1、专题专题 24 24 字母型解直角三角形字母型解直角三角形 一、单选题一、单选题 1如图，在A处测得点P在北偏东60方向上，在B处测得点P在北偏东30 方向上，若 2AB 米，则点 P到直线AB距离PC为（ ） A3 米 B3 米 C2 米 D1 米 【答案】B 【分析】 设点P到直线AB距离PC为x米，根据正切的定义用x表示出AC、BC，根据题意列出方程，解方程即 可 【详解】 解：设点P到直线AB距离PC为x米， 在RtAPC中，3 tan PC ACx PAC ， 在RtBPC中， 3 tan3 PC BCx PBC ， 由题意得， 3 32 3 xx， 解得，3x （米)， 故选：B
2、【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键 2一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部 C地测得旗杆顶部 A 的仰角为 45 ，然后上到斜坡顶部 D点处再测得旗杆顶部 A 点仰角为 37 （身高忽略不计） 已知斜坡 CD坡度 i=1： 2.4，坡长为 2.6 米，旗杆 AB 所在旗台高度 EF为 1.4 米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上则 请问旗杆自身高度 AB 为（ ）米 （参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75） A10.2 B9.8 C11.2 D10.8 【答案】B 【分析】
3、如图， 作DHFC交FC的延长线于H， 延长AB交CF的延长线于T， 作D JA T于J 设A T T C x， 在Rt ADJ中，根据tan AJ ADJ DJ ，构造方程解决问题即可 【详解】 解：如图，作 DHFC 交 FC 的延长线于 H，延长 AB交 CF的延长线于 T，作 DJAT于 J 由题意四边形 EFTB、四边形 DHTJ是矩形， BT=EF=1.4 米，JT=DH， 在 Rt DCH中，CD=2.6 米， DH CH = 1 2.4 ， DH=1（米） ，CH=2.4（米） ， ACT=45 ，T=90 ， AT=TC， 设 AT=TC=x则 DJ=TH=（x+2.4）米，
4、AJ=（x1）米， 在 Rt ADJ中，tanADJ= AJ DJ =0.75， 1 2.4 x x =0.75， 解得 x=2， AB=ATBT=ATEF=11.21.4=9.8（米） ， 故选：B 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用测量高度问题， 解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造直角三角形解决问 题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型 二、解答题二、解答题 3二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑 物学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度如 图，CD 是高为 1米的测角仪，
5、在 D 处测得塔顶端 A的仰角为40，向塔方向前进 38 米在 E处测得塔顶端 A 的仰角为60，求二七纪念塔 AB的高度（精确到 1米，参考数据 400.64,400.77,400.84, 31.73sincostan ） 【答案】二七纪念塔 AB的高度约为 64 米 【分析】 由题意根据正切的定义分别用 AG表示出EG DG，进而根据38DGEG列出算式求出 AG的长，计算 即可 【详解】 解：在Rt AEG中， AG tan AEG EG ， 3 0.58 tan3 AG EGAGAG AEG ， 在Rt ADG中， AG tan ADG DG ， 1.2 tan0.84 AGAG DG
6、AG ADG ， 38DGEG， 1.20.5838AGAG， 61.3AG， 61.3 164AB 答：二七纪念塔 AB的高度约为 64 米 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解 题的关键 4如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛O在北偏东60方向，之后轮船继续向正东方 向行驶1.5h到达B处，这时小岛O在船的北偏东30方向36海里处 （1）求轮船从A处到B处的航速 （2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛O的东南方向？ 【答案】 （1）24海里/小时 （2） 33 3 4 小时
7、【分析】 （1）过O作OCAB，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得 OC、BC、AC的长，进而可求得 AB 的长，再根据速度=路程 时间解答即可； （2）如图，根据题意可判断 OCD为等腰直角三角形，则 CD=OC，进而可得 BD 的长，再由时间=路程除 速度求解即可 【详解】 （1）过O作OCAB， 由题意得36OB海里，60OBC，30OAC， sin6018 3OCOB （海里） ， cos6018BCOB（海里） ， 18 3 54 tan303 3 OC AC （海里） ， 54 1836ABACBC（海里） ， 速度： 36 24 1.5 V 轮船 （海里/小时） （2）如图，
8、 由题意，45COD，D点在O的东南方向， OCD为等腰直角三角形， tan4518 3ODOC （海里） ， 18 18 3BDBCCD （海里） ， 18 18 333 3 244 t （小时） ， 经过 33 3 4 小时后到达 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角 形是解答的关键 5如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼10飞机在点A发现航展观礼台D在俯角为 21 方向上.飞 机继续向前飞行了800米到达B点.此时测得点D在点B俯角为45 的方向上.请你计算当飞机飞到D点的正 上方点C时（点A、B、C在同一直线上） ，竖直
