1、专题专题 09 09 有有 6060和和 9090角的旋转角的旋转 一、单选题一、单选题 1如图，在ABC中，ACB90 ，A30 ，AB8，点 P 是 AC上的动点，连接 BP，以 BP 为边作 等边BPQ，连接 CQ，则点 P 在运动过程中，线段 CQ 长度的最小值是（ ） A2 B4 C 12 D32 【答案】A 【分析】 如图，取 AB的中点 E，连接 CE，PE由 QBCPBE（SAS） ，推出 QCPE，推出当 EPAC时，QC 的值最小； 【详解】 如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE，则 AEBE4 ACB90 ，A30 ， CBE60 ， BEAE， CEBEAE，
2、BCE是等边三角形， BCBE， PBQCBE60 ， QBCPBE， QBPB，CBEB， QBCPBE（SAS） ， QCPE， 当 EPAC时，QC的值最小， 在 Rt AEP 中，AE4，A30 ， PE 1 2 AE2， CQ的最小值为 2， 故选：A 【点睛】 本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形 30度角的性质等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题 2如图，在四边形 ABCD 中，AD=5，CD=3，ABC=ACB=ADC=45 ，则 BD 的长为（ ） A34 B 41 C43 D59
3、 【答案】D 【详解】 作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图： BAC+CAD=DAD+CAD， 即BAD=CAD， 在 BAD与 CAD中， BACA BADCAD ADAD ， BADCAD（SAS） ， BD=CD DAD=90 由勾股定理得 DD= 22 5 2ADAD ， DDA+ADC=90 由勾股定理得 CD= 222 35059DCDD ， 故选 D 3 如图，ABCADEDFG、均为等边三角形，C EF、 、三点共线， 且E是CF的中点， 下列结论： ADGEDF； AEC为等腰三角形； DFAD GE； BAGBCE 60GEB ， 其中正确的个数为（ ） A2
4、 B3 C4 D5 【答案】B 【分析】 根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明 ADGEDF， ABGBCE，然后 一一判断即可. 【详解】 解：ADE、 DFG， ABC为等边三角形， DA=DE，DF=DG，ADE=FDG=AED=ACB=DAE=BAC=60 ， ADG=EDF，DAB=CAE， ADGEDF，故正确， AG=EF, AG= EC, 如下图，当 D、G、E共线时，显然 AGAE，AGAB， ECAE，ECAC， AEC不是等腰三角形, 故错误， AD+EG=DE+GEDG，DG=DF AD+EGDF，故错误 ADGEDF， DEF=DAG， DEF+A
5、ED=EAC+ACE=EAC+ACB-BCE， EAC-DEF=BCE， BAG=DAB-DAG=EAC-DEF， BAG=BCE，故正确， ADGEDF， AG=EF=EC, BAG=BCE，AB=BC ABGBCE， ABG=EBC，BG=BE, EBG=ABC=60， BEG为等边三角形, BEG =60，故正确， 故选：B 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形 解决问题，属于中考常考题型 4 如图， 在四边形 ABCD中， AB=AD， BAD=60 ， BCD=120 ， AC=2， 则四边形 ABCD 的面积为 （
6、） A1 B 2 C3 D4 【答案】C 【分析】 将 ABC绕点 A 逆时针旋转 60 到 ADE， 有 ABC与 ADE 全等， 证明 C、 D、 E 三点共线， 再根据 ACE 为等边三角形即可求解； 【详解】 解：如图，将 ABC 绕点 A逆时针旋转 60 到 ADE， 则有 ABC与 ADE 全等 AC=AE，ABC=ADE BAD=60 ，BCD=120 ADC+ADE=ADC+ABC=180 C、D、E 三点共线 BC+CD=DE+DC=CE 又CAE 等于旋转角，即CAE=60 ， ACE为等边三角形 ACE的面积为 22 33 23 44 AC 由旋转可知四边形 ABCD的面
7、积等于 ACE的面积 故选：C 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，关键是将 ABC绕点 A逆时针旋转 60 到 ADE 5如图，在等边 ABC中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将 BCD 绕点 B逆时针旋转 60 ，得到 BAE， 连接 ED，下列结论正确的有（ ）个 BED 是等边三角形；AEBC； ADE 的周长等于 BD+BC；ADEDBC A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】 根据旋转的性质得 BE=BD，AE=CD，DBE=60 ，于是可判断 BDE为等边三角形，则有 DE=BD，所以 AED的周长=BD+AC，且C=BAE=ABC =60 得正确
