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    2021年广东省深圳市中考数学考点题型专项复习训练:第20讲 二次函数几何压轴题

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    2021年广东省深圳市中考数学考点题型专项复习训练:第20讲 二次函数几何压轴题

    1、 深圳中考专项复习第 20 讲之二次函数几何综合压轴题 【考点介绍】 每年深圳中考两题解答压轴题之一,考查二次函数与几何知识的综合运用,难度极大,其中第(2)小题中等难 度,第(3)小题高难度。 【最近五年深圳中考实题详解】 1.(2020 深圳)如图 1,抛物线y = ax2+ bx + 3(a0)与 x 轴交于 A(-3,0)和 B(1,0) ,与 y 轴交于点 C,顶 点为 D (1)求解抛物线解析式 (2)连接 AD,CD,BC,将OBC 沿着 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移,得到,点 O、B、C 的对应 点分别为点,设平移时间为 t 秒,当点与点 A 重合时停止移动。记与

    2、四边形 AOCD 的重叠 部分的面积为 S,请直接写出 S 与时间 t 的函数解析式; (3)如图 2,过抛物线上任意 一点 M(m,n)向直线 l:作垂线,垂足为 E,试问在该抛物线的对称轴上是否 存在一点 F,使得 ME-MF=?若存在,请求 F 点的坐标;若不存在,请说明理由。 解析: (1)代入法可得抛物线的解析式为y = x2 2x + 3 (2)思路分析:先分段:当 B 点到达 O 点之前,重叠图形为梯形,此时 0t1;当点 C 平移到线段 AD 上之前,重叠 图形就是OBC; C点的纵坐标为3, D(-1,4)直线AD解析式为y=-2x+6,把y=3代入可得C移到AD上时的坐标为

    3、 (3 2, 3) , x y M D C BA OBO C x y K G H M D C BA O B O C x y D C BAO 故;最后一段即为 由抛物线解析式得顶点 D 坐标为(-1,4),则直线 AD 的解析式为 y=2x+6,当在 AD 上时,坐标为 如图所示,当 0t1 时, 当时,完全在四边形 AOCD 内, 当时,如图所示,过 G 点作 GH,设 HG=x, , 而, 综上: (3)代数论证方法解题,用未知数表示出 ME、MF 的长,利用条件“ME-MF=1 4”建立方程,此题的难点就在如何解 可能四次项的方程,注意不要展开,利用配方法,通过开平方的技巧来降次。 假设存

    4、在,设 F 点坐标为(-1,t),点 M(m,n)在抛物线上 , ,而 由题可知,点 F 只有一个, (附:特殊值中的特殊位置法,点 M 是任意一点均能使结论成立,则 M 在顶点时也能满足要求,则 M(-1,4), E(-1,9 2),ME= 1 2,则 MF= 1 4,则 F 点的坐标为(-1, 15 4 ) ,当然此种解法只限于填选题,解答题需要提供验证) 2.(2019 深圳) 如图,抛物线y = ax2+ bx + c经过 A(-1,0) 、C(0,3) ,B 点在 x 轴上,且 OB=OC; (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2)点 D、E 在直线 x=1 上的两个动点,且 DE

    5、=1,点 D 在点 E 的上方,求四边形 ACDE 的周长的最小值; (3)点 P 为抛物线上一点,连接 CP,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分,求点 P 的坐标. 【思路分析】 (1)由 OB=OC 可得 B 点坐标,把 A、B、C 三点坐标代入,即可得抛物线解析式,由 x=-b/2a 可得对称轴; 【解题过程】 (1)C(0,3) ,OC=3,OB=OC=3,B 点坐标为(3,0) ,把 A、B、C 三点坐标代入y = ax2+ bx + c,可得 C E D B A O y x P x y OAB C 图1 C C E D B A O y x M F P 图2

    6、x y OA B C P Q C B A O y x x y O F K G H E y= 9 2 M D C BA a b + c = 0 9a + 3b + c = 0 c = 3 ,解得a = 1,b = 2,c = 3,抛物线的解析式为y = x2+ 2x + 3,对称轴x = b 2a = 1. 【思路分析】 (2)四边形 ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE,由题可知 AC、DE 的长度是已知固定的,要想周长最小,只需 CD+AE 最小, 属“将军饮马问题”第四种情形“二定二动”情形,解题方法是“平移+对称” ,将点 C 往下平移 1 个单位得 C,由 于 A、B 关于直线 x

