1、一元一次不等式一元一次不等式( (组组) )及其应用及其应用 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、不等式及其性质：一、不等式及其性质： 1.1.不等式的定义：不等式的定义： 用不等号“”、“”、“”、“”或“”表示不等关系的式子， 叫做不等式； 2.2.不等式的解：不等式的解：使不等式成立的未知数的值； 3.3.不等式的解集：不等式的解集： （1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不 等式的解； （2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这 个不等式的解集； 4.4.解不等式：解不等式
2、：求不等式的解集的过程，叫做解不等式； 5.5.不等式基本性质：不等式基本性质： （1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变； 若 ab，则 acbc； （2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若 ab，c0，则 acbc(或 ab cc )； （3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变； 若 ab，c0，则 acbc(或 ab cc )； 【例题【例题 1 1】下列式子：（1）40；（2）2x+3y0；（3）x3；（4）xy；（5）x+y；（6） x+37 中，不等式的个数有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案
3、】C 【解析】主要依据不等式的定义，用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示 不相等关系的式子是不等式来判断 解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有 4 个故选：C 【变式练习【变式练习 1 1】据气象台预报，2019 年某日武侯区最高气温 33，最低气温 24，则当天气 温（：）的变化范围是（ ） At33 Bt24 C24t33 D24t33 【答案】D 【解析】 已知某日武侯区的最高气温和最低气温，可知某日武侯区的气温的变化范围应该在最 高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温 解：由题意知：武侯区的最高气温是 3
4、3，最低气温 24， 所以当天武侯区的气温（t）的变化范围为：24t33故选：D 【例题【例题 2 2】（2020贵港）如果 ab，c0，那么下列不等式中不成立的是（ ） Aa+cb+c Bacbc Cac+1bc+1 Dac 2bc2 【答案】D 【解析】根据不等式的性质解答即可 解：A、由 ab，c0 得到：a+cb+c，原变形正确，故此选项不符合题意； B、由 ab，c0 得到：acbc，原变形正确，故此选项不符合题意； C、由 ab，c0 得到：ac+1bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意； D、由 ab，c0 得到：ac 2bc2，原变形错误，故此选项符合题意故选：D 【变式练习
5、【变式练习 2 2】（2019济南）实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成 立的是（ ） Aa5b5 B6a6b Cab Dab0 【答案】C 【解析】根据数轴判断出 a、b 的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可 解：由图可知，b0a，且|b|a|， a5b5，6a6b，ab，ab0， 关系式不成立的是选项 C故选：C 【例题【例题 3 3】已知 x5 的最小值为 a，x7 的最大值为 b，则 ab 【答案】-35 【解析】解答此题首先根据已知得出理解“” “”的意义，判断出 a 和 b 的最值即可解答 解：因为 x5 的最小值是 a，a5；x7 的最大值是 b，则
6、b7； 则 ab5（7）35故答案为：35 【变式练习【变式练习 3 3】关于 x 的一元一次不等式m2x 3 2 的解集为 x4，则 m 的值为（ ） A14 B7 C2 D2 【答案】D 【解析】本题是关于 x 的不等式，应先只把 x 看成未知数，求得不等式的解集，再根据 x4， 求得 m 的值 解：m2x 3 2；所以：m2x6；则：2xm6；即：x 1 2m+3； 关于 x 的一元一次不等式m2x 3 2 的解集为 x4；1 2m+34， 解得 m2故选：D 二、一元一次不等式及其解法：二、一元一次不等式及其解法： 1.1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式的定义： 不等式中只含有一
7、个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式 叫做一元一次不等式； 2.2.一元一次不等式的解法一般步骤：一元一次不等式的解法一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将未知项的系数化为 1。 【例题【例题 4 4】（2020锦州）不等式4+x 2 1 的解集为 【答案】x2 【解析】先去分母，再移项、合并即可得 解：4+x 2 1，4+x2， 则 x2，故答案为：x2 【变式练习【变式练习 4 4】（2020大连）不等式 5x+13x1 的解集是 【答案】x1 【解析】先对不等式进行移项，合并同类项，再系数化 1 即可求得不等式
8、的解集 解：5x+13x1，移项得，5x3x11， 合并得，2x2，即 x1， 故答案为 x1 三、一元一次不等式组及其解法：三、一元一次不等式组及其解法： 1.1.一元一次不等式组的定义：一元一次不等式组的定义： 把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一元一次不等式组； 2.2.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组的解集： （1）几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集； （2）当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集； 3.3.解不等式组：解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组； 4.4.
