1、第九章第九章 中心对称图形中心对称图形平行四边形平行四边形 常考易错题提升练习（常考易错题提升练习（一一） 1如图，ABC 中，D 为边 BC 上一点，以 AB，BD 为邻边作平行四边形 ABDE，连结 AD、CE且 AB AC （1）如图 1，若 D 为 BC 中点时，求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）如图 2，若 D 不是 BC 中点，且BAC90，ABAC10时，求四边形 ADCE 的面积 2已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别与 AC、BC、AD 交于点 O、E、F，连 接 AE 和 CF （1）求证：四边形 AECF 为菱形； （2）若 AB
2、，BC3，求菱形 AECF 的边长 3如图，在四边形 ABCD 中，BADBCD90，点 E，F 分别是 BD，AC 的中点，连接 EF （1）试判断 EF 与 AC 的位置关系，并说明理由； （2）若EAF45，求ADC 的度数 4菱形 ABCD 中，F 是对角线 AC 的中点，过点 A 作 AEBC 垂足为 E，G 为线段 AB 上一点，连接 GF 并 延长交直线 BC 于点 H （1）当CAE30时，且 CE，求菱形的面积； （2）当BGF+BCF180，AEBE 时，求证：BF（+1）GF 5如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，点 F 是 AC 上一点，连结 BF，DF
3、（1）证明：ABFADF； （2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形 6如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AF 平分BAC，交 BD 于点 F （1）求证：； （2）点 A1、点 C1分别同时从 A、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1 平分BA1C1，交 BD 于点 F1，过点 F1作 F1EA1C1，垂足为 E，请猜想 EF1，AB 与 三者之间 的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当 A1E16，C1E14 时，求 BD 的长 7如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作
4、直线分别与矩形的边 AD，BC 交于 M，N 两 点，连接 CM，AN （1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 AD4，AB2，且 MNAC，求 DM 的长 8已知：正方形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，E 是线段 OC 上的一动点，过点 A 作 AGBE 交 G，交 BD 于 F （1）若动点 E 在线段 OC 上（不含端点） ，如图（1） ，求证：OFOE； （2）若动点 E 在线段 OC 的延长线上，如图（2） ，试判断OEF 的形状，并说明理由 9已知：在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 DE，且 DEBC，过点 A 作 AFDE 于点 F （1）
5、如图 1，求证：ABAF； （2）如图 2，连接 AE，当 BEDF 时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中所有长度等 于AB 的线段 10如图，已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 ABCE，连接 BG，DE （1）求证：BGDE； （2）连接 BD，若 CGBD，BGBD，求BDE 的度数 参考答案参考答案 1 （1）证明：四边形 ABDE 是平行四边形 BDAE（即 AECD） ，BDAE， 又BDCD， AECD， 四边形 ADCE 是平行四边形； 在ABC 中，ABAC，BDCD， ADBC， ADC90， ADCE 是矩形； （2）解：过 A 作
6、AHBC 于 H， BAC90，ABAC10， BCAB20， AHBC10， 四边形 ABDE 是平行四边形， SADESABD， AEBC， SACESADE，SDCESADC， SADBSACE， 四边形 ADCE 的面积SADC+SACESACD+SABDSABCBCAH 100 2 （1）证明：对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别与 AC、BC、AD 交于点 O、E、F， AFCF，AECE，OAOC， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， FAOECO， 在AOF 和COE 中 ， AOFCOE（ASA） ， AFCE， AFCF，AECE， AEECCFAF， 四边形 AEC