9、高度CD约为多少米？（结果保留整数，参考数值： sin210.36，cos210.93，tan210.38） 【答案】竖直高度CD约为 490 米 【分析】 根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可 【详解】 解：如图：45CBD90BCDCDCB 21Atan21 CDCDCD ACABBCABCD 800AB0.38 800 CD CD 490.32490CD 答：竖直高度CD约为 490米 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可 6 科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变 某数学兴趣小组要测量5G信号塔的高度， 如图，在起点M处用
10、高1米(1DM 米)的测量仪测得信号塔AB的顶端B的仰角为30，在同一剖面沿水 平地面向前走20米到达F处， 测得顶端B的仰角为63.4， 求信号塔AB的高度约为多少米?(精确到1米 参 考数据：63.40.89, 63.40.45,63.42.00, 31.73sincostan ) 【答案】该信号塔AB的高度约为17米 【分析】 本题首先假设 AB 的长度为 x，继而表示 BE的长度，利用正切三角函数表示 DE，进一步表示 CE，最后再 次利用正切三角函数列式求解 【详解】 由已知得：20CD，1DMAE， 设AB为x米，则1BEx米， 在Rt DEB中，tan30 BE DE ， 31D
11、Ex， 3120CEDECDx， 在Rt CEB中，tan63.4 BE CE 1 2 3120 x x ， 求解得：17x （米） 故该信号塔AB的高度约为17米 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适 时选取合适的三角函数以提升解题效率 7 中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为 7062 68 米， 某天该深潜器在海面下 1800米的点A处作业 （如 图） ，测得正前方海底沉船C的俯角为 45 ，该深潜器在同一深度向正前方直线航行 2000米到点B，此时测 得海底沉船C的俯角为 60 沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？请
12、说明理由 （31.732， 21.414） 【答案】沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内，理由详见解析 【分析】 过点 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D，设 CD=x 米，根据已知条件可以得到关于 x 的方程，解方程 可得 CD 的值，加上 1800 即得点 C 的深度，把深度与 7062.68 米相比较即可得到题目最终解答 【详解】 解：沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内理由如下： 如图，过点C作CDAB交AB的延长线于点D 设CDx米，在Rt BCD中，tan CD CBD BD ，即tan60 x BD ， 3 3 BDx 在RtACD中，tan CD CAD AD ，即 1 3
13、2000 3 x x ， 解得4732x，4732CD米 沉船C距离海面1800 4732 6532（米） 65327062.68， 沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内 【点睛】 本题考查解直角三角形及其应用，通过建立包含所求量的直角三角形求解是解题关键 8 如图， 一艘渔船以 40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群， 在A处测得小岛C在渔船的北偏东60方向； 半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30方向已知以小岛C为中心，周围 18 海里 以内为军事演习着弹危险区如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？ 【答案】如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险，详见解析 【分析】 根
14、据题意可知，实质是比较 C 点到 AB 的距离与 18的大小因此作 CDAB于 D 点，求 CD的长 【详解】 有着弹危险 理由如下：作CDAB于D， 根据题意， 1 4020 2 AB ，30CAB，60CBD， 30CBCBCADAB， 20BCAB， 在Rt BCD中，906030BCD， 2BCBD， 10BD， 2222 201030018CDBCBD ， 答：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险 【点睛】 本题考查了方位角问题，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质， 勾股定理的应用等，掌握方位角的概念、熟记含 30度角的直角三角形的性质是解题