9、一元一次不等式组的解法：一元一次不等式组的解法： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 5.5.解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示( (令令 a ab)b)： 不等式解集在数轴上的表示方法：含或，用实心圆点，含或用空心圆圈： xa xb xa 大大取大大大取大 xa xb xb 小小取小小小取小 xa xb bxa 大小小大取中间大小小大取中间 xa xb 无解 大大小小无处找大大小小无处找 6.6.一元一次不等式一元一次不等式( (组组) )的特殊解：的特殊解： 先求出不等式组的解集，再求出符合条件的特殊解即可。
10、【例题【例题 5 5】（2020岳阳）不等式组x + 3 0， x 10 的解集是 【答案】3x1 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小找不到确定不等式组的解集 解：解不等式 x+30，得：x3，解不等式 x10，得：x1， 则不等式组的解集为3x1，故答案为：3x1 【变式练习【变式练习 5 5】（2020鄂州）关于 x 的不等式组2x4 x 5 0的解集是 【答案】2x5 【解析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分 解：2x4 x 5 0 由得：x2，由得：x5， 所以不等式组的解集为：2x5，故答案为 2x5 【例题
11、【例题 6 6】(2020赤峰)不等式组 20 2 +40 x x 的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 【答案】C 【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 解：解不等式 x+20，得：x2， 解不等式2x+40，得：x2， 则不等式组的解集为2x2，故选：C。 【变式练习【变式练习 6 6】（2020河池）不等式组x + 12 2x 4 x的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集 解：x + 12 2x 4 x，由得：x1，由得：x4， 不等式组的解集为
12、：1x4，故选：D 四、一元一次不等式（组）的实际应用：四、一元一次不等式（组）的实际应用： 1.1.一元一次不等式一元一次不等式( (组组) )的实际应用：的实际应用： 分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答； 2.2.基本过程：基本过程：这一过程可简单表述为：问题 分析 抽象 不等式(组) 求解 检验 解答 3.3.中考出现一元一次不等式中考出现一元一次不等式( (组组) )试题类型总结：试题类型总结： （1）类型一：一元一次不等式的解集问题； （2）类型二：一元一次不等式组无解的情况； （3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围； （4）类型四
13、：一元一次不等式组有解求未知数的范围； （5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围； （6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。 【例题【例题 7 7】(2020重庆 B 卷)小明准备用 40 元钱购买作业本和签字笔已知每个作业本 6 元， 每支签字笔 2.2 元，小明买了 7 支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为( ) A5 B4 C3 D2 【答案】B 【解析】设还可以买 x 个作业本，根据总价=单价数量结合总价不超过 40 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论 解：设还可以买 x 个作业本，依题意，得：2.27+6x40， 解得： 1 410 x
14、 又x 为正整数，x 的最大值为 4故选：B。 【变式练习【变式练习 7 7】(2020宁夏)西游记、三国演义、水浒传和红楼梦是中国古 典文学瑰宝， 并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三 个条件： (1)阅读过西游记的人数多于阅读过水浒传的人数； (2)阅读过水浒传的人数多于阅读过三国演义的人数； (3)阅读过三国演义的人数的 2 倍多于阅读过西游记的人数 若阅读过三国演义的人数为 4，则阅读过水浒传的人数的最大值为 【答案】6 【解析】设阅读过西游记的人数是 a，阅读过水浒传的人数是 b(a，b 均为整数)，根 据给定的三个条件，即可得出关于 a，b 的二元
15、一次不等式组，结合 a，b 均为整数即可得出 b 的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论 解：设阅读过西游记的人数是 a，阅读过水浒传的人数是 b(a，b 均为整数)， 依题意，得：4 8 ab b a ， a，b 均为整数；4b7， b 最大可以取 6故答案为：6。 【例题【例题 8 8】（2020益阳）一次函数 ykx+b 的图象如图所示，则下列结论正确的是（） Ak0 Bb1 Cy 随 x 的增大而减小 D当 x2 时，kx+b0 【答案】B 【解析】直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案 解：如图所示：A、图象经过第一、三、四象限，则 k0，故此选项错误； B、
16、图象与 y 轴交于点（0，1），故 b1，正确； C、k0，y 随 x 的增大而增大，故此选项错误； D、当 x2 时，kx+b0，故此选项错误；故选：B 【变式练习【变式练习 8 8】 （2019遵义）如图所示，直线 l1：y= 3 2x+6 与直线 l2：y= 5 2x2 交于点 P（ 2，3），不等式3 2x+6 5 2x2 的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【答案】A 【解析】利用函数图象写出直线 l1：y= 3 2x+6 与在直线 l2：y= 5 2x2 上方所对应的自变量的 范围即可 解：当 x2 时，3 2x+6 5 2x2， 所以不等式3 2x+6 5 2x2 的解集是 x2故选：A
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