8、；根据三角形内角和定理得 ADE=ABE，结合ABE+ABD=DBC+ABD=60 ，可得正确. 【详解】 在等边 ABC 中， BCD绕点 B逆时针旋转 60 得到 BAE， BE=BD，AE=CD，DBE=60，C=BAE=60 BDE为等边三角形，ABC=BAE=60 DE=BD，AEBC； AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC 故正确 ABC， BDE为等边三角形， BED=BAC=60 又对顶角相等 ADE=ABE ABE+ABD=DBC+ABD=60 ADEDBC 故正确 故选：D 【点睛】 题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应
9、点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋 转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质 二、解答题二、解答题 6 （探索发现） 如图，已知在 ABC中，BAC= 45 ，ADBC，垂足为 D，BEAC，垂足为 E，AD与 BE相交于 F （1）线段 AF与 BC的数量关系是：AF BC， （用，=填空） ； （2）若ABC=67.5 ，试猜想线段 AF与 BD有何数量关系，并说明理由 （拓展应用） （3）如图，在 ABC中，ADBC，垂足为 D，已知BAC=45 ，C=22.5 ，AD=2 2 ，求 ABC 的面积 【答案】 （1）=； （2）AF=2BD，见解析； （3）8 【分析】 （
10、1）证出 ABE是等腰直角三角形，得出 BE=AE，证明 CBEFAE（ASA） ，即可得出结论； （2）结论：AF=2BD只要证明 ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质以及（1）得到 的结论即可解决问题； （3）如图中，作 CHAB交 AB的延长线于 H，延长 CH 交 AD的延长线于 G只要证明 BC=2AD，利用 三角形面积公式 1 2 BCAD，即可解决问题 【详解】 （1）BAC=45 ，BEAC， ABE是等腰直角三角形， BE=AE， ADBC， C+CBE=C+FAE=90 ， CBE =FAE， 在 CBE和 FAE 中， 90 CEBFEA BEAE CBEF
11、AE ， CBEFAE（ASA） ， AF=BC； （2）结论 AF=2BD 理由：BAC=45 ，ABC=67.5 ， C=180-BAC-ABC=67.5 ， C=ABC， ABC是等腰三角形，且 AB=AC， ADBC， BD=CD= 1 2 BC， 由（1）得：AF=BC=2BD； （3）如图，作 CHAB交 AB的延长线于 H，延长 CH交 AD的延长线于 G AHC=90 ， HAC=HCA=45 ， AH=HC， ADCD， ADB=BHC=90 ， ABD=CBH， GAH=BCH， AHG=CHB=90 ， AHGCHB， BC=AG， ACB=22.5 ，HCA=45 ，
12、ACD=GCD=22.5 ， 又CDAG， AGC 是等腰三角形，且 GC=AC， AD=GD=2 2， BC=AG=2AD=4 2， ABC的面积为： 11 4 22 28 22 BCAD 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 7在 ABC中90AOB，AO=BO，直线 MN经过点 O，且 ACMN于 C，BDMN于 D (1) 当直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时，求证：CD=AC+BD； (2) 当直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时，求证：CD=AC-BD； (3) 当
13、直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关 系，并加以证明 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）CD=BD-AC，证明见解析. 【分析】 （1）通过证明 ACOODB 得到 OC=BD，AC=OD，则 CD=AC+BD； （2）通过证明 ACOODB 得到 OC=BD，AC=OD，则 CD=AC-BD； （3）通过证明 ACOODB 得到 OC=BD，AC=OD，则 CD=BD-AC 【详解】 解： （1）如图 1， AOB 中，AOB=90 ， AOC+BOD=90 ， 直线 MN经过点 O，且 ACMN 于 C，BDM