15、的关键 9图 1 是某种路灯的实物图片，图 2 是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于 A，B 两点，灯臂AC与支架BC交于点 C，已知60MAC，15ACB， 40cmAC ，求支架BC的长 （结果精确到1cm，参考数据：21.414，31.732，62.449） 【答案】49cm 【分析】 过点 C作 CDMN，垂足为 D，分别解 ACD和 BCD，即可得到结果 【详解】 解：过点 C作 CDMN，垂足为 D， MAC=60 ，ACB=15 ， ABC=60 -15 =45 ，ACD=30 ， BCD 是等腰直角三角形， AC=40cm， 在 Rt
16、 ACD中，AD= 1 2 AC=20cm， CD= 22 402020 3 cm， 在 Rt BCD中，BC= 220 649CD cm， 支架 BC的长为 49cm 【点睛】 本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含 30 的直角三角形的性质，解题的关键 是添加辅助线，构造特殊直角三角形 10如图，王刚想测量楼 CD 的高度，楼在围墙内，王刚只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距 离，于是王刚在 A 处仰望楼顶，测得仰角为 37 ，再往楼的方向前进 30 米至 B处，测得楼顶的仰角为 53 （A，B，C 三点在一条直线上） ，求楼 CD的高度（tan531.33
17、，tan370.75，结果精确到 1 米，王刚 的身高忽略不计） 【答案】楼 CD的高度为 52 米 【分析】 设 CD=xm，根据 AC=BC-AB，构建方程即可解决问题； 【详解】 解：设 CD=xm， 在 Rt ACD中，tanA= DC AC ， AC= tan37 x ， 同法可得：BC= tan53 x ， ACBC=AB， tan37 x tan53 x =30， 解得 x=52， 答：楼 CD的高度为 52 米 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题 能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键 11小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆
18、AB 的高度小明站在点 D处利用测倾 器测得旗杄顶端 A 的仰角为 45 ，小华在 BD 之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点 E 处时，位于点 D处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端 A，此时 DE 的距离为 1.4 米，已知测倾器的高为 1.75 米请你根据以上信息，计算旗杆 AB 的高度 【答案】旗杆 AB 的高度为 15.75米 【分析】 过点 C作 CFAB 于点 F，可得四边形 FBDC是矩形，根据入射角等于反射角可得，CEDAEB，所以 tanCEDtanAEB，进而可求 AF的长，最后求出 AB的长 【详解】 解：如图， 过点 C作 CFAB 于点 F， 可得四边形
19、 FBDC是矩形， FBCD1.75， FCBDBE+1.4， 根据题意，得 ACF45 ， AFCF， 根据入射角等于反射角可知： CEDAEB， tanCEDtanAEB， CDAB DEBE ， 1.751.75 1.41.4 AF FC ， AFFC， 解得 AF14， ABAF+FB14+1.7515.75（米） 答：旗杆 AB 的高度为 15.75 米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理解正切的含义是解题的 关键 12 如图， 某楼房AB顶部有一根天线BE， 为了测量天线的高度， 在地面上取同一条直线上的三点C，D， A，在点C处测得
20、天线顶端E的仰角为60，从点C走到点D，测得 5CD 米，从点D测得天线底端B的 仰角为45，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，25AB米 （1）求A与C之间的距离； （2）求天线BE的高度 （参考数据：31.73，结果保留整数） 【答案】 （1）,A C之间的距离为 30 米； （2）天线BE的高度约为 27米 【分析】 （1）根据题意，BAD=90 ，BDA=45 ，故 AD=AB，已知 CD=5，不难算出 A 与 C之间的距离 （2）根据题意，在RtACE中，60ACE，利用三角函数可算出 AE的长，又已知 AB，故 EB即可 求解 【详解】 （1）依题意可得，在RtABD中，4
21、5ADB ， 25ADAB米， 5CD米，25 530ACADCD 米. 即,A C之间的距离为 30 米 （2）在RtACE中，60ACE，30AC 米， 30 tan6030 3AE （米） ， 25AB米，30 325)(BEAEAB米 由3173 并精确到整数可得27BE 米 即天线BE的高度约为 27米 【点睛】 （1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键 （2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键 13如图，在港口 A处的正东方向有两个相距6km的观测点 B、C，一艘轮船从 A处出发， 北偏东26方 向航行至 D处，
22、 在 B、C处分别测得45ABD，37C求轮船航行的距离 AD (参考数据： sin260.44，cos260.90，tan260.49，sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【答案】20km 【分析】 过点D作DHAC，垂足为H，通过解Rt DCH和Rt DBH得 tan37 DH CH 和 tan45 DH BH ，根 据BCCHBH求得 DH，再解Rt DAH求得 AD即可 【详解】 解：如图，过点D作DHAC，垂足为H 在Rt DCH中，37C tan37 DH CH tan37 DH CH 在Rt DBH中，45DBH tan45 DH BH tan45 DH