    7、=1 对称,故连接 CB 交直线 x=1 于点 E,在 E 的上方取一点 D,使 CD=1,此时 CD+AE 有最小值, 最小值为 CB 的长度,进而可得出四边形 ACDE 周长的最小值; 【解题过程】 (2)将点 C 往下平移 1 个单位得 C,由于 A、B 关于直线 x=1 对称,故连接 CB 交直线 x=1 于点 E,在 E 的上方取 一点 D, 使 CD=1, 此时 CD+AE 有最小值, CC/DE, 且 CC=DE=1, 四边形 CCED 是平行四边形, CD=CE, A、 B 关于直线 x=1 对称,AE=BE,则 CD+AE=CE+BE=CB,即 CD+AE 最小值为 CB 的

    8、长度,A(-1,0) 、C(0,3) , AC=10, C (0, 2) , B (3, 0) , BC=13, 四边形 ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=AC+DE+CB=1+10+13. 【思路分析】 (3)直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分,存在两种情况:SACP:SCBP=3:5 时;SACP:S CBP=5:3 时;这里介绍两种方法求解: (1)常规方法:利用面积公式求解的方法:设 P 点坐标,用面积方法中的“水平宽铅垂高2”分别表示出ACP 与CBP 的面积,按上述比例列方程求解,即可得出 P 点坐标,注意:过点 P 作 PMx 轴交 CB

    9、的延长线于点 F, 交 AC 的延长线于点 M,ACP 的“水平宽”是 OA 的长, “铅垂高”为 PM 的长;CBP 的“水平宽”是 OB 的长, “铅 垂高”为 PF 的长;CP 要分四边形 CBPA 的面积,P 点必须在 x 轴下方的抛物线位置. (2)巧妙方法:利用成“等比性质确定面积比关系”求解;CAQ 与CBQ、PAQ 与PBQ 均为高相等的三角形, 故面积之比均为 AQ:QB,利用比例线段的“等比性质” ,即可得出APC 与CBP 的面积之比仍为 AQ:QB, 【解题过程】 (3)常规方法: 过点 P 作 PMx 轴交 CB 的延长线于点 F,交 AC 的延长线于点 M,设 P

    10、点坐标为(m,m2+ 2m + 3),A(-1,0) 、 C (0, 3) , 直线 AC 的表达式: y = 3x + 3, B (3, 0) 、 C (0, 3) , 直线 BC 的表达式: y = x + 3, M(m,3m + 3), F(m,m + 3),PM=3m + 3 (m2+ 2m + 3) = m2+ m,PF=m + 3 (m2+ 2m + 3) = m2 3m, 当SACP:SCBP= 3:5 时,即(1 2OA PM):( 1 2OB PF) = 3:5,* 1 2 1 (m2+ m)+:* 1 2 3 (m2 3m)+ = 3:5, 解得m = 8,P 点坐标为(8

    11、,-45) ; 当SACP:SCBP= 5:3 时, 即* 1 2 1 (m2+ m)+:* 1 2 3 (m2 3m)+ = 5:3,解得m = 4, P 点坐标为 (4, -5) ; 综上所述,当,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分,点 P 的坐标分别为(8,-45) 、 (4,-5) ; 利用“等比性质”求解面积比的方法 设CP、 AB交于点Q, 由 “高相等时面积之比等于底边之比” 可得: SACQ SBCQ = AQ QB, SPAQ SPQB = AQ QB ,SACQ SBCQ = SPAQ SPQB = AQ QB ,依成比 例线段的 “等比性质”可得:

    12、 SACQ+SPAQ SBCQ:SPQB = AQ QB ,即SACP SBCP = AQ QB, AQ QB = 3 5或 AQ QB = 5 3, 即 AQ AB = 3 8或 AQ AB = 5 8, AB=4,AQ= 3 2 或5 2,Q 点坐标为( 1 2,0)或( 3 2,0) ,则直线 CQ 的表达式为:y=-6x+3 或 y=-2x+3,与抛物线解析式联立方程: y = 6x+ 3 y = x2+ 2x + 3或 y = 2x+ 3 y = x2+ 2x + 3,解得 P 点坐标为(8,-45)或(4,-5) 【点评】 (1)第(2)小题尽管是“将军饮马问题”五大情形中最难的一

