1、2020 年江苏省宿迁市中考数学五模试卷年江苏省宿迁市中考数学五模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上）题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上） 1在 1，1，2 这三个数中，任意两个数之和的最大值是（ ） A3 B1 C0 D2 2下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B3+41 C （a2）3a8 D2 12 3为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根
2、据比赛中九位评委所给的某 位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化 的是（ ） 中位数 众数 平均数 方差 9.2 9.3 9.1 0.3 A中位数 B众数 C平均数 D方差 4若分式的值为 0，则 x 的值是（ ） A3 B3 C3 D0 5已知一几何体的主视图、左视图都是边长为 1 的等边三角形，俯视图是以 O 为圆心，直径为 1 的圆，则 该几何体的侧面积为（ ） A B C D 6如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 tanBAC 等于（ ） A B C D 7如果抛物线 C：yax2+bx+c（a0）与直线 l：ykx+b（
3、k0）都经过 y 轴上一点 P，且抛物线 C 的顶 点 Q 在直线 l 上，那么称此直线 l 与该抛物线 C 具有“一带一路”关系，如果直线 ymx+1 与抛物线 y x22x+n 具有“一带一路”关系，那么 mn 值为（ ） A1 B0 C1 D2 8 如图， 四个全等的直角三角形纸片既可以拼成 （内角不是直角） 的菱形 ABCD， 也可以拼成正方形 EFGH， 则菱形 ABCD 面积和正方形 EFGH 面积之比为（ ） A1 B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡分不需写出解
4、答过程，请把答案直接填写在答题卡 相应位置上）相应位置上） 9吴京导演的战狼 2创下了 56.8 亿票房神话，将数据 56.8 亿用科学记数法表示为 10化简： 11因式分解：3ax23ay2 12若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角已 知ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 13如果将分别写着“幸福” 、 “奋斗”的两张纸片，随机放入“都是出来的”中的两个内（每个 只放一张卡片） ，那么文字恰好组成“幸福都是奋斗出来的”概率是 14如图，在直角坐标系中，OABC 的边 OC 落在 x 轴的正半轴上，且点 C（4，0） ，B（6，2） ，直线
5、 y 2x+1 以每秒 1 个单位的速度向右平移，经过 秒该直线可将OABC 的面积平分 15已知抛物线 yx22x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，将这条抛物线的顶点记为 C，连接 AC、BC，则 tan CAB 的值为 16如图，点 P（a，a）是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点 P 为顶点作等边PAB， 使 A、B 落在 x 轴上（点 A 在点 B 左侧） ，则POA 的面积是 17小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有 20 根火柴棒，每次取 1 根或 2 根，最后取完者获胜若由 小明先取，且小明获胜是必然事件则小明第一次应该取走火柴棒的根数是 18如图，ABC 中，BA
6、C75，BC7，ABC 的面积为 14，D 为 BC 边上一动点（不与 B，C 重 合） ，将ABD 和ACD 分别沿直线 AB，AC 翻折得到ABE 与ACF，那么AEF 的面积最小值 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 题，共题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤) 19计算： （20192018）0+2cos45+（） 1 20解不等式组： 21为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会” ，小明和小丽同时参加，其中，有一道必 答题是：从
