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    吃透中考数学29个几何模型模型18:双A字形相似模型

    • 资源ID:171137       资源大小:1.30MB        全文页数:39页
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    吃透中考数学29个几何模型模型18:双A字形相似模型

    1、专题专题 18 18 双双 A A 字形相似模型字形相似模型 一、单选题一、单选题 1如图, ABO的顶点 A 在函数 y k x (x0)的图象上,ABO90 ,过 AO边的三等分点 M、N 分别 作 x轴的平行线交 AB 于点 P、Q若 ANQ的面积为 1,则 k的值为( ) A9 B12 C15 D18 【答案】D 【分析】 易证 ANQAMPAOB,由相似三角形的性质:面积比等于相似比的平方可求出 ANQ 的面积,进 而可求出 AOB的面积,则 k的值也可求出 【详解】 解:NQMPOB, ANQAMPAOB, M、N是 OA的三等分点, 1 2 AN AM , 1 3 AN AO ,

    2、 1 4 ANQ AMP S S , 四边形 MNQP 的面积为 3, 3 1 4 ANQ ANQ S S , S ANQ=1, 2 11 9 AOB AN SAO , S AOB=9, k=2S AOB=18, 故选:D 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数 k的几何意义,正确的求出 S ANQ=1是解题的关键 2如图, ABC中,AB=AC,点 D、E 分别是边 AB、AC的中点,点 G、F在 BC边上,四边形 DEFG是 正方形若 DE=2cm,则 AC 的长为 ( ) A3 3cm B4cm C2 3cm D2 5cm 【答案】D 【解析】 点 D、E 分别是边 A

    3、B、AC 的中点,DE= 1 2 BC,DE=2cm,BC=4cm, AB=AC,四边形 DEFG 是正方形BDGCEF,BG=CF=1,EC= 5,AC=25cm 故选 D 3如图, 在 ABC中, 点 D在 BC边上, 连接 AD, 点 G 在线段 AD上, GE/BD,且交 AB于点 E, GF/AC, 且交 CD 于点 F,则下列结论一定正确的是( ) A ABAG AEAD B DFDG CFAD C FGEG ACBD D AECF BEDF 【答案】D 【分析】 根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理,逐一判断选项,即可得到答案 【详解】 /GE BD AEGAB

    4、D AEAG ABAD DFGDCA A 错误, /GF AC, DFDG CFAG , B 错误, DFGDCA, AEGABD, FGDG ACDA , EGAG BDAD , 1 FG EG AC BD , C 错误, /GE BD,/GF AC, AEAGCF BEGDDF , D 正确, 故选 D 【点睛】 本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理,掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的 关键 4如图在 ABC中,DEBC,B=ACD,则图中相似三角形有( ) A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定定理即可得到结论 【详解】 B

    5、=ACD,A=A, ACDABC, DEBC, ADEABC, ACDADE, DEBC, EDC=DCB, B=DCE, CDEBCD, 故共 4 对, 故选:C 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用,注意平行于三角形的一边的直线与其他两 边相交,所构成的三角形与原三角形相似 5如图,已知 ,ADEABCV: V 若:1:3,AD ABABCV的面积为9,则ADE的面积为( ) A1 B2 C3 D9 【答案】A 【分析】 根据相似三角形的性质得出 2 1 = 3 ADE ABC S S ,代入求出即可 【详解】 解:ADEABC,AD:AB1:3, 2 1 = 3

    6、 ADE ABC S S , ABC的面积为 9, 1 = 99 ADE S , S ADE1, 故选:A 【点睛】 二、解答题二、解答题 6如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC的顶点 A、B 的坐标分别为 A(4,0)、B(4,3),动点 M、N分 别从点 O、B 同时出发,以 1单位/秒的速度运动(点 M沿 OA 向终点 A 运动,点 N沿 BC 向终点 C运动), 过点 N作/NP AB交 AC于点 P,连结 MP (1)直接写出 OA、AB的长度; (2)试说明CPNCAB; (3)在两点的运动过程中,求MPA的面积 S与运动的时间 t的函数关系式,并求出 3 2 S 时,运动时间

