1、统计统计 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、调查收集数据的过程与方法以及统计学基本概念：一、调查收集数据的过程与方法以及统计学基本概念： 1.调查方式： （1）普查：为了某一特定目的，而对考察对象进行全面的调查，叫普查； （2）抽样调查：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。 2.统计学中的几个基本概念： （1）总体：所有考察对象的全体叫做总体； （2）个体：总体中每一个考察对象叫做个体； （3）样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本； （4）样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量； （5）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数
2、； （6）总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数 估计总体平均数。 【例题【例题 1 1】（2020安顺）2020 年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况， 以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼 60 岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62， 63，75，79，68，85，82，69，70获得这组数据的方法是（ ） A直接观察 B实验 C调查 D测量 【答案】C 【解析】直接利用调查数据的方法分析得出答案 解：一志愿者得到某栋楼 60 岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68， 85，82，69，70获得这组数据
3、的方法是：调查故选：C 【变式练习【变式练习 1 1】某校为了解七年级 14 个班级学生吃零食的情况，下列做法中，比较合理的是 （ ） A了解每一名学生吃零食情况 B了解每一名女生吃零食情况 C了解每一名男生吃零食情况 D每班各抽取 7 男 7 女，了解他们吃零食情况 【答案】D 【解析】根据样本抽样的原则要求，逐项进行判断即可 解：根据样本抽样具有普遍性、代表性和可操作性，选项 D 比较合理， 选项 A 为普查，没有必要，也不容易操作； 选项 B、C 仅代表男生或女生的情况，不能反映全面的情况，不具有代表性，故选：D 【例题【例题 2 2】为了调查某校学生的视力情况，在全校的 1000 名学
4、生中随机抽取了 80 名学生，下 列说法正确的是（ ） A此次调查属于全面调查 B1000 名学生是总体 C样本容量是 80 D被抽取的每一名学生称为个体 【答案】C 【解析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽 取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目我们在区分总体、个体、样本、样本 容量，这四个概念时，首先找出考查的对象从而找出总体、个体再根据被收集数据的这一 部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量 解：A、此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意； B、1000 名学生的视力情况是总体，故本选项不合题意；C、样本容量是 80，正确； D
5、、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体故本选项不合题意故选：C 【变式练习【变式练习 2 2】为了解 500 人身高情况，从中抽取 50 人进行身高统计分析样本是（） A500 人 B所抽 50 人 C500 人身高 D所抽 50 人身高 【答案】D 【解析】根据样本的意义得出判断即可 解：在这个问题中，“抽取 50 人的身高情况”是整体的一个样本，故选：D 二、频数、频率与统计图表：二、频数、频率与统计图表： 1.1.频数分布直方图：频数分布直方图： （1）把每个对象出现的次数叫做频数； （2）每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率； 频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度；
6、 频率 频数 样本容量 ； （3）频数分布表、频数分布直方图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况； （4）频数分布直方图的绘制步骤是： 计算最大值与最小值的差(即：极差)； 决定组距与组数，一般将组数分为 512 组； 确定分点，常使分点比数据多一位小数，且把第一组的起点稍微减小一点； 列频数分布表； 用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频 数分布直方图 2.2.频率分布的意义：频率分布的意义：在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各 个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分 布。
7、 3.3.研究频率分布的一般步骤及有关概念：研究频率分布的一般步骤及有关概念： （1）研究样本的频率分布的一般步骤是： 计算极差(最大值与最小值的差)； 决定组距与组数； 决定分点； 列频率分布表； 画频率分布直方图。 （2）频率分布的有关概念： 极差：最大值与最小值的差； 频数：落在各个小组内的数据的个数； 频率：每一小组的频数与数据总数(样本容量 n)的比值叫做这一小组的频率。 4.4.统计图：统计图：是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的直观表现；常见的统计图有： （1）条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形； 条形图能够显示每组中的具体 数据 ； （2）折线统计图：
