1、一次函数压轴题之菱形一次函数压轴题之菱形 1如图，直线 l1：yx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与直线 l2：ykx6 交于点 C（4，2） （1）求直线 l1和直线 l2的解析式； （2）点 E 是射线 BC 上一动点，其横坐标为 m，过点 E 作 EFy 轴，交直线 l2于点 F，若以 O、B、E、F 为 顶点的四边形是平行四边形，求 m 值； （3）若点 P 为 x 轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点 Q，使得以 P、Q、A、B 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2如图 1，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在
2、x 轴、y 轴上，B 点坐标是（8，4） ，将AOC 沿对角线 AC 翻折得 ADC，AD 与 BC 相交于点 E （1）求证：CDEABE； （2）求 E 点坐标； （3） 如图 2， 若将ADC 沿直线 AC 平移得ADC （边 AC始终在直线 AC 上） ， 是否存在四边形 DD CC 为菱形的情况？若存在，请直接写出点 C的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，直线 l1：yx+b 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与直线 l2：ykx6 交于点 C（4，2） （1）求 A 点坐标及 k，b 的值； （2） 在直线 BC 上有一点 E， 过点 E 作 y 轴的平行线交直线 l2于
3、点 F， 设点 E 的横坐标为 m， 当 m 为何值时， 以 O、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形； （3） 若点 P 为 x 轴上一点， 在坐标系中是否存在一点 Q， 使得 P、 Q、 A、 B 四个点能构成一个菱形？若存在， 求出所有符合条件的 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 4在平面直角坐标系中，BCOA，BC3，OA6，AB3 （1）直接写出点 B 的坐标； （2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD5，OE2BE，直线 DE 交 x 轴于点 F，求直线 DE 的解析式； （3）在（2）的条件下，点 M 是直线 DE 上的一点，在 x 轴上方是否存在另一个点 N，
4、使以 O、D、M、N 为顶 点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 5如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 yx+b 与坐标轴交于 C，D 两点，直线 AB 与坐 标轴交于 A，B 两点，线段 OA，OC 的长是方程 x 23x+20 的两个根（OAOC） （1）求点 A，C 的坐标； （2）直线 AB 与直线 CD 交于点 E，若点 E 是线段 AB 的中点，求直线 AB 的解析式； （3）在（2）的条件下，点 M 在直线 CD 上，坐标平面内是否存在点 N，使以点 B，E，M，N 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点 N 的
5、坐标；若不存在，请说明理由 6在平面直角坐标系中，直线 yx+b 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，且点 A 坐标为（8，0） ，点 C 为 AB 中点 （1）请直接写出点 B 坐标（ ， ） （2）点 M 为 x 轴上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，分别与直线 AB、直线 OC 交于点 P、Q，设点 M 的横 坐标为 m，线段 PQ 的长度为 d，求 d 与 m 的函数关系式，并直接写出自变量 m 的取值范围 （3）在（2）条件下，当点 M 在线段 OA（点 M 不与 O、A 重合）上运动时，在坐标系内是否存在一点 N，使 得以 O、B、P、N 为顶点的四边形为菱形？若存在，求出