    7、 t的值 【答案】 (1)4,3OAAB; (2)见解析; (3) 2 33 04 82 Sttt ,2 【分析】 (1)根据点 A、B的坐标即可得; (2)先根据平行线的性质可得,CPNCABCNPCBA ,再根据相似三角形的判定即可得; (3)先根据矩形的性质、线段的和差可得4,AMCNt ABOA,再根据相似三角形的性质可得 PNCN ABCB ,从而可得3 3 4 PNt,由此可得MPA的 AM边上的高为 3 t 4 ,然后利用三角形的面积公 式可得S与t的函数关系式,最后解一元二次方程可得t的值 【详解】 (1)(4,0),(4,3)AB, 4,3OAAB ; (2)/NP AB,

    8、,CPNCABCNPCBA , CPNCAB; (3)由题意得:OMBNt,且04t , 则4AMOA OMt , 四边形 OABC 是矩形, 4,BCOAABOA , 4CNBCBNt , CPNCAB, PNCN ABCB ,即 4 34 PNt , 解得3 3 4 PNt, /NP AB, NPOA, MPA的 AM边上的高为3 3 3 3 44 tt , 1 4 3 42 Stt, 即 2 33 04 82 Sttt , 当 3 2 S 时, 2 333 822 tt, 解得 12 2tt, 故t的值为 2 【点睛】 本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函

    9、数的自变量等知识点,熟练 掌握相似三角形的判定与性质是解题关键 7如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点ABC的顶点B、C的坐标分别为 0,6,2,0顶 点A在x轴的正半轴上,10AB,2BACCBO (1)求AC的长度 (2)动点D从A出发,沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动,设D的运动时间为t秒,BCD的面积 为S,请用含t的式子表示S,并直接写出相应t的取值范围 (3)在(2)的条件下,在射线BO上取一点F,使BFCD,过D作/DGBC交直线AB于点G, 当45CBD时,求t值和G点坐标 【答案】 (1)10; (2)0t10时,30-3t BCD S=;t10时, 3t-30 BC

    10、D S=; (3)当0t10 时,5t ,(5 3)G,;当 t10 时,20t ,(-1012)G, 【分析】 (1)由勾股定理解得 AO的长,即可求得 AC的长; (2)分两种情况讨论:当0t10时或当 t10 时,根据三角形面积公式解题即可; (3)分两种情况讨论,当0t10时,作作AMBC,交 DG于 N,交 BC于 M,由等腰三角形三线合 一的性质,解得NADCBO,进而证明COBDNA,根据相似三角形对应边成比例的性质,设 DN=m, 解得 AD= 10m, OD=8- 10m, 当45CBD时根据勾股定理解得 BH、 DH 的长, 在tRBOD 中,由勾股定理得 222 BDOB

    11、OD,即可解得 m的值,从而解得 AD的长,即可求得 t的值,最后由 ADGACB,结合面积比等于相似比的平方,即可解得点 G 的坐标;当 t10时,方法同上 【详解】 (1)在tRAOB中 22 100368AOABOB=-=-= 2OC 8210ACAOOC=+=+= (2)由于 D在 x 轴上,故BCD以 CD为底边,高 h=OB=6 当0 t10时,CD=AC-AD=10-t, 1 6(10)30-3t 2 BCD St =创创-=; 当 t10时,CD=AD-AC=t-10, 1 6(10)3t-30 2 BCD St =创创-=; (3)如图:当0t10时,作AMBC,交 DG于