14、N于 D， ACO=BDO=90 AOC+OAC=90 ， OAC=BOD， 在 ACO和 ODB中， 90ACOODB OACBOD AOOB ACOODB（AAS） ， OC=BD，AC=OD， CD=AC+BD； （2）如图 2， AOB 中，AOB=90 ， AOC+BOD=90 ， 直线 MN经过点 O，且 ACMN 于 C，BDMN于 D， ACO=BDO=90 AOC+OAC=90 ， OAC=BOD， 在 ACO和 ODB中， 90ACOODB OACBOD AOOB , ACOODB（AAS） ， OC=BD，AC=OD， CD=ODOC=ACBD，即 CD=ACBD （3）
15、如图 3， AOB 中，AOB=90 ， AOC+BOD=90 ， 直线 MN经过点 O，且 ACMN 于 C，BDMN于 D， ACO=BDO=90 AOC+OAC=90 ， OAC=BOD， 在 ACO和 ODB中， 90ACOODB OACBOD AOOB , ACOODB（AAS） ， OC=BD，AC=OD， CD=OCOD=BDAC， 即 CD=BDAC 【点睛】 此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目， 对于学生的能力要求比较高. 8 （1） （方法探索）如图1，在等边ABC中，点P在ABC内，且6PA，8PC ，120APB
16、， 求PB的长 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC绕着点A顺时针旋转60得到APB，连 接 PP ，分别证明 APP 和 BPP 是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出 PB的长 解：把APC绕着点A顺时针旋转60得到APB，连接 PP，请接着写下去： （2） （方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题 如图2，点P在等边ABC外，且 4PA，3PB，120APB，若2 10AB ，求APB度数； 如图3，在ABC中，90BAC ， 10ABAC ，P是ABC外一点，连接PA、PB、PC已 知45APB，2PB 请直接写出PC的长 【答案】 （1）10，过
17、程见解析； （2）30 ；2 10 【分析】 （1）如图 1中，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP，证明PP B是直角三角形 即可解解决问题 （2）如图 2 中，把APB绕着点B顺时针旋转60得到BCD，连接PD，证明PD，C共线，利 用勾股定理的逆定理证明90PBC即可解决问题 如图 3中，过点A作ADAP，使得ADAP，连接PD，BD证明 ()DABPAC SAS ，推出 DBPC，求出BD即可解决问题 【详解】 解： （1）如图 1 中，把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B，连接PP， 由旋转不变性可知，6APAP ，8BPPC ，150APCAP B ，P AB
18、PAC ， 60P APBAC ， AP P 为等边三角形， 6P PPA ，60AP P， 1506090PP B 在BP P中， 6P P，8BP ， 2222 6810PBPPP B （2）如图 2 中，把APB绕着点B顺时针旋转60得到BCD，连接PD， ABC是等边三角形， 2 10ABBC，60ABC， 由旋转不变性可知，4APCD，3BPBD，120APBBDC ，PBADBC， 60PBDABC ， PBD为等边三角形， 60BDP， 180BDPBDC， P，D，C共线， 2 10ABBC，3PB， 347PC ， 222 PBBCPC， 90PBC， 60ABC， 9060
19、30ABP 如图 3中，过点A作ADAP，使得ADAP，连接PD，BD PAD，ABC都是等腰直角三角形， ADAP，ABAC，PADBAC， ()DABPAC SAS ， DBPC， 45APDAPB ， 90DPB， 过点B作BHPA于H， 2PBQ，45BPH， 2BHPH， 在Rt ABH中，90AHB，10AB =， 2BH ， 22 1022 2AHABBH ， 3 2APAD， 26PDPA， 在Rt DPB中， 2222 622 10BDPDPB ， 2 10PCBD 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关 键是学
20、会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 9在ABC中，ABAC ，点P在平面内，连接AP，并将线段AP绕A顺时针方向旋转与BAC相等 的角度，得到线段AQ，连接BQ （1）如图，如果点P是BC边上任意一点则线段BQ和线段PC的数量关系是_ （2） 如图， 如果点P为平面内任意一点 前面发现的结论是否仍然成立？若成立， 请给予证明； 若不成立， 请说明理由请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明） ； （3） 如图， 在DEF中，8DE ，60EDF，75DEF，P是线段EF上的任意一点， 连接DP， 将线段DP绕点D顺时针方向旋转 60 ，得到线段DQ，连接EQ请直接写出线段EQ长