7、如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路” （1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明 回答正确的概率是 ； （2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷” 、第四个字是选“富”还是选“复”都难 以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率 22某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将对自己做错的题目进行整理、分析、改正（选 项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1） 该调查的样本容量为 ， a %， b
8、%“很少” 对应扇形的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有 3500 名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？ 23如图，有一张矩形纸片 ABCD，AB4cm，BC6cm，点 E 是 BC 的中点实施操作：将纸片沿直线 AE 折叠，使点 B 落在梯形 AECD 内，记为点 B （1）用尺规在图中作出AEB（保留作图痕迹） ； （2）求 B、C 两点之间的距离 24求证：三边成比例的两个三角形相似 如图：已知在ABC 和ABC中，求证：ABCABC 25为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印， 节
9、约用纸” 他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用 A4 厚型纸单面打印，总质量为 400 克，将其 全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用 A4 薄型纸双面打印，总质量为 160 克已知每页薄型纸 比厚型纸轻 0.8 克，求例子中的 A4 厚型纸每页的质量 （墨的质量忽略不计） 提示：总质量每页纸的质量纸张数 26如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动；同 时，点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，设运动的时间为 ts（0t6） （1）当 t 为何值时，DPQ 的面积等于 28c
10、m2？ （2）求证：四边形 PBQD 面积为定值 （3）以 Q 为圆心，PQ 为半径作Q， 当 t 时，Q 与边 AD 相切？ 当 t 时，Q 经过点 D？ 当 t 为 时，Q 与边 AD 有两个公共点？ 27如图，点 A 坐标是（0，0） ，点 C 坐标是（2，2） ，现有 E、F 两点分别从点 D（0，2）和点 B（2，0） 向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q 为 EF 中点设运动时间为 t （1）在运动过程中始终与线段 EC 相等的线段是 ；四边形 CEAF 面积 （2）当 t1 秒时，求线段 CQ 的长 （3）过点 B 作 BP 平行于 CF 交 EC 于点 P当 t 时，线段 AP
11、 最短，此时作直线 EP 与 x 轴交 于点 K，试证明，点 K 是线段 AB 的黄金分割点 28在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义： 对于C 及C 外一点 P， M， N 是C 上两点， 当MPN 最大时， 称MPN 为点 P 关于C 的 “视角” （1）如图，O 的半径为 1， 已知点 A（0，2） ，画出点 A 关于O 的“视角” ； 若点 P 在直线 x2 上，则点 P 关于O 的最大“视角”的度数 ； 在第一象限内有一点 B（m，m） ，点 B 关于O 的“视角”为 60，求点 B 的坐标 （2）若点 P 在直线 yx+2 上，且点 P 关于O 的“视角”大于 60，求点 P
12、 的横坐标 xP的取值 范围 （3）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，点 E 的坐标为（0，1） ，点 F 的坐标为（0，1） ，若线段 EF 上 所有的点关于C 的“视角”都小于 120，直接写出点 C 的横坐标 xC的取值范围 2020 年江苏省宿迁市中考数学五模试卷年江苏省宿迁市中考数学五模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1在 1，1，2 这三个数中，任意两个数之和的最大值是（ ） A3 B1 C0 D2 【分析】认真阅读列出正确的算式任意两个数之和的最大值是最大的两个数之和，即 1+（1）0 【解答】解：1+（1）0 故选：C
13、2下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 B3+41 C （a2）3a8 D2 12 【分析】 根据幂的乘方与积的乘方， 负整数指数幂， 同底数幂的乘法， 有理数的加法逐项进行判断即可 【解答】解：Aa2a3a2+3a5，因此 A 不正确； B3+41，因此 B 正确，符合题意； C （a2）3a2 3a6，因此 C 不正确； D.2 1 ，因此 D 不正确； 故选：B 3为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某 位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化 的是（ ） 中位数 众数 平均数 方差