    12、N,交 BC于 M, 10ABAC BAMMAC 又2BACCBO NADCBO /DG BC 90ANDCOB COBDNA COBOBC DNANAD 22 262 10BC 2 10 10 2 AD DN 设 DN=m,则 AD= 10m OD=8- 10m, 当45CBD时 BH= 22 5BM ,同理 = 22mDHDN 在tRBOD中, 222 BDOBOD 即 222 (2 52 )6(810 )mm 2 25 5200mm 解得 12 10 2 10 2 mm, 10m=20AD (舍去)或5AD 5t ADGACB 2 51 () 104 ADG ACB S S 1 5 1

    13、2 1 4 10 6 2 G y 3 G y 5 G x (5 3)G, 当 t10 时,如图: 作AMBC,交 DG于 N,交 BC于 M, 10ABAC BAMMAC 又2BACCBO NADCBO /DG BC 90ANDCOB COBDNA COBOBC DNANAD 22 262 10BC 2 10 10 2 AD DN 设 DN=m,则 AD= 10m OD= 10m-8, 当45CBD时 BH= 22 5BM ,同理 = 22mDHDN 在tRBOD中, 222 BDOBOD 即 222 (2 52 )6( 108)mm 2 25 5200mm 解得 12 10 2 10 2 m

    14、m, 10m=20AD 或5AD (舍去) 20t ADGACB 2 20 ()4 10 ADG ACB S S 1 20 2 4 1 10 6 2 G y 12 G y 10 G x (-1012)G, 综上所述,当0t10时,5t ,(5 3)G,;当 t10 时,20t ,(-1012)G, 【点睛】 本题考查一次函数综合,其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识, 是重要考点,难度一般,作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键 8 如图已知正方形 DEFG的顶点 D、 E 在 ABC的边 BC上, 顶点 G、 F分别在边 AB、 AC 上 如果 BC=4,

    15、ABC的 BC边上的高是 3,那么这个正方形的边长是_ 【答案】 12 7 【分析】 过点 A作 AMBC于 M,由 ABC的 BC 边上的高是 3可得 AM=3,由正方形的性质和相似三角形的性质 可得1 43 AGBGGFGF ABAB ,即可求正方形的边长 【详解】 如图,过点 A 作 AMBC于 M, ABC的 BC 边上的高是 3, AM=3, 四边形 DEFG是正方形, GD=FG,GFBC,GDAM, AGFABC, BGDBAM, AGGF ABBC , BGDG ABAM 1 43 AGBGGFGF ABAB GF= 12 7 故答案为: 12 7 【点睛】 本题考查正方形的性

    16、质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键 9 (教材呈现)下图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容 (定理证明)请根据教材内容,结合图,写出证明过程 (定理应用)如图,在矩形 ABCD中,AC 为矩形 ABCD 的对角线,点 E在边 AB 上,且 AE = 2BE,点 F 在边 CB 上,CF= 2BFO为 AC的中点,连结 EF、OE、OF (1)EF 与 AC 的数量关系为_ (2)OEF与ABC的面积比为_ 【答案】【定理证明】 证明见解析;【定理应用】(1) EF与 AC的数量关系为 1 3 EFAC;(2)OEF与ABC 的面积比为2:9 【分

    17、析】 定理证明: 先根据相似三角形的判定与性质可得 1 , 2 DEAD ADEABC BCAB , 再根据平行线的判定即 可得证; 定理应用: (1)先根据线段的比例关系可得 1 3 BEBF BABC ,再根据相似三角形的判定与性质即可得; (2)如图(见解析) ,先根据三角形中位线定理可得 11 , 22 OMBC ONAB,设,BEa BFb,再根 据三角形的面积公式分别求出OEF与ABC的面积,由此即可得出答案 【详解】 定理证明:点 D、E分别是 AB、AC的中点, 1 2 AEAD ACAB , 在ADE和ABC中, 1 2 AEAD ACAB AA , ADEABC, 1 ,

