1、一次函数压轴题之面积问题一次函数压轴题之面积问题 1如图，直线 y2x+7 与 x 轴、y 轴分别相交于点 C、B，与直线 yx 相交于点 A （1）求 A 点坐标； （2）如果在 y 轴上存在一点 P，使OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形，则 P 点坐标是 ； （3）在直线 y2x+7 上是否存在点 Q，使OAQ 的面积等于 6？若存在，请求出 Q 点的坐标，若不存在， 请说明理由 2如图，直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，P 是直线 AB 上的一个动点，点 C 的坐标为（ 4，0） ，PC 交 y 轴点于 D，O 是原点 （1）求AOB 的面积； （2）线段
2、AB 上存在一点 P，使DOCAOB，求此时点 P 的坐标； （3）直线 AB 上存在一点 P，使以 P、C、O 为顶点的三角形面积与AOB 面积相等，求出 P 点的坐标 3如图 1，已知直线 y2x+2 与 y 轴，x 轴分别交于 A，B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作等腰 RtABC （1）求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式； （2）如图 2，直线 CB 交 y 轴于 E，在直线 CB 上取一点 D，连接 AD，若 ADAC，求证：BEDE （3）如图 3，在（1）的条件下，直线 AC 交 x 轴于点 M，P（，k）是线段 BC 上一点，在 x 轴上是否存 在一点 N，使B
3、PN 面积等于BCM 面积的一半？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 4已知 y 关于 x 的一次函数 ymx+22m（m0 且 m1） ，其图象交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B （0 为坐 标系的原点） （1）若 OB6，求这时 m 的值； （2）对于 m0 的任意值，该函数图象必过一定点，请求出定点的坐标； （3）是否存在 m 的值，使OAB 的面积为 8？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 5如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 yx+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B （1）A 点坐标为 ，B 点坐标为 ； （2）若动点 D 从点
4、B 出发以 4 个单位/秒的速度沿射线 BO 方向运动，过点 D 作 OB 的垂线，动点 E 从点 O 出发以 2 个单位/秒的速度沿射线 OA 方向运动，过点 E 作 OA 的垂线，两条垂线相交于点 P，若 D、E 两点同 时出发，此时，我们发现点 P 在一条直线上运动，请求这条直线的函数解析式 （3）在（2）的基础上若点 P 也在直线 y3x 上，点 Q 在坐标轴上，当ABP 的面积等于BAQ 面积时，请 直接写出点 Q 的坐标 6如图，一次函数 yx+3 的函数图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B （1）若点 P（2，m）为第三象限内一个动点，请问OPB 的面积会变化吗？若不变，请求
5、出面积；若变 化，请说明理由 （2）在（1）的条件下，试用含 m 的代数式表示四边形 APOB 的面积；若APB 的面积是 6，求 m 的值 7直线 yx6 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 E 从 B 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BO 向 O 点移动（不考虑点 E 与 B、O 两点重合的情况） ，过点 E 作 EFAB，交 x 轴于点 F，将四边形 ABEF 沿 直线 EF 折叠后，与点 A 对应的点记作点 C，与点 B 对应的点记作点 D，得到四边形 CDEF，设点 E 的运动时 间为 t 秒 （1）画出当 t2 时，四边形 ABEF 沿直线 EF 折叠后的四边
6、形 CDEF（不写画法） ； （2）在点 E 运动过程中，CD 交 x 轴于点 G，交 y 轴于点 H，试探究 t 为何值时，CGF 的面积为； （3）设四边形 CDEF 落在第一象限内的图形面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式，并求出 S 的最大值 8如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA2，OC6，在 OC 上取点 D 将AOD 沿 AD 翻折，使 O 点落在 AB 边上的 E 点处，将一个足够大的直角三角板的顶点 P 从 D 点出发沿线段 DAAB 移动，且一直角 边始终经过点 D，另一直角边所在直线与直线 DE，BC 分别交于点 M，N （1）填空：D 点坐标是（