    13、类,但也属常见题型,很多重点中学初二上的期中 期末考试中的“将军饮马问题”也经考查到这个难度层次了,只要把握住作图方法,其解决难度只能算是中等;本 号中的文章“数学典型模型之八:将军饮马问题”之“平移+对称”模型有详细介绍及相似例题。 (2) 面积问题是二次函数几何综合题型中最常见的题型, 近五年深圳中考的二次函数压轴题, 都会考查面积问题, 所以今年再次考也是意味之中的事。此题的难度不在于分类讨论,而在于确定面积方法。运用方法一,思路上更直 接,更常规,容易入手,但它的难度在于如何确定这两个三角形的“水平宽”与“铅垂高” ,选的是三种确定方法 中不太常见的那一种,故难度卡在这。运用方法二,更

    14、简单,但通过比的性质来寻找面积比的关系,这个思考角度 很灵活,不易联想到,难在思路的入口上。 3.(2018 深圳) 已知顶点为 A 抛物线y = a(x 1 2) 2 2经过点B( 3 2,2),点C( 5 2,2). (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,直线 AB 与x轴相交于点 M,y 轴相交于点 E,抛物线与y轴相交于点 F,在直线 AB 上有一点 P,若OPM= MAF,求POE 的面积; (3)如图 2,点 Q 是折线 AB-C 上一点,过点 Q 作 QN/y 轴,过点 E 作 EN/x 轴,直线 QN 与直线 EN 相交于点 N, 连接 QE,将QEN 沿 QE 翻折得到Q

    15、EN1,若点N1落在x轴上,请直接写出 Q 点的坐标. 解析: (1)基础简单题,代入 B 或 C 点坐标,求得抛物线解析式为:y = (x 1 2) 2 2 (2)中等偏上难度题-面积问题,首先解决面积方法问题,由于 E 是已知点,则 OE 长是可求的,故首先考虑公 式法,且以 OE 为POE 面积中的的底,则 P 点的横坐标即是面积公式中的高,说明必须先确定点 P 的坐标;思路切 入口源自于题目条件“OPM=MAF” ,难点在于能否全面思考到点 P 的坐标有两种情况;解题的关键在于能否利用 角相等而形成的线平行或边相等来解题. 由y = (x 1 2) 2 2, 可得A(1 2,2), F

    16、(0, 7 4), 由A( 1 2,2), B( 3 2,2)可得yAB = 2x 1,E( 0,1).由A(1 2,2), F(0, 7 4) 可得yAF = 1 2x 7 4, 当 P 点在 M 点上方时,OP1M=MAF,OP1/AF,yOP1= 1 2x,联立方程 y = 2x 1 y = 1 2x ,解得x = 2 3 , P1( 2 3, 1 3),SPOE = 1 2 OE |xP| = 1 2 1 2 3 = 1 3. 当 P 点在 M 点下方时,OP2M=MAF,OP1M=OP2M,OP1= OP2 ,由可知:OP1= (2 3) 2+ (1 3) 2 = 5 3 . OP2

    17、= 5 3 ,设P2(m,2m 1), OP2= m2+ (2m 1)2= 5 3 ,解得m1= 2 3,m2 = 2 15 , N1 Q O x y F E A CB MM BC A E 图2图1 F N y x O P P2 P1 M BC A E 图3 F y x O N N1 Q O x y F E A CB M 图4 H N1 Q N O x y F E A CB 图5 P1( 2 15, 11 15),SPOE = 1 2 OE |xP| = 1 2 1 2 15 = 1 15. 综上所述,POE 的面积为1 3或 1 15. (3)高难度压轴小题-与几何变换问题结合。确定两种分类

    18、讨论情形,画出图形,利用折叠对称性质:对应点的 连线被折痕垂直平分,通过“两直线垂直,k 值互为负倒数”的代数方法求解 Q 点坐标,是解题关键。 当 Q 点在 AB 上时,如图 2,连接 NN1,由折叠性质可得:QENN1,NE=EN1. QN/y 轴,EN/x 轴,E( 0,1),设Q(m,2m 1),N(m,1), NE=EN1= |m| Q、E 在 AB 上,yQE= 2x 1,QENN1,设yNN1= 1 2x + b,代入N(m,1),可得yNN1 = 1 2x 1 2m 1, N1(m + 2,0) ,在 RtON1E 中,ON12+ OE2= EN22,即(m + 2)2+ 12