    18、2 DEAD ADEABC BCAB , /DE BC,且 1 2 DEBC; 定理应用: (1)2,2AEBE CFBF, 1 3 BEBF BABC , 在BEF和BAC中, BEBF BABC BB , BEFBAC, 1 3 EFBF ACBC , 即 1 3 EFAC; (2)如图,过点 O作OMAB于点 M,作ONBC于点 N, 四边形 ABCD 是矩形, 90B,即ABBC, /,/OM BC ON AB , 点 O 是 AC的中点, OM、ON是ABC的两条中位线, 11 , 22 OMBC ONAB, 设,BEa BFb,则 33 2 ,3 ,2 ,3 , 22 AEa AB

    19、a CFb BCb OMb ONa, 11 22 BEF SBE BFab, 13 22 AOE SAE OMab, 13 22 COF SCF ONab, 19 22 ABC SAB BCab, OEFABCBEFAOECOF SSSSSab, 2 9 9 2 OEF ABC Sab S ab , 即OEF与ABC的面积比2:9 【点睛】 本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点,较难的是题(2) ,通过 作辅助线,运用到三角形中位线定理是解题关键 10如图,在ABC中,点 ,E F分别在,AB AC上,且 AEAB AFAC (1)求证:AEFABC; (2)

    20、若点D在BC上,AD与EF交于点G,求证: EGFG BDCD 【答案】 (1)见解析; (2)见解析 【分析】 (1)直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论; (2) 根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得 EFBC, 于是可得 AEGABD, AGFADC, 再根据相似三角形的性质即可推出结论 【详解】 解: (1)在 AEF和 ABC中, EAFBAC, AEAB AFAC , AEFABC; (2)AEFABC, AEF=ABC, EFBC, AEGABD, AGFADC, EGAG BDAD , FGAG CDAD , EGFG BDCD 【点睛】 本题考查了相

    21、似三角形的判定和性质,属于常考题型,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键 11陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树,据传是当年唐太宗李世民亲手裁种,距今已有 1400多年历史,已被国家列为古树名木保护名录小华是一位数学爱好者,想利用所学的知识测量这棵银 杏树的高度阳光明媚的一天,小华站在点 D处利用测倾器测得银杏树顶端 A 的仰角为 39 ,然后着 DM 方 向走了 19 米到达点 F 处,此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合,小华身高 EF1.7米,测得 FG3 米,测倾器的高度 CD0.8米,已知 ABBG,CDBG,EFBG请你根据以上信息,计算银杏 树 AB的高度

    22、 (参考数据:sin390.6,cos390.8,tan390.8) 【答案】40.8米 【分析】 由题意过 C作 CHAB 于 N,则四边形 BDCN是矩形,根据矩形的性质得到 CNBD,BNCD08, 设 BDCNx,则 BG22+x,根据三角函数的定义得到 ANCNtan3908x,求得 AB08x+08, 根据相似三角形的性质求出 x,即可得到结果 【详解】 解:过 C 作 CHAB于 N,如图所示: 则四边形 BDCN是矩形, CNBD,BNCD08, 设 BDCNx, 则 BGBD+DF+FGx+19+322+x, 小华站在点 D处利用测倾器测得银杏树顶端 A 的仰角为 39 ,

    23、ACN39 , 在 Rt ACN中,ANCNtan3908x, ABAN+BN08x+08, ABBG,EFBG, EFAB, EFGABG, EF AB FG BG ,即 1.7 0.80.8x 3 22x , 解得:x50, AB0.8 50 08 40.8(米) 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键是学会添加 常用辅助线,构造直角三角形解决问题 12如图,矩形OABC中,O为原点,点A在y轴上,点C在x轴上,点B的坐标为(4,3) ,抛物线 2 3 8 yxbxc 与y轴交于点A,与直线AB交于点D,与x轴交于CE,两点. (1)

    24、求抛物线的表达式; (2) 点P从点C出发, 在线段CB上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动, 与此同时, 点Q从点A出发, 在线段AC上以每秒 5 3 个单位长度的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.连接 DPDQPQ、 ,设运动时间为t(秒). 当t为何值时, DPQ得面积最小? 是否存在某一时刻t,使 DPQ 为直角三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1) 2 33 3 84 yxx ; (2) 3 2 t ; 12345 3172417145 ,3, 26176 ttttt 【分析】 (1) 根据点 B 的坐标可得出点 A, C的

