1、有理数和实数有理数和实数 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、正数和负数：一、正数和负数： 1.正数：大于 0 的数，包括正分数、正整数；（正数大于负数） 2.负数：小于零的数，包括负分数、负整数；（负数小于正数） 3.0：既不是正数，也不是负数。 4.注意：带负号的数不一定是负数带负号的数不一定是负数（因为字母可以表示任意的数） （1）若 a 表示正数时，则-a 是负数； （2）当 a 表示 0 时， 即使在 0 的前面加一个负号，仍是 0，0 不分正负； （3）当 a 表示负数时，“-a”就不是负数了，它是一个正数。 【例题【例题 1 1】(2020新疆)下列各数中，是
2、负数的为( ) A1 B0 C0.2 D 2 1 【答案】A 【解析】利用正数与负数的定义判断即可；1 是负数；0 既不是正数也不是负数；0.2 是正 数； 2 1 是正数。 【变式练习【变式练习 1 1】下列各数中，可能不是负数的是( ) A2 B-x C 8 5 - D0.10 【答案】B 【解析】 利用负数的定义判断即可得到结果；A.2，C. 8 5 -， D.0.10 都是负数，故不符合题意； B.-x 可能是正数，可能是负数，有可能是 0，故本选项符合题意。 二、有理数：二、有理数： 1.1.有理数：有理数：整数整数和分数分数统称有理数。 （1）整数：正整数、0、负整数统称为整数；(
3、自然数：0 和正整数) （2）分数：正分数和负分数统称为分数； 【说明】【说明】有理数概念理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 2.2.实数：实数：（有理数（有理数+ +无理数）无理数） （1）定义：有理数和无理数统称为实数； （2）分类： 按定义分类 按大小分类 （3）实数与数轴上的点是一一对应的； （4）常见的 4 种无理数类型： 根号型：如 2， 3 6等开方开不尽的数； 三角函数型：如 sin60，tan30等； 构造型(特殊规律型)：如 0.1010010001(每相邻两个 1 之间依
4、次多一个 0)等； 与有关的数：如 2 ，-1 等； （5）判断一个数是不是无理数，不要只看形式，要看化简结果是不是无限不循环小数。 【例题【例题 2 2】(2020河南)请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数 【答案】3（答案不唯一） 【解析】由于所求无理数大于 1 且小于 2，两数平方得大于 2 小于 4，所以可选其中的任意一 个数开平方即可；大于 1 且小于 2 的无理数是3，答案不唯一。 【变式练习【变式练习 2 2】在实数5， 7 22 ，0， 2 ，36，-1.414，有理数有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D 【解析】有理数是有限小数或无限循环小
5、数，所以 7 22 ，0，36，-1.414，是有理数。 3.3.数轴：数轴： （1）概念：规定了 原点原点 、 正方向正方向 和 单位长度单位长度 的直线叫做数轴； （2）数轴上的点与实数一一对应。 【例题【例题 3 3】如图，在数轴上点 P 的位置被一滴墨水遮挡了，那么请估计数轴上点 P 表示的数可 能是（ ） A. -2.6 B. -1.4 C. 2.6 D. 1.4 【答案】B 【解析】设 P 表示的数是 x，由数轴可知：P 点表示的数大于-2，且小于-1，即-2x-1， A.-3-2.6-2，故本选项错误； B.-2-1.4-1，故本选项正确； C.-12.6，故本选项错误； D.-
6、10负数； 两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而 小 ； （2）数轴比较法：数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数 大 ； （3）差值比较法：差值比较法：对于任意实数 a，b： a-b0 ab ； a-b=0 a=b ； a-b0 ab ； 【例题【例题 7 7】(2020重庆)下列各数中，最小的数是( ) A3 B0 C1 D2 【答案】A 【解析】根据正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，可得答案； 3012，这四个数中最小的数是3；故选 A。 【变式练习【变式练习 7 7】在3，1，0，1 这四个数中，最大的数是( ) A3 B1 C0 D1 【答案】
7、D 【解析】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键；根据正数大 于零，零大于负数，可得答案； 由正数大于零，零大于负数，得3101，最大的数是 1；故选 D。 8.8.非负数：绝对值、偶次方非负数：绝对值、偶次方( (主要是平方主要是平方) )、算术根、算术根( (主要是算术平方根主要是算术平方根) ) （1）概念： 正数正数 和 0 0 统称非负数； 绝对值的非负性：任意实数 a，都有0a； 乘方的非负性：任意实数 a，都有 a 2n0；（即 a20) （2）特点：若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数都等于 0 ； 即：若 A0，B0，C0，ABC0，则 ABC0
8、 【例题【例题 8 8】若065ba，则 a+b= 。 【答案】1 【解析】由绝对值的非负性可知，当065ba时，有 a+5=0，b-6=0；所以 a=-5，b=6， 则 a+b=-5+6=1。 【变式练习【变式练习 8 8】如果（x-2) 2+ 2y=0，则 xy= 。 【答案】-4 【解析】由绝对值和平方的非负性可知，当（x-2) 2+ 2y=0 时，有 x-2=0，2y=0；所以 x=2，y=-2，则 xy=2（-2）=-4。 三、实数的运算：三、实数的运算： 1.1.加法和减法：加法和减法： （1）加法交换律：a ab b b ba a ； （2）加法结合律：(a(ab)b)c c a
9、 a(b(bc) c) ； （3）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即：a a- -b=b= a+(a+(- -b) b) ； 【例题【例题 9 9】（2020西藏）20+（20）的结果是（ ） A40 B0 C20 D40 【答案】B 【解析】20+（20）0；故选 B。 【变式练习【变式练习 8 8】（2017柳州）计算：（3）+（3）（ ） A9 B9 C6 D6 【答案】C 【解析】3+（3）（3+3）6；故选 C。 【例题【例题 1010】（2020南通）计算|1|3，结果正确的是（ ） A4 B3 C2 D1 【答案】C 【解析】原式132；故选 C。 【变式练习【变式