6、 N 点的坐标若不存在，请说明理由 7如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC12，ACO30， （1）求 B、C 两点的坐标； （2）把矩形沿直线 DE 对折使点 C 落在点 A 处，DE 与 AC 相交于点 F，求直线 DE 的解析式； （3）若点 M 在直线 DE 上，平面内是否存在点 N，使以 O、F、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直 接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 8如图，已知点 A（12，0） ，B（3，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，且ACB90 （1）求点 C 的坐标； （2）求 RtACB 的角平分线 CD 所在直线 l 的解析式；
7、（3）在 l 上求出满足 SPBCSABC的点 P 的坐标； （4）已知点 M 在 l 上，在平面内是否存在点 N，使以 O、C、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接 写出点 N 的坐标；若不存在请说明理由 9如图，在平面直角坐标系中， OABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，顶点 B 在 x 轴的正半轴上，对角线 AC、OB 交于点 D，且 OA、OB 的长是方程 x 212x+320 的两根（OAOB） （1）求直线 AC 的函数解析式； （2）若点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AC 运动，连接 OP设OPD 的面积为 S，点 P 的运 动时间为 t 秒
8、，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）若点 M 是直线 AC 上一点，则在平面上是否存在点 N，使以 A、B、M、N 为顶点四边形为菱形？若存在， 请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 10 如图， 在平面直角坐标系中， 直角梯形 OABC 的边 OC、 OA 分别与 x 轴、 y 轴重合， ABOC， AOC90， BCO45，BC12，点 C 的坐标为（18，0） （1）求点 B 的坐标； （2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 正半轴于点 E，且 OE4，OD2BD，求直线 DE 的解析式； （3）若点 P 是（2）中直线 DE 上的
9、一个动点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的四边 形是菱形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 11如图，在 RtOAB 中，A90，ABO30，OB，边 AB 的垂直平分线 CD 分别与 AB、x 轴、 y 轴交于点 C、G、D （1）求点 G 的坐标； （2）求直线 CD 的解析式； （3）在直线 CD 上和平面内是否分别存在点 Q、P，使得以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求 出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 12已知直线 yx+4与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，ABC60，BC 与 x 轴交于点 C （1）试确
10、定直线 BC 的解析式 （2）若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动（不与 A、C 重合） ，同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动 （不与 C、A 重合） ，动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度设 APQ 的面积为 S，P 点的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围 （3）在（2）的条件下，当APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在一点 N，使以 A、Q、M、 N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由 13如图，在平面直角坐标