21、度的最小值 【答案】 （1）相等； （2）成立，证明见解析； （3）2 62 2 【分析】 （1）先判断出BAQ=CAP，进而用 SAS 判断出 BAQCAP，即可得出结论； （2）结论 BQ=PC仍然成立，理由同（1）的方法； （3）先构造出 DEQDHP，得出 EQ=HP，进而判断出要使 EQ最小，当 HPEF（点 P 和点 M 重合） 时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论 【详解】 解： （1）由旋转知：AQ=AP， PAQBAC ， PAQBAPBACBAP ， BAQCAP ， ABAC， BAQCAP SAS ， BQCP 故答案为：相等 （2）BQPC仍成立，理由如下：
22、 证明：由旋转知：AQ=AP， PAQBAC ， PAQBAPBACBAP ， BAQCAP ， ABAC， BAQCAP SAS ， BQC （3）如图： 在 DF上取一点 H，使8DHDE，连接，过点作HMEF于，由旋转知，DQDP， 60PDQ， 60EDF， PDQEDF ， EDQHDP ， DEQDHP SAS ， EQHP， 要使 EQ 最小，则有 HP 最小，而点 H是定点，点 P是 EF上的动点， 当HMEF（点 P 和点 M 重合）时，HP 最小， 即：点 P 与点 M重合，EQ最小，最小值为 HM， 过点 E作EGDF于 G，在Rt DEG中，8DE ，60EDF， 30
23、DEG， 1 4 2 DGDE， 34 3EGDG ， 在Rt EGF中，753045FEGDEFDEG， 9045FFEGFEG， 4 3FGEG ， 44 3DFDGFG ， 44 384 34FHDFDH ， 在Rt HMF中，45F， 22 4 342 62 2 22 HMFH， 即：EQ 的最小值为2 62 2 【点睛】 本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等 知识为解题关键 10已知在Rt ABC中，90ACB，ACBC ，CDAB于D （1）如图 1，将线段CD绕点C顺时针旋转90得到CF，连接AF交CD于点G 求证：AGGF
24、； （2） 如图 2， 点E是线段CB上一点 （ 1 2 CECB） ， 连接ED， 将线段ED绕点E顺时针旋转90得到EF， 连接AF交CD于点G 求证：AGGF； 若7ACBC ，2CE ，求DG的长 【答案】 （1）证明见详解； （2）证明见详解， 3 2 4 【分析】 （1）由旋转的性质得出90FCD，CFCD，证得CFAD，可证明 ()ADGFCG AAS ，则可 得结论； （2）过点E作EMCB交CD于点M，连接MF，证明 ()CEDMEF SAS ，由全等三角形的性质得 出CDMF，45MEFECD ，证明 ()ADGFMG AAS ，则可得结论； 由勾股定理求出AB，CD，CM
25、，则可求出答案 【详解】 （1）证明：将线段CD绕点C顺时针旋转90得到CF， 90FCD，CFCD， 90ACB，ACBC，CDAB于D， ADBD，CF/AD， CDADBD， CFAD， 又AGDCGF， ()ADGFCG AAS ， AGGF； （2）证明：过点E作EMCB交CD于点M，连接MF， 由（1）知D为AB的中点， 45DCB，CDAD， CEM为等腰直角三角形， CEME， 又90CEMDEF ，DEEF， CEDMEF ， ()CEDMEF SAS ， CDMF，45MEFECD ， ADMF，90CMF， 又90ADG， ADGFMG ， MGFAGD ， ()ADGF
26、MG AAS ， AGGF； 解：90ACB，7ACBC ， 22 7 2ABACBC ， 17 2 22 CDAB， 2CE ，CE ME=， 2222 222 2CMCEME ， 7 23 2 2 2 22 DMCDCM， 又ADGFMG ， 13 2 24 DGMGDM 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质， 勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键 11如图，BC 为等边 ABM 的高，AB5 2，点 P 为射线 BC上的动点（不与点 B，C 重合） ，连接 AP， 将线段 AP 绕点 P 逆
27、时针旋转 60 ，得到线段 PD，连接 MD，BD （1）如图，当点 P 在线段 BC上时，求证：BPMD； （2）如图，当点 P 在线段 BC的延长线上时，求证：BPMD； （3）若点 P 在线段 BC的延长线上，且BDM30 时，请直接写出线段 AP的长度 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）AP5 2 【分析】 （1）由旋转定理，可得 APDP，结合APD60 ，可推导出 APD是等边三角形；再通过角度之间加减 关系， 推导出BAPMAD， 结合等边 ABM 的性质， 可证明 BAPMAD， 即完成 BPMD 证明； （2）由旋转定理，可得 APDP，结合APD60
