1、2019-2020 学年湖北省荆州市荆州区九年级（上）期末数学试卷学年湖北省荆州市荆州区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1（3 分）一元二次方程x 240 的解是（ ） A2 B2 C D2 2（3 分）将抛物线y3x 2先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析 式是（ ） Ay3（x1） 22 By3（x1） 2+2 Cy3（x+1） 22 Dy3（x+1） 2+2 3（3 分）如图，点B、D、C是O上的点，BDC130，则BOC是（ ） A100 B110 C120 D130 4（3 分）一个不透明的布袋里装有 5 个只有颜色不同
2、的球，其中 2 个红球，3 个白球，从布袋中随机摸 出一个球，摸出红球的概率是（ ） A B C D 5 （3 分） 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小， 则k的取值范围是 （ ） Ak1 Bk0 Ck1 Dk1 6（3 分）已知圆心角为 120的扇形的弧长为 6，该扇形的面积为（ ） A18 B27 C36 D54 7（3 分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心， 把CDB旋转 90，则旋转后点D的对应点D的坐标是（ ） A（2，10） B（2，0） C（2，10）或（2，0） D（10，2）或（2，0） 8（3
3、分）已知（1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数yx 2+4x+c 的图象上，则y1，y2，y3的 大小关系正确的是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy1y3y2 9（3 分） 已知x1，x2是一元二次方程x 2+ （2m+1） x+m 210 的两不相等的实数根， 且 ， 则m的值是（ ） A B3 C D 10（3 分）我们定义一种新函数：形如y|ax 2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小 丽同学画出了“鹊桥”函数y|x 22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论 的个数是（ ） 图象与坐标轴的交点为（1，0），
4、（3，0）和（0，3）； 图象具有对称性，对称轴是直线x1； 当1x1 或x3 时，函数值y随x值的增大而增大； 当x1 或x3 时，函数的最小值是 0； 当x1 时，函数的最大值是 4， A4 B3 C2 D1 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11（3 分）若关于x的一元二次方程（a+3）x 2+2x+a290 有一个根为 0，则 a的值为 12（3 分）如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是 13（3 分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点B的坐标为（， 0），将线段OC绕点O顺时针旋转 60至线段OD，若反
5、比例函数（k0）的图象进过A、D两点， 则k值为 14（3 分）如图，四边形ABCD是矩形，AB4，AD2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点 E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 15（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y 轴的正半轴，G为线段OA上一点，将OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函 数y经过点B二次函数yax 2+bx+c（a0）的图象经过 C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的 解析式为 （填一般式） 16（3 分）如图，抛物线yx 24 与 x轴交于A、B两点，P是以点C（
6、0，3）为圆心，2 为半径的圆上 的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ则线段OQ的最大值是 三、解答题（共 72 分） 17（6 分）解方程： （1）x 23x+10； （2）（x+1）（x+2）2x+4 18（7 分）为庆祝建国 70 周年，东营市某中学决定举办校园艺术节学生从“书法”、“绘画”、“声 乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取 了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图请你根据统计图中所提 供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，
7、求“声乐”类对应扇形圆心角的度数； （4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一 种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率 19（7 分）如图所示，DBC90，C45，AC2，ABC绕点B逆时针旋转 60得到DBE，连接 AE （1）求证：ABCABE； （2）连接AD，求AD的长 20（8 分）如图，反比例函数y（x0）与直线AB：交于点C（，m），点P是反比 例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，OQ （1）求反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当POQ面积最大时
8、，求P点坐标 21（10 分）如图，O与ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，O过AB上一点D，且DEAO， CE是O的直径 （1）求证：AB是O的切线； （2）若BD4，EC6，求AC的长 22（10 分）把函数C1：yax 22ax3a（a0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新函数C2的图 象，我们称C2是C1关于点P的相关函数C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0） （1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示） （2）若a1，当xt时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1y21，求C2的解析式； （3）当m0 时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的