11、系中，已知点 A 为第二象限内一点，过点 A 作 x 轴垂线交 x 轴于点 B，点 C 为 x 轴正半轴上一点，且 OB、OC 的长分别为方程 x 24x+30 的两根（OBOC） （1）求 B、C 两点的坐标； （2）作直线 AC，过点 C 作射线 CEAC 于 C，在射线 CE 上有一点 M（5，2） ，求直线 AC 的解析式； （3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点 Q 和点 P（点 P 在直线 AC 上） ，使以 O、C、P、Q 为顶点的 四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 14如图 1，直线 yx+6 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，
12、直线 AB 交 x 轴于点 B，AOB 沿直线 AB 折叠，点 O 恰好落在直线 AD 上的点 C 处 （1）求 OB 的长； （2）如图 2，F，G 是直线 AB 上的两点，若DFG 是以 FG 为斜边的等腰直角三角形，求点 F 的坐标； （3）如图 3，点 P 是直线 AB 上一点，点 Q 是直线 AD 上一点，且 P，Q 均在第四象限，点 E 是 x 轴上一点， 若四边形 PQDE 为菱形，求点 E 的坐标 1 【解答】解： （1）将点 C 的坐标代入 l1、l2表达式得： 24+b，24k6， 解得：b4，k2， 故直线 l1和直线 l2的解析式分别为：yx+4，y2x6， 则点 A、
13、B 的坐标分别为（8，0） 、 （0，4） ； （2）设点 E（m，m+4） ，点 F（m，2m6） ， 当以 O、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形时， 则 EFOB，即|m+42m+6|4， 解得：m或； （3）当 AB 是菱形的一条边时， 则 APAB4， 则点 P 的坐标为（8+4，0）或（84，0）或（8，0） ， 则点 Q（4，4）或（4，4）或（0，4） ； 当 AB 是菱形的对角线时， 设点 P（m，0） ，点 Q（s，t） ， 由中点公式得：8m+s，4t， 由菱形性质知：PAPB 得： （m8） 2m2+16， 联立并解得：t4，s5， 故点 Q（5，4） ， 综上，点
14、 Q（4，4）或（4，4）或（5，4）或（0，4） 2 【解答】解： （1）证明：四边形 OABC 为矩形， ABOC，BAOC90， CDOCAB，DAOCB， 又CEDABE，CDEABE（AAS） ， CEAE； （2）B（8，4） ，即 AB4，BC8 设 CEAEn，则 BE8n， 可得（8n） 2+42n2， 解得：n5， E（5，4） ； （3）设点 C 在水平方向上向左移动 m 个单位，则在垂直方向上向上移动了个单位， 则点 C坐标为（m，4m） ， 则四边形 DDCC 为菱形， CC 2（m）2+（ m） 2 m 2CD216， 解得：m， 故点 C的坐标为（，4+）或（，4
15、） 3 【解答】解： （1）将 C（4，2）代入 ykx6，yx+b 得：24k6，24+b，解得：k2，b4 直线 l1：yx+4，直线 l2：y2x6 在 yx+4 中，令 x0，得 y4，B（0，4） 令 y0，得 0 x+4，解得：x8，A（8，0） ； （2）设 E（m，m+4） ，则 F（m，2m6） ， 如图 1，当 0m4 时，EF10， 四边形 OBEF 是平行四边形 OBEF 即 410，解得：m， 如图 2，当 m4 时， 四边形 OBFE 是平行四边形 OBFE，即 4m10，解得：m， m或 m； （3）存在如图 3， 当以 AB 为边时， 点 A（8，0） ，B（0