    19、= m2,解得m = 5 4 ,Q( 5 4, 3 2) 当 Q 点在 BH 上时,如图 4,连接 NN1,由折叠性质可得:QENN1,NE=EN1. QN/y 轴,EN/x 轴,E( 0,1), 点 Q 在 BC 上,设Q(m,2),N(m,1), NE=EN1= |m| Q(m,2), E( 0,1), yQE= 3 mx 1,QENN1,设yNN1 = m 3 x + b,代入N(m,1),可得yNN1= m 3 x + 1 3m 2 1,N1( 3 m + m,0) ,在 RtON1E 中,ON12+ OE2= EN22,即( 3 m + m)2+ 12= m2,化简为 9 m2 =

    20、5,解得 m1= 35 5 ,m2= 35 5 ,如图 5.Q(35 5 ,2)或( 35 5 ,2), 综上所述,Q 的坐标为( 5 4, 3 2)、( 35 5 ,2)或( 35 5 ,2) 4.(2017 深圳) 如图,抛物线y = ax2+ bx + 2经过点 A(-1,0),B(4,0),交 y 轴于点 C. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示) ; (2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点 D,使SABD= 3 2SABC,若存在请直接写出点 D 的坐标;若不存在 请说明理由; (3)将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45得到 BE,与抛物线交于另一点 E,求 BE

    21、 的长. 【思路分析】 (1)直接代入或设交点式,均可求解二次函数解析式; (2)由题可知ABC 的面积,则ABD 的面积也是已知的,设点 D 的坐标,由面积的公式法列出方程解答,即可得 出点 D 的坐标; (3)已知等角,求点的坐标,典型的“函数中的点、角存在性题型” ,沿着固有的总体思路线分析即可; 【解答】 (1)抛物线 y=ax 2+bx+2 经过点 A(1,0) ,B(4,0) ,代入 A、B 两点坐标,可解得 抛物线解析式为y = 1 2x 2 + 3 2x + 2; (2)由题意可知 C(0,2) ,A(1,0) ,B(4,0) ,AB=5,OC=2,SABC=ABOC=52=5

    22、,SABC=S ABD,SABD=5=,设 D(x,y) ,AB|y|=5|y|=,解得|y|=3, 当 y=3 时,由x 2+ x+2=3,解得 x=1 或 x=2,此时 D 点坐标为(1,3)或(2,3) ; 当 y=3 时,由x 2+ x+2=3,解得 x=2(舍去)或 x=5,此时 D 点坐标为(5,3) ; 综上可知存在满足条件的点 D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,3) ; (3) 【构造方法 1】 ,如图 1,过点 C 作 FCBC 交直线 BE 于点 F,作 FMy 轴于点 M,由CBF=45可得BCF 是等腰直 角三角形, 易证CMFBOC(AAS),MF=OC=2,

    23、HC=BO=4,F (2, 6) , B (4, 0) , 直线 BE 解析式为 y=3x+12, y x C B A o 联立直线 BE 和抛物线解析式可得 y = 3x + 12 y = 1 2x 2 + 3 2x + 2 ,解得x = 4 y = 0或 x = 5 y = 3, E(5,3) ,BE=(5 4)2+ (3 0)2= 10 【构造方法 2】 ,如图 2,过点 C 作 FCBE 于点 F,作 FMy 轴于点 M,作 BNMF 于点 N,由CBF=45可得BCF 是等腰直角三角形, 易证CMFFNB(AAS),设 MF=BN=a,MC=FN=b,则,a + b = 4 a b

    24、= 2, , a = 3 b = 1, F (3, 3) , B (4, 0) ,直线 BE 解析式为 y=3x+12, 联立直线 BE 和抛物线解析式可得 y = 3x + 12 y = 1 2x 2 + 3 2x + 2 ,解得x = 4 y = 0或 x = 5 y = 3, E(5,3) ,BE=(5 4)2+ (3 0)2= 10 5.(2016 深圳)如图,抛物线y = ax2+ 2x 3与 x 轴交于 A、B 两点,且 B(1 , 0) 。 (1)求抛物线的解析式和点 A 的坐标; (2)如图 1,点 P 是直线y = x上的动点,当直线y = x平分APB 时,求点 P 的坐标