9、右侧）与y轴相交于点D把线段 AD原点O逆时针旋转 90，得到它的对应线段AD，若线AD与C2的图象有公共点，结合函数图 象，求a的取值范围 23（12 分）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售 单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天 获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ 24（12
10、分）如图，直线yx3 与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线yx 2+mx+n 与x轴的另一个交点为A，顶点为P （1）求 3m+n的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出 所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 （3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线yx+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共 点，求b的值 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1（3 分）一元二次方程x 240
11、 的解是（ ） A2 B2 C D2 解：移项得，x 24 开方得，x2， 故选：D 2（3 分）将抛物线y3x 2先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析 式是（ ） Ay3（x1） 22 By3（x1） 2+2 Cy3（x+1） 22 Dy3（x+1） 2+2 解：将抛物线y3x 2向左平移 1 个单位所得直线解析式为：y3（x+1）2； 再向下平移 2 个单位为：y3（x+1） 22，即 y3（x+1） 22 故选：C 3（3 分）如图，点B、D、C是O上的点，BDC130，则BOC是（ ） A100 B110 C120 D130 解：在优弧上取点E，连
12、接BE，CE，如图所示： BDC130， E180BDC50， BOC2E100 故选：A 4（3 分）一个不透明的布袋里装有 5 个只有颜色不同的球，其中 2 个红球，3 个白球，从布袋中随机摸 出一个球，摸出红球的概率是（ ） A B C D 解：2 个红球、3 个白球，一共是 5 个， 从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是 故选：C 5 （3 分） 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小， 则k的取值范围是 （ ） Ak1 Bk0 Ck1 Dk1 解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小， 即可得k10， 解得k1 故选：A 6（3 分）已知
13、圆心角为 120的扇形的弧长为 6，该扇形的面积为（ ） A18 B27 C36 D54 解：设扇形的半径为r 由题意：6， r9， S扇形27， 故选：B 7（3 分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心， 把CDB旋转 90，则旋转后点D的对应点D的坐标是（ ） A（2，10） B（2，0） C（2，10）或（2，0） D（10，2）或（2，0） 解：点D（5，3）在边AB上， BC5，BD532， 若顺时针旋转，则点D在x轴上，OD2， 所以，D（2，0）， 若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为 10，到y轴的距离为 2， 所以，D（
14、2，10）， 综上所述，点D的坐标为（2，10）或（2，0） 故选：C 8（3 分）已知（1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数yx 2+4x+c 的图象上，则y1，y2，y3的 大小关系正确的是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy1y3y2 解：二次函数yx 2+4x+c（x2）2+c+4， 对称轴为x2， a0， x2 时，y随x增大而增大，当x2 时，y随x的增大而减小， （1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数yx 2+4x+c 的图象上，且123，|12|2 3|， y1y3y2 故选：D 9（3 分） 已知x1，x2是一元二次方程x 2+
15、 （2m+1） x+m 210 的两不相等的实数根， 且 ， 则m的值是（ ） A B3 C D 解：根据题意得（2m+1） 24（m21）0， 解得m， 根据根与系数的关系的x1+x2（2m+1），x1x2m 21， ， （x1+x2） 2x 1x2170， （2m+1） 2（m21）170， 整理得 3m 2+4m150，解得 m1，m23， m， m的值为 故选：C 10（3 分）我们定义一种新函数：形如y|ax 2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小 丽同学画出了“鹊桥”函数y|x 22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论 的个数是（ ） 图
16、象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）； 图象具有对称性，对称轴是直线x1； 当1x1 或x3 时，函数值y随x值的增大而增大； 当x1 或x3 时，函数的最小值是 0； 当x1 时，函数的最大值是 4， A4 B3 C2 D1 解：（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x 22x3|，是正确的； 从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，因此也是正确的； 根据函数的图象和性质，发现当1x1 或x3 时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正 确的； 函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1 或x3，因此 也是正确的
