1、一次函数压轴题之平行四边形一次函数压轴题之平行四边形 1如图，直线 yx+n 交 x 轴于点 A（8，0） ，直线 yx4 经过点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是直线 yx4 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线，两条垂线交于点 D，连接 PB，设 点 P 的横坐标为 m （1）若点 P 的横坐标为 m，则 PD 的长度为 （用含 m 的式子表示） ； （2）如图 1，已知点 Q 是直线 yx+n 上的一个动点，点 E 是 x 轴上的一个动点，是否存在以 A，B，E， Q 为顶点的平行四边形，若存在，求出 E 的坐标；若不存在，说明理由； 2如图，直线 l1
2、：y2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C；直线 l2：ykx+b 与 x 轴交于点 B（3，0） ， 与直线 l1交于点 D，且点 D 的纵坐标为 4 （1）不等式 kx+b2x+2 的解集是 ； （2）求直线 l2的解析式及CDE 的面积； （3）点 P 在坐标平面内，若以 A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点 P 的坐标 3如图，直线 l1的解析表达式为：y3x3，且 l1与 x 轴交于点 D，直线 l2经过点 A，B，直线 l1，l2交于 点 C （1）求ADC 的面积； （2）在直线 l2上存在异于点 C 的另一点 P，使得ADP 与ADC 的
3、面积相等，则点 P 的坐标为 ； （3）若点 H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H，使以 A、D、C、H 为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 4 如图， 直线 AB 与坐标轴分别交于点 A、 点 B， 且 OA、 OB 的长分别为方程 x 26x+80 的两个根 （OAOB） ， 点 C 在 y 轴上，且 OA：AC2：5，直线 CD 垂直于直线 AB 于点 P，交 x 轴于点 D （1）求出点 A、点 B 的坐标 （2）请求出直线 CD 的解析式 （3）若点 M 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 M，使
4、以点 B、P、D、M 为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 5如图 1在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是正方形，D（0，3） ，点 E 是 OB 延长线上一点，M 是线段 OB 上一动点（不包括 O、B） ，作 MNDM，交CBE 的平分线于点 N （1）直接写出点 C 的坐标：求证：MDMN； （2）如图 2，若 M（2，0） ，在 OD 上找一点 P，使四边形 MNCP 是平行四边形，求直线 PN 的解析式； （3）如图，连接 DN 交 BC 于 F，连接 FM，下列两个结论：FM 的长为定值：MN 平分FMB，其中只有一 个正确，选择
5、并证明 6如图 1，将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，已知 A（4，0） 、C（0，3） ，将其绕点 A 顺时针旋转， 得到矩形 OABC，旋转一周后停止 （1）当边 OA 所在直线将矩形分成面积比为 5：1 的两部分时，求 OA 所在直线的函数关系式 （2）在旋转过程中，若以 C，O，B，A 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点 O的坐标 （3）取 CB中点 M，连接 CM，在旋转过程中，求 CM 得最大值。 7如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的解析式为 yx，直线 l2与 l1交于点 A（a，a）与 y 轴交于点 B（0，b） ，其中 a，b 满足（a+2） 2+ 0 （1）求
6、直线 l2的解析式； （2）若在第二象限中有一点 P（m，5）使得 SAOPSAOB，请求出点 P 的坐标； （3）已知直线 y2x2 分别交 x 轴、y 轴于 E、F 两点，M、N 分别是直线 l1、l2上的动点，请直接写出能 使 E、F、M、N 四点构成平行四边形的点 M 的坐标 8如图，在平面直角坐标系中，已知直线 l1和 l2相交于点 A，它们的解析式分别为 l1：yx，l2：y x+直线 l2与两坐标轴分别相交于点 B 和点 C，点 P 在线段 OB 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速 度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发以每秒 4 个单位的速度沿 BOCB 的方向向点
