2021版中考压轴题专题突破3：一次函数与直角三角形（含解析）

1、一次函数压轴题之直角三角形一次函数压轴题之直角三角形 1如图，直角坐标系中，直线 ykx+b 分别与 x 轴、y 轴交于点 A（3，0） ，点 B（0，4） ，过 D（0，8） 作平行 x 轴的直线 CD，交 AB 于点 C，点 E（0，m）在线段 OD 上，延长 CE 交 x 轴于点 F，点 G 在 x 轴正半 轴上，且 AGAF （1）求直线 AB 的函数表达式 （2）当点 E 恰好是 OD 中点时，求ACG 的面积 （3）是否存在 m，使得FCG 是直角三角形？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 2如图，已知点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上，且，点 C 的坐标是，AB

2、 与 OC 相交于点 G 点 P 从 O 出发以每秒 1 个单位的速度从 O 运动到 C， 过 P 作直线 EFAB 分别交线段 OA， OB （或 线段 CA，CB）于 E，F解答下列问题： （1）直接写出点 G 的坐标和直线 AB 的解析式 （2）若点 P 运动的时间为 t，直线 EF 在四边形 OACB 内扫过的面积为 s，请求出 s 与 t 的函数关系式；并 求出当 t 为何值时，直线 EF 平分四边形 OACB 的面积 （3）设线段 OC 的中点为 Q，P 运动的时间为 t，求当 t 为何值时，EFQ 为直角三角形 3如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，平行四边形的顶点 C 的

3、坐标为（8，8） ，顶点 A 的坐标为（ 6，0） ，边 AB 在 x 轴上，点 E 为线段 AD 的中点，点 F 在线段 DC 上，且横坐标为 3，直线 EF 与 y 轴交于点 G，有一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度， 从点 A 沿折线 ABCF 运动， 当点 P 到达点 F 时停止运动， 设点 P 运动时间为 t 秒 （1）求直线 EF 的表达式及点 G 的坐标； （2）点 P 在运动的过程中，设EFP 的面积为 S（P 不与 F 重合） ，试求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动的过程中，是否存在点 P，使得PGF 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐

4、标；若不存在，请说明理由 4某一次函数的图象与 x 轴相交于点 A（8，0） ，与 y 轴相交于点 B（0，6） ，动点 P、Q 分别同时从 A、B 出发，其中点 P 在线段 AB 上点向 B 移动，速度是 2 单位/秒点 Q 在线段 BO 上，以 1 个单位/秒的速度向 点 O 移动，设移动的时间为 t（秒） （1）求这个一次函数的解析式； （2）四边形 OAPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 t 为何值时，BPQ 是等腰三角形？ （4）若BPQ 是直角三角形，请直接写出点 P 的坐标 5如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，若 OA、OC 的长满足 （1）

5、求 B、C 两点的坐标； （2）把ABC 沿 AC 对折，点 B 落在点 B处，线段 AB与 x 轴交于点 D，求直线 BB的解析式； （3）在直线 BB上是否存在点 P，使ADP 为直角三角形？若存在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，请 说明理由 6如图，在平面直角坐标系，直线 y（x6）与 x 轴、y 轴分别相交于 A、D 两点，点 B 在 y 轴上， 现将AOB 沿 AB 翻折 180，使点 O 刚好落在直线 AD 的点 C 处 （1）求 BD 的长； （2）设点 N 是线段 AD 上的一个动点（与点 A、D 不重合） ，SNBDS1，SNOAS2，当点 N 运动到什么位置时， S1

6、S2的值最大，并求出此时点 N 的坐标； （3）在 y 轴上是否存在点 M，使MAC 为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点 M 的坐标，并选 择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由 7如图，直线和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（2，0） （1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为 每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上

7、运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值 8如图所示平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（4，8） ，若一次函数 ykx+2 的图象平分矩 形 OABC 的面积 （1）求一次函数的解析式 （2）求（1）中一次函数与矩形的交点坐标 （3）设点 D（1，0） ，在一次函数图象上求一点 P，使ADP 为直角三角形，求点 P 坐标 9在平面直角坐标系中，RtACB 的 BC 边在 x 轴上，AC，BC 的长是方程 x 214x+480 的两根，且 AC BC，ABBO，D 在 x 轴上，AD

8、CCAO （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）求直线 AD 的解析式； （3）在 AD 上是否存在点 M，使ABM 是直角三角形？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理 由 1 【解答】解： （1）将点 A、B 的坐标代入函数表达式：ykx+b 并解得： k，b4， 故直线的表达式为：； （2）当 y8 时， 解得 x9， 点 C 的坐标为（9，8） ， CD9， E 是 OD 中点， DEOE， 则EDCEOF（AAS） ， OFCD9， AGAFOF+OA12， 过点 C 作 CHx 轴于点 H， ； （3）当FCG90时， AGAF，则 AC 是中线，则 AFAC10