    25、坐标, 代入抛物线解析式即可求出 b, c的值, 求得抛物线的解析式; (2)过点 Q、P 作 QFAB、PGAC,垂足分别为 F、G,推出 QFACBA, CGPCBA,用含 t的式子表示 OF,PG,将三角形的面积用含 t的式子表示出来,结合二次函数的性质可求出最值;由于 三角形直角的位置不确定,需分情况讨论,根据点的坐标,再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可 【详解】 解: (1)由题意知:A(0,3),C(4,0), 抛物线经过 A、B两点, 3 3 1640 8 c bc ,解得, 3 4 3 b c , 抛物线的表达式为: 2 33 3 84 yxx (2) 四边形 ABCD是

    26、矩形, B=90O, AC2=AB2+BC2=5; 由 2 33 33 84 xx,可得 12 0,2xx,D(2,3) 过点 Q、P作 QFAB、PGAC,垂足分别为 F、G, FAQ=BAC, QFA=CBA, QFACBA AQQF ACBC , 53 35 AQ QFBCtt AC 同理: CGPCBA, PGCP ABAB CP PGAB AB , 4 5 PGt, 11541 62(5)2 (3) 22352 DPQABCQADPQCPBD SSSSStttt 222 2293233 23(3)3() 3342322 ttttt 当 3 2 t 时, DPQ 的面积最小.最小值为

    27、3 2 由图像可知点 D 的坐标为(2,3),AC=5,直线 AC 的解析式为: 3 y3 4 x 三角形直角的位置不确定,需分情况讨论: 当DPG90时,根据勾股定理可得出: 2222 225555 2t3t343423 3434 tttt , 整理,解方程即可得解; 当DGP90时,可知点 G 运动到点 B 的位置,点 P 运动到 C 的位置,所需时间为 t=3; 当PDG90时,同理用勾股定理得出: 2222 225555 2t3t343423 3434 tttt ; 整理求解可得 t 的值 由此可得出 t的值为: 1 3 2 t , 2 3t , 3 17 6 t , 4 24 17

    28、t , 5 17145 6 t 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题,掌握二次函数图象的性质是解此题的关键 13 (1)如图 1,在 ABC中,点 D,E,Q分别在 AB,AC,BC上,且 DEBC,AQ交 DE 于点 P,求 证: DPEP BQCQ ; (2) 如图,在 ABC 中,BAC=90 ,正方形 DEFG 的四个顶点在 ABC的边上,连接 AG,AF分别交 DE 于 M,N两点 如图 2,若 AB=AC=1,直接写出 MN的长; 如图 3,求证 MN2=DM EN 【答案】 (1)证明见解析; (2) 2 9 ;证明见解析 【分析】 (1)易证明 ADPABQ

    29、, ACQADP,从而得出 DPEP BQCQ ; (2)根据等腰直角三角形的性质和勾股定理,求出 BC边上的高 2 2 ,根据 ADEABC,求出正方 形 DEFG 的边长 2 3 从而, 由 AMNAGF和 AMN 的 MN边上高 2 6 , AGF的 GF边上高 2 2 , GF= 2 3 ,根据 MN:GF等于高之比即可求出 MN; 可得出 BGDEFC, 则 DGEF=CFBG; 又 DG=GF=EF, 得 GF2=CFBG, 再根据 (1) DMMNEN BGGFCF , 从而得出结论 【详解】 解: (1)在 ABQ和 ADP中, DPBQ, ADPABQ, DPAP BQAQ