16、，4） AB4， 以 P、Q、A、B 为顶点的四边形是菱形 APAB4， P（84，0）或 P（8+4，0） ， Q（4，4）或（4，4） ， 当 Q 与 B 关于原点对称时，Q（0，4）也存在满足条件的菱形， 当以 AB 为对角线时， 设对角线的交点为 M，则 M（4，2） ， 因此设 APBPx，则 OP8x， 在 RtBOP 中， 4 2+（8x）2x2， 解得：x5， P（3，0） ，则 Q（5，4） ， 综上所述，符合条件的 Q 的坐标为：Q（4，4）或（4，4）或（5，4）或（0，4） 4 【解答】解： （1）如图 1，过 B 作 BGOA 于点 G， BC3，OA6， AGOAO
17、GOABC633， 在 RtABG 中，由勾股定理可得 AB 2AG2+BG2，即（3 ） 232+BG2，解得 BG6， OC6， B（3，6） ； （2）由 OD5 可知 D（0，5） ， B（3，6） ，OE2BE， E（2，4） ， 设直线 DE 的解析式是 ykx+b 把 D（0，5）E（2，4）代入得， 直线 DE 的解析式是 yx+5； （3）当 OD 为菱形的边时，则 MNOD5，且 MNOD， M 在直线 DE 上， 设 M（t，t+5） ， 当点 N 在点 M 上方时，如图 2，则有 OMMN， OM 2t2+（ t+5） 2， t 2+（ t+5） 252，解得 t0 或
18、 t4， 当 t0 时，M 与 D 重合，舍去， M（4，3） ， N（4，8） ； 当点 N 在点 M 下方时，如图 3，则有 MDOD5， t 2+（ t+55） 252，解得 t2 或 t2， 当 t2时，N 点在 x 轴下方，不符合题意，舍去， M（2，+5） ， N（2，） ； 当 OD 为对角线时，则 MN 垂直平分 OD， 点 M 在直线 y2.5 上， 在 yx+5 中，令 y2.5 可得 x5， M（5，2.5） ， M、N 关于 y 轴对称， N（5，2.5） ， 综上可知存在满足条件的点 N，其坐标为（4，8）或（5，2.5）或（2，） 5 【解答】解： （1）x 23x
19、+2（x1） （x2）0， x11，x22， OAOC， OA2，OC1， A（2，0） ，C（1，0） （2）将 C（1，0）代入 yx+b 中， 得：01+b，解得：b1， 直线 CD 的解析式为 yx+1 点 E 为线段 AB 的中点，A（2，0） ，B 的横坐标为 0， 点 E 的横坐标为1 点 E 为直线 CD 上一点， E（1，2） 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则有， 解得， 直线 AB 的解析式为 y2x+4 （3）假设存在，设点 M 的坐标为（m，m+1） ， 以点 B，E，M，N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示） ： 以线段 BE 为边时，E（1，2） ，
20、A（2，0） ，E 为线段 AB 的中点， B（0，4） ， BEAB 四边形 BEMN 为菱形， EMBE 或 BEBM 当 EMBE 时，有 EMBE， 解得：m1，m2， M（，2+）或（，2） ， B（0，4） ，E（1，2） ， N（，4+）或（，4） ； 当 BEBM 时，有 BMBE， 解得：m31（舍去） ，m42， M（2，3） ， B（0，4） ，E（1，2） ， N（3，1） ； 以线段 BE 为对角线时，MBME， ， 解得：m3， M（，） ， B（0，4） ，E（1，2） ， N（01+，4+2） ，即（ ，） 综上可得：坐标平面内存在点 N，使以点 B，E，M，N
21、 为顶点的四边形是菱形，点 N 的坐标为（，4+ ）或（，4）或（3，1）或（ ，） ； 6 【解答】解： （1）直线 yx+b 过点 A（8，0） ， 06+b，解得：b6， 直线 AB 的解析式为 yx+6 令 yx+6 中 x0，则 y6， 点 B 的坐标为（0，6） 故答案是： （0，6） （2）依照题意画出图形，如图 3 所示 A（8，0） ，B（0，6） ，且点 C 为 AB 的中点， C（4，3） 设直线 OC 的解析式为 ykx（k0） ， 则有 34k，解得：k， 直线 OC 的解析式为 yx 点 P 在直线 AB 上，点 Q 在直线 OC 上，点 P 的横坐标为 m，PQx
