1、三角形全等和等腰三角形三角形全等和等腰三角形 1全等图形及全等三角形 全等图形：能够_的两个图形称为全等图形 全等三角形：能够_的两个三角形叫全等三角形 2全等三角形的性质 性质：全等三角形的对应边_，对应角_； 拓展：全等三角形的对应边上的高线_，对应边上的中线_，对应角的平分线_ 3三角形全等的判定 对应相等的元素 三角形是否一定全等 一般三角形 两边一角 两边及其夹角 两边及其中一边的对角 两角一边 两角及其夹边 两角及其中一角的对边 三角 三边 直角三角形 斜边、直角边 4.三角形的稳定性 三角形具有稳定性实际利用的就是“ ” 补充：画相等的角实际是利用的“ ” 5角平分线的性质 性质
2、：角平分线上的点到角两边的_ 判定：角的内部，到角两边的距离相等的点在_ 补充：角平分线出现时会用到的性质： （了解）6命题与证明 命题：判断某一件事情的句子叫做命题 组成：命题通常写成“如果，那么”的形式 命题的真假：命题有真命题和假命题；定理是用推理的方法判断为正确的命题 互逆命题： 在两个命题中， 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 那么这两个命题叫做互逆命题把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题 互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理 【知识拓展】 (1)改写命题时，要
3、明确命题的条件和结论，有时语言要重新组合，可添上命题中被省略的词语； (2)用举反例的方法说明一个命题是假命题，就是举出一个符合命题题设而不符合命题结论的例子，举反例也可以通 过画图的形式展现 1证明的基本方法 综合法：从已知条件入手，探索解题途径的方法 分析法：从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法 两头“凑”法：综合应用以上两种方法而找到证题思路的方法 2反证法（了解） 先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立 (1)有些用直接证法不易证明的问题可尝试考虑用反证法； (2)证明唯一性和存在性问题常用反证法 3全等三角形证明规律 (1)出现角平分
4、线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； (2)过角平分线上一点向角两边作垂线； (3)公共边是对应边，公共角是对应角； (4)若有中线时，常加倍中线，构造全等三角形 类型一 命题、真假命题、互逆命题 典例 2018 嘉兴某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好 是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( ) A甲 B甲与丁 C丙 D丙与丁 跟踪训练 1.2019 北京用三个不等式 ab，ab0，1 a 1 b中的两个不等式作为题设
5、，余下的一个不等式作为结论组 成一个命题，组成真命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 22019 宁波能说明命题“关于 x 的方程 x24xm0 一定有实数根”是假命题的反例为( ) Am1 Bm0 Cm4 Dm5 32019 安徽命题“如果 ab0，那么 a，b 互为相反数”的逆命题为_ 思维升华 (1)两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条 件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；(2)正确的命题叫做真命题，错误的命 题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理；(3)举反例是说明假命题不成立的常
6、用方法，但需 要注意所举反例需要满足命题的题设，只是结论不成立 类型二 反证法 典例 2018 嘉兴用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( ) A点在圆内 B点在圆上 C点在圆心上 D点在圆上或圆内 类型三 三角形全等 典例 2019 温州如图 184，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于点 F. (1)求证：BDECDF； (2)当 ADBC，AE1，CF2 时，求 AC 的长 思维升华 (1)全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL；(2)判定两个三角形全等一般可以
7、从三个角度思 考：一是从三边考虑；二是从两边和它们的夹角考虑，三是从两角和一边考虑；(3)轴对称、平移、旋转前后的两个 图形全等 跟踪训练 1.2018 温州如图 185，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，ADEC，AEDB. (1)求证：AEDEBC； (2)当 AB6 时，求 CD 的长 类型四 三角形全等的开放探究型问题 典例 2019 安顺如图 187，点 B，F，C，E 在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍 无法判定ABCDEF 的是 2 2019 邵阳如图 189， 已知 ADAE， 请你添加一个条件， 使得ADCAEB， 你添加的条件是_ (不
8、 添加任何字母和辅助线) 类型六 角平分线 典例 2019 湖州如图 1811，已知在四边形 ABCD 中，BCD90 ，BD 平分ABC，AB6，BC9，CD4， 则四边形 ABCD 的面积是( ) A24 B30 C36 D42 1两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不一定全等 2满足下列条件的三角形也是全等三角形： (1)有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等； (2)有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； (3)有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等； (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等； (5)有两边
9、和其中一条边上的高线对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等； (6)有两边和第三条边上的高线对应相等的两个锐角(或钝角)三角形全等 第第 9 课时课时 等腰三角形等腰三角形 1等腰三角形的概念和性质 定义：有_相等的三角形是等腰三角形 性质：(1)等腰三角形是_，顶角平分线所在直线是它的对称轴； (2)等腰三角形的两个底角相等(简称_)； (3)等腰三角形的顶角_，底边上的_和高线互相重合(简称等腰三角形三线合一) 【知识拓展】 等腰三角形常见结论： (1)等腰三角形两腰上的高线相等； (2)等腰三角形两腰上的中线相等； (3)等腰三角形两底角的平分线相等； (4)等腰三角形一腰上的高线与底边