    25、; (3) 如图 2, 已知直线y = 2 3x 4 9 分别与 轴 轴 交于 C、 F 两点。 点 Q 是直线 CF 下方的抛物线上的一个动点, 过点 Q 作 轴的平行线,交直线 CF 于点 D,点 E 在线段 CD 的延长线上,连接 QE。问以 QD 为腰的等腰QDE 的 面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由。 M F 图1 x y A B C O N M F 图2 x y A B C O xy y 解析: (1)代入法解题,可得抛物线解析式为y = x2+ 2x 3,当x2+ 2x 3 = 0时可得点 A 坐标为 (-3,0). (2)二次函数典型题型“点与

    26、角存在性问题” 。 要求点 P 的坐标,最常见的办法是先求出直线 AP 的表达式,再与 y=x 组成联立方程,即可求出点 P 的坐标, 但直线 AP 中, 点 A 是已知的, 点 P 即是题目最终需要的结论, 就题目所给出的条件, 是无法求出直线 AP 的表达式, 所以,我们需要在直线 AP 上寻找第三点的坐标,不难发现直线 AP 上一个特殊点:直线与 y 轴的交点,若能求出该 点的坐标,问题就迎刃而解了。另要注意点 P 的位置,可以在第一象限,也可以在第三象限,所以需要分类讨论。 设直线 AP 与 y 轴的交点为 B,由于 y=x 平分APB,则APO=BPO,如图, 若 P 点在 x 轴上

    27、方, PA 与 y 轴交于点 B, 由于点 P 在直线 y=x 上, 可知POB=POB=45, 在BPO 和BPO 中,POB=POB、OP=OP、BPO=BPO,BPOBPO(ASA) ,BO=BO=1,设直线 AP 解析式为 y=kx+b, 把 A、B两点坐标代入可得直线 AP 解析式为 y=x/3+1,联立方程:y=x,y=x/3+1,解得 P 点坐标为(1.5,1.5) ; 若 P 点在 x 轴下方时,同理可得AOPBOP,BPO=BPO,又BPO 在APO 的内部, APOBPO,即此时没有满足条件的 P 点, 综上可知 P 点坐标为(1.5,1.5) ; (3)二次函数中求面积最

    28、值,一般采用二次函数配方法解题,由于以 QD 为腰的等腰QDE 存在两种情况,故首先 要通过公式法求出这两种情形下哪一种QDE 的面积最大,且用未知数表示出来,再通过二次函数配方形式把面积 中的字母的最值确定下来,最终解答面积的最值。 如图 2,做 QHCF,yAP= 2 3x 4 9 ,C( 2 3,0),F(0, 4 9) ,tanOFC= OC OF= 2 3,DQy 轴 QDH=MFD=OFC,tanHDQ=3 2,不妨记 DQ=t,则 DH= 2 13 t,HQ= 3 13 t, QDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形, 若 DQ=DE,则SDEQ= 1 2DE HQ = 313 26

    29、 t2, 若 DQ=QE,则SDEQ= 1 2DE HQ = 1 2 4 13 t 3 13 t = 6 13t 2, 313 26 t2 6 13t 2 当 DQ=QE 时则DEQ 的面积比 DQ=DE 时大 设 Q(x, x2+ 2x 3),则 D(x,) 2 3x 4 9, Q 在直线 CF 的下方, 当 DQ=t=2 3x 4 9 ( x2+ 2x 3) = x2 4 3x + 23 9 = (x + 2 3) 2 + 3, 当 x= 2 3,t 有最大值为 3, (SQDE)max= 6 13t 2 = 54 13, 以 QD 为腰的等腰QDE 的面积最大值为54 13. 【针对练习

    30、巩固】 1如图,直线 y3 4x+c 与 x 轴交于点 B(4,0) ,与 y 轴交于点 C,抛物线 y 3 4x 2+bx+c 经过点 B,C,与 x 轴 的另一个交点为点 A (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点,求四边形 ACPB 的面积最大时点 P 的坐 标; (3)若点 M 是抛物线上一点,请直接写出使MBC1 2ABC 的点 M 的坐标 2.如图 1,在平面直角坐标系中,等边ABC 的边 BC 在 x 轴上,A(0,3) ,B(-3,0) ,点 M(m,0)为 x 轴上的 一个动点,连接 AM,将 AM 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AN.