23、 BH BCCHBH 6 tan37tan45 DHDH 18DH 在Rt DAH中，26ADH cos26 DH AD 20 cos26 DH AD （km） 因此，轮船航行的距离AD约为20km 【点睛】 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理作出辅助线构造直角三角形是解 题的关键 14“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端2010 年 1月 25 日，“南天一柱”正式命名为阿凡达的“哈利路亚山”如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中 向正东方向飞行， 拍摄云海中的“南天一柱”美景 在 A 处测得“南天一柱”底部
24、C 的俯角为37， 继续飞行6s 到达 B处，这时测得“南天一柱”底部 C的俯角为45，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继 续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin370.60 ，cos370.80 ，tan370.75 ） 【答案】安全 【分析】 设无人机距地面 xm，直线 AB 与南天一柱相交于点 D，根据 AD-BD=AB列方程求出 x 的值，与南天一柱的 高度比较即可 【详解】 解：设无人机距地面 xm，直线 AB与南天一柱相交于点 D，由题意得CAD=37 ，CBD=45 在 Rt ACD中， tanCAD=0.75 CDx ADAD ， AD= 4 3 x 在 Rt
25、 BCD 中， tanCBD=1 CDx BDBD ， BD=x AD-BD=AB， 4 3 x-x=9 6， x=162， 162150， 这架航拍无人机继续向正东飞行安全 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问 题，学会用构建方程的思想思考问题 15位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在地面一条水 平步道 MP上架设测角仪， 先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22， 然后沿MP方向前进16m到达点N处， 测得
26、点A的仰角为45测角仪的高度为1.6m， 1求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m参考数据： 220.37,220.93,220.40,21.41sincostan )； 2“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化 建议 【答案】 （1）12.3m； （2）0.3m，多次测量，求平均值 【分析】 （1）过点 A作 AEMN交 MN 的延长线于点 E，交 BC的延长线于点 D，根据条件证出四边形 BMNC为 矩形、 四边形CNED为矩形、 三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形， 设AD的长为xm， 则CD=AD=xm， BD
27、=BC+CD=（16+x）m，在 Rt ABD中，解直角三角形求得 AD的长度，再加上 DE 的长度即可； （2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值 【详解】 解： （1）如图，过点 A 作 AEMN交 MN的延长线于点 E，交 BC的延长线于点 D， 设 AD的长为 xm， AEME，BCMN， ADBD，ADC=90 ， ACD=45 ， CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m， 由题易得，四边形 BMNC为矩形， AEME， 四边形 CNED为矩形， DE=CN=BM=1.6m， 在 Rt ABD中，tanABD=0.40 16 ADx BDx ，
28、 解得：10.7x ， 即 AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m， 答：观星台最高点A距离地面的高度为 12.3m （2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m， 减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 16如图，垂直于地面的灯柱AB被一钢缆CD固定，现需要在点 C 的上方2m的 E 处增加一条钢缆ED进 行加固已知45CDB，53EDB，求DE的长（结果取整数） 参考数据： sin530.80,cos530.60,tan531.33 【答案】10m 【分析
29、】 在RtCBD中，根据CDB 的正切函数得到 BC=BD，在Rt EDB中，根据EDB 的正切函数和余弦函 数得到tan53EBBD， cos53 BD DE ，最后根据EBECBC，得到 2 tan531 BD ，即可求 解 【详解】 解：根据题意，2EC 在RtCBD中，tan BC CDB BD ，tan45BCBDBD 在Rt EDB中，tan EB EDB BD ，cos BD EDB DE ， tan53EBBD， cos53 BD DE EBECBC，tan532BDBD 2 tan531 BD 2 10 cos53tan531 cos53 BD DE 答：DE的长度约为10m
