBHC， 在ADH和BHC中， AB DBHC DHHC ， ()ADHBHC AAS ， ,AHBC DAHB， 15DA千米，25AB千米， 15HB千米， 10BCAHABHB千米， 答：H应建在距离A站 10千米处，学校C到公路的距离是 10 千米 【点睛】 本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三 角形全等的判定方法是解题关键 6如图所示，在ABC和DBC中，ACB=DBC=90 ，点 E是 BC的中点，EFAB，垂足为 F，且 AB=DE （1）求证：BC=BD； （2）若 BD=10 厘米，求 AC 的长 【答案】
16、 （1）证明见解析； （2）5厘米 【分析】 （1）由 DEAB，可得BFE=90 ，由直角三角形两锐角互余，可得ABC+DEB=90 ，由ACB=90 ， 由直角三角形两锐角互余，可得ABC+A=90 ，根据同角的余角相等，可得A=DEB，然后根据 AAS 判断 ABCEDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到 BD=BC； （2）由（1）可知 ABCEDB，根据全等三角形的对应边相等，得到 AC=BE，由 E是 BC的中点，得 到 BE= 1 2 BC 1 2 BD5 厘米 【详解】 解： （1）DEAB，可得BFE=90 ， ABC+DEB=90 ， ACB=90 ， ABC+A=90
17、， A=DEB， 在 ABC和 EDB 中， ACBDBC ADEB ABDE ， ABCEDB（AAS） ， BD=BC； （2）ABCEDB， AC=BE， E 是 BC 的中点，BD=10 厘米， BE= 1 2 BC 1 2 BD5 厘米 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、SSS，直 角三角形可用 HL定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的 三角形是解决本题的关键 7综合与实践 特例研究： 将矩形ABCD和Rt CEF按如图 1放置，已知90 ,FCEADCD CECF C
18、FCD，连接 ,BF DE 1如图 1，当点D在CF上时，线段BF与DE之间的数量关系是_ ；直线BF与直线DE之 间的位置关系是_ ； 拓广探索： 2图 2是由图 1 中的矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段BF与DE之间的数量 关系和直线BF与直线DE之间的位置关系，并说明理由 【答案】 （1）,BFDE BFDE； （2）,BFDE BFDE，理由见解析 【分析】 1,BFDE BFDE，延长ED交BF于点 G先证 FBCEDC（SAS） ，可知 ,BFDECEDCFB ，由DCE=90 ，可得DEC+CDE=90 ，可推出FDG+GFD=90 即可， 2先下结论，,B
19、FDE BFDE， 再证明， 证法与 （1） 类似， 延长ED交CF于点,M交FB于点N 由 四边形ABCD为矩形且 AD=CD可得CDCB，DCEBCF SAS可推出 ,BFDECEDCFB 由90 ,FCE知 90CMECED 由,C M EF M N可用等量代换得90 ,FMNCFB由三角形内角和得 90 ,FNE即可 【详解】 解： 1,BFDE BFDE， 延长ED交BF于点 G， 四边形ABCD为矩形，且 AD=DC， BC=CD， FDBCCE=90 ， 由旋转的 FC=EC， FBCEDC（SAS） ， ,BFDECEDCFB ， DCE=90 ， DEC+CDE=90 ， F
20、DG+GFD=90 FGD=90 ， 2,BFDE BFDE， 理由如下： 如答图，延长ED交CF于点,M交FB于点N ， 90FCE， 四边形ABCD为矩形， BCDFCE， FCBFCDECDFCD， FCBECD， ADCD， 矩形ABCD为正方形 CDCB， 在DCE和BCF中， , , CDCB ECDFCB CECF ， DCEBCF SAS ,BFDECEDCFB 90 ,FCE 90CMECED ,CMEFMN 90 ,FMNCFB 90 ,FNE BFDE 【点睛】 本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会 利用旋转找全等条
21、件，会计算角的和差，和证垂直的方法 8已知：在ABC中，BAC=90 ，ABCA，直线 m经过点 A，BD直线 m 于点 D，CE直线 m于点 E求证：BDAAEC； 【答案】证明见解析 【分析】 先根据垂直的定义可得90ADBCEA，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得 BADACE，然后根据三角形全等的判定定理即可得证 【详解】 ,BDm CEm ， 90ADBCEA， 90ACECAE， 90BAC， 18090BADCAEBAC， BADACE， 在BDAV和AEC中， ADBCEA BADACE ABCA ， ()BDAAEC AAS 【点睛】 本题考查了垂直的定义、直角三角形