7、B 运动，过点 P 作直 线 PMOB 分别交 l1，l2于点 M，N连接 MQ设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）求点 A 的坐标； （2）点 Q 在 OC 上运动时，试求 t 为何值时，四边形 MNCQ 为平行四边形； （3）试探究是否存在某一时刻 t，使 MQOB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 9如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在 x 轴上，A 点在 y 轴上，D 点坐标是（0，0） ，B 点坐标是（3，4） ， 矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 A 落在 BC 边上的 G 处，E、F 分别在 AD、AB 上，且 F 点的坐标是（2，4） （1）
8、求 G 点坐标； （2）求直线 EF 解析式； （3）点 N 在 x 轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 10如图，已知直线 m：yx+b 与 x 轴交于点 A（15，0） ，交 y 轴于 E 点以 OA 为一边在第一象限内 做矩形 OABC，BC 与直线 m 相交于点 D，连接 OD，OD 垂直于直线 m （1）求 OD 的长； （2） 点 F 在 x 轴上， 设直线 BF 为 n， 直线 m 与直线 n 的交点 P 恰好是线段 BF 的中点， 求直线 n 的解析式； （3）在（2）的
9、条件下，直线 m 上是否存在一点 Q，直线 n 上是否存在一点 R，使得以 O、A、Q、R 为顶点， OA 为一边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 11如图，RtOAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点 O 与原点重合，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OC，CAO30 度将 RtOAC 折叠，使 OC 边落在 AC 边上，点 O 与点 D 重合，折痕为 CE （1）求折痕 CE 所在直线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）设点 M 为直线 CE 上的一点，过点 M 作 AC 的平行线，交 y 轴于点 N，是否存在这样的
10、点 M，使得以 M、 N、D、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 12在平面直角坐标系中，四边形 AOCB 是直角梯形，点 A（0，4） ，AB、OC 的长是一元二次方程 x 211x+28 0 的两根问： （1）求点 B、C 的坐标； （2）过点 B 的直线 BD 交线段 OC 于点 D，且四边形 AODB 的面积与BDC 的面积比为 6：5，求直线 BD 的解 析式； （3）若点 P 在直线 BD 上，点 Q 在 y 轴上，是否存在点 P、Q，使得经 PQBC 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，
11、请说明理由 1 【解答】解： （1）把 xm 代入 yx4 得，ym4， 直线 yx4 交 y 轴于点 B， B（0，4） ， OB4， PD|4m4|m|， 故答案为：|m|； （2）直线 yx+n 交 x 轴于点 A（8，0） ，则 n6， 故直线表达式为：yx+6，则点 C（0，6） ， 设点 Q（m，m+6） ，点 E（n，0） ，点 A、B 坐标分别为： （8，0） 、 （0，4） ， 当 AB 是平行四边形的一条边时， 点 A 向右平移 8 个单位向下平移 4 个单位得到点 B， 同样点 Q（E）向右平移 8 个单位向下平移 4 个单位得到点 E（Q） ， 即 m+8n，m+640
12、 或 m8n，m+6+40， 解得：n或； 当 AB 是平行四边形的对角线时， 8m+n，4m+6，解得：n， 故点 E 的坐标为： （，0）或（，0） ； 2 【解答】解： （1）l1：y2x+2，则点 C（0，2） ，点 A（1，0） ， 直线 l1交于点 D，且点 D 的纵坐标为 4，则 42x+2，解得：x1，故点 D（1，4） ， 从图象看，当 x1 时，kx+b2x+2， 故答案为：x1； （2）将点 B、D 的坐标代入 ykx+b 得：，解得：， 故直线 l2：y2x+6，点 E（0，6） ，则 CE624， SCDECExD412； （3）分别过点 A、B 作 l2、l1的平行