28、，可推导出 APD是等边三角形；再通过角度之间加减 关系， 推导出BAPMAD， 结合等边 ABM 的性质， 可证明 BAPMAD， 即完成 BPMD 证明； （3） 由 BAPMAD和 BC为等边 ABM的高， 计算得DBM60 ， 从而证明点 D 在 BA的延长线上， 再利用 Rt BMD和特殊角度三角函数，计算得到答案 【详解】 （1）如图，连接 AD ABM是等边三角形 ABAM，BAM60 由旋转的性质可得：APDP，APD60 APD是等边三角形 PAPDAD，PADBAM60 BAPBACCAP，MADPADCAP BAPMAD ABAM BAPMAD APAD BAPMAD（S
29、AS） BPMD； （2）如图，连接 AD AMB是等边三角形 ABAM，BAMAMB60 由旋转的性质可得：APDP，APD60 APD是等边三角形 PAPDAD，PADBAM60 BAPBAC+CAP，MADPAD+CAP BAPMAD 在 BAP 与 MAD中 ABAM BAPMAD APAD BAPMAD（SAS） BPMD； （3）BC为等边 ABM的高 ABC30 BAPMAD ABPAMD30 BMDAMB+AMD90 BMD90 BDM30 DBM60 点 D在 BA 的延长线上 如图 BDM30 ,BMD90 BD2BM10 2 ADBDAB5 2 PAPDAD APAD5
30、2 【点睛】 本题考察了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等 边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案 12如图，在等腰ABC中，ACAB，CAB90 ，E是 BC上一点，将 E 点绕 A 点逆时针旋转 90 到 AD，连接 DE、CD （1）求证：ABEACD； （2）当 BC6，CE2 时，求 DE 的长 【答案】 （1）见解析； （2）2 5 【分析】 （1） 根据 E点绕 A点逆时针旋转 90 到 AD， 可得 ADAE， DAE90 ， 进而可以证明 ABEACD； （2）结合（1） ABE
31、ACD，和等腰三角形的性质，可得DCE90 ，再根据勾股定理即可求出 DE 的长 【详解】 （1）证明：E点绕 A点逆时针旋转 90 到 AD， ADAE，DAE90 ， CAB90 ， DACEAB， ACAB， ABEACD（SAS） ； （2）等腰 ABC 中，ACAB，CAB90 ， ACBABC45 ， ABEACD， BECD， DCAABE45 ， DCE90 ， BC6，CE2， BE4CD， DE 22 42 2 5 【点睛】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用 以上知识 13综合与实践 如图 1，在等边三角形ABC中
32、，点P在ABC内部，且150 ,APB猜想,PA PB PC三条线段之间有 何数量关系，并说明理由 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： （1） 想法一： 在图 1 中， 将APB绕点A按逆时针方向旋转60 , 得到 ,AP CV连接,PP寻找,PA PB PC 三条线段之间的数量关系； （2） 想法二： 在图 2 中， 将APC绕点A按顺时针方向旋转90 , 得到AP BV， 连接,PP寻找,PA PB PC 三条线段之间的数量关系 【答案】 （1） 222 PAPBPC； （2） 222 2PAPBPC 【分析】 （1）将APB绕点A按逆时针方向旋转60 , 得到 ,A
33、P CV可证明APP是等边三角形和PCPV是直角 三角形，依据勾股定理可得结论； （2）将BPC绕点B逆时针旋转90 , 得到 ,BP A连接PP，可证明ABPCBPVV，进一步证明 PBP是等腰直角三角形和APP是直角三角形，运用勾股定理可得结论 【详解】 解： （1） 222 PAPBPC 证明：如答图 1，将APB绕点A按逆时针方向旋转60 , 得到 ,AP CV 则 ,APBAP C APAPVV，60 ,150PAPP CPBAP CAPB ， APPQV是等边三角形， ,60 ,PPAPAP P 1506090 ,PP CAP CAP P o PCPV是直角三角形， 在Rt PCP
34、V中， 222 ,P PP CPC ,PPAP P CPBQ 222 PAPBPC 222 22PAPBPC 证明：如答图 2，将BPC绕点B逆时针旋转90 , 得到 ,BP A连接PP ,90 ,ABPCBPPBPBPBP APCPVV ， 在Rt PBP中， ,BPBP 45 ,BPP 根据勾股定理得，2,PPBP 135 ,APBQ 1354590 ,APP oo APP是直角三角形， 222 ,PAPP AP 2,PPBP APPCQ 222 2PAPBPC 【点睛】 本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键 是学会利用旋转法添加辅助
