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    吃透中考数学29个几何模型模型17:角平分线和高线的夹角

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    吃透中考数学29个几何模型模型17:角平分线和高线的夹角

    1、专题专题 17 17 角平分线和高线的夹角角平分线和高线的夹角 1如图,ABC中,一内角和一外角的平分线交于点 ,D连结,24ADBDC, CAD _o. 【解析】66 【分析】 过D作, DFBE于F, DGAC于G, DHBA, 交BA延长线于H, 由BD平分ABC, 可得ABD=CBD, DH=DF,同理 CD 平分ACE,ACD=DCF=,DG=DF,由ACE是 ABC 的外角,可得 2DCE=BAC+2DBC,由DCE是 DBC 的外角,可得DCE=CDB+DBC,两者结合,得 BAC=2CDB,则HAC=180 -BAC,在证 AD平分HAC,即可求出CAD 【详解】 过 D 作,

    2、DFBE于 F,DGAC于 G,DHBA,交 BA 延长线于 H, BD平分ABC,ABD=CBD= 1 2 ABC,DH=DF, CD平分ACE,ACD=DCF= 1 2 ACE,DG=DF, ACE是 ABC 的外角, ACE=BAC+ABC, 2DCE=BAC+2DBC, DCE是 DBC 的外角, DCE=CDB+DBC, 由得,BAC=2CDB=2 24 =48 , HAC=180 -BAC=180 -48 =132 , DH=DF,DG=DF, DH=DG, DGAC,DHBA, AD 平分HAC, CAD=HAD= 1 2 HAC= 1 2 132 =66 故答案为:66 【点睛

    3、】 本题考查角的求法, 关键是掌握点 D为两角平分线交点, 可知 AD为角平分线, 利用好外角与内角的关系, 找到BAC=2CDB是解题关键 2如图,在ABC中,AD、AE分别是ABC 的高和角平分线,50B,60C,则DAE _度 【解析】5 【分析】 先根据三角形的内角和定理得到BAC的度数,再利用角平分线的性质可求出EAC= 1 2 BAC,而 DAC=90 -C,然后利用DAE=EAC-DAC进行计算即可 【详解】 解:在 ABC中, B=50 ,C=60 , BAC=180 -B-C=180 -50 -60 =70 , AE是ABC的角平分线, EAC= 1 2 BAC= 1 2 7

    4、0 =35 , AD是 ABC的高, ADC=90 在 ADC中,DAC=180 -ADC-C=180 -90 -60 =30 , DAE=EAC-DAC=35 -30 =5 故答案为:5. 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的内角和是 180 是解答此题的关键 3如图,CD、CE分别是 ABC的高和角平分线,A30 ,B60 ,则DCE_ 【解析】15 【解析】 试题分析:根据三角形内角和定理可得:ACB=180 AB=90 ,根据角平分线的性质可得: BCE=90 2=45 ,根据 CDAB,B=60 可得:BCD=30 ,则DCE=45 30 =15 . 考点: (1)

    5、、角平分线的性质; (2) 、三角形内角和定理 二、解答题二、解答题 4 (1)如图 1,ABC的内角ABC的平分线与外角ACD的平分线相交于 P 点,请探究 P与A的 关系,并说明理由 (2)如图,四边形 ABCD 中,设,ADP为四边形 ABCD的内角ABC与外角DCE 的平分线所在直线相交而形成 锐角,请利用(1)中的结论完成下列问题: 如图,若180 ,求P的度数(用的代数式表示,记得把图转化为图) 如图,若180 ,请在图中画出P,并直接写出P=_(用 , 的代数式表示) 【解析】 (1)2PA;理由见解析; (2)P 1 2 (+)90 ;P90 11 22 【分析】 (1)根据三