13、线交于点 P，交过点 D 作 x 轴的平行线于点 P、P， 当 AB 是平行四边形的一条边时， 此时符合条件的点为下图中点 P 和 P， 则 AB4PAPD， 故点 P 的坐标为（3，4）或（5，4） ； 当 AB 是平行四边形的对角线时， 此时符合条件的点为下图中点 P，DA 平行且等于 BP“，由平移可知，点 P（1，4） ； 综上，点 P（3，4）或（5，4）或（1，4） 3 【解答】解： （1）令 y0，则 3x30， 解得 x1， 点 D（1，0） ， AD413， 设直线 l2的解析式为 ykx+b（k0） ， 则， 解得， 设直线 l2的解析式为 yx+6， 联立， 解得， 点
14、C 的坐标为（2，3） ， ADC 的面积33； （2）ADP 与ADC 的面积相等，点 P 是异于点 C 的点， 点 P 的纵坐标为3， x+63， 解得 x6， 点 P（6，3） ； 故答案为： （6，3） ； （3）AC 是平行四边形的对角线时，CHAD3， 点 H 的横坐标为 2+35， 所以，点 H 的坐标为（5，3） ， CD 是平行四边形的对角线时，CHAD3， 点 H 的横坐标是 231， 所以，点 H 的坐标为（1，3） ， AD 是对角线时，AD， 所以，AD 的中点坐标为（，0） ， 平行四边形的对角线互相平分， 设点 H（x，y） ，则，0， 解得 x3，y3， 点 H
15、 的坐标为（3，3） ， 综上所述，存在点 H（5，3）或（1，3）或（3，3） ，使以 A、D、C、H 为顶点的四边形是平行四边形 4 【解答】解： （1）x 26x+80， x14，x22（1 分） ， 0A、0B 为方程的两个根，且 0A0B， 0A2，0B4（1 分） ， A（0，2） ，B（4，0） （1 分） ； （2）0A：AC2：5，OA2， AC5， OCOA+AC2+57， C（0，7） （1 分） ， BAOCAP，CPBBOA90， PBDOCD， BOACOD90， BOACOD， ， OD（1 分） ， D（，0） ， 设直线 CD 的解析式为 ykx+b， 把 C
16、（0，7） ，D（，0）分别代入得：， （1 分） ， yCD2x+7（1 分） ； （3）存在， A（0，2） ，B（4，0） ， 设直线 AB 的解析式为：ykx+b， ， 解得：， 故直线 AB 的解析式为：yx+2， 将直线 AB 与直线 CD 联立， 解得：， P 点坐标（2，3） ， D（，0） ，B（4，0） ， BD7.5， 当 PM1BD 是平形四边形， 则 BDPM 17.5， AM 15.5， M1（5.5，3） ， 当 PBDM2是平形四边形， 则 BDPM 27.5， AM 29.5， M2（9.5，3） ， P 到 x 轴距离等于 M3到 x 轴距离，故 M3的纵坐
17、标为3， BEDFBDDE6， FO63.52.5， M3的横坐标为2.5， M3的坐标为（2.5，3） ； 综上所述 M 点的坐标为：M1（5.5，3） ，M2（9.5，3） ，M3（2.5，3） （3 分） 注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分 5 【解答】解： （1）四边形 OBCD 是正方形，D（0，3） ， C（3，3） 证明：如答图 1 中，在 OD 上取 OHOM，连接 HM， ODOB，OHOM， HDMB，OHMOMH， DHM18045135， NB 平分CBE， NBE45， NBM18045135， DHMNBM， DMN90， DMO+NMB90， HDM+D
18、MO90， HDMNMB， 在DHM 和MBN 中， ， DHMMBN（ASA） ， DMMN （2）如答图 2 中，作 NEOB 于 E， 由 M（2，0）知 OM2， DMN90， DMO+NME90，NME+MNE90， DMOMNE， 在DMO 和MNE 中， ， DMOMNE（AAS） ， MEDO3，NEOM2， OEOM+ME2+35， 点 N 坐标（5，2） ， 四边形 MNCP 是平行四边形，C（3，3） ， P（0，1） 设直线 PN 的解析式为：ykx+b（k0） 则， 解得 故直线 PN 的解析式为：yx+1； （3）结论：MN 平分FMB 成立 证明：如答图 3 中，
19、在 BO 延长线上取 OACF， 在AOD 和FCD 中， ， DOADCF（SAS） ， ADDF，ADOCDF， MDN45， CDF+ODM45， ADO+ODM45， ADMFDM， 在DMA 和DMF 中， ， DMADMF（SAS） ， DFMDAMDFC， 过 M 作 MPDN 于 P，则FMPCDF， 由（2）可知NMF+FMPPMN45， NMBMDO，MDO+CDF45， NMBNMF，即 MN 平分FMB 6 【解答】解： （1）矩形 OABC 中，A（4，0） ，C（0，3） OABB90，BCOA4，ABOC3 OA 所在直线将矩形分成面积比为 5：1 的两部分 小的
20、部分面积为矩形面积的 如图 1，当直线 OA 交 OC 边于点 D，则 SAODS矩形 OABC OA ODOA OC ODOC1 D（0，1） 设直线 OA 关系式为：ykx+b 解得： 直线 OA 关系式为：yx+1 如图 2，当直线 OA 交 BC 边于点 E，则 SABES矩形 OABC AB BEAB BC BEBC CEBC E（，3） 设直线 OA 关系式为：ykx+b 解得： 直线 OA 关系式为：yx+9 综上所述，OA 所在直线的函数关系式为 yx+1 或 yx+9 （2）若四边形 AOCB为平行四边形，则 O与 O 重合，还没开始旋转，不符合题意 若四边形 COBA 为平