    30、, 同理在 ACQ和 APE中, EPAP CQAQ , DPPE BQQC ; (2)作 AQBC于点 Q BC边上的高 AQ= 2 2 , DE=DG=GF=EF=BG=CF DE:BC=1:3 又DEBC AD:AB=1:3, AD= 1 3 ,DE= 2 3 , DE边上的高为 2 6 ,MN:GF= 2 6 : 2 2 , MN: 2 3 = 2 6 : 2 2 , MN= 2 9 故答案为: 2 9 证明:B+C=90 CEF+C=90 , B=CEF, 又BGD=EFC, BGDEFC, DGBG CFEF , DGEF=CFBG, 又DG=GF=EF, GF2=CFBG, 由(

    31、1)得 DMMNEN BGGFFC , MN MNDM EN GF GFBG CF , 2 () MNDM EN GFBG CF , GF2=CFBG, MN2=DMEN 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质,是一道综合题目,难度较大 14矩形 ABCD中,AB8,AD12将矩形折叠,使点 A 落在点 P处,折痕为 DE (1)如图,若点 P恰好在边 BC 上,连接 AP,求 AP DE 的值; (2)如图,若 E 是 AB的中点,EP的延长线交 BC于点 F,求 BF的长 【答案】 (1) 2 3 ; (2)BF3 【分析】 (1)如图中,取 DE的中点 M,连接 PM

    32、证明 POMDCP,利用相似三角形的性质求解即可 (2)如图中,过点 P 作 GHBC 交 AB于 G,交 CD于 H设 EG=x,则 BG=4-x证明 EGPPHD, 推出 1 3 EGPGEP PHDHPD , 推出 PG=2EG=3x, DH=AG=4+x, 在 Rt PHD中, 由 PH2+DH2=PD2, 可得 (3x) 2+(4+x)2=122,求出 x,再证明 EGPEBF,利用相似三角形的性质求解即可 【详解】 解: (1)如图中,取 DE的中点 M,连接 PM 四边形 ABCD是矩形, BADC90 , 由翻折可知,AOOP,APDE,23,DAEDPE90 , 在 Rt E

    33、PD中,EMMD, PMEMDM, 3MPD, 13+MPD23, ADP23, 1ADP, ADBC, ADPDPC, 1DPC, MOPC90 , POMDCP, 82 123 POCD PMPD , 22 23 AOPO DEPM (2)如图中,过点 P作 GHBC交 AB于 G,交 CD于 H则四边形 AGHD是矩形,设 EGx,则 BG 4x AEPD90 ,EGPDHP90 , EPG+DPH90 ,DPH+PDH90 , EPGPDH, EGPPHD, 41 123 EGPGEP PHDHPD , PG2EG3x,DHAG4+x, 在 Rt PHD中,PH2+DH2PD2, (3

    34、x)2+(4+x)2122, 解得:x 16 5 (负值已经舍弃) , BG4 16 5 4 5 , 在 Rt EGP 中,GP 22 12 5 EPEG, GHBC, EGPEBF, EGGP EBBF , 1612 55 4BF , BF3 【点睛】 本题考查翻折变换,相似三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解 决问题,学会利用参数构建方程解决问题 15如图,在Rt ABC中,90ACB, 60BAC,6AC ,AD平分BAC,交边BC于点D, 过点D作CA的平行线,交边AB于点E (1)求线段DE的长; (2) 取线段AD的中点M, 联结BM, 交线段DE

    35、于点F, 延长线段BM交边AC于点G, 求 EF DF 的值 【答案】 (1)4; (2) 2 3 【分析】 (1)分别求出 CD,BC,BD,证明BDEBCA,根据相似性质即可求解; (2)先证明DFAG,再证明BEFBAG,根据相似三角形性质求解即可 【详解】 解: (1)AD平分BAC,60BAC, 30DAC 在Rt ACD中,90ACD,30DAC,6AC ,CD2 3 在Rt ACB中,90ACB,60BAC,6AC ,6 3BC 4 3BDBCCD /DE CA, BDEBCA 2 3 DEBD CABC 4DE (2)点M是线段AD的中点,DMAM /DE CA, DFMAGM