    6、角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得PCDP+PBC,ACD A+ABC,再根据角平分线的性质可得 2PCDACD,2PBCABC,运用等量代换即可得解; (2)添加辅助线,延长 BA 交 CD的延长线于 F,利用(1)中结论解决问题即可;添加辅助线,延长 AB交 DC的延长线于 F,同的思路求解即可 【详解】 (1)如图 1中,结论:2PA 理由:PCDP+PBC,ACDA+ABC, P 点是ABC和外角ACD 的角平分线的交点, 2PCDACD,2PBCABC, 2(P+PBC)A+ABC, 2P+2PBCA+ABC, 2P+ABCA+ABC, 2PA; (2)延长 BA交 CD

    7、的延长线于 F F180 FADFDA180 (180 )(180 )+180 , 由(1)可知:P 1 2 F, P 1 2 (+)90 ; 如图 3,延长 AB交 DC的延长线于 F F180 ,P 1 2 F, P 1 2 (180 )90 11 22 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义,能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键, 注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 5小学我们已经知道三角形三个内角和是 180 ,对于如图 1中,AC,BD交于O点,形成的两个三角形 中的角存在以下关系:DOCAOB;DC AB 试探究下面问题: 已知BAD的平分

    8、线AE与BCD的平分线CE交于点E, (1)如图 2,若ABCD,30D,40B ,则E_; (2)如图 3,若AB不平行CD,30D,50B,则E_ (3)在总结前两问的基础上,借助图 3,探究E与D、B之间是否存在某种等量关系?若存在,请 说明理由;若不存在,请举例说明 【解析】 (1)35 ; (2)40 ; (3)D+B=2E,理由见解析 【分析】 (1)(2)在 CDF和 AEF中,有:D+DCF= E+DAE;在 ABG和 CEG 中, B+EAB= E+BCE; 再结合BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E, 进行化简得到E= 1 2 (B+D) ,然后将B和D 代入即可

    9、解答; (3)根据(1) (2)的推导即可得到D+B=2E 【详解】 解: (1)如图 2 在 CDF和 AEF中,有D+DCF= E+DAE ABG 和 CEG 中, 有B+EAB= E+BCE 得:D+DCFB+EABE+DAEE+BCE 又BAD的平分线AE与 BCD的平分线CE交于点E DCFBCE,EABDAE E= 1 2 (B+D) 30D,40B E35 (2)如图 3:同(1)可得E= 1 2 (B+D) 30D,50B E40 (3)解:D+B=2E 理由如下: 在 CDF和 AEF中,有D+DCF= E+DAE ABG 和 CEG 中, 有B+EAB= E+BCE 得:D

    10、+DCFB+EABE+DAEE+BCE 又BAD的平分线AE与 BCD的平分线CE交于点E DCFBCE,EABDAE E= 1 2 (B+D) D+B=2E 【点睛】 考查了平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等的性质,解题方法较多,关键在于选择合适的解题 方法 6在 ABC 中,已知A (1)如图 1,ABC、ACB的平分线相交于点 D 当 70 时,BDC度数 度(直接写出结果) ; BDC的度数为 (用含 的代数式表示) ; (2)如图 2,若ABC的平分线与ACE 角平分线交于点 F,求BFC 的度数(用含 的代数式表示) (3)在(2)的条件下,将 FBC以直线 BC为对称轴翻

    11、折得到 GBC,GBC的角平分线与GCB的角 平分线交于点 M(如图 3) ,求BMC的度数(用含 的代数式表示) 【解析】 (1) (1)125 ; 1 90 2 , (2) 1 BFC 2 ; (3) 1 BMC90 4 【分析】 (1)由三角形内角和定理易得ABC+ACB=110 ,然后根据角平分线的定义,结合三角形内角和定理 可求BDC; 由三角形内角和定理易得ABC+ACB=180 -A,采用的推导方法即可求解; (2)由三角形外角性质得BFCFCEFBC,然后结合角平分线的定义求解; (3)由折叠的对称性得BGCBFC,结合(1)的结论可得答案 【详解】 解: (1) 1 2 DB