8、用几条线段连成的折线来表示数据的图形； 折线图能够显示数据的 变化 趋势； （3）扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的 大小反映部分在总体中所占百分比大小，这样的统计图叫扇形统计图； 扇形图能够显示部分在 总体 中的百分比； （4）频数分布直方图、频数折线图：能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别。 【例题【例题 3 3】一组数据共 100 个，分为 6 组，第 14 组的频数分别为 10，14，16，20，第 5 组 的频率为 0.20，则第 6 组的频数为（ ） A20 B22 C24 D30 【答案】A 【解析】直接利用频数与频率的关系得
9、出第 5 组的频数，进而得出答案 解：一组数据共 100 个，第 5 组的频率为 0.20，第 5 组的频数是：1000.2020， 一组数据共 100 个，分为 6 组，第 14 组的频数分别为 10，14，16，20， 第 6 组的频数为：100201014162020故选：A 【变式练习【变式练习 3 3】“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验， 其中“早”字出现的频率是（ ） A 1 12 B1 4 C2 3 D1 3 【答案】D 【解析】利用频率的计算方法计算即可解：“早”字出现的频率是： 4 12 = 1 3，故选：D 【例题【例题 4 4】某校九年级随
10、机抽查一部分学生进行了 1 分钟仰卧起坐次数的测试，并将其绘制成 如图所示的频数直方图那么仰卧起坐次数在 2530 次的人数占抽查总人数的百分比是 （ ） A40% B30% C20% D10% 【答案】A 【解析】用仰卧起坐次数在 2530 次的人数除以被调查的总人数即可 解：仰卧起坐次数在 2530 次的人数占抽查总人数的百分比是 12 3:10:12:5 100%40%， 故选：A 【变式练习【变式练习 4 4】某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图下列 说法错误的是（ ） A得分在 7080 分之间的人数最多 B及格（不低于 60 分）的人数为 26 C得分在
11、90100 分之间的人数占总人数的 5% D该班的总人数为 40 【答案】B 【解析】根据频数分布直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可 解：A得分在 7080 分之间的人数最多，有 14 人，此选项正确，不符合题意； B及格（不低于 60 分）的人数为 12+14+8+236（人），此选项错误，符合题意； C总人数为 4+12+14+8+240（人）， 得分在 90100 分之间的人数占总人数的百分比为 2 40 100%5%， 此选项正确， 不符合题意； D该班的总人数为 40，此选项正确，不符合题意； 故选：B 【例题【例题 5 5】某校八（1）班全体同学喜欢的球类运动如
12、图所示则从图中可以直接看出（ ） A喜欢各种球类的具体人数 B全班同学一学期来喜欢各种球类的变化情况 C全班的总人数 D全班同学现在喜欢各种球类人数的百分比 【答案】D 【解析】利用扇形统计图的特点，可以得到各类所占的比例，但总数不确定，不能确定每类的 具体人数 解： 因为扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小， 不能反映具体数量的多少和变化情况， 所以 A、B、C 都错误，故选：D 【变式练习【变式练习 5 5】在计算机上，为了让使用者清楚、直观地看出硬盘的“已用空间”占“整个磁 盘空间“的百分比，使用的统计图是（ ） A条形统计图 B折线统计图 C扇形统计图 D三种统计图都可以 【答案】
13、C 【解析】 要表示各部分占总体的百分比， 根据扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比， 即可进行选择 解：要反映出磁盘“已用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，需选用扇形统计图 故选：C 【例题【例题 6 6】小明家 1 至 6 月份的用水量统计如图所示，根据图中的数据可知，5 月份的用水量 比 3 月份的用水量多 吨 【答案】3 【解析】根据折线统计图给出的数据进行相减即可 解：由折线统计图知，5 月份用的水量是 6 吨，3 月份用的水量是 3 吨， 则 5 月份的用水量比 3 月份的用水量多 3 吨；故答案为：3 【变式练习【变式练习 6 6】如图是某校七年级学生到校方式的统计图，由图
14、可得出乘公共交通的人数占七 年级学生总人数的（ ） A30% B40% C50% D60% 【答案】B 【解析】由统计图可以得到七年级学生总数为 80+100+120300 人，采取乘公共交通的有 120 人，可计算出乘公共交通的所占的百分比 解：120（80+100+120）100%40%，故选：B 三、平均数、众数、中位数：三、平均数、众数、中位数： 1.1.平均数的概念：平均数的概念： （1）平均数：一般地，如果有 n 个数 x1，x2，xn，那么， 12 1 () n xxxx n 叫做这 n 个 数的平均数，x 读作“x 拔”； （2）加权平均数：如果 n 个数中，x1出现 f1次，
15、x2出现 f2次，xk出现 fk次 (这里 f1+ f2+fk=n)，那么，根据平均数的定义， 这 n 个数的平均数可以表示为 1 122kk x fx fx f x n ， 这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中 f1，f2，fk叫做权。 2.2.平均数的计算方法：平均数的计算方法： （1）定义法：当所给数据 x1，x2，xn比较分散时；一般选用定义公式： 12 1 () n xxxx n ； （2）加权平均数法：当所给数据重复出现时；一般选用加权平均数公式： 1 122kk x fx fx f x n ，其中 f1+ f2+fk=n； （3）新数据法：当所给数据都在某一常数 a 的上下波动