14、9.2 9.3 9.1 0.3 A中位数 B众数 C平均数 D方差 【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就 是这组数据的中位数可得答案 【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数， 故选：A 4若分式的值为 0，则 x 的值是（ ） A3 B3 C3 D0 【分析】分母不为 0，分子为 0 时，分式的值为 0 【解答】解：根据题意，得 x290 且 x30， 解得，x3； 故选：A 5已知一几何体的主视图、左视图都是
15、边长为 1 的等边三角形，俯视图是以 O 为圆心，直径为 1 的圆，则 该几何体的侧面积为（ ） A B C D 【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥又已知底面半径可求出母线长以及侧面积 【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为，母 线长为 1， 因此侧面面积为：1 故选：A 6如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 tanBAC 等于（ ） A B C D 【分析】设小正方形的边长为 1，根据勾股定理可求出 CF 和 AF 的长度，然后根据锐角三角函数的值即 可求出答案 【解答】解：设小正方形的边长为 1， 过 C 作 CFAB
16、于 F， 由勾股定理得：AB2，AC2，BC2， 由三角形面积公式得：ABCFBCAE， 2CF22， 解得：CF， 在 RtAFC 中，由勾股定理得：AF， tanBAC 故选：B 7如果抛物线 C：yax2+bx+c（a0）与直线 l：ykx+b（k0）都经过 y 轴上一点 P，且抛物线 C 的顶 点 Q 在直线 l 上，那么称此直线 l 与该抛物线 C 具有“一带一路”关系，如果直线 ymx+1 与抛物线 y x22x+n 具有“一带一路”关系，那么 mn 值为（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】由直线可求得与 y 轴的交点坐标，代入抛物线可求得 n 的值，再由抛物线解析式可求得其顶
17、点 坐标，代入直线解析式可求得 m 的值 【解答】解：在 ymx+1 中，令 x0 可求得 y1，在 yx22x+n 中，令 x0 可得 yn， 直线与抛物线都经过 y 轴上的一点， n1， 抛物线解析式为 yx22x+1（x1）2， 抛物线顶点坐标为（1，0） ， 抛物线顶点在直线上， 0m+1， 解得 m1， m+n1+10， 故选：B 8 如图， 四个全等的直角三角形纸片既可以拼成 （内角不是直角） 的菱形 ABCD， 也可以拼成正方形 EFGH， 则菱形 ABCD 面积和正方形 EFGH 面积之比为（ ） A1 B C D 【分析】设直角三角形的长直角边为 b，短直角边为 a，于是得到
18、 2aAD，根据直角三角形的性质得到 A60，求得 ba 于是得到 S菱形ABCD2ab2a2，正方形 EFGH 面积（2a）24a2，即可 得到结论 【解答】解：设直角三角形的长直角边为 b，短直角边为 a， 四边形 ABCD 是菱形， ADAB， 即 2aAD， A60， ba S菱形ABCD2ab2a2，正方形 EFGH 面积（2a）24a2， 菱形 ABCD 面积和正方形 EFGH 面积之比， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 9吴京导演的战狼 2创下了 56.8 亿票房神话，将数据 56.8 亿用科学记数法表示为 5.68109 【分析】科学记数法的表示形式为
19、a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：56.8 亿56800000005.68109 故答案为：5.68109 10化简： 【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可 【解答】解：原式2 故答案为： 11因式分解：3ax23ay2 3a（x+y） （xy） 【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解 【解答】解：3ax23ay23a（x2y