35、线，构造全等三角形解决问题 14如图，D 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AD绕点 A顺时针旋转 60 ，得到线段 AE，连接 CD，BE （1）求证：EB=DC； （2）连接 DE，若BED=50 ，求ADC的度数 【答案】 （1）证明见解析； （2）110 【分析】 （1）根据等边三角形的性质可得BAC60 ，ABAC，由旋转的性质可得DAE60 ，AEAD，利用 SAS 即可证出EABDAC，从而证出结论； （2） 根据等边三角形的判定定理可得EAD为等边三角形， 从而得出AED=60 ， 由 （1） 中全等可得AEB ADC，求出AEB即可求出结论 【详解】 解： （1）ABC是
36、等边三角形， BAC60 ，ABAC 线段 AD绕点 A顺时针旋转 60 ，得到线段 AE， DAE60 ，AEAD BAD+EABBAD+DAC EABDAC 在EAB和DAC中， ABAC EABDAC AEAD ， EABDAC EBDC （2）如图， 由（1）得DAE60 ，AEAD， EAD为等边三角形 AED60 ， 由（1）得EABDAC， AEBADC BED50 ， AEB=AED+BED=110 ， ADC=110 【点睛】 此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定 及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关
37、键 15 如图 1和图 2， 四边形 ABCD 中， 已知 AB=AD， BAD=90 ， 点 E、 F分别在 BC、 CD上， EAF=45 （1）如图 1，若B、ADC 都是直角，把ABE绕点 A 逆时针旋转 90 至ADG，使 AB 与 AD重合， 直接写出线段 BE、DF和 EF之间的数量关系； 如图 2，若B、D都不是直角，则当B+D=180 ，重复的操作，线段 BE、DF和 EF之间的结论 是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由 （2） 如图 3， 在ABC中， BAC=90 ，AB=AC=2 2，点 D、 E均在边 BC上，且DAE=45 ，若 BD=1， 求
38、 DE的长 【答案】 （1）EF=BE+DF，成立，见解析； （2） 5 3 【分析】 （1）根据旋转的性质得出 AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，求出EAF=GAF=45 ，根据 SAS推出 EAFGAF，根据全等三角形的性质得出 EF=GF，即可求出答案； 根据旋转的性质作辅助线，得出 AE=AG，B=ADG，BAE=DAG，求出 C、D、G 在一条直线上， 根据 SAS推出 EAFGAF，根据全等三角形的性质得出 EF=GF，即可求出答案； （2）如图 3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出ABC=C=45 ，BC=4，根据 旋转的性质得出 AF=AE， FBA
39、=C=45 ， BAF=CAE， 求出FAD=DAE=45 ， 证 FADEAD， 根据全等得出 DF=DE，设 DE=x，则 DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出 x 即可 【详解】 （1）如图 1， 把 ABE 绕点 A逆时针旋转 90 至 ADG，使 AB与 AD 重合， AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，B=ADG=90 ， ADC=90 ， ADC+ADG=180 ， C、D、G共线， BAD=90 ，EAF=45 ， BAE+DAF=45 ， DAG+DAF=45 ， 即EAF=GAF=45 ， 在 EAF和 GAF中， AFAF EAFGAF AEAG
40、， EAFGAF（SAS） ， EF=GF， BE=DG， EF=GF=DF+DG=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 成立， 理由：如图 2，把 ABE绕 A 点旋转到 ADG，使 AB和 AD重合， 则 AE=AG，B=ADG，BAE=DAG， B+ADC=180 ， ADC+ADG=180 ， C、D、G在一条直线上， 与同理得，EAF=GAF=45 ， 在 EAF和 GAF中， AFAF EAFGAF AEAG ， EAFGAF（SAS） ， EF=GF， BE=DG， EF=GF=BE+DF； （2）解：ABC 中，AB=AC=2 2， ，BAC=90 ， ABC=C=45