    31、(1) 当 M 点在 B 点的左方时,连接 CN,求证:BAMCAN; (2)如图 2,当 M 点在边 BC 上时,过点 N 作 ND/AC 交 x 轴于点 D,连接 MN,若S四边形 ACDN= 4 3SMND,试求 D 点的 坐标; (3)如图 3, 是否存在点 M, 使得点 N 恰好在抛物线y = 2x2+ 43x + 3上, 如果存在, 请求出 m 的值, 如果不存在, 请说明理由. 3.如图,抛物线 y=ax 2+bx4 与 x 轴交于点 A(2,0),B(4,0),与 y 轴交于点 C,顶点 D. (1)求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标; (2)动点 P、Q 以相同的速度从点 O

    32、 同时出发,分别在线段 OB,OC 上向点 B,C 方向运动,过点 P 作 x 轴的垂线, 交抛物线于点 E. 当四边形 OQEP 为矩形时,求点 E 的坐标; 过点 E 作 EMBC 于点 M,连接 BE,PM,QM,设BPM 的面积为 S1,CQM 的面积为 S2,当 PE 将BCE 的面积分成 1:3 两部分时,请直接写出 2 1 S S 的值; 连接 CP,DQ,请直接写出 CP+DQ 的最小值. 4.如图,抛物线 y=ax 2+bx+2(a 0)与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左边,与 y 轴交于点 C,且 OB=OC. (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,若

    33、点 P 是线段 BC(不与 B、C 重合)上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于 M 点,连接 CM,将 PCM 沿 CM 对折,若点 P 的对应点 N 恰好落在 y 轴上,注此时点 P 的坐标; (3)如图 2,若第四象限有一动点 E,满足 AE=OA,过 E 作 EFx 轴于点 F,设 F 坐标为(t,0) , (0t 0)的图像交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,其中 A(-1,0). (1)求点 B 的坐标,并用含 a 的式子表示 k; (2)连接 CA,CB,当ACB 的锐角时,求 a 的取值范围; (3)若 P(0,b)为 y 轴上一个动点,连接 PA,当点 C

    34、 的坐标为(0,33)时,直接写出1 2PC + PA的最小值。 Q P F E O x y AB C D 图2 图1 M D C B A y x O P M A B C 图1 o y x E F AB C 图2 o y x 【答案详解】 1 【解析】 (1)把 B 点坐标代入 y3 4x+c 中可得 c=-3,再把 B 点坐标代入 y 3 4x 2+bx-3 可得 b=-9 4,故抛物线解析式为:y 3 4x 2-9 4x-3 (2)先用割补法:SACPB= SACB+ SPCB,由题可知ACB 的面积是可求的,是定值,故要求四边形 ACPB 的面积 最大,只需求PBC 的面积的最大值,可用

    35、“铅高法”表示出PBC 的面积,最后用二次函数配方法求出PBC 的面 积取最大值时未知数的取值,进而可得 P 点坐标.所以解题关键在于用“铅高法”表示出PBC 的面积,由图可知, OB 是PBC 的“水平宽” ,则 DP 是PBC 的“铅垂高” ,设点 P 的坐标,表示出 DP 的长,即可得出PBC 面积的函 数关系式。 由题可得 B(4,0),C(0,-3),则可得直线 BC 的表达式为y = 3 4x 3,设 P(a, 3 4a 2-9 4a-3),则 D(a, 3 4a 3),则 DP= 3 4a 3- ( 3 4a 2-9 4a-3) = 3 4a 2+3a, SPCB = 1 2OB

    36、 DP = 1 2 4( 3 4a 2 + 3a) = 3 2a 2+6a=3 2 (a 2)2+ 6,则 a=2 时,SPCB有最大值,即SACPB有最大值,P 点坐标为(2, 9 2) (3)当 M 点在直线 BC 上方时,由MBC1 2ABC 可知 BM 为ABC 角平分线,设 BM 与 y 轴交于点 E,利用角平分 线的相似性质可得:OB BC = OE EC,由题可得 B(4,0),C(0,-3),则 OB=4,OC=3,BC=5,则 OE EC = 4 5,OE= 4 9OC= 4 3,E(0,- 4 3), 则可得直线 BM 表达式为y = 1 4x 4 3, 解联立方程 y =

    37、 1 4x 4 3 y 3 4x 2 9 4x 3 , 得 x=-5 9或 x=4(舍去), M 的坐标为 (- 5 9, - 41 27) 当 M 点在直线 BC 下方时, 设 BM 与 y 轴交于点 F, 利用角平分线的相似性质可得: BE BF = CE CF, 即 BE2 BF2 = CE2 CF2, 设 F(0,a), 则由题可得CF2= (a + 3)2,由 E(0,- 4 3)可得CE 2 = 25 9 , BF2= 16 + a2, BE2= 160 9 , 160 9 16:a2 = 25 9 (;a:3)2, 解得 a= 52 9 或 a= 4 3(舍去), F(0, 52