20、2）3a（x+y） （xy） 故答案为：3a（x+y） （xy） 12若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角已 知ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 30或 150 【分析】根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为 60，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形 的性质求出等径角的度数 【解答】解：如图边 AB 与半径相等时， 则AOB60， 当等径角顶点为 C 时，CAOB30， 当等径角顶点为 D 时，C+D180，D150， 故答案为：30或 150 13如果将分别写着“幸福” 、 “奋斗”的两张纸片，随机放入“都是出来的”中的两个内（每个
21、 只放一张卡片） ，那么文字恰好组成“幸福都是奋斗出来的”概率是 【分析】让组成“幸福都是奋斗出来的”的情况数除以总情况数即为所求的概率 【解答】解：将分别写有“幸福” 、 “奋斗”的 2 张卡片，随机放入两个框中，只有两种情况， 恰好组成“幸福都是奋斗出来的”的情况只有一种， 其概率是：， 故答案为： 14如图，在直角坐标系中，OABC 的边 OC 落在 x 轴的正半轴上，且点 C（4，0） ，B（6，2） ，直线 y 2x+1 以每秒 1 个单位的速度向右平移，经过 3 秒该直线可将OABC 的面积平分 【分析】 若该直线可将OABC 的面积平分， 则需经过此平行四边形的对称中心， 设 M
22、 为平行四边形 ABCD 的对称中心，利用 O 和 B 的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，且点 B（6，2） ， 平行四边形 ABCD 的对称中心 M 的坐标为（3，1） ， 直线的表达式为 y2x+1， 设直线平移后将OABC 平分时的直线方程为 y2x+b， 将（3，1）代入 y2x+b 得 b5，即平分时的直线方程为 y2x5， 直线 y2x5 和 x 轴的交点坐标为（，0） ， 直线 y2x+1 和 x 轴交点坐标为（，0） ， 直线运动的距离为+3， 经过 3 秒的时间直线可将OABC 的面积平分 故答案为：3 15已知抛物
23、线 yx22x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，将这条抛物线的顶点记为 C，连接 AC、BC，则 tan CAB 的值为 2 【分析】先求出 A、B、C 坐标，作 CDAB 于 D，根据 tanACD即可计算 【解答】解：令 y0，则x22x+30，解得 x3 或 1，不妨设 A（3，0） ，B（1，0） ， yx22x+3（x+1）2+4， 顶点 C（1，4） ， 如图所示，作 CDAB 于 D 在 RtACD 中，tanCAD2， 故答案为：2 16如图，点 P（a，a）是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点 P 为顶点作等边PAB， 使 A、B 落在 x 轴上（点 A 在点 B
24、 左侧） ，则POA 的面积是 8 【分析】如图，根据反比例函数系数 k 的几何意义求得点 P 的坐标，则易求 PD4然后通过等边三角 形的性质易求线段 AD，所以 SPOAOAPD48 【解答】解：如图，点 P（a，a）是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点， 16a2，且 a0， 解得，a4， PD4 PAB 是等边三角形， AD OA4AD， SPOAOAPD48 故答案是： 17小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有 20 根火柴棒，每次取 1 根或 2 根，最后取完者获胜若由 小明先取，且小明获胜是必然事件则小明第一次应该取走火柴棒的根数是 2 【分析】先取的人第一次取 2 根，然
25、后保证第二次所取的根数与另一人所取根数之和为 3，即可取到最 后 1 根，从而使获胜是必然事件 【解答】解：根据游戏规则，先取的人第一次取 2 根，然后保证第二次所取的根数与另一人所取根数之 和为 3，即可取到最后 1 根，从而使获胜是必然事件， 所以小明先取，小明第一次应该取走 2 根 故答案为：2 18如图，ABC 中，BAC75，BC7，ABC 的面积为 14，D 为 BC 边上一动点（不与 B，C 重 合） ， 将ABD和ACD分别沿直线AB， AC翻折得到ABE与ACF， 那么AEF的面积最小值为 4 【分析】 过 E 作 EGAF， 交 FA 的延长线于 G， 由折叠可得EAG30
26、， 而当 ADBC 时， AD 最短， 依据 BC7，ABC 的面积为 14，即可得到当 ADBC 时，AD4AEAF，进而得到AEF 的面积 最小值为：AFEG424 【解答】解：如图，过 E 作 EGAF，交 FA 的延长线于 G， 由折叠可得，AFAEAD，BAEBAD，DACFAC， 又BAC75， EAF150， EAG30， EGAEAD， 当 ADBC 时，AD 最短， BC7，ABC 的面积为 14， 当 ADBC 时，AD4AEAF， AEF 的面积最小值为：AFEG424， 故答案为：4 三解答题三解答题 19计算： （20192018）0+2cos45+（） 1 【分析】