7、F 为菱形； （2）解：设 AECEx，则 BE3x， 四边形 ABCD 是矩形， B90， 在 RtABE 中，由勾股定理得：AB2+BE2AE2， 即（）2+（3x）2x2， 解得：x2， 即 AE2， 菱形 AECF 的边长是 2 3解： （1）EFAC 理由：连接 AE，CE BADBCD90，E 是 BD 的中点， AEBD，CEBD， AECE， 又F 是 AC 的中点， EFAC （2）以 E 为圆心，BE 长为半径画圆， BAD+DCB90+90180， BACBDC， EAF45， BAC+DAE45， AEDE， ADBEAD， ADCADB+BDCBAC+EAD45 4
8、（1）解：四边形 ABCD 是菱形， ABBC， AEBC，EAC30， ACE60，AC2EC2， ABC，ACD 都是等边三角形， S 菱形ABCD2SABC2 （2）26 （2）如图，连接 GC，作 GMGF 交 BF 于 M 四边形 ABCD 是菱形， BABC，AFFC， BFAC， BFA90， BGF+BCF180，AGF+BGF180， AGFACB，GAFCAB CAGBAF， CAGBAF， CGABFA90， AEBE，AEBE， ABE45， GBCGCB45， GBGC， BGCMGF， BGMCGF， GBMGCF， BGMCGF， BMCF，GMGF，FMGF，
9、AGC90AFFC， GFFCBM， BFBM+FMGF+GF（+1）GF 5 （1）证明：在ABC 和ADC 中 ， ABCADC（SSS） ， BACDAC， 在ABF 和ADF 中 ， ABFADF（SAS） ； （2）解：ABCD， BACDCA， BAFADC， DACDCA， ADDC， 由（1）得：ABDC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABAD， 平行四边形 ABCD 是菱形 6 （1）证明：过 F 作 FGAB 于 G， AF 平分CAB，FOAC，FGAB， OFFG， AOFAGF90，AFAF，OFFG， AOFAGF， AOAG， 直角三角形 BGF 中，DBA
10、45， FGBGOF， ABAG+BGAO+OFAC+OF， ABOFAC （2）解：过 F1作 F1G1A1B，过 F1作 F1H1BC1，则四边形 F1G1BH1是矩形 同（1）可得 EF1F1G，因此四边形 F1G1BH1是正方形 EF1G1F1F1H1， 即：F1是三角形 A1BC1的内心， EF1（A1B+BC1A1C1）2 A1B+BC1AB+A1A+BCCC1，而 CC1A1A， A1B+BC12AB， 因此式可写成：EF1（2ABA1C1）2， 即 ABEF1A1C1 （3）解：由（2）得，F1是三角形 A1BC1的内心，且 E1、G1、H1都是切点 A1E（A1C1+A1BB
11、C1）2， 如果设 CC1A1Ax， A1EA1C1+（AB+x）（ABx）2（10+2x）26， x1， 在直角三角形 A1BC1中，根据勾股定理有 A1B2+BC12AC12， 即： （AB+1）2+（AB1）2100， 解得 AB7， BD7 7 （1）证明：在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点， ADBC，AOCO， OAMOCN，OMAONC， 在AOM 和CON 中， ， AOMCON（AAS） ， AMCN， AMCN， 四边形 ANCM 为平行四边形； （2）解：在矩形 ABCD 中，ADBC， 由（1）知：AMCN， DMBN， 四边形 ANCM 为平行四边形，M
12、NAC， 平行四边形 ANCM 为菱形， AMANNCADDM， 在 RtABN 中，根据勾股定理，得 AN2AB2+BN2， （4DM）222+DM2， 解得 DM 8解： （1）证明：四边形 ABCD 为正方形， OAOB，AOBBOC90， AGBE 于点 G， AGE90， GAE+AEGOBE+BEO90， GAEOBE， 在AOF 和BOE 中， AOFBOE（ASA） ， OFOE； （2）OEF 是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接 EF， 与（1）同理可证明AOFBOE（ASA） OFOE； 又BOC90， OEF 是等腰直角三角形 9证明： （1）四边形 ABCD 是矩
13、形，AFDE， ADBC，ADBC，ABCD，CAFD90， ADEDEC， DEBC， ADDE， 在ADF 和DEC 中， ， ADFDEC（AAS） ， AFCD， AFAB； （2）AD，BC，DE 的长度等于AB， 理由如下：ADFDEC， CEDF， BEEF， BEDF， BEECDFEF， DE2EC， DE2EC2+CD2， DEAB， ADBCDEAB 10 （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 CEFG 为正方形， BCDC，CGCE，BCDGCE90， BCGDCE， BCGDCE（SAS） ， BGDE； （2）连接 BE， CGBD， DCGBDC45， BCGBCD+DCG90+45135 GCE90， BCE360BCGGCE36013590135， BCGBCE CGCE，BCBC， BCGBCE（SAS） ， BGBE 由（1）可知 BGDE， BDBEDE， BDE 为等边三角形， BDE60
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