41、， 由勾股定理得：BC= 22 22 2 22 24ABAC ， 如图 3，把 AEC绕 A点旋转到 AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF 则 AF=AE，FBA=C=45 ，BAF=CAE， DAE=45 ， FAD=FAB+BAD=CAE+BAD=BAC-DAE=90 -45 =45 ， FAD=DAE=45 ， 在 FAD 和 EAD中， ADAD FADEAD AFAE ， FADEAD（SAS） ， DF=DE， 设 DE=x，则 DF=x， BC=4， BF=CE=4 13xx ， FBA=45 ，ABC=45 ， FBD=90 ， 由勾股定理得： 222 DFBFBD ，
42、即 2 22 31xx， 解得： 5 3 x ， 即 DE= 5 3 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，首先在特殊图形中找到规律，然后 再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高 16如图 1，已知 ABC 是边长为 8的等边三角形，EBD30 ，BEDE，连接 AD，点 F为 AD的中点， 连接 EF将 BDE 绕点 B顺时针旋转 （1）如图 2，当点 E位于 BC 边上时，延长 DE 交 AB于点 G 求证：BGDE； 若 EF3，求 BE的长； （2）如图 3，连接 CF，在旋转过程中试探究线段 CF与 EF之间满足的数量关系，并
43、说明理由 【答案】 （1）见解析；2； （2）EC3EF，ECEF，见解析 【分析】 （1）想办法证明 BEG是等边三角形即可解决问题；利用三角形的中位线定理求出 AG，再求出 BG 即可解决问题 （2） 结论： EC3EF， ECEF 延长 DF交 CA的延长线于 M， 延长 FE 到 K， 使得 EKEF， 连接 AK， CK，CF，在 FM 上截取 FNDF，连接 BN证明图中，红色三角形全等，推出 CFK是等边三角形即可 解决问题 【详解】 （1）证明：如图 2中， ABC是等边三角形， ABC60 ， EBED， EBDEDB30 ， GBDABC+EBD90 ， BGD60 ， B
44、EG 是等边三角形， BGBE， BGED 解：由可知，BGGEBEDE， 又AFDF， AG2EF6， AB8， BGABAG862， BEBG2 （2）结论：EC3EF，ECEF 理由：如图 2中，延长 DF交 CA 的延长线于 M，延长 FE 到 K，使得 EKEF，连接 AK，CK，CF，在 FM 上截取 FNDF，连接 BN FBFDFN， DBN90 ， DBF30 ， FBN60 ， FBN是等边三角形， BNBF， ABCNBF60 ， ABNCBF， ABBC， ABNCBF（SAS） ， ANCF， FNDF，AEED， EFAN，AN2EF， 2EFFK， ANFK，AN
45、FK， 四边形 ANFK是平行四边形， AKDM，AKFNBN， CAKM， AOMBON，OAMBNO120 ， MOBN， ABNCAK， ABAC， ABNCAK（SAS） ， ANCK， CFCKFK， CFK是等边三角形，CFE60 2EFFK， CEFK， EFC60 ， tanCFE EC EF 3， EC3EF，ECEF 【点睛】 本题主要考查了三角形的综合应用，准确应用等边三角形的性质进行分析是关键 17如图，在等边 ABC中，BDCE，连接 AD、BE 交于点 F （1）求AFE 的度数； （2）求证：ACDFBDBF； （3）连接 FC，若 CFAD时，求证：BD 1 2
46、 DC 【答案】 （1）60 ； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【分析】 （1）证明 ABDBCE（SAS） ，得出BADCBE，则BFDAFEABC60 ； （2）证明 ADBBDF，得出= ABBD BFDF ，由 ABAC可得出结论； （3）延长 BE至 H，使 FHAF，连接 AH，CH，证明 BAFCAH（SAS） ，得出ABFACH，CH BF，可证明 AFCH，得出 1 = 2 BFBD FHCD ，进而即可得出答案 【详解】 解： （1）ABC是等边三角形， ABACBC，ABDBCE60 ， 在 ABD和 BCE 中， ABDBC ABBC BDCE E ， ABDBCE（SAS） ， BADCBE， ADCCBE+BFDBAD+ABC， BFDAFEABC60 ； （2）证明：由（1）知BADDBF， 又ADBBDF， ADBBDF， = ABBD BFDF ， 又 ABAC， = ACBD BFDF ， ACDFBDBF； （3）证明：延长 BE至 H，使 FHAF，连接 AH，CH， 由（1）知AFE60 ，BADCBE， AFH 是等边三角形， FAH60 ，AFAH， BACFAH60 ， BACCADFAHCAD， 即BAFCAH， 在 BAF和
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