22、的性质、三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是 解题关键 9 （提出问题）如图 1，在直角ABC中，BAC=90 ，点 A 正好落在直线 l上，则1、2 的关系为 （探究问题）如图 2，在直角ABC中，BAC=90 ，AB=AC，点 A正好落在直线 l上，分别作 BDl于 点 D，CEl于点 E，试探究线段 BD、CE、DE 之间的数量关系，并说明理由 （解决问题）如图 3，在ABC中，CAB、CBA均为锐角，点 A、B正好落在直线 l上，分别以 A、B 为直角顶点， 向ABC外作等腰直角三角形 ACE和等腰直角三角形 BCF， 分别过点 E、 F 作直线 l的垂线， 垂足为 M
23、、N 试探究线段 EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由； 若 AC=3，BC=4，五边形 EMNFC 面积的最大值为 【答案】 提出问题：1290 ； 探究问题：BDCEDE， 理由见解析； 解决问题： EMFNAB， 理由见解析； 49 2 【分析】 提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得； 探究问题：先根据垂直的定义可得90ADBCEA，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可 得2ABD ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BDAE ADCE，最后根据线段的和差 即可得； 解决问题：如图（见解析） ，同探究问题的方法可得,EMAD FNBD，再根据线段的和差即可得； 如图（
24、见解析） ，同探究问题的方法可得 ,ACDEAMBCDFBN ，再根据三角形全等的性质可 得, ACDEAMBCDFBN SSSS，然后利用三角形的面积公式将五边形 EMNFC面积表示出来， 由此即可得 出答案 【详解】 提出问题：12180 ,90BACBAC ， 2190 ， 故答案为：1290 ； 探究问题：BDCEDE，理由如下： ,BDl CEl， 90ADBCEA， 190ABD ， 由提出问题可知，1290 ， 2ABD ， 在ABD和CAEV中，2 ADBCEA ABD ABCA ， ()ABDCAE AAS ， ,BDAE ADCE ， DEAEADBD CE， 即BDCED
25、E； 解决问题：EMFNAB，理由如下： 同探究问题的方法可证：,EMAD FNBD， ABADBDEMFN， 即EMFNAB； 如图，过点 C作CDl于点 D， 同探究问题的方法可证：,ACDEAMBCDFBN， , ACDEAMBCDFBN SSSS， ACEQV和BCF都是等腰直角三角形，且 3,4ACBC ， 3,4AEACBFBC ， 191 ,8 222 ACEBCF SAC AESBC BF， 五边形 EMNFC 面积为 EAMACEACDBCDBCFFBN SSSSSS， 9 8 2 ACDACDBCDBCD SSSS ， 25 2 2 ACDBCD SS， 25 2 2 AB
26、C S， 则当ABC面积取得最大值时，五边形 EMNFC 面积最大， 设ABC的 BC 边上的高为h，则 1 2 2 ABC SBC hh， 在ABC中，CAB、CBA均为锐角， 当 90ACB时，h取得最大值，最大值为3AC ， ABC面积的最大值为 2 36 ABC S ， 则五边形 EMNFC 面积的最大值为 2549 2 6 22 ， 故答案为： 49 2 【点睛】 本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角 形全等的判定定理与性质是解题关键 10如图，在 ABC 中，ACBC，直线 l经过顶点 C，过 A，B 两点分别作 l的垂线 A
27、E，BF，E，F为垂 足AECF，求证：ACB90 【答案】见解析 【分析】 根据题意易得 Rt ACERt CBF，则有EACBCF，然后根据等角的余角相等及领补角可求证 【详解】 证明：如图，在 Rt ACE和 Rt CBF中， ACBC AECF ， Rt ACERt CBF（HL） ， EACBCF， EAC+ACE90 ， ACE+BCF90 ， ACB180 90 90 【点睛】 本题主要考查直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及性质是解题的关键 11 如图 1， 在 ABC中， ACB90 ， ACBC， 过 C 在 ABC外作直线 MN， AMMN于点 M，