    36、 DFDM AGAM DFAG /DE CA, BEFBAG 2 3 EFBEBD AGBABC 2 3 EF DF 【点睛】 本题考查了含 30 角的直角三角形性质,相似的判定与性质,解题的关键是能根据题意确定相似三角形,并 根据相似性质解题 16 如图, 在ABC中,ABAC, 以AC为直径的 O交BC于点D, 交AB于点E, 过点D作DFAB, 垂足为F,连接DE (1)求证:直线DF与O相切; (2)若7AE ,6BC ,求AC的长 【答案】 (1)证明见解析; (2)9 【分析】 (1)连接OD,利用ABAC,ODOC,证得/OD AD,易证DFOD,故DF为O的切线; (2)证得B

    37、EDBCA,求得BE,利用ACABAEBE求得答案即可 【详解】 证明: 连接 OD AB=AC, B=C, OD=OC, ODC=C, ODC=B, ODAB, DFAB, ODDF, 点 D在O上, 直线 DF与O相切; (2)解:四边形 ACDE是O的内接四边形, AED+ACD=180 , AED+BED=180 , BED=ACD, B=B, BEDBCA, BDBE ABBC =, ODAB,AO=CO, 1 3 2 BDCDBC , 又AE=7, 3 76 BE BE , BE=2, AC=AB=AE+BE=7+2=9 【点睛】 此题考查了切线的判定,三角形相似的判定与性质,要证

    38、某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆 心和这点(即为半径) ,再证垂直即可 17如图,在 ABC 中,AB=4 2,B=45 ,C=60 (1)求 BC边上的高线长 (2)点 E 为线段 AB 的中点,点 F 在边 AC上,连结 EF,沿 EF将 AEF折叠得到 PEF 如图 2,当点 P落在 BC上时,求AEP 的度数 如图 3,连结 AP,当 PFAC时,求 AP的长 【答案】 (1)4;(2)90 ;2 6 【分析】 (1)如图 1中,过点 A作 ADBC于 D解直角三角形求出 AD即可 (2)证明 BE=EP,可得EPB=B=45 解决问题 如图 3中,由(1)可知:AC= 8

    39、3 sin603 AD ,证明 AEFACB,推出 AFAE ABAC ,由此求出 AF 即可解决问题 【详解】 解: (1)如图 1,过点 A作 ADBC于点 D, 在 Rt ABD 中,sin45ADAB= 2 4 2 2 =4. (2)如图 2,AEFPEF, AEEP. 又AEBE , BEEP, EPBB45 , AEP90 . 如图 3,由(1)可知:在 Rt ADC 中, 8 3 sin603 AD AC . PFAC, PFA90 . AEFPEF, AFEPFE45 ,则AFEB. 又EAFCAB, EAFCAB, AF AB AE AC ,即 4 2 AF 2 2 8 3

    40、3 , AF2 3, 在 Rt AFP中,AFPF,则 AP 2AF2 6. 【点睛】 本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用,翻折变换,全等三角形的性质,相似三角形的判定 和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型 三、填空题三、填空题 18如图,P是ABC内一点,过点P分别作直线平行于ABC 各边,形成三个小三角形面积分别为 123 3,12,27SSS,则 ABC S_ 【答案】108 【分析】 根据平行可得三个三角形相似,再由它们的面积比得出相似比,再求出最小三角形的边与最大三角形边的 比,从而得到它们的面积的比,求出结果即可 【详解】 解:过 P

    41、作 BC 的平行线交 AB、AC于点 D、E,过 P 作 AB 的平行线交 AB于点 I、G,过 P 作 AC的平行 线交 AC于点 F、H, DE/BC,IG/AB,FH/AC, 四边形 AFPI、四边形 PHCE、四边形 DBGP 均为平行四边形, FDPIPEPGHABC, 123 31227SSS, FP:IE:PH=1:2:3, AI:IE:EC=1:2:3, AI:IE:EC:AB=1:2:3:6, S ABC:S FDP=36:1, S ABC=36 3=108 故答案为:108 【点睛】 本题考查相似三角形的性质,相似三角形面积比等于相似比的平方 19 已知, 平行四边形ABC