21、行四边形，如图 3， 过点 O作 OFx 轴于点 F，交 BC 于点 G，OA 交 BC 于 E 四边形 OFGC 是矩形 OFCG，FGOC3 COAB，且 COAB COAB3，COEOABABE90 在COE 与ABE 中， COEABE（AAS） CEAE，OEBE 设 CEa，则 OEBE4a RtCOE 中，CO 2+OE2CE2 3 2+（4a）2a2 解得：a CE，OE OC3， OCOEECOG， OG， CG OFOG+FG+3 O（，） 若四边形 CAOB为平行四边形，如图 4， 过点 O作 OFx 轴于点 F，CB交 x 轴于点 H CBAO，且 CBAO CBAOB
22、C4，CBAOABB90，AHBOAF 在 RtABC 与 RtABC 中 RtABC 与 RtABC（HL） ACBACB BCOA ACBOAC ACBOAC CHAH 设 OHh，则 CHAH4h RtCOH 中，CO 2+OH2CH2 3 2+h2（4h）2 解得：a OH，CH， 同上可求：OF，AF OFOA+AF4+ O（，） 综上所述，点 O的坐标为（，）或（，） （3）如图 5，B90，AB3，BMCB2 AM 当点 M 运动到线段 CA 延长线上时，CM 最长，如图 6， 过点 B 作 BNAC 于 N， AC， SABCABBCACBN BN SABMAM BN 7 【解
23、答】解： （1） （a+2） 2+ 0，则 a2，b3， 即点 A、B 的坐标分别为（2，2） 、 （0，3） ， 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式：ymx+n 得：，解得：， 故直线 l2的表达式为：yx+3； （2）当点 P 在 OA 上方时， SAOPSAOB，则点 P 在过点 B 且平行于 OA 的直线上， 该直线的表达式为：yx+3， 将点 P 坐标代入上式得：5m+3， 解得：m2， 故点 P（2，5） ； 当点 P 在 OA 下方时， 同理可得：点 P（8，5） ； 故点 P 的坐标为（2，5）或（8，5） ； （3）直线 y2x2 分别交 x 轴、y 轴于 E、F 两点，
24、则点 E、F 的坐标分别为： （1，0） 、 （0，2） ， 设点 M（m，m） ，点 N（n，n+3） ， 当 EF 是平行四边形的一条边时， 当点 M 在点 N 的上方时， 点 E 向左平移 1 个单位向下平移 2 个单位得到 F， 则点 M 左平移 1 个单位向下平移 2 个单位得到 N， 即：mn1，mn+1， 解得：m1，故点 M（1，1） ； 当点 M 在点 N 的下方时， 同理可得：点 M（3，3） ； 当 EF 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：m+n1，m+n+32， 解得：m，则点 M（，） 综上，点 M 坐标为： （1，1）或（3，3）或（，） 8 【解答】解： （
25、1）将两直线解析式联立得：， 解得：， A（，） ； （2）PMx 轴，y 轴x 轴， PMCQ， 当 PMCQ 时，四边形 MNCQ 为平行四边形， 对于直线 l2：yx+，令 x0，求出 y；令 y0，求出 x5， B（5，0） ，C（0，） ，即 OB5，OC， CQOCOQ（4t5）4t， OPt， M 与 N 横坐标为 t， MNPNPMt+tt+， 4tt+， 解得：t， 则当 t秒时，四边形 MNCQ 为平行四边形； （3）当点 Q 在 OC 上时，如图 2，OQ4t5，MPt， QMOB，OQPM，POQ90， 四边形 POQM 是矩形， OQPM， 4t5t， 解得：t， 当
26、点 Q 在 BC 上时，如图 3： 在BOC 中， sinOBC，MPt，QB204t， 在 RtBPQ 中，点 Q 到 x 轴的距离QBsinOBC（204t） ， 点 Q 到 x 轴的距离为 MP，即t（204t） ， 解得：t 综上所述：当 t或 t时，MQOB 9 【解答】解： （1）由已知得，FGAF2，FB1 四边形 ABCD 为矩形 B90 BG G 点的坐标为（3，4） ； （2）设直线 EF 的解析式是 ykx+b 在 RtBFG 中，cosBFG BFG60 AFEEFG60 AEAFtanAFE2tan602 E 点的坐标为（0，42） 又 F 点的坐标是（2，4） 解得
27、 k，b42； 直线 EF 的解析式为 yx+42； 注： 求 E 点坐标方法二： 过点 E 作 EPBC 于点 P， 利用BFGPGE 得到 OE42，所以 E（0，42） ； 求 E 点坐标方法三： 过点 E 作 EPBC 于点 P， 在 RtGEP 中， 由勾股定理得 EG 2GP2+EP2， 得到 OE42 ， 所以 E（0，42） ； 求 E 点坐标方法四：连接 AG，证AEG 是等边三角形，得到 OE42，所以 E（0，42） （3）若以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形： FG 为平行四边形的一边，且 N 点在 x 轴正半轴上，如图 1 所示 过 M