17、； 从图象上看， 当x1 或x3， 函数值要大于当x1 时的y|x 22x3|4， 因此是不正确的； 故选：A 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11（3 分）若关于x的一元二次方程（a+3）x 2+2x+a290 有一个根为 0，则 a的值为 3 解：根据题意，将x0 代入方程可得a 290， 解得：a3 或a3， a+30，即a3， a3 故答案为：3 12（3 分）如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是 解：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有 2 种情况， 转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是： 故答案
18、为： 13（3 分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点B的坐标为（， 0），将线段OC绕点O顺时针旋转 60至线段OD，若反比例函数（k0）的图象进过A、D两点， 则k值为 4 解：如图，过点D作DHx轴于H， 四边形ABOC是矩形， ABCO，COB90， 将线段OC绕点O顺时针旋转 60至线段OD， OCOD，COD60， DOH30， OD2DH，OHDH， 设DHx， 点D（x，x），点A（，2x）， 反比例函数（k0）的图象经过A、D两点， xx2x， x2， 点D（2，2）， k224， 故答案为：4 14（3 分）如图，四边形ABCD是矩形，A
19、B4，AD2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点 E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 88 解：连接AE， ADE90，AEAB4，AD2， sinAED， AED45， EAD45，EAB45， ADDE2， 阴影部分的面积是：（4）+（） 88， 故答案为：88 15（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y 轴的正半轴，G为线段OA上一点，将OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函 数y经过点B二次函数yax 2+bx+c（a0）的图象经过 C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的 解析式为
20、yx 2 x+3 （填一般式） 解：点C（0，3），反比例函数y经过点B，则点B（4，3）， 则OC3，OA4， AC5， 设OGPGx，则GA4x，PAACCPACOC532， 由勾股定理得：（4x） 24+x2， 解得：x，故点G（，0）， 将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故答案为：yx 2 x+3 16（3 分）如图，抛物线yx 24 与 x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上 的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ则线段OQ的最大值是 3.5 解：令yx 240，则 x4， 故点B（4，0）， 设圆的半径为r，则r2， 当B、C、P三点共线，
21、且点C在PB之间时，PB最大， 而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是ABP的中位线， 则OEBP（BC+r）（+2）3.5， 故答案为 3.5 三、解答题（共 72 分） 17（6 分）解方程： （1）x 23x+10； （2）（x+1）（x+2）2x+4 解：（1）x 23x+10， x， x1，x2； （2）（x+1）（x+2）2x+4， （x+1）（x+2）2（x+2）， （x+1）（x+2）2（x+2）0， （x+2）（x+12）0， x+20，x10， x12，x21 18（7 分）为庆祝建国 70 周年，东营市某中学决定举办校园艺术节学生从“书法”、“绘画”、“声 乐”、“器
22、乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取 了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图请你根据统计图中所提 供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数； （4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一 种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率 解：（1）被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有 20 人， 占整个被抽取到学生总数的 10%， 在这次调查中，一共抽取了学生为
23、：2010%200（人）； （2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：20017.5%35（人）， 报名“舞蹈”类的人数为：20025%50（人）； 补全条形统计图如下： （3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为 70 人， 扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：360126； （4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为A、B、C、D， 画树状图如图所示： 共有 16 个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有 4 个， 小东和小颖选中同一种乐器的概率为 19（7 分）如图所示，DBC90，C45，AC2，ABC绕点B逆时针旋转 60得到DBE，连接 AE （1
24、）求证：ABCABE； （2）连接AD，求AD的长 【解答】（1）证明：ABC绕点B逆时针旋转 60得到DBE， DBEABC，EBC60，BEBC， DBC90， DBEABC30， ABE30， 在ABC与ABE中， ABCABE（SAS）； （2）解：连接AD， ABC绕点B逆时针旋转 60得到DBE， DEAC，BEDC，DEAC2， ABCABE， BEAC，AEAC2， C45， BEDBEAC45， AED90，DEAE， ADAE2 20（8 分）如图，反比例函数y（x0）与直线AB：交于点C（，m），点P是反比 例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，连接OP，
