1、20212021 年中考数学年中考数学 专题专题 15 15 二次函数及其应用二次函数及其应用 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、一、二次函数的概念：二次函数的概念： 1.1.二次函数的概念：二次函数的概念： （1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)叫做二次函数的一般式。 2 2. .二次函数的解析式二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a，b，c 是常数，a0) （2）顶点式：y=a
2、(x-h) 2+k(a，h，k 是常数，a0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x1)(x-x2)； 已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、x2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 1和 x2存在； 如果没有交点，则不能这样表示。 3.3.用待定系数法求二次函数的解析式：用待定系数法求二次函数的解析式： （1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 yax 2bxc； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式： ya(xh) 2k，其中对称轴为 xh，顶点坐标为(h，k)； （3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两
3、根式(交点式)： ya(xx1)(xx2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)。 【例题【例题 1 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解 析式. 【答案】y=2x 2-5x+12 【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a，b，c 即可 解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c； y x O 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得 9 12 1024 cba c cba ；解得 a=2，b=-5，c=12； 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2
4、-5x+12。 【变式练习变式练习 1 1】已知二次函数图像顶点的坐标是（2，-3）且经过点（1，5）；求二次函 数解析式. 【答案】y=8x 2-32x+29 【解析】已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：ya(xh) 2k，其中 对称轴为 xh，顶点坐标为(h，k） 解：设抛物线的解析式为 ya(x2) 2-3： 把点（1，5）代入 ya(x2) 2-3 得：5=a-3；a=8； 所以，二次函数的解析式为：y8(x2) 2-3；即 y=8x2-32x+29。 二、二次函数的图像和性质：二、二次函数的图像和性质： 1.1.二次函数的图象：二次函数的图象： 二次函数的图象是一条关于
5、2 b x a 对称的曲线，这条曲线叫抛物线； （1）对称轴是直线 2 b x a ； （2）顶点是( 2 b a ， 2 4 4 acb a )； （3）c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标：(0，c)； （4）抛物线 ya(xh) 2k 与 yax2形状相同，位置不同； 把抛物线 yax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线 ya(xh)2k。 2.2.二次函数图象的画法二次函数图象的画法（五点法五点法）： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标： 在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴； （2）求抛物线 y=ax 2+bx+c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点
6、时，描出这两个交点 A，B 及抛物线与 y 轴的交点 C， 再找到点 C 的对称 D； 将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并延伸，就得到二次函数的图象。 3.3.二次函数的性质：二次函数的性质： （1）当 a0 时，抛物线的开口向上，函数有最小值； （2）当 a0 时，图象与 x 轴有两个交点； 当=0 时，图象与 x 轴有一个交点； 当0 两个不相等的实数根 1 个 b 2-4ac=0 两个相等的实数根 没有 b 2-4ac0 的解集： 函数 y=ax 2+bx+c 的图象位于 x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围； （2）ax 2+bx+c0 的解集： 函数 y=ax 2+bx+c 的图
7、象位于 x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围。 【例题【例题 4 4】 (2020呼和浩特)已知二次函数 y=(a-2)x 2-(a+2)x+1， 当 x 取互为相反数的任 意两个实数值时， 对应的函数值 y 总相等， 则关于 x 的一元二次方程(a-2)x 2-(a+2)x+1=0 的两根之积为( ) A0 B-1 C 1 2 D 1 4 【答案】D 【解析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为 y 轴，从而求出 a 值，再利用根与系数 的关系得出结果 解：二次函数 y=(a-2)x 2-(a+2)x+1， 当 x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 y 总相等， 可知二次函数图象的