10、练习 1010】（2020南京）计算 3（2）的结果是（ ） A5 B1 C1 D5 【答案】D 【解析】3（2）3+25；故选 D。 2.2.乘法和除法：乘法和除法： （1）乘法法则： 两数相乘，两数同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； 任何数同零相乘都得零； 几个数相乘，只要有一个因式为零，则积为零； 各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定； （2）乘法交换律：abab ba ba ； （3）乘法结合律：(ab)c(ab)c a(bc) a(bc) ； （4）乘法分配律：a(ba(bc)c) ababac ac ； （5）除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数； 注意：零不能做除数
11、，即 0 a 无意义。 【例题【例题 1111】（2020安顺）计算（3）2 的结果是（ ） A6 B1 C1 D6 【答案】A 【解析】原式326；故选 A。 【例题【例题 1212】（2020山西）计算（6）（ ）的结果是（ ） A18 B2 C18 D2 【答案】C 【解析】（6）（ ）（6）（3）18；故选 C。 【变式练习【变式练习 1111】（2020 秋上海期末）计算：7 7 的值等于（ ） A1 B C49 D 【答案】B 【解析】解：原式7 ；故选 B。 【变式练习【变式练习 1212】（2020广西）计算：（1）+3 2（14）2 【答案】-5 【解析】解：原式1+9（3）
12、2132165。 四、乘方：四、乘方： 1.乘方的定义：求相同因式积的运算，叫做乘方； 2.常识：乘方中，相同的因式叫做底数底数，相同因式的个数叫做指数指数，乘方的结果叫做幂幂； 3.有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； （3）注意： 当 n 为正奇数时： ( (- -a)a) n n= =- -a an n或 或(a (a - -b)b) n n= =- -(b (b- -a)a) n n； 当 n 为正偶数时：( (- -a)a) n n =a =a n n 或 或 (a(a- -b)b) n n=(b =(b- -a)a) n
13、 n； 【例题【例题 1313】（2020长沙）（2） 3的值等于（ ） A6 B6 C8 D8 【答案】D 【解析】解：（2） 38；故选 D。 【变式练习【变式练习 1313】（2020凉山州）-1 2020=（ ） A1 B-1 C2020 D2020 【答案】B 4.4.科学记数法：科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a a1010 n n的形式， 其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。 【例题【例题 1414】 （2020广西） 国家实施 “精准扶贫” 政策以来， 很多贫困人口走上了致富的道路 据 统计，2019 年末全国农村贫困人口比 2018 年末全国农村
14、贫困人口减少了 11090000 人，其中 数据 11090000 用科学记数法可表示为（ ） A11.0910 5 B1.10910 7 C0.110910 8 D1.10910 8 【答案】B 【解析】解：数据 11090000 用科学记数法可表示为 1.10910 7；故选 B。 【变式练习【变式练习 1414】 （2020兰州）智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由 4G 到 5G 的转折阶段 据中国移动 2020 年 3 月公布的数据显示， 中国移动 5G 用户数量约 31720000 户将 31720000 用科学记数法表示为（ ） A0.317210 8 B3.17
15、210 8 C3.17210 7 D3.17210 9 【答案】C 【解析】解：317200003.17210 7；故选 C。 5.5.近似数的精确位：近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。 6.6.有效数字：有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的 有效数字。 【例题【例题 1515】（2020济宁）用四舍五入法将数 3.14159 精确到千分位的结果是（ ） A3.1 B3.14 C3.142 D3.141 【答案】C 【解析】解：3.14159 精确到千分位的结果是 3.142；故选 C。 【变式练习【变式练习
16、 1515】（2017通辽）近似数 5.010 2精确到（ ） A十分位 B个位 C十位 D百位 【答案】C 【解析】解：近似数 5.010 2精确到十位；故选 C。 7.7.几种常见的运算：几种常见的运算： （1）乘方：a a n n=a =aa aa a；(n 个 a 相乘) （2）零次幂：任何非零实数的零次幂都为 1，即：a a 0 0= = 1 1 (a0)； （3）负整数次幂：规定 a -n= 1 n a (a0，n 为正整数)，特别地，a -1=1 a (a0)； （4）-1 的整数次幂：(-1) n= 1 1. n n ，为奇数； ，为偶数 8.8.运算顺序：运算顺序： （1）规
17、则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行； 如有括号，先进行 括号内的 运算； 一般按小括号、中括号、大括号依次进行。 （2）注意：在进行负整数指数幂的运算时，防止出现以下错误： 3 -2= 9 1 -； 2a-2= 2 2 1 a ； 【例题【例题 1616】计算：|3|(-1) 0+(2)2 【答案】6 【解析】根据绝对值的意义，零指数幂的意义即可求出答案。 原式=31+4=6. 【变式练习【变式练习 1616】计算： 121 ()24 234 【答案】-2 【解析】利用乘法对加法的分配律可以快速准确地解答本题； 原式 121 24 234 12 16 6 2
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