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    吃透中考数学29个几何模型模型14:对顶角三角形

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    吃透中考数学29个几何模型模型14:对顶角三角形

    1、专题专题 14 14 对顶角三角形对顶角三角形 一、解答题一、解答题 1阅读材料: 如图 1,AB、CD交于点 O,我们把 AOD和 BOC叫做对顶三角形 结论:若 AOD和 BOC是对顶三角形,则A+DB+C 结论应用举例: 如图 2:求五角星的五个内角之和,即A+B+ACE+ADB+E 的度数 解:连接 CD,由对顶三角形的性质得:B+E1+2, 在 ACD中,A+ACD+ADC180 , 即A+3+1+2+4180 , A+ACE+B+E+ADB180 即五角星的五个内角之和为 180 解决问题: (1)如图,A+B+C+D+E+F ; (2)如图,A+B+C+D+E+F+G ; (3)

    2、如图,A+B+C+D+E+F+G+H ; (4)如图,A+B+C+D+E+F+G+H+M+N ; 请你从图或图中任选一个,写出你的计算过程 【答案】 (1)360; (2)540; (3)720; (4)1080;过程见解析 【分析】 (1)连接 CD,由对顶角三角形可得ABBDCACD,再由四边形的内角和定理得出结论; (2)连接 ED,由对顶角三角形可得ABBEDADE,再由五边形的内角和定理得出结论; (3)连接 BH、DE,由对顶角三角形可知EBHBHDHDEBED,再根据五边形的内角和定理 得出结论; (4) 连接 ND、 NE, 由对顶角三角形可知12NGHEHG, 再由六边形的内

    3、角和定理得出结论 【详解】 解: (1)连接 CD,由对顶角三角形可得ABBDCACD,则ABCDEF 360 ; (2)连接 ED,由对顶角三角形可得ABBEDADE,则ABCDEF G540 ; (3)连接 BH、DE, 由对顶角三角形可知EBHBHDHDEBED, ABCDEFGH五边形CDEFG的内角和 ABH的内角和540 180 720 ; (4)连接 ND、NE, 由对顶角三角形可知12NGHEHG, ABCDEFGHMN六边形BCFGHM的内角和 AND的内角 和 NDE 的内角和(62) 180 360 1080 故答案为:360 ;540 ;720 ;1080 【点睛】 本

    4、题考查的是三角形内角和定理,根据题意作出辅助线,利用AOD和BOC叫做对顶三角形的性质及多 边形的内角和定理解答是解答此题的关键 2 (1)如图,求A+B+C+D+E+F的度数; (2)如图,求A+B+C+D+E+F+G+H 的度数; (3)如图,求A+B+C+D+E+F+G的度数 【答案】 (1)360; (2)720; (3)540 【分析】 (1) 连接 AD, 根据三角形的内角和定理得BCBADCDA, 进而将问题转化为求四边形 ADEF 的内角和, (2)与(1)方法相同转化为求六边形 ABCDEF的内角和, (3)使用上述方法,转化为求五边形 ABCDE的内角和 【详解】 解: (

    5、1)如图,连接 AD, 由三角形的内角和定理得,BCBADCDA, BAFBCCDEEFBAFBADCDADEF 即四边形 ADEF 的内角和,四边形的内角和为 360 , BAFBCCDEEF360 , (2)如图,由(1)方法可得: BAHBCDEEFGGH的度数等于六边形 ABCDEF的内角和, BAHBCDEEFGGH(62) 180 720 , (3)如图,根据(1)的方法得,FGGAEFEA, BAGBCDDEFFG的度数等于五边形 ABCDE 的内角和, BAGBCDDEFFG(52) 180 540 , 【点睛】 本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法,适当的转化是解

    6、决问题的关键 3如图,求A+B+C+D+E+F+G+H+K的度数 【答案】540 【分析】 如图所示,由三角形外角的性质可知:ABIJL,CDMLJ,HKGIJ,E FGML,然后由多边形的内角和公式可求得答案 【详解】 解:如图所示: 由三角形的外角的性质可知: ABIJL, CDMLJ, HKGIJ, EFGML, ABCDEFGHKIJLMLJGMLGGIJ(52) 180 3 180 540 【点睛】 本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用,利用三角形外角和的性质将所求各角 的和转化为五边形的内角和是解题的关键 4如图,求A+B+C+D+E+F+G+H六个角的和 【

