1、概率概率 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、确定事件与随机事件：一、确定事件与随机事件： 1.1.确定事件：确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括： （1）必然发生的事件必然发生的事件： 在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件； （2）不可能发生的事件不可能发生的事件： 有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件； 2.2.随机事件：随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。 3.3.随机事件发生的可能性：随机事件发生的可能性： （1）一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的
2、可能性的大小有可 能不同； （2）对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它 们发生机会的大小； （3）要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样； （4）所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据 来说明问题。 【例题【例题 1 1】（2020广西）下列事件为不可能事件的是（ ） A打开电视，正在播放广告 B明天太阳从东方升起 C投掷飞镖一次，命中靶心 D任意画一个三角形，其内角和是 360 【答案】D 【解析】根据事件发生的可能性大小判断 解：A、打开电视，正在播放广告，是随机事件；B、明天太阳
3、从东方升起，是必然事件； C、投掷飞镖一次，命中靶心，是随机事件； D、任意画一个三角形，其内角和是 360，是不可能事件； 故选：D 【变式练习【变式练习 1 1】（2020沈阳）下列事件中，是必然事件的是（ ） A从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B任意买一张电影票，座位号是 3 的倍数 C掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯 【答案】A 【解析】根据事件发生的可能性大小判断 解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件； B、任意买一张电影票，座位号是 3 的倍数，是随机事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件； D
4、、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件； 故选：A 二、概率：二、概率： 1.1.概率的概念：概率的概念：一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随 机事件 A 发生的概率，记为 P(A)。 2.2.频率与概率的关系：频率与概率的关系： 当我们大量重复进行试验时， 某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值， 把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值 3.3.确定事件和随机事件的概率之间的关系：确定事件和随机事件的概率之间的关系： （1）确定事件概率： 当 A 是必然发生的事件时，P(A)=1 当 A 是不可能发生的事件时，P(A)=0 （2）确定事
5、件和随机事件的概率之间的关系： 4.4.古典概型的定义：古典概型的定义： 某个试验若具有： 在一次试验中，可能出现的结构有有限多个； 在一次试验中，各种结果发生的可能性相等； 我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 5.5.概率的计算：概率的计算： （1） 公式法： 一般地， 如果在一次试验中， 有 n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等， 事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P(A) n m ； （2） 列表法： 当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时， 为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法； （3）画树状图：当一
6、次试验要涉及 3 个或更多的因素(例如从 3 个口袋中取球)时，列表就不 方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图； （4）几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为： P(A) A事件 发生的面积 总面积 ， 解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算； （5）利用频率估计随机事件发生的概率： 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般 根据在同样条件下，大量重复试验时，用一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数 来估计这个事件发生的概率； 在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率
7、估计，这 样的试验称为模拟实验；模拟实验； 在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作把这些随机 产生的数据称为随机数；随机数； 6.6.游戏的公平性：游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参 加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平。 例题练习：可能性的大小例题练习：可能性的大小 【例题【例题 2 2】 （2019徐州） 抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次， 正面朝上的次数最有可能为 （ ） A500 B800 C1000 D1200 【答案】C 【解析】由抛掷一枚硬币正面向上的可能性为 0.5 求解可得 解：抛
8、掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，正面朝上的次数最有可能为 1000 次， 故选：C 【变式练习【变式练习 2 2】（2019资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有 任何其他区别其中红球若干，白球 5 个，袋中的球已搅匀若从袋中随机取出 1 个球，取出 红球的可能性大，则红球的个数是（ ） A4 个 B5 个 C不足 4 个 D6 个或 6 个以上 【答案】D 【解析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案 解：袋子中白球有 5 个，且从袋中随机取出 1 个球，取出红球的可能性大， 红球的个数比白球个数多，红球个数满足 6 个或 6 个以上， 故选：
9、D 例题练习：概率的意义例题练习：概率的意义 【例题【例题 3 3】（2020常德）下列说法正确的是（ ） A明天的降水概率为 80%，则明天 80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式 D一组数据的众数一定只有一个 【答案】C 【解析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案 解：A、明天的降水概率为 80%，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是1 2，故本选项错误； C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
10、 D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误； 故选：C 【变式练习【变式练习 3 3】（2019兴安盟）下列命题正确的是（ ） A概率是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 B要了解某公司生产的 100 万只灯泡的使用寿命，可以采用全面调查的方式 C甲乙两人各自跳远 10 次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为 0.51 和 0.62，则乙的成绩更稳定 D随意翻到一本书的某页，页码是奇数是随机事件 【答案】D 【解析】根据随机事件、方差、普查和抽样调查等知识逐个判断即可 解：概率为 1%的事件在一次试验中也可能发生，只是可能性很小，因此选项 A 不符合题意； 把 100
11、 万只灯泡采取全面调查，一是没有必要，二是破坏性较强，不容易完成，因此选项 B 不符合题意； 方差小的稳定，因此选项 C 不符合题意； 随意翻到一本数的某页，页码可能是奇数、也可能是偶数，因此选项 D 符合题意； 故选：D 例题练习：概率公式例题练习：概率公式 【例题【例题 4 4】（2020阜新）掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 3 次正面朝上，2 次正面朝下，则 再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（ ） A1 B2 5 C3 5 D1 2 【答案】D 【解析】直接利用概率的意义分析得出答案 解：掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同， 再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是1 2