10、的夹角等于顶角的一半； (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行； (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线； (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线 2等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形(简称等角对等边) 【知识拓展】 (1)一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形； (2)一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形； (3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 3等边三角形的性质 定理：等边三角形的各个角都等于 60 . 4等边三角形的判定： 判
11、定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角等于 60 的_三角形是等边三角形 5线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_ 判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的_上 【知识拓展】 (1)等腰三角形的性质常用于证明角相等、线段相等、直线垂直，其用途较广，题型变化多； (2)已知等腰三角形，常添的辅助线是作底边上的高线(或顶角平分线或底边上的中线)； (3)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线 1分类讨论 在等腰三角形中， 若条件中没有明确底和腰时， 一般应从某一边是底还是腰进行讨论， 还要注意构造三角形的条件， 满足三边关系；同样在条件中
12、没有明确底角和顶角时，也要进行分类讨论 2方程思想 与等腰三角形有关的角度计算，是中考的热点考题，常用方程思想，结合三角形内角和等于 180 来解 类型一 等腰三角形的性质 典例 2019 衢州“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的， 借助如图193所示的“三等分角仪” 能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动、C 点固定， OCCDDE，点 D，E 可在槽中滑动若BDE75 ，则CDE 的度数是( ) A60 B65 C75 D80 思维升华 根据等腰三角形的性质进行角度计算，常与三角形内角和结合，利用方程求解 跟踪训练
13、1.2019 成都如图 194，在ABC 中，ABAC，点 D，E 都在边 BC 上，BADCAE，若 BD9， 则 CE 的长为_ 22018 绍兴等腰三角形 ABC 中， 顶角 A 为 40 ， 点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上， 且 BPBA，则PBC 的度数为_ 32018 绍兴数学课上，张老师举了下面的例题： 例 1 等腰三角形 ABC 中，A110 ，求B 的度数(答案：35 ) 例 2 等腰三角形 ABC 中，A40 ，求B 的度数(答案：40 或 70 或 100 ) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形 ABC 中，A80 ，求B 的度
14、数 (1)请你解答以上的变式题； (2)解(1)后，小敏发现，A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 ABC 中，设A x ，当B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围 类型二 线段的垂直平分线的性质与判定 典例 2019 杭州如图 195，在ABC 中，ACABBC. (1)如图，线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连结 AP，求证：APC2B； (2)如图，以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连结 AQ.若AQC3B，求B 的度 数 跟踪训练 1.2018 黄冈如图 196，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直
15、平分线，且分别交 BC，AC 于点 D 和 E，B 60 ，C25 ，则BAD 为( ) A50 B70 C75 D80 22020 原创如图 197，一张三角形纸片 ABC，C90 ，AC8 cm，BC6 cm，现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重合，那么折痕长等于_cm. 类型三 等腰三角形的判定 典例 2019 无锡如图，在ABC 中，ABAC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，BDCE，BE，CD 相交于点 O. (1)求证：DBCECB； (2)求证：OBOC. 跟踪训练 2020 中考预测如图 199，已知等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且
16、 AD AE，连结 BE，CD，相交于点 F. (1)判断ABE 与ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC. 思维升华 判定等腰三角形的一般方法是“两边相等”和“等角对等边”这两种，这就涉及证明线段相等或角相 等的问题，结合三角形全等可以解决 类型四 等边三角形的性质与判定 典例 2018 嘉兴如图 1910，已知：在ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为点 E，F，且 DEDF.求证：ABC 是等边三角形 思维升华 在几何问题的解答过程中， 有一部分思路来源于灵感， 这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质(如本
17、 题是等边三角形的基本性质)的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法 跟踪训练 已知：如图 1911，点 D 在等边三角形 ABC 的边 AB 上，点 F 在边 AC 上，连结 DF 并延长交 BC 的延 长线于点 E，EFFD.求证：ADCE. 1等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形 2解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形，在添加辅助线时，要根据具体 情况而定，表达辅助线的语句不能限制太多，如“作一边上的高线并且要平分这条边”、“作一个角的平分线并且 垂直于对边”等，这些都是不正确的 3在解有关等腰三角形的问题时，不要总认为腰大于底，实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形 分类讨论防漏解 1已知等腰三角形的一个内角为 70 ，则另外两个内角的度数是( ) A55 ，55 B70 ，40 C55 ，55 或 70 ，40 D以上都不对
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