16、时，一般选用简化公式： xxa； 其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数； x1=x1-a，x2=x2-a ，； xn=xn-a 12 1 () n xxxx n 是新数据的平均数； (通常把 x1，x2，xn叫做原数据，x1，x2，xn叫做新数据)。 3.3.众数：众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； 4.4.中位数：中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的 平均数)叫做这组数据的中位数； 5.5.中位数、众数、平均数都是描述一组数据的中位数、众数、平均数都是描述一组数据的 集中程度集中程度 的特征数的特征数。 【
17、例题【例题 7 7】（2020铜仁市）一组数据 4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ） A9 B10 C11 D12 【答案】B 【解析】对于 n 个数 x1，x2，xn，则x = 1 n（x1+x2+xn）就叫做这 n 个数的算术平均数， 据此列式计算可得 解：这组数据的平均数为1 4 （4+10+12+14）10，故选：B 【变式练习【变式练习 7 7】（2020杭州）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等 的五个分数若去掉一个最高分，平均分为 x；去掉一个最低分，平均分为 y；同时去掉一个 最高分和一个最低分，平均分为 z，则（ ） Ayzx Bxzy Cyxz
18、 Dzyx 【答案】A 【解析】根据题意，可以判断 x、y、z 的大小关系，从而可以解答本题 解：由题意可得， 若去掉一个最高分，平均分为 x，则此时的 x 一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的 平均分为 z， 去掉一个最低分，平均分为 y，则此时的 y 一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平 均分为 z，故 yzx，故选：A 【例题【例题 8 8】（2020眉山）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动 参与”四个方面考核打分，各项满分均为 100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 40% 25% 25% 10% 八年级 2 班这四项
19、得分依次为 80，90，84，70，则该班四项综合得分（满分 100）为（ ） A81.5 B82.5 C84 D86 【答案】B 【解析】 根据题意和加权平均数的计算方法， 可以计算出八年级 2 班四项综合得分 （满分 100） ， 本题得以解决 解：8040%+9025%+8425%+7010%82.5（分）， 即八年级 2 班四项综合得分（满分 100）为 82.5 分，故选：B 【变式练习【变式练习 8 8】（2020德阳）某商场销售 A，B，C，D 四种商品，它们的单价依次是 50 元， 30 元，20 元，10 元某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的 平均
20、单价是（ ） A19.5 元 B21.5 元 C22.5 元 D27.5 元 【答案】C 【解析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价 解：这天销售的四种商品的平均单价是： 5010%+3015%+2055%+1020%22.5（元），故选：C 【例题【例题 9 9】（2020益阳）一组数据由 4 个数组成，其中 3 个数分别为 2，3，4，且这组数据的 平均数为 4，则这组数据的中位数为（ ） A7 B4 C3.5 D3 【答案】C 【解析】先根据算术平均数的概念求出另外一个数据，从而得出这组数据，再利用中位数的概 念求解可得 解：根据题意知，另外一个数为 44（2+3+4
21、）7， 所以这组数据为 2，3，4，7，则这组数据的中位数为3:4 2 =3.5，故选：C 【变式练习【变式练习 9 9】（2020荆门）为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组 10 名学生的单元测 试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116这组数据的平均数和中位数 分别为（ ） A95，99 B94，99 C94，90 D95，108 【答案】B 【解析】根据平均数和中位数的定义即可得到结论 解：这组数据的平均数= 1 10（78+86+60+108+112+116+90+120+54+116）94， 把这组数据按照从小到大的顺序排列为：54，60，78
22、，86，90，108，112，116，116，120， 这组数据的中位数= 90:108 2 =99，故选：B 【例题【例题 1010】（2020葫芦岛）一组数据 1，4，3，1，7，5 的众数是（ ） A1 B2 C2.5 D3.5 【答案】A 【解析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据；据此即可求得正确答案 解：本题中数据 1 出现了 2 次，出现的次数最多，所以本组数据的众数是 1故选：A 【变式练习【变式练习 1010】（2020包头）两组数据：3，a，b，5 与 a，4，2b 的平均数都是 3若将这 两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（ ） A2 B3 C4 D5 【答
23、案】B 【解析】根据平均数的意义，求出 a、b 的值，进而确定两组数据，再合并成一组，找出出现 次数最多的数据即可 解：由题意得，3 + a + b + 5 = 3 4 a + 4 + 2b = 3 3 ，解得a = 3 b = 1， 这两组数据为：3、3、1、5 和 3、4、2，这两组数合并成一组新数据， 在这组新数据中，出现次数最多的是 3，因此众数是 3，故选：B 四、极差、方差、标准差：四、极差、方差、标准差： 1.1.极差：极差：一组数据中 最大值与最小值 的差。 2.2.方差的概念：方差的概念：在一组数据 x1，x2，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数， 叫做这组数据