    42、D中, 点E是AB的中点, 在直线AD上截取2AFFD, 连接EF,EF交AC 于G,则 AG AC _ 【答案】 2 5 ; 2 7 【分析】 由于 F的位置不确定,需分情况进行讨论, (1)当点 F在线段 AD上时(2)点 F在 AD 的延长线上时两种 情况,然后通过证两三角形相似从而得到 AG和 CG的比,进一步得到 AG和 AC的比 【详解】 解: (1)点 F在线段 AD上时,设 EF与 CD 的延长线交于 H, AB/CD, EAFHDF, HD:AE=DF:AF=1:2, 即 HD= 1 2 AE, AB/CD, CHGAEG, AG:CG=AE:CH, AB=CD=2AE, C

    43、H=CD+DH=2AE+ 1 2 AE= 5 2 AE, AG:CG=2:5, AG: (AG+CG)=2: (2+5) , 即 AG:AC=2:7; (2)点 F在线段 AD的延长线上时,设 EF与 CD 交于 H, AB/CD, EAFHDF, HD:AE=DF:AF=1:2, 即 HD= 1 2 AE, AB/CD, AG:CG=AE:CH AB=CD=2AE, CH=CD-DH=2AE- 1 2 AE= 3 2 AE, AG:CG=2:3, AG: (AG+CG)=2: (2+3) , 即 AG:AC=2:5 故答案为: 或 【点睛】 本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想;其

    44、中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键, 特别注意:求相似比不仅要认准对应边,还需注意两个三角形的先后次序 20在平面直角坐标系中,已知3,4A ,1,0D ,点C是y轴正半轴上一动点,以AC为直角边构造 直角ABC,另一直角边交x轴负半轴于点B,E为线段BC的中点,则DE的最小值为_ 【答案】19 10 【分析】 根据 AC 为直角边可分CAB=90 和ACB=90 两种情况进行讨论 【详解】 ABC为直角三角形,AC为直角边, 当90CAB时, 90A ,又90COB, A、C、O、B四点共圆,且BC为直径, E为BC中点,则E为圆心,连接AO,则AO为圆的一条弦, 圆心一定在AO的垂直

    45、平分线上, 取AO中点F,过F做直线FHAO,则E的运动轨迹为直线FH, 当DEFH时,DE取得最小值, 3,4A , AO的解析式为 4 3 yx , 又F为AO中点, 3 ,2 2 F , 5 2 OF , FHAO, 13 4 FH AO k k , FH的解析式可设为 3 4 yxb, 代入 3 ,2 2 F ,得: 9 2 8 b , 25 8 b , FH的解析式为 325 48 yx, 令0y ,得 25 6 x , 25 ,0 6 M , 25 6 OM , 又1OD, 19 6 MD , DEFH, /DE FO, MDEMOF, DEND FOMO , 19 6 525 2

    46、6 OE , 19519 25210 DE 当90ACB时, B点交于x轴原点处不符合题意,故DE的最小值为19 10 , 故答案为: 19 10 【点睛】 本题考查一次函数与几何问题的综合应用,灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆 的有关性质求解是解题关键 21如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为 1米,继续往前走 2 米到达E处 时,测得影子EF的长为 2米,已知王华的身高是 1.5米,那么路灯A的高度等于_ 【答案】4.5 【分析】 设BC之间的距离为 x米, 根据题意可得DGCDAB,FHEFAB, 即 G CC D A BB D , HEEF ABBF , 代入数值解得 x=2,进而求得 AB,即可求得路灯的高度 【详解】 如图,设BC之间的距离为 x米, 根据题意可得GCBF,HEBF, AB CG HE DGCDAB,FHEFAB, GCCD ABBD , HEEF ABBF , 即 1.51 1ABx , 1.52 22ABx ,


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