30、 【点睛】 此题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题关键 17学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度如图， CD是高为1m的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为 40 ，向塔方向前进40m在E处测得塔顶端A的 仰角为 63.4 ，求纪念塔AB的高度(结果取整数) 参考数据：sin400.64,cos400.77,tan400.84,tan63.42.00 【答案】纪念塔AB的高度约为59m 【分析】 根据正切的定义分别用 AG表示出 EG、DG，再在在RtAEG中列出算式求出 AG的长，计算即可 【详解】 解：根据题意，40 ,63.4
31、,40,1ADGAEGDECFCDBG 在Rt ADG中，tan AG ADG DG ， tan40 AG DG 40 tan40 AG EGDGDE 在RtAEG中，tanAEG AG EG ， tan63.4tan63.440 tan40 AG AGEG 40 tan63.4tan4040 2.00 0.84 57.9 tan63.4tan402.000.84 AG 57.9 1 59ABAGBG 答：纪念塔AB的高度约为59m 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题 的关键 18如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高
32、BC是 10m，坡面 AC 的倾斜角CAB45 ，在距离 A 点 12m处有一建筑物HQ 为方便行人过天桥， 市政部门决定降低坡度， 使新坡面 CD的倾斜角CDB37 ， 若新坡面下 D 处需留至少 4m人行道，则该建筑物 HQ是否需要拆除？请通过计算说明理由 （参考数据： sin37 3 5 ，cos37 4 5 ，tan37 3 4 ） 【答案】不需要拆除，理由见解析. 【分析】 在 Rt ABC、Rt DBC中，利用锐角三角函数分别计算 DB、AB，然后计算 DH的长，根据 DH与 4的关 系，得出结论 【详解】 解：结论：该建筑物 HQ不需要拆除 由题意知，AH12m，BC10m， 在
33、 Rt ABC 中，CAB45 ， ABBC10m， 在 Rt DBC 中，CDB37 ， 1040 3 tan3 4 BC DBm CDB ， DHAHDA AH（DBAB） 12（ 40 3 10） 26 3 8.6（m） ， 8.64， 该建筑物 HQ不需要拆除 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键 19如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31 ，再向 东继续航行20m到达B处， 侧的灯塔的最高点C的仰角为45 ， 根据测得的数据， 计算这座灯塔的高度CD（结 果保留整数）参考
34、数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60 【答案】CD 约为 30m 【分析】 根据锐角三角函数可得 AD= tantan31 CDCD A ，BD=CD，然后根据 ADBD=AB列出方程即可求出结论 【详解】 解：在 Rt ADC和 Rt BDC 中，A=31 ，CBD=45 AD= tantan31 CDCD A ，BD=CD ADBD=AB 20 tan31 CD CD 解得：CD30 答：这座灯塔的高度 CD约为 30m 【点睛】 此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键 20如图 1 是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图
35、2 是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MNPQ，点 C在 MN上，且位于自动扶梯顶端 B点的正上方，BCMN测得 AB10 米，在自动扶梯底端 A处测得点 C的 仰角为 50 ，点 B的仰角为 30 ，求二楼的层高 BC（结果保留根号） （参考数据：sin50 0.77，cos50 0.64，tan50 1.20） 【答案】(6 35)米 【分析】 延长 CB 交 PQ于点 D，在 Rt ADB 中，求出 BD，AD的长，然后在直角 CDA中利用三角函数即可求得 CD 的长，则 BC 即可得到 【详解】 解：延长 CB 交 PQ于点 D MNPQ，BCMN， BCPQ 在 Rt ABD 中，AB1
36、0 米，BAD30 ， 1 5 2 BDAB（米） ， 5 3AD （米） ， 在 Rt CDA 中，CDA90 ，CAD50 ， 5 3 1.26 3CDAD tan CAD （米） ， 6 35BC （米） 【点睛】 本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 21如图，某货船以 24 海里/时的速度将一批货物从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北 偏东 60 的方向上.该货船航行 30 分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东 30 的方向上， （1）求ACB的度数； （2）已知在C岛周围 9 海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁
37、危险？试说明理由. （参考：21.414、31.732） 【答案】 （1）30 ； （2）货船继续向正东方向行驶无触礁危险. 【分析】 （1）在 ABP 中，求出CAB、CBA 的度数即可解决问题； （2）作 CDAB 于 D求出 CD的值即可判定. 【详解】 （1） CAB30，ABC120， ACB180CABABC30 . （2）过点C作CDAB于D， 由题意30CAB ，30BCD ，30ACB ， ACBCAB， BCAB, 1 2412 2 BCAB（海里）, 在Rt BCD中，cos CD BCD BC , 3 cos30126 310.392 2 CDBC , 10.3929.