28、 BNMN 于点 N （1）求证：MNAMBN； （2）如图 2，若过点 C 作直线 MN与线段 AB相交，AMMN 于点 M，BNMN于点 N（AMBN） ， （1） 中的结论是否仍然成立？说明理由 【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析 【分析】 (1)根据垂直的定义得到AMC=CNB=90 ，则MAC+ACM=90 ，又ACB=90 ，则 ACM+NCB=90 ，于是根据等量代换得到MAC=NCB，根据“AAS”可证明 ACMCBN，根据 全等的性质得到 AM=CN，CM=BN，则 MN=MC+CN=AM+BN (2)根据已知条件能证得 ACMCBN， 利用全等的性质得到 AM=
29、CN， CM=BN， 而 MN=CN-CM=AM-BN 【详解】 解：(1)AMMN于点 M，BNMN于点 N， AMC=CNB=90 ， MAC+ACM=90 ， ACB=90 ， ACM+NCB=90 ， MAC=NCB， 在 ACM和 CBN中， AMCCNB MACNCB ACBC ACMCBN， AM=CN，CM=BN， MN=MC+CN=AM+BN (2)题(1)中的结论不成立， 同题(1)证明可知：ACMCBN， AM=CN，CM=BN， MN=CN-CM=AM-BN， 【点睛】 本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键 12在平面直角
30、坐标系中，函数 4 4 3 yx 的图像分别交x轴、y轴于点A C、，函数yaxb的图象 分别交x轴、y轴于点,B C，且4OCOB，过点C作射线/CRx轴 （1）求直线BC的解析式； （2） 点P自点C沿射线CR以每秒1个单位长度运动， 同时点Q自点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速 度向终点C运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ设POC的面积为S，点Q 的运动时间为t（秒） ，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点P作/PFCB，交x轴于点F，连接QF，在PQ、运动的过程中，是否存 在t值，使得45PFQ ，若存在，求t值：若不存在
31、，请说明理由 【答案】 （1）44yx； （2） 2 2 205 5 Sttt ； （3）存在，15 11 或 25 7 【分析】 （1）利用待定系数法求出A，C两点坐标，再求出点B坐标即可解决问题； （2）想办法用t表示点Q坐标，利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情形，通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题 【详解】 解： （1）函数 4 4 3 yx 的图象分别交x轴、y轴于点A，C， (3,0)A ，(0,4)C， 3OA ，4OC ， 4OCOB， 1OB， ( 1,0)B ， 设直线BC的解析式为y kxb ，则有 4 0 b kb ， 解得 4 4 k b ，
32、 直线BC的解析式为44yx （2）如图 1中， 由题意AQ PCt ，易知 3 (3 5 Qt， 4 ) 5 t， 2 142 (4)2 (05) 255 Sttttt （3）存在； 情形如图 2中，取点(4,3)M，连接CM，BM，作MGCR垂足为G交OA于K，作QH OA 垂足为 H 4CGCO，90CGMCOB ，1MGBO ()CGMCOB ASA ， GCMOCB ，CBCM， 90BCMOCG ， BCM的等腰直角三角形， 1345 ， /PFBC， 2145 ，445 ， 24 ， / /FQBN ， QFHMBK ， 90QHFMKB， QHFMKB ， QHFH MKBK
33、， 43 3(1) 55 35 ttt ， 15 11 t 情形如图 3中，由2445 ，可知90MNF， 由 QHFBKM 得到 QHHF BKMK ， 43 (4) 55 53 ttt ， 25 7 t ， 综上所述 15 11 t=或 25 7 【点睛】 此题考查一次函数的应用，直角三角形的性质及全等三角形以及相似三角形的判定及性质，属于综合性较 强的题目，对于此类动点型题目，首先要确定符合题意的条件下动点所在的位置，然后用时间t表示出有关 线段的长度，进而建立关于线段的关系式，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，难度较大 13已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A（a，0） 、