22、 轴， P（m，m+6） ，Q（m，m） 当 m4 时，dm+6mm+6； 当 m4 时，dm（m+6）m6 故 d 与 m 的函数解析式为 d； （3）假设存在，设点 P 的坐标为（n，n+6） （0n8） 点 P 在第一象限， 以 O，B，P，N 为顶点的四边形为菱形有两种情况： 以 BP 为对角线时，如图 4 所示 四边形 OPNB 为菱形，B（0，6） ， OPOB6， 解得：n或 n0（舍去） ， 点 P（，） ， 点 N（+00，6+0） ，即（，） 以 OP 为对角线时，如图 5 所示 PNOB，PNONOB6 MNPNPMm 在直角ONM 中，OM 2+MN2ON2，即 m2+
23、（ m） 262 解得 m（舍去负值） 此时 N（，） ； 当 OB 为对角线时，N（4，3） 综上得：当点 P 在线段 AB （点 M 不与 A，B 重合） 上运动时，在坐标系第一象限内存在一点 N，使得以 O，B， P，N 为顶点的四边形为菱形，N 点坐标为（，）或（，）或 N（4，3） 7 【解答】解： （1）在直角OAC 中，tanACO， 设 OAx，则 OC3x， 根据勾股定理得： （3x） 2+（ x） 2AC2， 即 9x 2+3x2144， 解得：x2 故 C 的坐标是： （6，0） ，B 的坐标是（6，6） ； （2）直线 AC 的斜率是：， 则直线 DE 的斜率是： F
24、是 AC 的中点，则 F 的坐标是（3，3） ，设直线 DE 的解析式是 yx+b， 则 9+b3，解得：b6， 则直线 DE 的解析式是：yx6； （3）OFAC6， 直线 DE 的斜率是： DE 与 x 轴夹角是 60， 当 FM 是菱形的边时（如图 1） ，ONFM， 则NOC60或 120 当NOC60时，过 N 作 NGy 轴，则 NGON sin3063， OGON cos3063，则 N 的坐标是（3，3） ； 当NOC120时，与当NOC60时关于原点对称，则坐标是（3，3） ； 当 OF 是对角线时（如图 2） ，MN 关于 OF 对称 F 的坐标是（3，3） ， FODNO
25、F30， 在直角ONH 中，OHOF3，ON2 作 NLy 轴于点 L 在直角ONL 中，NOL30， 则 NLON， OLON cos3023 故 N 的坐标是（，3） 当 DE 与 y 轴的交点时 M，这个时候 N 在第四象限， 此时点的坐标为： （3，3） 则 N 的坐标是： （3，3）或（3，3）或（3，3）或（，3） 8 【解答】解： （1）由AOCCOB，可得 OC 2OAOB36， OC6 又点 C 在 y 轴的正半轴上， 点 C 的坐标是（0，6） ； （2）过点 D 作 DEBC 于点 E设 DB 的长为 m 在 RtDEB 中，DEDB sinBmm，BEDB cosBm
26、在 RtDEC 中，DCE45，于是 CEDEm 由 CE+BEBC，即m+m3，解得 m5 又由 OAOB，知点 D 在线段 OA 上，OB3，所以 OD2，故点 D（2，0） ； 设直线 l 的解析式为：ykx+b，把 C（0，6）和 D（2，0）代入 ykx+b 中， 得， 解得 故直线 l 的解析式为：y3x+6； （3）取 AB 的中点 F（4.5，0） ，过点 F 作 BC 的平行线交直线 l 于点 P1，连接 CF 易知 SP1BCSFBCSACB，点 P1为符合题意的点 直线 P1F 可由直线 BC 向左平移 BF 个单位得到（即向左平移 7.5 个单位） 而直线 BC 的解析
27、式为 y2x+6， 即直线 P1F 的解的式为 y2（x+7.5）+6 即 y2x9，由得点 P1（3，3） 在直线 l 上取点 P2使 CP2CP1，此时有 SP2BCSP1BCSACB，点符 P2合题意 由 CP2CP1，过 P1点作 P1MMO，垂足为 M，过 P2点作 P2NNO，垂足为 N，由 CP2CP1易知 MCNC， 可得点 P2的坐标为（3，15） ，点 P（3，3）或 P（3，15）可使 SPBCSABC； （4） 当 OC 是菱形的对角线时 （如图 1 所示） ， OC 的中点的坐标是 （0， 3） ， 则把 y3 代入 l 的解析式得： 3x+63， 解得：x1 则 M
28、 的坐标是（1，3） ，N 的坐标是（1，3） ； 当 CM 为菱形的对角线时（如图 2 所示） ，此时 M2OCO，设 M2的坐标为（m，3m+6） ，所以 m 2+（3m+6）2 6 2，解得 m ，则 M2（，） ，又 M2N2OC 且 M2N2OC，易知 N2（，） ； 当 OC 和 CM 均为菱形的边时，此时 M3N3CO，设 M3的坐标为（m，3m+6） ，所以 m 2+（3m+66）262，解 得 m或，易知 N 点的坐标为（，）或（，） 综上所述，N 的坐标是（1，3）或（，）或（，）或（，） 9 【解答】解： （1）OA、OB 的长 x 212x+320 的两根，OAOB，