    38、 9 ), 则可得直线BM表达式为y = 13 9 x 52 9 , 解联立方程 y = 13 9 x 52 9 y 3 4x 2 9 4x 3 , 得x=25 27或x= 4 (舍 去),M 的坐标为(25 27, 1079 243 ) 综上所述,M 点的坐标为(-5 9,- 41 27)或( 25 27, 1079 243 ) 2.【解析】 (1)全等中的典型模型“手拉手模型” ,由 AM=AN,MAB=NAC,AB=AC 易证BAMCAN; (2)面积问题从面积方法出发分析。S四边形 ACDN= 4 3SMND = SACN+ SCDN,则ANC、CDN 与MND 一定存在着 某种关系。

    39、这可以通过旋转及“手拉手模型”带来的三角形全等中首先找出来。由 AM=AN,MAN=60可知AMN 是等边三角形,由AMN=60,由 AB=AC、AC/ND,可得ABM=NDM=60,则AMN=ABM=NDM=60,即出现全 等中的典型模型“一线三等角模型” ,即可通过 AM=MN,ABC=NDM,BAM=NMD 易证BAMDMN,由(1)可 知BAMCAN,则DMNCAN,则SMND= SACN,由4 3SMND = SACN+ SCDN可得SMND= 3SCDN,由于CDN 与MND 等高,则 DM=2CD,由 DM=AB=23,可得 CD=23 3 ,由 OC=OB=3可得 OD=53

    40、3 ,D(53 3 ,0) (3)由解题思路的延续性,从(1) (2)找(3)的思路突破口,想像图 1、2 调整 M 的位置,N 点可以落在抛物线上, 且图 1 中,由全等可得ABM=CAN=120,BCN=60,则ABC=BCN,CN/AB;图 2 中,由DMNCAN 可得 NC=ND,则BCN=NCD=60, ,则NCD=ABC,CN/AB;即当点 M 在点 C 左侧运动时,点 N 一定在过点 C,且与 AB 平行线的直线上,当把抛物线的图像加进去后,则 N 点在这条直线与抛物线的交点上,则可以通过代数办法求出 点 N 的坐标。再利用旋转性质即可求出点 M 的坐标。 解:过点 C 作 CE

    41、/AB 交抛物线于点N1、N2,交 y 轴于点 E,如图.由图可得 C(3,0),E(0,-3),则直线 CE 的解析 式为 y=3x+3,解联立方程y = 2x 2 + 43x + 3 y = 3x + 3 ,可得 x=23或- 3 2 ,N1(23,9)、N2( 3 2 , 9 2), 当N1(23,9)时,AN1=23=AM,在 RtAOM 中,由勾股定理可得 OM=3,m=3; 当N2( 3 2 , 9 2)时,AN2=57=AM,在 RtAOM 中,由勾股定理可得 OM=43,m=43; 图2 F C B y xo E M2 M1 综上所述,m=3或43; 3.【解析】 (1)将点

    42、A、B 代入抛物线解析式可得 = 1 2 2 4,则点 D 坐标为(1,-9 2) (2)四边形为矩形,可分析出 OQ=PE,设点坐标表示线段长度列式求解即可 解:设点 E 的坐标为(m, 2 m -m-4) ,则点 P(m,0) ,点 Q(0,-m) ,四边形 OQEP 为矩形, OQ=EP,m= 1 2 2+m+4,解得 1 m=-22(舍去) ,m2=22E(2 2, -22 设 PE 与 BC 交于点 G,PE 分三角形分别为BGE 与CGE,这两个三角形的“铅垂高”均是 GE,则 PE 分面积之比 为 1:3,即这两个三角形的“水平宽”之比为 1:3,即点 P 把线段 OB 分成 1

    43、:3,分两种情况讨论,可分别求出 P、 G 坐标,进而可以分别求出 S1和 S2,则比值可求 解:令 x=0,y=-4,C(0,-4) ,PE 将BCE 的面积分成 1:3 两部分,PE 将线段 OB 分成 1:3 两部分, 当 OP:PB=1:3 时,点 P 的坐标为(1,0) ,点 E(1,-9 2) ,与抛物线顶点 D 重合,点 Q(0,-1) , 直线 BC 的解析式为 y=x-4,当 x=1 时,y=-3,点 G(1,-3) , 如图 1 所示,GD=3 2,CGD=OBC=45,xM=1- 3 4= 1 4,M( 1 4, 15 4 ),S1=3 1 2 15 4 = 45 8 ,