7、， ） ，E 点坐标是（ ， ） ； （2）如图 1，当点 P 在线段 DA 上移动时，是否存在这样的点 M，使CMN 为等腰三角形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，当点 P 在线段 AB 上移动时，设 P 点坐标为（x，2） ，记DBN 的面积为 S，请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 9如图 1，在平面直角坐标系中，已知AOB 是等边三角形，点 A 的坐标是（0，4） ，点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点， 连接 AP， 并把AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转， 使边 AO 与 AB 重合， 得到ABD （1）求直线 AB 的解析
8、式； （2）当点 P 运动到点（，0）时，求此时 DP 的长及点 D 的坐标； （3）是否存在点 P，使OPD 的面积等于？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 10如图，在直角梯形 OABC 中，ABOC，BCx 轴于点 C，A（1，2） ，C（3，0） 动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ直线 OA，垂足为 Q设 P 点移动的时间为 t 秒（0 t7） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S （1）写出点 B 的坐标： ； （2）当 t7 时，求直线 PQ 的解析式，并判断点 B 是否在直线 P
9、Q 上； （3）求 S 关于 t 的函数关系式； 11如图，梯形 OABC 中，BCAO，BAO90，B（3，3） ，直线 OC 的解析式为 yx，将OBC 绕点 C 顺时针旋转 60后，O 到 O1，B 到 B1，得O1B1C （1）求证：点 O1在 x 轴上； （2）将点 O1运动到点 M（4，0） ，求B1MC 的度数； （3）在（2）的条件下，将直线 MC 向下平移 m 个单位长度，设直线 MC 与线段 AB 交于点 P，与线段 OC 的交 于点 Q，四边形 OAPQ 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 m 的取值范围 12如图 a，矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上，
10、点 D 与原点重合，对角线 BD 所在直线函数式为，AD 8，矩形 ABCD 沿 DB 方向以每秒一个单位长度运动，同时点 P 从点 A 出发做匀速运动，沿矩形 ABCD 的边 经 B 到达终点 C，用了 14 秒 （1）求矩形 ABCD 周长； （2）如图 b，当 P 到达 B 时，求点 P 坐标； （3）当点 P 在运动时，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F， 如图 c， 当 P 在 BC 上运动时， 矩形 PEOF 的边能否与矩形 ABCD 的边对应成比例？若能， 求出时间 t 的值， 若不能，说明理由； 如图 d，当 P 在 AB 上运动时，矩形 PEOF 的面积能
11、否等于 256？若能，求出时间 t 的值，若不能，说明理 由； 13如图，等腰 RtABC 中，ACB90，在直角坐标系中如图摆放，点 A 的坐标为（0，2） ，点 B 的坐 标为（6，0） （1）直接写出线段 AB 的中点 P 的坐标为 ； （2）求直线 OC 的解析式； （3）动点 M、N 分别从 O 点出发，点 M 沿射线 OC 以每秒个单位长度的速度运动，点 N 沿线段 OB 以每秒 1 个长度的速度向终点 B 运动，当 N 点运动到 B 点时，M、N 同时停止运动，设PMN 的面积为 S（S0）运 动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围 1