29、OA4，OB8，点 A 坐标为（0，4） ，点 B 坐标为（8，0） ， 又四边形 ABCD 是平行四边形， 可得点 C 的横坐标等于点 B 的横坐标，点 C 的纵坐标等于点 A 的纵坐标的相反数， 故点 C 的坐标为（8，4） ， 设直线 AC 的解析式为：ykx+b，则， 解得：， 故直线 AC 的解析式为：yx+4； （2）由（1）可得 OB8，根据平行四边形的性质可得点 D 坐标为（4，0） ， 即 OAOD，OADODA45，AD4， 当点 P 在线段 AD 上时，此时 t4； 过点 P 作 PEOA，PFOB，则可得 APt， 在 RTAEP 中，EPt，即点 P 的横坐标为t，
30、点 P 在直线 AC 上， 点 P 的纵坐标为：t+4， 此时 SOPDODP纵坐标8t（t4） ； 当点 P 在射线 DC 上时，此时 t4 PDAPADt4， 在 RTPDM 中，PMDPcosDPMDPt4， 此时 SOPDODP纵坐标t8（t4） ； （3）存在符合题意的点 N 的坐标 当 ABAM 时，在 RTMAH 中，MHAMcosMAHAMcosADO2，AH2， 故点 M 的坐标为（2，4+2） ， 又MN 平行且相等 AB， 设点 N 坐标为（x，y） ，则（x+0，y+4）（2+8，4+2+0） x82，y2， 点 N 的坐标为（82，2） 当 BMAB 时， 设点 M
31、坐标为（x，x+4） ，点 N 坐标为（a，b） ， 四边形 ABMN 是菱形，点 A（0，4） ，点 B（8，0） ， （x+0，x+4+4）（a+8，b+0） ， ax8，bx+8，即点 N 坐标为（x8，x+8） ， 又BMAB4， 4， 解得：x12 或 x0， 故此时点 N 的坐标为（4，4）或（0，4） ； 当 AB 为对角线时， 设点 M 坐标为（x，x+4） ，则点 N 坐标为（8x，x） ， 此时 AMAN， 即可得：， 解得：x， 则此时点 N 的坐标为（，） 综上可得符合题意的点 N 的坐标为（82，2）或（0，4）或（4，4）或（，） ； 10 【解答】解： （1）过点
32、 B 作 BFx 轴于 F 在 RtBCF 中 BCO45，BC12 CFBF12 C 的坐标为（18，0） ABOF6 点 B 的坐标为（6，12） （2）过点 D 作 DGy 轴于点 G， ABDG， ODGOBA， ，AB6，OA12， DG4，OG8， D（4，8） ，E（0，4） 设直线 DE 解析式为 ykx+b（k0） ； 直线 DE 解析式为 yx+4 （3）结论：存在 设直线 yx+4 分别与 x 轴、y 轴交于点 E、点 F，则 E（0，4） ，F（4，0） ，OEOF4，EF4 如答图 2 所示，有四个菱形满足题意 菱形 OEP1Q1，此时 OE 为菱形一边 则有 P1E
33、P1Q1OE4，P1FEFP1E44 易知P1NF 为等腰直角三角形，P1NNFP1F42； 设 P1Q1交 x 轴于点 N，则 NQ1P1Q1P1N4（42）2， 又 ONOFNF2，Q1（2，2） ； 菱形 OEP2Q2，此时 OE 为菱形一边 此时 Q2与 Q1关于原点对称，Q2（2，2） ； 菱形 OEQ3P3，此时 OE 为菱形一边 此时 P3与点 F 重合，菱形 OEQ3P3为正方形，Q3（4，4） ； 菱形 OP4EQ4，此时 OE 为菱形对角线 由菱形性质可知，P4Q4为 OE 的垂直平分线， 由 OE4，得 P4纵坐标为 2，代入直线解析式 yx+4 得横坐标为 2，则 P4
34、（2，2） ， 由菱形性质可知，P4、Q4关于 OE 或 y 轴对称，Q4（2，2） 综上所述，存在点 Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形； 点 Q 的坐标为：Q1（2，2） ，Q2（2，2） ，Q3（4，4） ，Q4（2，2） 11 【解答】解： （1）DC 是 AB 垂直平分线，OA 垂直 AB， G 点为 OB 的中点， OB， G（，0） （2）过点 C 作 CHx 轴于点 H， 在 RtABO 中，ABO30，OB， cos30， 即 AB4， 又CD 垂直平分 AB， BC2，在 RtCBH 中，CHBC1，BH， OH， C（，1） ， DGO60， OGOB， OD