27、首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并同 类项，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （20192018）0+2cos45+（） 1 1+22+2 1+2+2 3+ 19解不等式组： 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求其公共解集即可 【解答】解： 由得：x2， 由得：x， 所以不等式组的解集为：x2 21为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会” ，小明和小丽同时参加，其中，有一道必 答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路” （1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随
28、机选择其中一个，则小明 回答正确的概率是 ； （2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷” 、第四个字是选“富”还是选“复”都难 以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率 【分析】 （1）利用概率公式直接计算即可； （2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率 【解答】解： （1）对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择， 若随机选择其中一个正确的概率， 故答案为：； （2）画树形图得： 由树状图可知共有 4 种可能结果，其中正确的有 1 种， 所以小丽回答正确的概率 22某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查
29、，将对自己做错的题目进行整理、分析、改正（选 项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1） 该调查的样本容量为 200 ， a 12 %， b 36 %“很少” 对应扇形的圆心角为 43.2 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有 3500 名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？ 【分析】 （1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以 22%，求出该调查的样本 容量为多少；然后分别用“很少” 、 “总是”对自己做错的题目进行整理、分析、改正的人数除以样本容 量，求出
30、a、b 的值各是多少；用 360乘以“很少”的人数所占比例 （2）求出“常常”对自己做错的题目进行整理、分析、改正的人数，补全条形统计图即可 （3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可 【解答】解： （1）4422%200（名） 该调查的样本容量为 200； a2420012%， b7220036%， “很少”对应扇形的圆心角为：36012%43.2 故答案为：200、12、36、43.2； （2） “常常”的人数为：20030%60（名） ， 补全图形如下： （3）350036%1260（名） “总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有 1260 名 23
31、如图，有一张矩形纸片 ABCD，AB4cm，BC6cm，点 E 是 BC 的中点实施操作：将纸片沿直线 AE 折叠，使点 B 落在梯形 AECD 内，记为点 B （1）用尺规在图中作出AEB（保留作图痕迹） ； （2）求 B、C 两点之间的距离 【分析】 （1）分别以 A、E 为圆心，AB、EB 为半径作弧，交点为 B，再连接 AB、EB即可； （2）连接 BB，交 AE 于点 F，连接 BC；由折叠的性质得出 BFBF，证出 EF 为BCB的中位 线，得出 EFBC，由勾股定理求出 AE、得出 cosBEF，在 RtBEF 中，由三角函数求出 EF，即 可得出 BC 的长 【解答】解： （1
32、）作法：分别以 A、E 为圆心，AB、EB 为半径作弧，交点为 B， 连接 AB、EB，得AEB； 如图 1 所示： （2）连接 BB交 AE 于点 F，连接 BC； 如图 2 所示： 由折叠的性质得：BFBF， 即 F 为 BB的中点， E 是 BC 的中点， EF 为BCB的中位线， EFBC， 在 RtABE 中，AB4cm，BE3cm， AE5cm，cosBEF， 在 RtBEF 中，EFBEcosBEF3cm， BC2EFcm 24求证：三边成比例的两个三角形相似 如图：已知在ABC 和ABC中，求证：ABCABC 【分析】直接在线段 AB（或它的延长线）上截取 ADAB，得出ADE