38、 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险. 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角 三角函数的概念是解题的关键 22如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，如果标杆 BE长 1.2m，测得 AB=1.6m，BC=8.4m，楼高 CD是 多少？ 【答案】楼高 CD 是 7.5m 【分析】 先根据题意得出 ABEACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 CD的值 【详解】 解：EBAC，DCAC， EBDC， ABEACD， BEAB CDAC ， BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4， AC=10， 1.21.6 10CD
39、 CD=7.5 答：楼高 CD是 7.5m 【点睛】 考点：相似三角形的应用 23 某风景管理区为提高游客到某景点的安全性， 决定将到达该景点的步行台阶改善， 把倾角由 45 减至 30 ， 已知原台阶坡面 AB的长为5 2米（BC所在地面为水平面） （1）改善后的台阶坡面 AD长多少米？ （2）改善后的台阶会多占多长一段水平地面？（结果保留根号） 【答案】 （1）10 米（2）5 3-5（米） 【分析】 （1）根据题意得，在 Rt ABC 中，AC=BC=ABsin45 ，解方程可求得 AC 与 BC 的长，在 Rt ADC 中， 因为 AD= sin30 AC ，即可求得 AD的长度 （2
40、）首先由在 Rt ACD中，CD= tan30 AC ，求得 CD的长，又由 BC=5米，即可得出问题的结论 BD 的长 度 【详解】 （1）在 Rt ABC中，ABC=45 ，AC=BC=AB sin45 =5 2 2 2 =5（米） ， 在 Rt ACD中，D=30 ， AD= sin30 AC =51 2 =10（米） （2）在 Rt ACD中，CD= tan30 AC =5 3 3 =5 3（米） 因为 BC=5 米， 所以 BD=CD-BC=5 3-5（米） 考点：1坡度、坡角问题；2解直角三角形 24如图，一只猫头鹰蹲在一棵树 AC的 B（点 B在 AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙
41、 DF的另一侧，猫 头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶 C处，已知短墙高 DF=4米，短墙底部 D与树 的底部 A 的距离为 2.7米，猫头鹰从 C点观测 F点的俯角为 53 ，老鼠躲藏处 M（点 M在 DE 上）距 D点 3 米 （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） （1）猫头鹰飞至 C 处后，能否看到这只老鼠？为什么？ （2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到 0.1 米）？ 【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞 9.5 米. 【解析】 【分析】 (1)根据猫头鹰从 C点观测 F点的俯角为 53 ，可
42、知DFG=90 53 =37 ，在 DFG 中，已知 DF的长度， 求出 DG的长度，若 DG3，则看不见老鼠，若 DG3，则可以看见老鼠； (2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt CAG中，根据 AG CG =sinACG =sin37 ，即可求出CG的长度. 【详解】 (1)能看到； 由题意得，DFG=90 -53 =37 ， 则 DG DF =tanDFG， DF=4 米， DG=4 tan374 0.75=3(米)， 故能看到这只老鼠； (2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米)， 又 AG CG =sinACG=sin37 ， 则 CG= 5.7
43、 sin370.60 AG =9.5(米)， 答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约 9.5米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用 三角函数求解相关线段. 三、填空题三、填空题 25如图，在一笔直的海岸线l上有相距4km的 ,A B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得 船C在北偏东60的方向上， 从B站测得船C在北偏东30的方向上， 则船C到海岸线l的距离是_ km 【答案】2 3 【分析】 过点 C作 CDAB 于点 D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案 【详解】 过点 C作 CDAB 于点 D， 根据题意得：CAD=90 -60 =30 ， CBD=90 -30 =60 ， ACB=CBD-CAD=30 ， CAB=ACB， BC=AB=4km， 在 Rt CBD 中， CD=BCsin60 3 42 3 2 (km) 船 C到海岸线l的距离是2 3km 故答案为：2 3 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角 三角函数的定义
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