12、 故选：D 【变式练习【变式练习 4 4】（2020大连）在一个不透明的袋子中有 3 个白球、4 个红球，这些球除颜色不 同外其他完全相同从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ） A1 4 B1 3 C3 7 D4 7 【答案】D 【解析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比 值就是其发生的概率，即可求出答案 解：根据题意可得：袋子中有 3 个白球，4 个红球，共 7 个， 从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率4 7 故选：D 例题练习：几何概率例题练习：几何概率 【例题【例题 5 5】（2020山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺
13、次连接菱 形各边中点得到一个小矩形将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概 率是（ ） A1 3 B1 4 C1 6 D1 8 【答案】B 【解析】由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的1 4，据此可得答案 解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的1 4，飞镖落在阴影区域的概率是 1 4， 故选：B 【变式练习【变式练习 5 5】（2020辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取 点，那么这个点取在阴影部分的概率是 【答案】5 9 【解析】先设阴影部分的面积是 5x，得出整个图形的面积是 9x，再根据几何概率的求法即可 得出答案 解：设阴影部分的面积是 5x，
14、则整个图形的面积是 9x， 则这个点取在阴影部分的概率是5x 9x = 5 9 故答案为：5 9 例题练习：列表法与树状图法例题练习：列表法与树状图法 【例题【例题 6 6】（2020广西）九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出 2 人参加学校 举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是（ ） A1 4 B1 5 C1 6 D 1 12 【答案】C 【解析】画出树状图，有 12 个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有 2 个，再由概率 公式求解即可 解：把小华、小琪、小明、小伟分别记为 A、B、C、D，画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰
15、好抽到小华和小明的结果有 2 个， 恰好抽到小华和小明的概率为 2 12 = 1 6， 故选：C 【变式练习【变式练习 6 6】（2020绵阳）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一 个篮子为空的概率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 6 【答案】A 【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然 后根据概率公式即可得出答案 解：三个不同的篮子分别用 A、B、C 表示，根据题意画图如下： 共有 9 种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有 6 种， 则恰有一个篮子为空的概率为6 9 = 2 3 故选：A 例题练习：游戏的公平性例题
16、练习：游戏的公平性 【例题【例题 7 7】（2020昆明）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标 有数字 2， 4， 6； 另有一个不透明的瓶子， 装有分别标有数字 1， 3， 5 的三个完全相同的小球 小 杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶 子中随机取出一个小球，记下小球上的数字 （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是 3 的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是 7 的倍数，则小玉 赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)共有 9 种不同结果，即（2，1）（2.3
17、）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6， 1）（6，3）（6，5）； (2)游戏是公平的. 【解析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况， （2）列出两次得数之和的所有可能的结果，得出“和为 3 的倍数”“和为 7 的倍数”的概率 即可 解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 9 种不同结果，即（2，1）（2.3）（2，5）（4，1）（4，3）（4，5）（6，1）（6，3） （6，5）； （2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下： 共有 9 种可能出现的结果，其中“和为 3 的倍数”的有 3 种，“和为 7 的倍数”的有 3 种， P（小杰胜）= 3 9 =
18、1 3，P（小玉胜）= 3 9 = 1 3， 因此游戏是公平的 【变式练习【变式练习 7 7】（2019丹东）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘 A，B 分成 3 等份和 4 等份，并在每一份内标上数字游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指 针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜如果指针恰好在分 割线上时，则需重新转动转盘 （1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率 （2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘 A 上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由） 【答案】见解析. 【解析】（1）列表得出所有等可能结
19、果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算 可得； （2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平 解：（1）列表如下： 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 4 6 4 6 3 6 9 6 9 由表可知，共有 12 种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有 4 种结果， 所以甲获胜概率为 4 12 = 1 3； （2）指针所在区域的数字之积为偶数的概率为 8 12 = 2 3， 这个游戏规则对甲、乙双方不公平，将转盘 A 上的数字 2 改为 1，则游戏公平 例题练习：利用频率估计概率例题练习：利用频率估计概率 【例题【例题 8 8】（2020徐州）
20、在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 20 个，这些球除颜色外都 相同小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25 左右，则袋子中红球的个数最有 可能是（ ） A5 B10 C12 D15 【答案】A 【解析】设袋子中红球有 x 个，根据摸出红球的频率稳定在 0.25 左右列出关于 x 的方程，求 出 x 的值，从而得出答案 解：设袋子中红球有 x 个， 根据题意，得： x 20 =0.25， 解得 x5， 袋子中红球的个数最有可能是 5 个， 故选：A 【变式练习【变式练习 8 8】（2020盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 1000 名九年级男生的身高数据，统计结果如下： 身高 x/cm x160 160 x170 170 x180 x180 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 170cm 的概率 是（ ） A0.32 B0.55 C0.68 D0.87 【答案】C 【解析】先计算出样本中身高不低于 170cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解 解：样本中身高不低于 170cm 的频率= 550:130 1000 =0.68， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于 170cm 的概率是 0.68 故选：C
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