34、C（b，c） ，且 a、b、c满足 2 a3b32c =0 （1）求点 A、C 的坐标； （2）在 x 轴正半轴上有一点 E，使ECA45 ，求点 E 的坐标； （3）如图 2，若点 F、B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且 OB=OF，点 P 在第一象限内，连接 PF，过 P 作 PMPF交 y轴于点 M， 在 PM 上截取 PN=PF， 连接 PO、 BN， 过 P 作OPG=45 交 BN 于点 G， 求证： 点 G 是 BN的中点 【答案】 （1） （-3，0） ； （3，-2） ； （2） （2，0） ； （3）证明见详解 【分析】 （1）根据题意，由算术平方根，绝对值和平方数的非负
35、性，求出 a、b、c的值，即可得出点 A、C 的坐标； （2）通过辅助线作图，构造一线三垂直模型，证明 ALGCKA SS，求出点 G的坐标，由等面积法求出 AE 长度即可求出点 E 坐标； （3）作 EOOP 交 PG的延长线于 E，连接 EB、EN、PB，只要证明四边形 ENPB是平行四边形即可 【详解】 （1）由题意知， 2 a3b32c =0， 所以 a=-3，b=3，c=-2， 点 A 坐标为（-3，0） ，点 C坐标为（3，-2） ， 故答案为： （-3，0） ； （3，-2） ； （2） 过点 A作 AC的垂线， 交 CE的延长线于点 G， 过点 A 作 x轴的垂线 KL， 过点
36、 C 作 KL的垂线于点 K ， 过点 G作 KL的垂线于点 L，过点 G作 x 轴的垂线于 M，过点 C作 x 轴的垂线于 N， ECA45 ，AGAC， CAG=90 ，AG=AC， CAG 为等腰直角三角形， 由一线三垂直模型可知，GAL=ACK， 在 ALG 和 CKA中 90 GALACK AG A AC LGCKA ALGCKA SS， AL=CK=AN=3+3=6，LG=AK=CN=2， GM=6，OM=3-2=1， 点 G坐标为（-1，3） ， 在 Rt ANC中，AN=6，CN=2，由勾股定理得，AG=AC= 22 6 +2 =2 10， 由等面积法，得 11 () 22 A
37、CAGAEGMCN， 11 2 102 10=8 22 AE， AE=5， OE=AE-OA=5-3=2， 故点 E坐标为（2，0） ， 故答案为： （2，0） ； （3）如图，作 EOOP交 PG 的延长线于 E，连接 EB、EN、PB， EOP=90 ，EPO=45 ， OEP=EPO=45 ， EO=PO， EOP=BOF=90 ， EOB=POF， 在 EOB和 POF中， BOOF EOBPOF OEOP EOBPOF， EB=PF=PN，1=OFP， 2+PMO=180 ， MOF=MPF=90 ， OMP+OFP=180 ， 2=OFP=1， EBPN， EB=PN， 四边形 E
38、NPB是平行四边形， BG=GN， 即点 G是 BN 的中点 【点睛】 本题考查了算术平方根，绝对值和平方数的非负性，一线三垂直模型，等面积法求线段长度，三角形全等 的判定和性质，平行四边形的判定和性质应用，熟练掌握图形的判定和性质是解题的关键 14在平面直角坐标系中，已知点,0A a、0,Cb满足 2 (2)50ab （1）直接写出：a_，b_ （2） 点B为x轴正半轴上一点， 如图 1，BEAC于点E， 交y轴于点D， 连接OE， 若OE平分AEB， 求直线BE的解析式 （3）在 （2）的条件下，点M为直线BE上一动点， 连OM，将线段OM绕点M逆时针旋转90，如图 2， 点O的对应点为N
39、，当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由 【答案】 （1）2，5； （2） 2 yx2 5 ； （3）点N的运动路线是直线 320 77 yx，理由见解析 【分析】 （1）根据题意得到关于 a、b的方程，求 a、b即可； （2）如图 1，过点O作OFOE，交BE于F，分别证明EOCFOB，AOCDOB，得到 OBOC，OAOD，确定点 B、D 坐标，利用待定系数法即可求解； （3） 如图 2， 过点M作MGx轴， 垂足为G， 过点N作NHGM交GM的延长线于H， 证明NOM 为等腰直角三角形，得到OGMH，GMNH，设 2 ,2 5 Mmm ，则 3 ,2 5 H mm ，得到
40、 73 2,2 55 Nmm ，即 7 5 2mx， 3 2 5 my，消去 m，即可得到点 N运动轨迹 【详解】 解： （1）由题意得 a+2=0，b+5=0，解得 a=2，b=5， 故答案为：2，5； （2）如图 1，过点O作OFOE，交BE于F， BEAC，OE平分AEB， EOF为等腰直角三角形， OE=OF，BOF=COE=45 ， BEAC于点E， 1+BAC=90 ， 2+BAC=90 ， 1=2， EOCFOB， OBOC， 1=2, AOC=DOB=90 ， AOCDOB， OAOD， 2,0A ，0, 5C， 0, 2D，5,0B， 设直线BD解析式为y kxb ， 2 5