    12、CABC,DCB 1 2 ACB, BDC180 DBCDCB 180 1 2 (ABC+ACB) 180 1 2 (180 70 ) 125 1 2 DBCABC,DCB 1 2 ACB, BDC180 DBCDCB 180 1 2 (ABC+ACB) 180 1 2 (180 A) 90 + 1 2 A 90 + 1 2 故答案分别为 125 ,90 + 1 2 (2)BF和 CF分别平分ABC 和ACE 1 FBCABC 2 , 1 FCEACE 2 , BFCFCEFBC 11 ( ACEABC)A 22 即 1 BFC 2 (3)由轴对称性质知: 1 BGCBFC 2 , 由(1)可

    13、得 1 BMC90BGC 2 , 1 BMC90 4 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算,熟练掌握三角形内角和定理,以及三角形的外角性质是解 题的关键 7 如图所示, 在ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线, 它们相交于点O, 50BAC,70C, 求DAC、BOA的度数. 【解析】20DAC,125BOA 【解析】 【分析】 由 AD是高易得DAC 与C 互余,即可求出DAC,由三角形内角和定理求出ABC,再根据角平分线 的定义求出ABO与BAO,最后根据三角形内角和定理即可求出BOA的度数. 【详解】 解:AD是ABC的高 90ADC 在ADC中 90907020DAC

    14、C 在ABC中 180180507060ABCBACC AE、BF是角平分线 11 6030 22 ABOABC 11 5025 22 BAOBAC 在ABC中, 1801803025125BOAABOBAO 【点睛】 本题考查了三角形中的角度计算,熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键. 8如图,在 ABC 中,AD是 BC 边上的高,AE 是BAC的平分线,EAD=15 ,B=40 (1)求C的度数 (2)若:EAD=,B=,其余条件不变,直接写出用含 , 的式子表示C 的度数 【解析】 (1)70 ; (2)C=+2 【解析】 【分析】 (1) 根据三角形的内角和定理

    15、求出BAD, 求出BAE, 根据角平分线的定义求出BAC, 即可求出答案; (2) 根据三角形的内角和定理求出BAD, 求出BAE, 根据角平分线的定义求出BAC, 即可求出答案 【详解】 (1)ADBC, ADC=ADB=90 , B=40 , BAD=90 -40 =50 , EAD=15 , BAE=50 -15 =35 , AE平分BAC, CAE=BAE= 1 2 BAC=35 , BAC=70 , C=180 -BAC-B=180 -70 -40 =70 ; (2)ADBC, ADC=ADB=90 , B=, BAD=90 -, EAD=, BAE=90 -, AE平分BAC, C

    16、AE=BAE= 1 2 BAC=90 -, BAC=180 -2-2, C=180 -BAC-B=180 -(180 -2-2)-=+2 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,能灵活运用定理进行计算是解此题的关键 9如图,BD、BE分别是ABC的高和角平分线, 46A ,74ABC,求DBE的度数. 【解析】7DBE 【解析】 【分析】 先根据直角三角形两锐角互余求出ABD 的度数,再根据角平分线的性质求出ABE的度数,二者作差即 可得出答案. 【详解】 解:BD是ABC 的高, ABD=90904644A , BE是ABC的角平分线, ABE= 11 7437 22 ABC , 44377

    17、DBEABDABE . 【点睛】 本题考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的性质.在图形中找出DBEABDABE 这一数量关 系是解题的关键. 10 如图, 在ABC中,CE是角平分线,D是AB延长线上一动点,DF CE于点下, 试探索D与ABC、 A的数量关系. 【解析】 1 2 DABCA,见解析. 【解析】 【分析】 过点 C作CGAB于点 G,首先根据三角形的内角和定理,求出BCA的度数;然后根据角平分线的性 质,求出ACE;再根据三角形的外角的性质,求出CED 的度数,进而求出ECG,再根据同角的余角 相等得出ECG=D 即可 【详解】 解:如图,过点 C 作CGAB于点 G DFC