    7、答案】360 【分析】 根据三角形内角和外角的性质可得:GD3,FC4,EH2,再根据三角形内 角和定理可得答案 【详解】 解:GD3,FC4,EH2, GDFCEH342, B21180 ,35A180 , AB243360 , ABCDEFGH360 【点睛】 此题主要考查了三角形内角与外角的性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 5如图,在直角ABC中,BD是ABC的平分线,3BAOOAD ,AO的延长线与BDC的平分 线交于点F,求F的度数. 【答案】22.5F 【解析】 【分析】 设OADx ,则3BAOx,452ABOx,22.5ODFx ,根据三角形 ABO

    8、与三角 形 DFO的内角和相等即可建立方程,整理方程即可得出答案. 【详解】 解:设OADx ,则3BAOx, 在直角ABC中,904ABCx, BD是ABC的平分线, 452ABOx, 在直角DBC中,22.5ODFx . 180OABOBAAOBODFFFOD , 又AOBFOD, OABOBAODFF, 即345222.5xxxF , 22.5F. 【点睛】 本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键. 6如图所示,求ABCDEF 的度数. 【答案】360. 【解析】 【分析】 首先利用三角新的外角的性质,然后根据多边形的外角和定理即可求解

    9、【详解】 解:1=A+B,2=C+D,3=E+F, 又1+2+3=360 , A+B+C+D+E+F=360 【点睛】 本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是 360 ,理解定理是关键 7如图,求ABCDEF 的度数. 【答案】360ABCDEF . 【解析】 【分析】 连接 CD,将ABCDEF 转化为四边形 CDEF 的内角和即可求出答案. 【详解】 解:如图所示,连接 CD. 由对顶三角形得,ABACDBDC , ABCDEF 360CDEDCFEF . 【点睛】 本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是 解题的关键. 8如

    10、图,求ABC DE 的度数. 【答案】180. 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】 解:连结BE, BC 与 DE相交成对顶三角形, CDCBEDEB , AABCCDAEDAABCCBEDEBAED 180AABEAEB 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理,熟练掌握相关的性质是解题的关键 9如图,30F,求 ABCDE 的度数. 【答案】330. 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】 解: 在ABM中,3 1 ?80AB 在CDP中,1 1 ?80CD 在EFN中,2 1 ?80EF 在PNM中,123 1 ?80 312 ? 540AB

    11、CDEF 30F 330ABCDE 【点睛】 本题主要考查三角形内角和定理,熟练掌握相关的性质是解题的关键 二、填空题二、填空题 10如图,求A+B+C+D+E+F+G+H+I_ 【答案】900 【分析】 根据多边形的内角和,可得答案 【详解】 解:连 EF,GI,如图 , 6边形 ABCDEFK 的内角和(62) 180 720 , ABCDEF720 (12) , 即ABCDEF(12)720 , 1234,56H180 , ABCDEFH(34)900 , ABCDEF(34)56H720 180 , ABCDEFGHI900 , 故答案为:900 【点睛】 本题考查了 n边形的内角和定

    12、理:n 边形的内角和为(n2)180(n3 的整数) 11如图,A+B+C+D+E+F+G+H+I+K的度数为_ 【答案】1080 【分析】 连 KF,GI,根据 n 边形的内角和定理得到 7边形 ABCDEFK 的内角和(72) 180 900 ,则AB CDEFK(12)900 ,由三角形内角和定理可得到1234, 56H180 ,则ABCDEFK(34)56H900 180 ,即可得到ABCDEFGHIK的度数 【详解】 解:连 KF,GI,如图, 7边形 ABCDEFK 的内角和(72) 180 900 , ABCDEFK900 (12) , 即ABCDEFK(12)900 , 1234,56H180 , ABCDEFK(34)900 , ABCDEFK(34)56H900 180 , ABCDEFGHIK1080 故ABCDEFGHIK 的度数为 1080 故答案为:1080 【点睛】 本题考查了 n边形的内角和定理:n 边形的内角和为(n2)180(n3 的整数)


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