12、【解答】解： （1）解方程组：得： A 点坐标是（2，3） ； （2）设 P 点坐标是（0，y） ， OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形， OPPA， 2 2+（3y）2y2， 解得 y， P 点坐标是（0，） ， 故答案为（0，） ； （3）存在； 由直线 y2x+7 可知 B（0，7） ，C（，0） ， SAOC36，SAOB7276， Q 点有两个位置：Q 在线段 AB 上和 AC 的延长线上，设点 Q 的坐标是（x，y） ， 当 Q 点在线段 AB 上：作 QDy 轴于点 D，如图，则 QDx， SOBQSOABSOAQ761， OB QD1，即7x1， x， 把 x代入 y2x+
13、7，得 y， Q 的坐标是（，） ， 当 Q 点在 AC 的延长线上时，作 QDx 轴于点 D，如图则 QDy， SOCQSOAQSOAC6， OC QD，即（y）， y， 把 y代入 y2x+7，解得 x， Q 的坐标是（，） ， 综上所述：点 Q 是坐标是（，）或（，） 2 【解答】解： （1）如图 1，直线 y2x+4 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点， A（2，0） ，B（0，4） ， OA2，OB4 SAOBOA OB244，即AOB 的面积是 4； （2）DOCAOB， ODOA2， D（0，2） 故设直线 CD 的解析式为 ykx+2（k0） C（4，0） 则 04k+
14、2， 解得，k， 直线 CD 的解析式为 yx+2 又点 P 是直线 CD 与直线 AB 的交点， ， 解得， 点 P 的坐标是（，） （3）如图 2，设 P（x，y） ， 又点 C 的坐标为（4，0） ， OC4， SCOPSAOB， OC|y|4，即|y|2， 解得，y2， P 是直线 AB 上一点， 点 P 的坐标为： （1，2）或（3，2） 3 【解答】解： （1）令 x0，则 y2，令 y0，则 x2，则点 A、B 的坐标分别为： （0，2） 、 （1，0） ， 过点 C 作 CHx 轴于点 H， HCB+CBH90，CBH+ABO90，ABOBCH， CHBBOA90，BCBA，C
15、HBBOA（AAS） ， BHOA2，CHOB，则点 C（3，1） ， 将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式：ymx+b 得：，解得：， 故直线 AC 的表达式为：yx+2； （2）同理可得直线 CD 的表达式为：yx，则点 E（0，） ， 直线 AD 的表达式为：y3x+2， 联立并解得：x1，即点 D（1，1） ， 点 B、E、D 的坐标分别为（1，0） 、 （0，） 、 （1，1） ， 故点 E 是 BD 的中点，即 BEDE； （3）将点 BC 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：yx， 将点 P 坐标代入直线 BC 的表达式得：k， 直线 AC 的表达式为：y
16、x+2，则点 M（6，0） ， SBMCMByC51， SBPNSBCMNBkNB， 解得：NB， 故点 N（，0）或（，0） 4 【解答】解： （1）OB6，即 22m6， 解得：m2 或 4； （2）ymx+22mm（x2）+2， 当 x2 时，y2， 故定点坐标为（2，2） ； （3）存在，理由： OA|，OB|22m|， SOABOAOB|22m|8， 解得：m1 或 3+2或 32 5 【解答】解： （1）yx+8，令 x0，则 y8，令 y0，则 x6， 故答案为： （6，0） 、 （0，8） ； （2）由题意得：点 P（2t，84t） ， 则 x2t，y84t， 故点 P 所在的
17、直线表达式为：y82x； （3）当点 Q 在 AB 下方时， 将 y3x 与 y82x 联立并解得：x，y，即点 P（，） ， ABP 的面积等于BAQ 面积时，点 Q 在过点 P 且平行于 AB 的直线上， 设过点 P 且平行于 AB 的直线表达式为：yx+b， 将点 P 的坐标代入上式得：+b，解得：b， 故函数的表达式为：yx+， 当 x0 时，y，当 y0 时，x， 即点 Q（0，）或（，0） 当点 Q 在 AB 上方时， 同理可得：点 Q 的坐标为： （，0）或（0，） ； 综上点 Q 的坐标为： （0，）或（，0）或（，0）或（0，） 6 【解答】解： （1）不变，理由： 一次函数
18、 yx+3 的函数图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B， 则点 A、B 的坐标分别为（3，0） 、 （0，3） ， SOPBOBxP323； （2）S四边形 APOBSABO+SAOPAOBO+AO（m）3（3m）m+， SABPS四边形 APOBSBOPm+36， 解得：m3 7【解答】解： （1）如图 1： （2）如图 2： ， 由折叠的性质，得CACOA45，AFBECFt， SCFGCF FGt 2 ， 解得 t，t（不符合题意，舍） ； （3）分两种情况讨论： 当 0t3 时，如图 2： 四边形 DCFE 落在第一象限内的图形是DFG， St 2， St 2，在 t0 时，S 随