25、OQ （1）求反比例函数的解析式； （2）点P在反比例函数图象上运动，且点P在Q的上方，当POQ面积最大时，求P点坐标 解：（1）将点C的坐标代入一次函数表达式得：m（22）21， 故点C（2+2，1）， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得：1，解得k4， 故反比例函数表达式为y； （2）设点P（m，），则点Q（m，m2）， 则POQ面积PQxP（m+2）mm 2+m+2， 0，故POQ面积有最大值，此时m2， 故点P（2，2） 21（10 分）如图，O与ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，O过AB上一点D，且DEAO， CE是O的直径 （1）求证：AB是O的切线； （2）若BD4，E
26、C6，求AC的长 【解答】（1）证明：连接OD， ODOE， OEDODE， DEOA， ODEAOD，DEOAOC， AODAOC， AC是切线， ACB90， 在AOD和AOC中 ， AODAOC（SAS）， ADOACB90， OD是半径， AB是O的切线； （2）解：AB是O的切线， BDO90， BD 2+OD2OB2， 4 2+32（3+BE）2， BE2， BCBE+EC8， AD，AC是O的切线， ADAC， 设ADACx， 在 RtABC中，AB 2AC2+BC2， （4+x） 2x2+82， 解得：x6， AC6 22（10 分）把函数C1：yax 22ax3a（a0）的图
27、象绕点 P（m，0）旋转 180，得到新函数C2的图 象，我们称C2是C1关于点P的相关函数C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0） （1）填空：t的值为 2m1 （用含m的代数式表示） （2）若a1，当xt时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1y21，求C2的解析式； （3）当m0 时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）与y轴相交于点D把线段 AD原点O逆时针旋转 90，得到它的对应线段AD，若线AD与C2的图象有公共点，结合函数图 象，求a的取值范围 解：（1）C1：yax 22ax3aa（x1）24a， 顶点（1，4a）围绕点P（m，0）旋转 180的对称
28、点为（2m1，4a）， C2：ya（x2m+1） 2+4a，函数的对称轴为：x2m1， t2m1， 故答案为：2m1； （2）a1 时， C1：y（x1） 2+4， 当t1 时， x时，有最小值y2， xt时，有最大值y1（t1） 2+4， 则y1y2（t1） 2+4 1，无解； 1t时， x1 时，有最大值y14， x时，有最小值y2， y1y21（舍去）； 当t时， x1 时，有最大值y14， xt时，有最小值y2（t1） 2+4， y1y2（t1） 21， 解得：t0 或 2（舍去 0）， 故C2：y（x2） 24x24x； （3）m0， C2：ya（x+1） 2+4a， 点A、B、D、
29、A、D的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，3a）、（0，1）、（3a，0）， 当a0 时，a越大，则OD越大，则点D越靠左， 当C2过点A时，ya（0+1） 2+4a1，解得：a ， 当C2过点D时，同理可得：a1， 故：0a或a1； 当a0 时， 当C2过点D时，3a1，解得：a， 故：a； 综上，故：0a或a1 或a 23（12 分）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售 单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，
30、则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天 获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ 解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：ykx+b， 将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：y2x+160； （2）由题意得：w（x30）（2x+160）2（x55） 2+1250， 20，故当x55 时，w随x的增大而增大，而 30 x50， 当x50 时，w有最大值，此时，w1200， 故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200 元；
31、 （3）由题意得：（x30）（2x+160）800， 解得：40 x70， 又y2x+16020， 则y的最小值为2070+16020， 每天的销售量最少应为 20 件 24（12 分）如图，直线yx3 与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线yx 2+mx+n 与x轴的另一个交点为A，顶点为P （1）求 3m+n的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出 所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 （3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x轴下方的部分组成一个“
32、M“形状的新图象，若直线yx+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共 点，求b的值 解：（1）直线yx3，令y0，则x3，令x0，则y3， 故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3）， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：yx 2+4x3，则点 A坐标为（1，0），顶点P的坐标为（2，1）， 3m+n1239； （2）当CPCQ时， C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为3， 故此时Q点坐标为（2，7）； 当CPPQ时， 同理可得：点Q的坐标为（2，12）或（2，1+2）； 同理可得：过该中点与CP垂直的直线方程为：yx， 当x2 时，y，即点Q的坐标为（2，）； 当CQPQ时， 同理可得：点Q的坐标为（2，）， 故：点Q的坐标为（2，12）或（2，1+2）或（2，）或（2，7）； （3）图象翻折后的点P对应点P的坐标为（2，1）， 在如图所示的位置时，直线yx+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时C、P、B三点共线，b3； 当直线yx+b与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线yx+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x 24x+3x+b，524（3b）0，解得：b 即：b3 或
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