    18、E,90GCECEGDDEF , DECG, 在ABC中,ACB=180 -(A+ABC) CE是角平分线, ACE= 1 ACB 2 90 - 1 2 A- 1 2 ABC DEC=90 + 1 2 A- 1 2 ABC CGAB ECG=90 -DEC 1 2 ECGABCA, 1 2 DABCA 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的内角和是 180 此 题还考查了三角形的外角的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的外角等于和它不相邻 的两个内角的和此题还考查了角平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:一个角

    19、的角平分线把这个角分成两个大小相同的角 11 如图, 在ABC中,42A,70B ,CE平分 ACB,CDAB于D,DFCE于F, 求E D F. 【解析】14EDF. 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理求出ACB, 根据角平分线的定义求出ACE, 根据三角形的外角的性质求出FED, 根据三角形内角和定理计算即可 【详解】 解:A=42 ,B=70 , ACB=180 -70 -42 =68 , CE平分ACB, ACE= 1 2 ACB=34 , FED=A+ACE=76 , DFCE, EDF=90 -FED=14 , 故答案为 14 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理以及三角形

    20、的角平分线的定义, 掌握三角形内角和等于 180 是解题的关键 12 如图, 在ABC中,44BACBCA ,M为ABC 内一点, 使得30 ,16MCAMAC, 求BMC的度数 【解析】150 【解析】 【分析】 作BDAC于点D,延长CM交BD于点O,连接AO,301614OAMOACMAC, 故BAOMAO,证ABOAMO,从而OBOM.由120BOM,得 180120 30 2 OMBOBM ,故180BMCOMB. 【详解】 如图,作BDAC于点D,延长CM交BD于点O,连接AO,则 30OACMAC, 443014BAO, 301614OAMOACMAC, 得BAOMAO. 又90

    21、60AODOADCOD, 所以120AOMAOB,又AOAO 因此ABOAMO,从而OBOM. 由120BOM,得 180120 30 2 OMBOBM , 故18018030150BMCOMB. 【点睛】 考核知识点:全等三角形判定和性质,等腰三角形性质.作好辅助线是关键. 13如图,在ABC中,AD是 BAC的平分线,G为AD上一动点,GHAD,交BC的延长线于点 H. (1)若30B, 40BAC,求H的度数; (2)当点G在AD上运动时,探求H与B、ACB之间的数量关系,并证明. 【解析】 (1)40H, (2) 1 2 HACBB,见解析. 【解析】 【分析】 (1) 先根据三角形外

    22、角的性质及角平分线求出ADH的度数, 再根据直角三角形两锐角互余即可求出H 的度数; (2) 先根据三角形外角的性质及角平分线得出 1 2 ADHBBAC , 再根据直角三角形两锐角互余即 可得出H与B、ACB之间的数量关系. 【详解】 解: (1)AD是BAC的平分线, 11 4020 22 BADBAC , 302050ADHBBAD , GHAD, 90905040HADH; (2)AD是BAC的平分线, 1 2 BADBAC, 1 2 ADHBBADBBAC , GHAD, 1 9090() 2 HADHBBAC ; 180BBACACB , 111 90 222 BBACACB 11

    23、11 () 2222 HBBACACBBBAC , 即 1 2 HACBB. 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理及其推论、角平分线的性质等知识.熟练应用三角形内角和定理及其推论是解 题的关键. 14如图,在ABC中,ABAC,BDAC于D,BE平分ABC ,试用A表示DBE. 【解析】 3 45 4 DEBA. 【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得 1 45 4 ABEA,根据三角形外角的性质得 BEDAABE ,再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论. 【详解】 解:ABAC, AABCCB, 1801 90 22 A ABCA , BE平分ABC, 11 45 24 ABEABCA, BDAC于D, 90BEEDDB , BEDAABE , 9090 1 (45) 4 AADBEABAE , 即 3 45 4 DEBA. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论.灵活转化角之间的关系是解题的关键.


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