24、的方差通常用“s2”表示； 即 2222 12 1( )()() n sxxxxxx n ； 3.3.方差的计算：方差的计算： （1）基本公式： 2222 12 1( )()() n sxxxxxx n ； （2）简化计算公式()： 2 2222 12 1( ) n sxxxnx n ； 也可写成： 2 2222 12 1( ) n sxxxx n ； 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方； （3）简化计算公式()： 2 2222 12 1( ) n sxxxnx n ； 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个 与它们的平均数接
25、近的常数 a， 得到一组新数据 x1=x1-a，x2=x2-a ，xn=xn-a ； 那么， 2 2222 12 1( ) n sxxxx n ； 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方； （4）新数据法：原数据 x1，x2，xn的方差与新数据 x1=x1-a，x2=x2-a ，xn=xn-a 的方差相等； 也就是说，根据方差的基本公式， 求得 x1，x2，xn的方差就等于原数据的方差； 4.4.标准差：标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 2222 12 1( )()() n ssxxxxxx n ； 5.5.方差是衡量一组数据方差是衡
26、量一组数据 波动大小波动大小 的量，的量， 方差越大， 数据的方差越大， 数据的 波动波动 越大， 方差越小， 数据的越大， 方差越小， 数据的 波波 动动 越小。越小。 【例题【例题 1111】（2020巴中）某地区一周内每天的平均气温如下：25，27.3，21，21.4， 28，33.6，30这组数据的极差为（ ） A8.6 B9 C12.2 D12.6 【答案】D 【解析】根据极差的公式：极差最大值最小值找出所求数据中最大的值 33.6，最小值 21.4，再代入公式求值 解：由题意可知，数据中最大的值 33.6，最小值 21， 所以极差为 33.62112.6故选：D 【变式练习【变式练
27、习 1111】（2019湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人 期待将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁 3 号线南延至湘潭北站， 往返长潭两地又将多“地铁”这一选择为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市 民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确 的是（ ） A平均数是 8 B众数是 11 C中位数是 2 D极差是 10 【答案】A 【解析】从条形统计图中可以知道，选择公交 7 人，火车 2 人，地铁 13 人，轻轨 11 人，其它 7 人， 极差为 13211，故 D 不正确；出现次数最多的是 7，即众
28、数是 7，故 B 不正确，从小到大 排列，第 3 个数都是 7，即中位数是 7，故 C 是不正确的； （7+2+13+11+7）58，即平均数是 8，故 A 是正确的 解：（7+2+13+11+7）58，即平均数是 8，故 A 是正确的 出现次数最多的是 7，即众数是 7，故 B 不正确， 从小到大排列，第 3 个数都是 7，即中位数是 7，故 C 是不正确的； 极差为 13211，故 D 不正确；故选：A 【例题【例题 1212】数据 201，202，198，199，200 的方差与极差分别是（ ） A1，4 B2，2 C2，4 D4，2 【答案】C 【解析】用最大值减去最小值可得极差，先求
29、出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式列 式计算即可 解：极差为 2021984；平均数为201:202:198:199:200 5 =200， 方差为1 5 （201200） 2+（202200）2+（198200）2+（199200）2+（200200）22， 故选：C 【变式练习【变式练习 1212】若一组数据 x1+1，x2+1，xn+1 的平均数为 10，方差为 1，则另一组数据 3x1+2，3x2+2，3xn+2 的方差是 【答案】9 【解析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案 解：数据 x1+1，x2+1，xn+1 的平均数为 10， 数据 3x1+2，3x2+2，3xn
30、+2 的平均数为 310129， 数据 x1+1，x2+1，xn+1 的方差为 1， 数据 3x1+2，3x2+2，3xn+2 的方差是 13 29； 故答案为：9 【例题【例题 1313】已知一组数据的方差是 3，则这组数据的标准差是（ ） A9 B3 C3 2 D3 【答案】D 【解析】根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案 解：数据的方差是 S 23，这组数据的标准差是3；故选：D 【变式练习【变式练习 1313】已知数据 x1，x2，xn的平均数是 2，方差是 0.1，则 4x12，4x22， 4xn2 的平均数和标准差分别为（ ） A2，1.6 B2，210 5 C6，0.4 D6，210 5 【答案】D 【解析】根据方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，数据都加 上一个数（或减去一个数）时，方差不变；数据都乘以同一个数时，方差乘以这个数的平方， 即可得出答案 解：数据 x1，x2，xn的平均数是 2， 4x12，4x22，4xn2 的平均数是 2426； 数据 x1，x2，xn的方差是 0.1， 4x12，4x22，4xn2 的方差是 4 20.11.6， 4x12，4x22，4xn2 的标准差是1.6 = 210 5 ； 故选：D
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