9、， 故点 F（7，0） ， 由点 C、F 的坐标可得：直线 CF 的表达式为：y（x+7） ， 故点 E（0，） ，则 m； 当CGF90时，则点 G（9，0） ， 则 AFAG6， 故点 F（3，0） ， 同理直线 CF 的表达式为：y（x+3） ， 故 m2； 综上，m或 2 2 【解答】解： （1）G 点的坐标是， ，得出 A，B 两点坐标， 分别为： （3，0） ， （0，3） ， 代入 ykx+b， ， 解得：， 即可得出直线 AB 的解析式为：yx+3； （2）C 的坐标是， OC 是AOB 的角平分线.， 又， AB6， BAOABOBOGAOG45， AGO90，即 ABOC，

10、 OG3， 当 0t3 时，OPt， EFAB， EFOC， EF2OP2t， SSOEF EF OP 2t tt 2， 当 3t7 时，OPt，CP7t，CG7OG734， EFAB， CEFCBA， ， 即， ， SS四边形 OACBSCEF AB COEF CP， 67（7t） （7t） ， ， s 与 t 的函数关系式是： ， 当直线 EF 平分四边形 OABC 的面积时有：， 整理得：t 214t+350， 解得：（不符合题意舍去） ； 当时，直线 EF 平分四边形 OABC 的面积 （3）如图 1，当 P 在线段 OQ 上，且EQF90时， EFAB， OEFOABOBAOFE45

11、， OEOF， 在OEQ 和OFQ 中 ， OEQOFQ（SAS） ， FQOEQO45， OFQFOEFQE90， 四边形 OEQF 是正方形， ， 即 t时，EFQ 为直角三角形， 如图 2，当 P 在线段 CQ 上，且EQF90时， 同理可证：CQFCQE， QEF 是等腰直角三角形， ， EFAB， CEFCBA， ， 即， 解得：t5， 当或 t5 时，EFQ 为直角三角形 3 【解答】解： （1）C（8，8） ，DCx 轴，点 F 的横坐标为 3， ODCD8 点 F 的坐标为（3，8） ， A（6，0） ， OA6， AD10， 过点 E 作 EHx 轴于点 H， 则AHEAOD

12、 又E 为 AD 的中点， AH3，EH4 OH3 点 E 的坐标为（3，4） ， 设过 E、F 的直线为 ykx+b， 直线 EF 为 yx+6， 令 x0，则 y6，即点 G 的坐标为（0，6） （2）延长 HE 交 CD 的延长线于点 M， 则 EMEH4 DF3， SDEF346， 且 S平行四边形 ABCDCD OD8864 当点 P 在 AB 上运动时，如图 3， SS平行四边形 ABCDSDEFSAPES四边形 PBCF APt，EH4， SAPE4t2t， S四边形 PBCF（5+8t）8524t S6462t（524t） ， 即：S2t+6 当点 P 在 BC 边上运动时，

13、SS平行四边形 ABCDSDEFSPCFS四边形 ABPE 过点 P 作 PNCD 于点 N CA，sinA， sinC PC18t， PNPC sinC（18t） CF5， SPCF5（18t）362t 过点 B 作 BKAD 于点 K ABCD8， BKAB sinA8 PBt8， S四边形 ABPE（t8+5）t S646（362t）（t） ， 即 St+ （8 分） 当点 P 在 CF 上运动时， PCt18， PF5（t18）23t EM4， SPEF4（23t）462t 综上：S （3）存在 P1（，） P2（，） 4 【解答】解： （1）设一次函数的解析式为 ykx+b， 把 A

14、（8，0） ，B（0，6）代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：yx+6， 答：一次函数的解析式为 yx+6 （2）解：OB6，OA8， 根据勾股定理得：AB10， AOB 的面积6824， 过点 Q 作 QDAB 于 D， sinB QDBQt BPQ 的面积（102t）tt 2+4t S24（t 2+4t） t 24t+24， 答：S 与 t 之间的函数关系式是 St 24t+24 （3）解：当 BPBQ 时 t102t，t 当 QBQP 时t+2t10，t 当 PBPQ 时 t（102t） ，t 综上所述当 t或或时，BPQ 是等腰三角形， 答：当 t或或时，BPQ 是等腰三角形

15、（4）解：点 P 的坐标为（，） ， （，） ， 答：点 P 的坐标为（，） ， （，） 5 【解答】解： （1）|OA2|+（OC2） 20 OA2，OC2 B 点坐标为： （2，2） ，C 点坐标为（2，0） （2）ABCABC ABAB2，CBCB2 A（0，2） ，C（2，0） 设 B的坐标为（x，y） ，则 ， 解得：B的坐标为（，1） ， 由两点式解出 BB的解析式为 yx4 （3）假如存在设 P（a，a4） ，D（，0） ，又 A（0，2） ， AD 2（ ） 2+22 ，PD 2（a ） 2+（ a4） 2，AP2a2+（ a42） 24a212 a+36， 当ADP 为直角时