41、0 b kb ， 2 2 5 b k ， 直线BD，即直线BE的解析式为 2 yx2 5 ； （3）由题意得，NOM为等腰直角三角形 如图 2，过点M作MGx轴，垂足为G，过点N作NHGM交GM的延长线于H， NOM为等腰直角三角形， GOMHMN， OGMH，GMNH， 由（2）得直线BD的解析式 2 yx2 5 ， 设 2 ,2 5 Mmm ，则 3 ,2 5 H mm ， 73 2,2 55 Nmm ， 令 7 5 2mx， 3 2 5 my， 320 77 yx， 即点N的运动路线是直线 320 77 yx 【点睛】 本题为一次函数综合题，考查了三角形全等判定，等腰直角三角形性质，待定
42、系数法等，综合性强，根据 题意构造全等，理解函数图象是点的运动轨迹是解题的关键 15如图，将 Rt ABC的斜边 BC 绕点 B 顺时针旋转 90 得边 BD，过点 D作 AB 的垂线，交 AB延长线于点 E，求证： EDBABC 【答案】见解析 【分析】 先由旋转的性质得到 BCBD，DBC90 CAB，再运用“AAS”证得 EDBABC即可 【详解】 证明：BC 绕点 B 顺时针旋转 90 得边 BD， BCBD，DBC90 CAB， ABC+ACB90 ，ABC+DBE90 ， ACBDBE， 又CABDEB90 ， EDBABC（AAS） 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和旋转的性
43、质，根据旋转的性质得到判定全等三角形的条件是解答本题的关 键 16如图，已知在 ABC中，AB=AC，BAC=90 ，分别过 B、C向过 A的直线作垂线，垂足分别为 E、 F （1）如图过 A的直线与斜边 BC 不相交时，求证：EF=BE+CF； （2）如图过 A的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，求：FE 长 【答案】 （1）见解析； （2）7 【分析】 （1）此题根据已知条件容易证明 BEAAFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道 BEAAFC 仍然成立，再根据对应边相等就可以求出 EF了 【详解】 解： （1）BEEA，CFA
44、F， BAC=BEA=CFE=90 ， EAB+CAF=90 ，EBA+EAB=90 ， CAF=EBA， 在 ABE和 AFC 中， BEA=AFC=90 ，EBA=CAF，AB=AC， BEAAFC EA=FC，BE=AF EF=EB+CF （2）解：BEEA，CFAF， BAC=BEA=CFE=90 ， EAB+CAF=90 ，ABE+EAB=90 ， CAF=ABE， 在 ABE和 AFC 中， BEA=AFC=90 ，EBA=CAF，AB=AC， BEAAFC EA=FC=3，BE=AF=10 EF=AFCF=103=7 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问
45、题，经常用全等来证线段和的问题 17在 ABC中，ACB=90 ，AC=BC，直线 MN经过点 C，且 ADMN于 D，BEMN于 E， （1） 当直线 MN绕点 C 旋转到图 （1） 的位置时， 请你探究线段 DE、 AD、 BE之间的数量关系并加以证明； （2）当直线 MN 绕点 C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想 并加以证明 （3）当直线 MN 绕点 C旋转到图（3）的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这 个等量关系 【答案】 （1）DE=AD+BE，理由见详解； （2）发生变化，AD=BE+DE，理由见详解； （3）B
46、E=AD+DE 【分析】 （1）由题意易得CDA=BEC=90 ，DCA+ECB=90 ，DCA+DAC=90 ，则有DAC=ECB， 进而可知 ADCCEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证； （2）由题意易得CDA=BEC=90 ，DCA+CAD=90 ，DCA+BCE=90 ，则有DAC=ECB， 进而可知 ADCCEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可求证； （3）由题意易得CDA=BEC=90 ，DCA+ECB=90 ，EBC+BCE=90 ，则有ACD=CBE，进 而可知 ADCCEB，然后根据全等三角形的性质及线段等量关系可得解 【详解】 解： （1）DE=AD+BE，理由如下： ACB=90 ，ADMN 于 D，BEMN于 E， CDA=BEC=90 ，DCA+ECB=90 ，DCA+DAC=90 ， DAC=ECB， AC=BC， ADCCEB， AD=CE，CD=BE， DE=DC+CE DE=AD+BE； （2）发生变化，AD=BE+DE，理由如下： ACB=90 ，ADMN 于 D，BEMN于 E， CDA=BEC=90 ，DCA+CAD=90 ，DCA+BCE=90 ， DAC=E
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