19、 t 增大而增大， t3 时，S最大； 当 3t6 时，如图 3： ， 四边形 DCFE 落在第一象限内的图形是四边形 CHOF， S四边形 CHOFSCGFSHGO， St 2 2（2t6） 2 t 2+12t18 （t4） 2+6， a0， S 有最大值， 当 t4 时，S最大6， 综上所述，当 t4 时，S 最大值为 6 8 【解答】解： （1）将AOD 沿 AD 翻折，使 O 点落在 AB 边上的 E 点处， OADEAD45，DEOD， OAOD， OA2， OD2， D 点坐标是（2，0） ，DEOD2， E 点坐标是（2，2） ， 故答案为： （2，0） ， （2，2） ； （2
20、）存在点 M 使CMN 为等腰三角形，理由如下： 由翻折可知四边形 AODE 为正方形， 过 M 作 MHBC 于 H， PDMPMD45，则NMHMNH45， NHMH4，MN4， 直线 OE 的解析式为：yx，依题意得 MNOE， 设 MN 的解析式为 yx+b， 而 DE 的解析式为 x2，BC 的解析式为 x6， M（2，2+b） ，N（6，6+b） ， CM，CN6+b，MN4， 分三种情况讨论： 当 CMCN 时， 4 2+（2+b）2（6+b）2， 解得：b2，此时 M（2，0） ； 当 CMMN 时， 4 2+（2+b）2（4 ） 2， 解得：b12，b26（不合题意舍去） ，
21、 此时 M（2，4） ； 当 CNMN 时， 6+b4， 解得：b46，此时 M（2，44） ； 综上所述，存在点 M 使CMN 为等腰三角形，M 点的坐标为： （2，0） ， （2，4） ， （2，44） ； （3）根据题意得： 当 0 x2 时， BPN+DPE90， BPN+BNP90， DPEBNP， 又PEDNBP90， DEPPBN， ， ， BN， SDBN BN BE 4 整理得：Sx 28x+12； 当 2x6 时， PBNDEP， ， ， BN， SDBN BN BE， 4， 整理得：Sx 2+8x12； 则 S 与 x 之间的函数关系式：， 当 0 x2 时，Sx 28x
22、+12（x4）24， 当 x4 时，S 随 x 的增大而减小，即 0 x2， 当 2x6 时，Sx 2+8x12（x4）2+4， 当 x4 时，S 随 x 的增大而减小，即 4x6， 综上所述：S 随 x 增大而减小时，0 x2 或 4x6 9 【解答】解： （1）如图 1，过点 B 作 BEy 轴于点 E，作 BFx 轴于点 F由已知得： BFOE2，OF， 点 B 的坐标是（，2） 设直线 AB 的解析式是 ykx+b（k0） ，则有 解得 直线 AB 的解析式是 yx+4； （2）如图 2，ABD 由AOP 旋转得到， ABDAOP， APAD，DABPAO， DAPBAO60， ADP
23、 是等边三角形， DPAP 如图 2，过点 D 作 DHx 轴于点 H，延长 EB 交 DH 于点 G，则 BGDH 方法（一） 在 RtBDG 中，BGD90，DBG60 BGBD cos60 DGBD sin60 OHEG，DH 点 D 的坐标为（，） 方法（二） 易得AEBBGD90，ABEBDG， ABEBDG， ；而 AE2，BDOP，BE2，AB4， 则有，解得 BG，DG； OH，DH； 点 D 的坐标为（，） （3）假设存在点 P，在它的运动过程中，使OPD 的面积等于 设点 P 为（t，0） ，下面分三种情况讨论： 当 t0 时，如图，BDOPt，DGt， DH2+t OPD
24、 的面积等于， ， 解得，（舍去） 点 P1的坐标为（，0） 当 D 在 x 轴上方时，根据勾股定理求出 BDOP， 当t0 时，如图，BDOPt，DGt， GHBF2（t）2+t OPD 的面积等于， ， 解得， 点 P2的坐标为（，0） ，点 P3的坐标为（，0） 当 t时，如图 3，BDOPt，DGt， DHt2 OPD 的面积等于， （t）（2+t）， 解得（舍去） ， 点 P4的坐标为（，0） ， 综上所述，点 P 的坐标分别为 P1（，0） 、P2（，0） 、P3（，0） 、P4（，0） 10 【解答】解： （1）A（1，2） ，C（3，0） ，ABOC，BCx 轴于点 C， 点
25、B 的坐标为： （3，2） ； 故答案为： （3，2） （2）设直线 OA 的坐标为：ykx， A（1，2） ， k2， 即直线 OA 的解析式为：y2x， PQ直线 OA， 设直线 PQ 的解析式为：yx+b， 当 t7 时，点 P 的坐标为（7，0） ， 7+b0， 解得：b， 直线 PQ 的解析式为：yx+； 当 x3 时，y2， 点 B 在直线 PQ 上； （3）直线 OA 的解析式为：y2x， tanPOQ2，即 sinPOQ，cosPOQ， tanOPQ， OPt， OQt，PQt， 当 t3 时，点 P 与点 C 重合， 当 Q 与 A 重合时，即 OQOA， t， 解得：t5；