35、tan604， D（0，4） ， 设直线 CD 的解析式为：ykx+b， 则， 解得： yx+4； （3）存在点 Q、P，使得以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是菱形 如图，当 ODDQQPOP4 时，四边形 DOPQ 为菱形， 设 QP 交 x 轴于点 E，在 RtOEP 中，OP4，OPE30， OE2，PE2， Q（2，42） 如图，当 ODDQQPOP4 时，四边形 DOPQ 为菱形， 延长 QP 交 x 轴于点 F，在 RtPOF 中，OP4，FPO30， OF2，PF2， QF4+2 Q（2，4+2） 如图，当 PDDQQOOP时，四边形 DOPQ 为菱形，在 RtDQM 中，MD
36、Q30， MQDQ Q（，2） 如图，当 ODOQQPDP4 时，四边形 DOQP 为菱形， 设 PQ 交 x 轴于点 N，此时NOQODQ30， 在 RtONQ 中，NQOQ2， ON2， Q（2，2） ； 综上所述，满足条件的点 Q 共有四点： （2，42） ， （2，4+2） ， （，2） ， （2，2） 12 【解答】解： （1）由已知得 A 点坐标（4，0） ，B 点坐标（0，4） ， OBOA， BAO60， ABC60， ABC 是等边三角形， OCOA4， C 点坐标（4，0） ， 设直线 BC 解析式为 ykx+b， ， ， 直线 BC 的解析式为 y； 2）当 P 点在 A
37、O 之间运动时，作 QHx 轴 ， ， QHt SAPQAP QHttt 2（0t4） ， 同理可得 SAPQt（8） （4t8） ； （3）存在 SAPQt（8） （t4） 2+8 ， 当 t4 时，APQ 的面积取得最大值， AO4，BC8，所以此时 Q 点和 B 点重合， 当 AQ 是菱形的边时，如图所示，M1，M2和 M3所对应的菱形， 在菱形 AM1N1Q 中，N1OAO4，所以 N 点的坐标为（4，0） ， 在菱形 AQM2N2中，AN2AQ8，所以 N2点的坐标为（4，8） ， 在菱形 AQM3N3中，AN3AB8，所以 N3点的坐标为（4，8） ， 当 AQ 为菱形的对角线时，
38、如图所示的菱形 AM4QN4， 设菱形的边长为 x，则在 RtAM4O 中，AM4 2AO2+M 4O 2，即 x242+（4 x） 2，解得 x ， 所以 N4（4，） 综上可得，平面内满足条件的 N 点的坐标为（4，0）或（4，8）或（4，8）或（4，） 13 【解答】解： （1）解方程 x 24x+30 得 x 11，x23 依题意得点 B 的坐标是（1，0） ，C（3，0） （2）设 CE 的直线解析式为 ykx+b，把点 C，M 的坐标代入可得 得出 CE 的直线解析式为 yx3， 又因为直线 CEAC，故直线 AC 的解析式为 yx+3 （3）存在 Q1（3，3） ；Q2（） ；Q
39、3（） ；Q4（，） 14 【解答】解： （1）对于直线 yx+6，令 x0，得到 y6，可得 A（0，6） ， 令 y0，得到 x8，可得 D（8，0） ， ACAO6，OD8，AD10， CDADAC4，设 BCOBx，则 BD8x， 在 RtBCD 中，BC 2+CD2BD2， x 2+42（8x）2， x3， B（3，0） （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+6， B（3，0） ， 3k+60， k2， 直线 AB 的解析式为 y2x+6， 作 GMx 轴于 M，FNx 轴于 N， DFG 是等腰直角三角形， DGFD，12，DMGFND90， DMGFND（AAS） ， GMDN
40、，DMFN，设 GMDNm，DMFNn， G、F 在直线 AB 上， 则：m2（8n）+6，n2（8m）+6， 解得：m2，n6 F（6，6） （3）当点 E 在 y 轴左侧时， 如图，设 Q（a，a+6） ， PQx 轴，且点 P 在直线 y2x+6 上， P（a，a+6） ， PQa，作 QHx 轴于 H DHa8，QHa6， ， 由勾股定理可知：QH：DH：DQ3：4：5， QHDQa， aa6， a16， Q（16，6） ，P（6，6） ， EDPQ，EDPQ，D（8，0） ， E（2，0） 当点 E 在 y 轴右侧时， 同理可得：点 E（3.4，0） （舍去） ； 故点 E 的坐标为（2，0）
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