33、ABC，再证明ADE ABC（SSS） ，进而得出答案 【解答】证明：在线段 AB（或它的延长线）上截取 ADAB，过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E， DEBC， ADEABC， ， 又，ADAB， ， DEBC，AEAC， 在ADE 和ABC中 ， ADEABC（SSS） ， ABCABC 25为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印， 节约用纸” 他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用 A4 厚型纸单面打印，总质量为 400 克，将其 全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用 A4 薄型纸双面打印，总质量为 160 克已知每页薄型
34、纸 比厚型纸轻 0.8 克，求例子中的 A4 厚型纸每页的质量 （墨的质量忽略不计） 提示：总质量每页纸的质量纸张数 【分析】首先设例子中的 A4 厚型纸每页的质量为 x 克，则每页薄型纸 x0.8 克，由题意可得：400 克的 A4 厚型纸单面打印的页数160 克 A4 薄型纸双面打印的页数2，根据等量关系列出方程，再解即可 【解答】解：设例子中的 A4 厚型纸每页的质量为 x 克 由题意得：2 解之得：x4， 经检验得 x4 是原方程的解 答：例子中的 A4 厚型纸每页的质量为 4 克 26如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1
35、cm/s 的速度移动；同 时，点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，设运动的时间为 ts（0t6） （1）当 t 为何值时，DPQ 的面积等于 28cm2？ （2）求证：四边形 PBQD 面积为定值 （3）以 Q 为圆心，PQ 为半径作Q， 当 t 时，Q 与边 AD 相切？ 当 t 618 时，Q 经过点 D？ 当 t 为 0t或t618 时，Q 与边 AD 有两个公共点？ 【分析】 （1）由矩形的性质得出 ADBC12，CDAB6，ABC90，APt，BQ2t， BP6t，CQ122t，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出方程，即可得出答案； （2）由 S
36、四边形PBQDS矩形ABCDSAPDSCQD，化简得到结果为常数，即可得证； （3）过点 Q 作 QEAD，则四边形 ABQE 为矩形，得出 QEAB6，由Q 与边 AD 相切，得 QE QP，在 RtPBQ 中，由勾股定理得出方程，解方程即可； Q 过点 D 时，QDQP，在 RtPBQ 和 RtDCQ 中，由勾股定理得出方程，解方程即可； 由、结果即可得出答案 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是矩形， ADBC12，CDAB6，ABC90， 由题意得：APt，BQ2t， BPABAP6t，CQBCBQ122t， DPQ 的面积S矩形ABCDSADPSPBQSDCQ， 12612t（6
37、t）2t6（122t）28， 解得：t12，t24， 当其运动 2s 或 4s 时均符合题意， 当 t 为 2s 或 4s 时，DPQ 的面积等于 28cm2； （2）证明：S四边形PBQDS矩形ABCDSAPDSCQD612t12（122t）636， 四边形 PBQD 的面积始终等于 36， 四边形 PBQD 面积为定值； （3）Q 与边 AD 相切时，过点 Q 作 QEAD，如图 1 所示： 则四边形 ABQE 为矩形， QEAB6， Q 与边 AD 相切， QEQP， 在 RtPBQ 中，由勾股定理得：62（6t）2+（2t）2， 解得 t10（舍去） ，t2， 当 ts 时，Q 与边
38、AD 相切， 故答案为：； Q 过点 D 时，如图 2 所示： 则 QDQP， 在 RtPBQ 和 RtDCQ 中，由勾股定理得： （6t）2+（2t）262+（122t）2， 解得：t1618，t2618（舍去） ， 当 t（618）s 时，Q 经过点 D， 故答案为：618； 由、可知：当 0sts 或st（618）s 时，Q 与边 AD 有两个公共点， 故答案为：0t或t618 27如图，点 A 坐标是（0，0） ，点 C 坐标是（2，2） ，现有 E、F 两点分别从点 D（0，2）和点 B（2，0） 向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q 为 EF 中点设运动时间为 t （1）在运动过程
39、中始终与线段 EC 相等的线段是 FC ；四边形 CEAF 面积 4 （2）当 t1 秒时，求线段 CQ 的长 （3）过点 B 作 BP 平行于 CF 交 EC 于点 P当 t （+1）s 时，线段 AP 最短，此时作直线 EP 与 x 轴交于点 K，试证明，点 K 是线段 AB 的黄金分割点 【分析】 （1）连接 CD、CB，则四边形 ABCD 是正方形，CDCB2，证CDECBF（SAS） ，得 EC FC，即可解决问题； （2）先由全等三角形的性质得 ECFC，DCEBCF，再证ECF 是等腰直角三角形，当 t1 时， DE1，然后由勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求解即可； （3）