8、对称轴为直线 x =0，即 y 轴， 则 (2) 0 2(2) a a ， 解得：a=-2， 则关于 x 的一元二次方程(a-2)x 2-(a+2)x+1=0 为-4x2+1=0， 则两根之积为 1 4 ，故选：D。 【变式练习变式练习 4 4】(2019呼和浩特)对任意实数 a，若多项式 2b 25ab+3a2的值总大于3， 则实数 b 的取值范围是 【答案】6b6 【解析】解：由题意可知：2b 25ab+3a23， 3a 25ab+2b2+30， 对任意实数 a，3a 25ab+2b2+30 恒成立， 25b 212(2b2+3)b2360， 6b6.故答案为6b6。 五、二次函数的实际应
9、用：五、二次函数的实际应用： 二次函数的应用问题求解思路：二次函数的应用问题求解思路： 建立 二次函数二次函数 模型求出二次函数 解析式解析式 结合函数解析式、函数性质做出解答。 【例题【例题 5 5】(2020兴安盟呼伦贝尔)某商店销售一种销售成本为每件 40 元的玩具，若 按每件 50 元销售，一个月可售出 500 件，销售价每涨 1 元，月销量就减少 10 件设销 售价为每件 x 元(x50)，月销量为 y 件，月销售利润为 w 元 (1)写出 y 与 x 的函数解析式和 w 与 x 的函数解析式； (2)商店要在月销售成本不超过 10000 的情况下，使月销售利润达到 8000 元，销
10、售价应 定为每件多少元？ (3)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润 【答案】（1）y=1000-10 x；w=-10 x 2+1400 x-40000；（2）销售价应定为每件 80 元； （3）故销售价定为每件 70 元时会获得最大利润 9000 元. 【解析】(1)根据题意一个月能售出 500 件，若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件，可得 y=500-10(x-50)，再利用一个月的销售量每件销售利润=一个月的销售利润 列出一个月的销售利润为 w，写出 w 与 x 的函数关系式； (2)令 w=8000，求出 x 的取值即可； (3)根据二次函数最值的求法求解
11、即可 解：(1)由题意得：y=500-10(x-50)=1000-10 x； w=(x-40)(1000-10 x)=-10 x 2+1400 x-40000； (2)由题意得：-10 x 2+1400 x-40000=8000，解得：x 1=60，x2=80， 当 x=60 时，成本=40500-10(60-50)=1600010000 不符合要求，舍去， 当 x=80 时，成本=40500-10(80-50)=800010000 符合要求， 销售价应定为每件 80 元； (3)w=-10 x 2+1400 x-40000， 当 x=70 时，w 取最大值 9000，故销售价定为每件 70
12、元时会获得最大利润 9000 元。 【变式练习变式练习 5 5】(2020台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图 1) 科学原理：如图 2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 H(单位：cm)，如果 在离水面竖直距离为 h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程 (水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与 h 的关系式为 s 24h(Hh) 应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续 注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 hcm 处开一个小孔 (1)写出 s 2与 h 的关系式；并求出当 h 为何值时，射程
13、 s 有最大值，最大射程是多少？ (2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的 射程相同，求 a，b 之间的关系式； (3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 16cm，求垫高的高度及小孔离 水面的竖直距离 【答案】（1）当 h 为 10cm 时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm； （2）ab 或 a+b20； （3）垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm. 【解析】(1)将 s 24h(20h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出 s2的最大值，再求 s 2的算术平方根即可； (2)设存在 a，b，使两孔射出水的射程相
14、同，则 4a(20a)4b(20b)，利用因式分解 变形即可得出答案； (3)设垫高的高度为 m，写出此时 s 2关于 h 的函数关系式，根据二次函数的性质可得答 案 解：(1)s 24h(Hh)， 当 H20cm 时，s 24h(20h)4(h10)2+400， 当 h10cm 时，s 2有最大值 400， 当 h10cm 时，s 有最大值 20cm 当 h 为 10cm 时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm； (2)s 24h(20h)， 设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20a)4b(20b)， 20aa 220bb2， a 2b220a20b， (a+b)(ab)20(ab)， (ab)(a+b20)0， ab0，或 a+b200， ab 或 a+b20； (3)设垫高的高度为 m，则 s 24h(20+mh)4(h 20+m 2 )2+(20+m) 2， 当 h= 20+m 2 cm 时，smax20+m20+16， m16cm，此时 h= 20+m 2 =18cm 垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm
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