16、，AD 2+PD2AP2，解得 a ，则 P（，1） ； 当APD 为直角时，AP 2+PD2AD2，此时无解； 当PAD 为直角时，AD 2+PA2PD2，解得 a3 ，则 P（3，5） ； 综上可得，P 为（3，5）或（，1） 6 【解答】解： （1）令 y0，得 x6； 令 x0，得 y8 所以 A（6，0） ，D（0，8） 并且有 AD10 将AOB 沿 AB 翻折 180，使点 O 刚好落在直线 AD 的点 C 处， ACAO6，DCADAC1064 DD，DCBO90， DBCDAO DC：DODB：DA， 即 4：8DB：10， DB5 （2）设 N（x，y） s15 xx，s2

17、6 y3y， s1 s2x 3yxy（+8）10 x 2+60 x 当 x3 时最大值为 90 则 y（x6）4， N（3，4） ， A（6，0） ，D（0，8） N 是 AD 的中点 （3）MAC 为直角三角形， MCA90或MAC90 若MCA90，则 M 与 B 重合，因为 BD5，所以 M（0，3） ； 若MAC90，则AMDOAD， DM：ADAD：OD， DM：1010：8 DM12.5，OM12.584.5， M（0，4.5） 7 【解答】 （1）证明：yx+4， 当 x0 时，y4； 当 y0 时，x3， B（3，0） ，C（0，4） ， A（2，0） ， 由勾股定理得：BC5

18、， AB3（2）5， ABBC5， ABC 是等腰三角形； （2）解：C（0，4） ，B（3，0） ，BC5， sinB0.8 过 N 作 NHx 轴于 H 点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度， 又ABBC5， 当 t5 秒时，同时到达终点， MON 的面积是 SOMNH， S|t2|0.8t， S|t2|0.4t； 点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S4 的情形理由如下： C（0，4） ，B（3，0） ，BA5， sinB0.8， 根据题意得：S4， |t2|0.4t4， 点 M 在线

19、段 OB 上运动，OA2， t20， 即（t2）0.4t4， 即 t 22t100， 解得：t1+，t1（舍去） ， 点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S4 的情形，此时对应的 t 值是（1+）秒 C（0，4）B（3，0）BC5， cosB0.6 分为三种情况： I、当NOM90时，N 在 y 轴上，即此时 t5； II、当NMO90时，M、N 的横坐标相等，即 t230.6t，解得：t3.125， III、MNO 不可能是 90， 即在运动过程中，当MON 为直角三角形时，t 的值是 5 秒或 3.125 秒 8 【解答】解： （1）点 B 的坐标为（4，8） ， 矩形 OABC 的中心

20、坐标为（2，4） ， 一次函数 ykx+2 的图象平分矩形 OABC 的面积， 2k+24， 解得 k1， 所以，一次函数的解析式为 yx+2； （2）x0 时，y2， x4 时，y4+26， 所以，一次函数与矩形的交点坐标为（0，2） ， （4，6） ； （3）若点 D 是直角顶点，则 x1 时，y1+21， 点 P 的坐标为（1，1） ， 若点 A 是直角顶点，则 x4，y4+26， 点 P 的坐标为（4，6） ， 若 P 是直角顶点，设点 P（a，a+2） ， 过点 P 作 PEx 轴于 E，则APEPDE， 所以， 所以， 整理得，2a 2+a0， 解得 a10，a2， 当 a0 时，

21、a+22， 当 a时，a+2， 所以，点 P 的坐标为（0，2）或（，） ； 综上所述，ADP 为直角三角形时，点 P 的坐标为（1，1）或（4，6）或（0，2）或（，） 9 【解答】解： （1）x 214x+480， 因式分解得， （x6） （x8）0， x60，x80， 解得 x16，x28， ACBC， AC8，BC6， 由勾股定理得，AB10， ABBO， OCOBBC1064， 点 A（4，8） ，B（10，0） ，C（4，0） ， ADCCAO， CDACtanADC816， ODCD+OC16+420， 点 D（20，0） ； （2）设直线 AD 的解析式为 ykx+b， 则， 解得， 直线 AD 的解析式为 yx+10； （3）AMB90时，BDCDBC16610， ABBD， 点 M 是 AD 的中点， 12，4， 点 M1（12，4） ； ABM90时，ABBD， ADCBAD， BMAB tanBAD105， 过点 M 作 ME轴于 E， MBE+ABC90，ABC+BAC90， MBEBAC， MEBM sinMBE53， BEBM cosMBE54， OEOB+BE10+414， 点 M2（14，3） ， 综上所述，点 M（12，4）或 M（14，3）时，ABM 是直角三角形