40、证BPC90，则点 P 的轨迹在以 BC 为直径的圆弧上，设 BC 的中点为 G，连接 AG，当点 P 在 AG 上时，AP 最短，此时，PGBG1，再求出 E（0，1） ，t（+1）s，然后由待定系数法 求出 CE 的解析式，即可解决问题 【解答】解： （1）连接 CD、CB，如图 1 所示： A（0，0） 、C（2，2） 、D（0，2） 、B（2，0） ， 四边形 ABCD 是正方形，CDCB2， E、F 两点分别从点 D 和点 B 向下和向右以每秒一个单位速度移动， DEBF， CDECBF90， CDECBF（SAS） ， ECFC， S四边形CEAFS四边形CEAB+SCBFS四边形
41、CEAB+SCDES正方形ABCDCBCD224， 故答案为：FC，4； （2）CDECBF， ECFC，DCEBCF， DCE+ECB90， BCF+ECB90，即ECF90， ECF 是等腰直角三角形， 当 t1 时，DE1， 在 RtCDE 中，由勾股定理得：CE， EFCE， Q 为 EF 中点， CQEF； （3）BPCF，ECF90， BPC90， 点 P 的轨迹在以 BC 为直径的圆弧上， 设 BC 的中点为 G，连接 AG，如图 2 所示： 当点 P 在 AG 上时，AP 最短， 此时，PGBG1， 在 RtABG 中，由勾股定理得 AG， APAGPG1， BCDE， AEP
42、GCP， GCGP， GCPGPC， GPCAPE， AEPAPE， APAE1， E（0，1） ， DE2（1）+1， t（+1）s， 故答案为： （+1）s； 设 CE 的解析式为：ykx+b（k0） ， 将 C（2，2） 、E（0，1）代入解析式得：， 解得：， CE 的解析式为：yx+1， 令 y0，x3， K（3，0） ， BK2（3）1， ， 点 K 是线段 AB 的黄金分割点 28在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义： 对于C 及C 外一点 P， M， N 是C 上两点， 当MPN 最大时， 称MPN 为点 P 关于C 的 “视角” （1）如图，O 的半径为 1， 已知点
43、A（0，2） ，画出点 A 关于O 的“视角” ； 若点 P 在直线 x2 上，则点 P 关于O 的最大“视角”的度数 60 ； 在第一象限内有一点 B（m，m） ，点 B 关于O 的“视角”为 60，求点 B 的坐标 （2）若点 P 在直线 yx+2 上，且点 P 关于O 的“视角”大于 60，求点 P 的横坐标 xP的取值 范围 （3）C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，点 E 的坐标为（0，1） ，点 F 的坐标为（0，1） ，若线段 EF 上 所有的点关于C 的“视角”都小于 120，直接写出点 C 的横坐标 xC的取值范围 【分析】 （1）由定义可知即可画出图形：当MPN 最大时，此
44、时点 P 关于O 的视角，此时 PM 与 PN 与O 相切，从而可求出视角的度数； 由可知：B 关于O 的“视角”为 60，此时 OB2，根据勾股定理即列出方程即可求出 m 的值； （2）点 P 关于O 的“视角”大于 60，所以点 P 在以 O 为圆心，1 为半径与 2 为半径的圆环内 （3）分点 C 在 x 轴正半轴和负半轴两种情况讨论计算即可 【解答】解： （1）画如图 1 所示， 如图 2，当MPN 最大时，此时 PM 与 PN 与O 相切， O 的半径为 r1， sinMPO， 当 OP 最小时，此时 sinMPO 最大，即MPO 最大， sinMPO， MPO30 MPN2MPO6
45、0； 故答案为：60 点 B 关于O 的视角为 60， BM 与O 相切，且MBO30， 点 B 在以 O 为圆心，2 为半径的圆上，即 OB2， B（m，m） （m0） ， OBm2， m B（，） ； （2）如图 3， 点 P 关于O 的“视角”大于 60， MPO30， sinMPOsin30， OP2， 点 P 不在C 上， 1OP2 点 P 在以 O 为圆心，1 为半径与 2 为半径的圆环内， 点 P 在直线 yx+2 上， 由图 4， 可得 xp0 或 xP 0 xP （3）如图 5， 当点 C 在 x 轴正半轴时， 在线段 EF 上取一点 P，当 PM，PN 都与C 相切时，MPN 最大，当MPN120时，连接 CP， CPM60， 在 RtPCM 中，CM1，sinCPM， CP， 线段 EF 上所有的点关于C 的“视角”都小于 120， 点 P 和原点 O 重合时，视角只要小于 120时，即可，OP 最大CP， 此时，满足条件的 xC 当点 C 在 x 轴负半轴时，同可得，xC， 即：满足条件的 xC或 xC
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