28、1点作 M1Hx 轴于点 H， M1N1FG， HN1M1HQF， 又ABOQ， HQFBFG， HN1M1BFG 又M1HN1B90，M1N1FG， M1HN1GBF， M1HGB，即 yM1 由直线 EF 解析式 yx+42，求出 xM13 M1（3，） ； FG 为平行四边形的一边，且 N 点在 x 轴负半轴上，如图 2 所示 仿照与相同的办法，可求得 M2（1，） ； FG 为平行四边形的对角线，如图 3 所示 过 M3作 FB 延长线的垂线，垂足为 H M3HFGCN390，M3FHGN3C，M3FGN3， M3FHGN3C，则有 M3HCG4，所以 M3的纵坐标为 8； 代入直线
29、EF 解析式，得到 M3的横坐标为 1+ M3（1+，8） 综上所述，存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形 点 M 的坐标为：M1（3，） ，M2（1，） ，M3（1+，8） 10 【解答】解： （1）设直线 m 与 y 轴交于点 E， 把 A（15，0）代入 yx+b，得 b， OE AE SOAEOA OEAE OD OD； （2）OCDAOE OC6 B 点坐标为（15，6） 点 P 是 FB 的中点 点 P 的纵坐标为 3 3x+ x9 P 点坐标（9，3）设直线 n 的解析式为 ykx+b 把 B（15，6）和 P（9，3）代入得： ，解得： 直线 n 的解析
30、式为 yx； （3）存在 Q1（，） ，Q2（，） 11 【解答】解： （1）由题意知CAO30， OCEECDOCA30， 在 RtCOE 中，OEOC tanOCE1， 点 E 的坐标是（1，0） ， 设直线 CE 的解析式为 ykx+b 把点 C（0，） ，E（1，0）代入得， ， 直线 CE 的解析式为 yx+ （2）在 RtAOC 中，AC2， AO3， CDOC， ADACCD2， 过点 D 作 DFOA 于点 F， 在 RtAFD 中，DFAD sinCAO， AFAD cosCAO， OFAOAF 点 D 的坐标是（，） （3）存在两个符合条件的 M 点， 第一种情况：此点在第
31、四象限内，设为 M1，延长 DF 交直线 CE 于 M1， 连接 M1O，M1OAC， 则有 DM1y 轴， OF， 设点 M1的坐标为（，y1） ， 又点 M1在直线 CE 上， 将点 M1的坐标代入 yx+中， 得 y1+，即 FM1 点 M1的坐标是（，） ， 又DM1DF+FM1+，OC， DM1OC， 又DM1OC， 四边形 CDM1O 为平行四边形， 又点 O 在 y 轴上， 点 M1是符合条件的点 第二种情况：此点在第二象限内，设为 M2， 过点 D 作 DNCE 交 y 轴于 N，过 N 点作 NM2CD 交直线 CE 于点 M2， 则四边形 M2NDC 为平行四边形， M2N
32、CD， M2NCD，DNCE， NM2CACE，OCEM2CN， CNM2N， M2NCD， CN， 作 M2Hy 轴于点 H， M2NCD， M2NCNCD， M2NHOCA60， 在 RtM2NH 中， M2HM2N sin60， NHM2N cos60， HOHN+CN+OC， M2（，） ， 点 M2是符合条件的点， 综上所述，符合条件的两个点的坐标分别为 M1（，） ，M2（，） 12 【解答】解： （1）x 211x+280 因式分解得， （x4） （x7）0， 所以，x40，x70， 解得 x14，x27， 所以，AB4，OC7， 点 A（0，4） ，四边形 AOCB 是直角梯形
33、， 点 B（4，4） 、C（7，0） ； （2）设 ODa，则 CDOCOD7a， S四边形 AODB（a+4）42a+8， SBDC（7a）4142a， 四边形 AODB 的面积与BDC 的面积比为 6：5， ， 解得 a2， 即 OD2， 点 D（2，0） ， 又AB4，OA4， 点 B（4，4） ， 设直线 BD 的解析式为 ykx+b（k0） ， 则， 解得， 直线 BD 的解析式为 y2x4； （3）四边形 PQBC 是平行四边形， 点 P、Q 的横坐标的差与点 B、C 的横坐标的差相等， 点 C 的横坐标比点 B 的横坐标大 3，点 Q 在 y 轴上， 点 P 在点 Q 的左边时，点 P 的横坐标为3， 2（3）46410， 此时，点 P（3，10） ， 点 P 在点 Q 的右边时，点 P 的横坐标为 3， 234642， 此时，点 P（3，2） ， 以 BC 为对角线时，可得出 P 点（11，18） ， 此时 Q（0，14）形成平行四边形 BQCP， 综上所述，点 P（3，10）或（3，2）或（11，18）时，四边形 PQBC 是平行四边形
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