    44、 S2=3 1 2 1 4 = 3 8, 1 2=15. N2 N1 M 图1 M y x E CB A o 当 OP:PB=3:1 时,点 P(3,0) ,点 Q(0,-3) ,点 E(3,-5 2) ,点 G(3,-1),EG= 3 2,xM=3 3 4 = 9 4, M(9 4,- 7 4),S1=1 1 2 7 4 = 7 8, S2=1 1 2 9 4 = 9 8, 1 2 = 7 9, 综上所述:1 2=15 或 1 2 = 7 9. 数学典型题型“将军饮马问题” ,尽管同属“两动一定”情形,但由于此题有条件限制:OP=OQ,所有不能采用普 通的“两动一定”作图方法,需另想办法“化

    45、曲为直” ,所以转化线段 CP 为线段 BQ 是解题关键也是解题难点,作 点 D 关于 y 轴的对称点,连接 BD,与 y 轴的交点即为点 Q,求出 BD的长度就是 CP+DQ 的最小值 解:如图 2 所示,OP=OQ,BOQ=COP,OB=OC,BOQCOP(SAS) ,CP=BQ,CP+DQ=BQ+DQ,作点 D 关 于 y 轴的对称点 D(-1,-9 2) ,连接 BD,与 y 轴的交点即为点 Q, BD=52+ (9 2) 2=181 2 .CP+DQ 的最小值为181 2 . 4. 【解析】 (1)代入法可得抛物线解析式为:y = x2+ x + 2 (2)由于COF 与CDF 的高

    46、相等,所以当SCOF:SCDF= 2:1时则 OF:DF=2:1,可以通过构造相似三角形来求解 D 点坐标。过点 D 作 DGx 轴于点 G,交 BC 于点 H,由 DH/CO 得 OF:DF=CO:DH=2:1,由 B、C 两点坐标可得直线 BC 的 解析式为:y=-x+2,若设 D(a, a2+ a + 2),则 H(a,-a+2),则 DH=a2+ a + 2-(-a+2)=a2+ 2a,由 CO:DH=2:1 得 2:(a2+ 2a)=2:1,解得 a=1,D(1,2) (3)二次函数典型题型“点角存在性质问题” ,二次函数中出现角度的倍分问题,首先要把倍分角转化成一个角等 于一个角的

    47、形式,即此题首先要考虑如何把“2”转化掉,思路只有两条:找或构造一个角,会等于 2OBE; 找或构造一个角,会等于1 2OBP;由于OBE 是已知固定角,故多选思路. 当 P 在 x 轴上方时,将OBE 沿 x 轴对折,即在 y 轴正半轴取一点 G(0,1),连接 BG,此时OBE=OBG,EBG=2 OBE,则OBP=EBG,即GBP=EBO,则 tanGBP=tanEBO=1 2,作 HGBG 交 BP 于点 H,作 HMy 轴于点 M,则 tanGBP =1 2= GH BG,利用相似典型图形“一线三垂直模型”可得OBGMGH,则 MG:OB=HM:OG=GH:BG=1:2,可得 MG=

    48、1,HM=1 2,则OM=2, 则H( 1 2,2), 由B、 H点坐标可得直线BP的解析式为: y = 4 3x + 8 3, 解联立方程 y = 4 3x + 8 3 y = x2+ x + 2 , 可 得 x=1 3或 2(舍去),则 P 点坐标为( 1 3, 20 9 ) 当 P 在 x 轴下方时,由OBP=2OBE 可得EBP=OBE,则 tanEGBP=tanEBO=1 2,作 REBE 交 BP 于点 R,作 RQy 轴于点 Q,同图可知 R 与 H 关于 x 轴对称,则 (1 2,-2),由 B、H 点坐标可得直线 BP 的解析式为:y = 4 3x 8 3, 解联立方程 y = 4 3x 8 3 y = x2+ x + 2 ,可得 x=-7 3或 2(舍去),则 P 点坐标为( 7 3,- 52 9 ) 综上所述,P 点坐标为(1 3, 20 9 )或( 7 3,- 52 9 ). 5. 【解析】 R Q P P G M 图2 y x E H B A o (1)代入


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