26、 当 0t3，SSPQOOQ PQttt 2； 当 3t5，如图 2， PCt3， CDPC tanOPQPC， SSPOQSPCDt 2 （t3）； 当 3t5，； 当 5t7，如图 3， CD， BD2， ABx 轴， BEDOPQ， tanBED， BE2BD7t， SS梯形 OABCSBED（2+3）2（7t）， 当 5t7，； （4）存在 理由：SABCAB BC222， 若使得 PQ 分ABC 的面积为 1：3， 当 3t5 时，SDEFSABC， 设 AC 交 PQ 于点 E，过点 E 作 EFDF， CEFCAB，EDFPDC， EF：ABCF：CB，EF：CPDF：CD， A
27、BBC，CP2CD， EFCF，EF2DF， CF2DF， DFCD， EF2DFt3， （t3）， 解得：t3+； 当 5t7 时，SBDESABC， 即（7t）， 解得：t7； 综上可得：或 11 【解答】 （1）证明：如图 1，BCAO，B（3，3） ， 点 C 的纵坐标是 3， 又直线 OC 的解析式为 yx， 3x， 解得，x，则 C（，3） tanCOA， COA60 根据旋转的性质知，OCO160，COCO1 COO1为等边三角形， COO160 COACOO1 点 O1在 x 轴上 （2）解：如图 2，COO160，BCAO， BCO120， B1CO1120 O1CO60，
28、B1CO180， B1、C、O 三点共线 C（，3） ， COCO1O1O2， MO4， MO1O1OO1C， 可证得MCO90 BCCO2，BCB1C， B1CCO， MB1MO， B1MCBMO30； （3）解：如图 3，设 MC 与 AB 边交于点 D，过点 C 作 CEAB 交 PQ 于点 E，过点 Q 作 QNOA 于点 N AD1，PDm， AP1m 在CEQ 中，CEm，ECQ30 CQm， OQ2m QN3m，ONm AN2+m 又S四边形 OAPQS梯形 PAQN+SQNO S+（m） （3m） Sm 22 m+（0m1） 12 【解答】解： （1）AD8，B 点在 yx 上
29、， y86， B 点坐标为（8，6） ， AB6， 矩形的周长2（AD+AB）2（8+6）28； （2）当 P 到达 B 时，AB6， 共运动 6 秒， OD6， 设点 D 的横坐标是 a， 则纵坐标是a， a 2+（ a） 262， 解得 a， ， +8，+6， 点 P 的坐标是 P（，） ； （3）当 P 在 BC 上运动时，即 6t14， 点 D 的坐标是（t，t） ， 14t+t14， 点 P 的坐标是（14t，t+6） ， 假设矩形 PEOF 的边能与矩形 ABCD 的边对应成比例， 则若，则，解得 t6， 当 t6 时，点 P 与点 B 重合，此时矩形 PEOF 与矩形 BADC
30、是位似形 若，则 ， 解得 t， 因为14，此时点 P 不在 BC 边上，舍去 综上，当 t6 时，点 P 到达点 B，矩形 PEOF 与矩形 BADC 是相似图形，对应边成比例； 当 P 在 AB 上运动时，即 0t6， 点 D 的坐标是（t，t） ， t+tt， 点 P 的坐标为（8+t，t） 矩形 PEOF 的面积（8+t） （t）256， 整理得：t 2+10t2000， 解得 t110，t220， t110，t220 都不合题意，故不能 故答案为： （1）矩形 ABCD 的周长为 28； （2）P（，） ； （3）t6；故不能 13 【解答】解： （1）P（3，1） ； （2）过点
31、C 作 CEOB，CDOA ADCCEBDCE90ACD+ACE90 在等腰 RtABC 中 ACBC，ACB90 BCE+ACE90（3 分） ACDBCE ACDBCE CECD 点 C 在第一象限的角平分线上（4 分） 直线 OC 的解析式为 yx； （3）当点 M 在点 P 左侧时 过点 P 作 PFOB 由题意可知 OMtONt（5 分） 点 M 在函数 yx 上 M（t，t） N（t，0） MNx 轴 MNt 点 P（3，1） （6 分） PF1，OF3 NFOFON3t； SS梯形 PMNFSPFN； 当点 M 在点 P 右侧时 过点 P 作 PGOB 由可知（8 分） MNx 轴 MNt 点 P（3，1） （9 分） PG1，OG3 NGONOGt3 SS梯形 PMNGSPGN（10 分） S （3t6） （11 分） 综上，S
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