1、2020-2021 学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分）分） 1已知，那么 2如图，DEBC，AEDE1，BC3，则线段 CE 的长为 3如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ACD30，AD1，则 AB 4若圆锥的母线长为 8cm，其底面半径为 2cm，则圆锥的侧面积为 cm2（结果保留 ） 5已知 x1 是方程 x2+2mx30 的一个根，则 m 6一组数据 1、2、3、4、5 的方差是 7关于 x 的一元二次方程 x
2、22x+a0 有两不等实根，则 a 的取值范围是 8抛物线 yx22x+1 的顶点坐标是 9 把函数 yx2的图象先向左平移两个单位， 再向上平移一个单位， 则平移后的图象的函数表达式是 10已知二次函数 ya（x2） 2+c（a0） ，当自变量 x 分别取1、4、6 时，对应的函数值分别为 y1，y2， y3，则 y1，y2，y3的大小关系是 （用“”号连接） 11如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，以点 A 为圆心、AC 长为半径画弧，交 AB 于 点 D，再分别以 B、D 为圆心，大于BD 的长为半径画弧，两弧交于 M，N，作直线 MN，分别交 AB、 BC 于点 E、
3、F，则线段 EF 的长为 12若实数 m、n 满足 m+n2，则代数式 2m2+mn+mn 的最小值是 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 18 分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题 目要求目要求.） 13 （3 分）关于 x 的方程（m+1）x2+2mx30 是一元二次方程，则（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 14 （3 分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷 6 次没有 1 次点数 1 朝上，那么第 7 次抛掷，点数 1 朝上的概 率是（ ） A B C1 D0 15 （3 分
4、）如图，AB 为O 的弦，点 C 为 AB 的中点，AB8，OC3，则O 的半径长为（ ） A4 B5 C6 D7 16 （3 分）如图，已知ABCD，以 B 为位似中心，作ABCD 的位似图形EBFG，位似图形与原图形的位 似比为，连结 CG，DG若ABCD 的面积为 30，则CDG 的面积为（ ） A3 B4 C5 D6 17 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表： x 1 0 1 3 y 1 3 5 3 则代数式（4a+2b+c）的值为（ ） A B C9 D15 18 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC2
5、，以点 A 为旋转中心将矩形 ABCD 旋转，旋转后的矩形 记为 AEFG，如图所示CD 所在直线与 AE、GF 交于点 H、I，CHIH则线段 HI 的长度为（ ） A3 B2 C5 D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共计小题，共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （10 分）用适当的方法解方程： （1） （x1）29； （2）x2+4x50 20 （6 分）如图，转盘被等分成 6 个扇形，每个扇形上依次标有数字 1，2，3，4，5，6在游戏中特别规 定：当指针指向边界时，重新转
6、动转盘 （1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于 3 的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于 8”的概率 21 （6 分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续 7 个月估计了每个月的煤气使用数据，并记录如 表： 日期 6 月 1 日 7 月 1 日 8 月 1 日 9 月 1 日 10 月 1 日 11 月 1 日 12 月 1 日 使用量（方） 9.51 10.12 9.47 9.63 10.12 10.12 11.03 （1）求这 7 个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数； （2）若煤气每方 3 元，估计小强家一年的煤气
7、费为多少元 22 （6 分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长） ，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 36m，设垂直于墙的一边长为 xm （1）若所围的面积为 160m2，求 x 的值？ （2）求当 x 的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？ 23 （6 分）已知直线 yx+3 分别交 x 轴和 y 轴于点 A 和 B，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A 和 B，且抛物线 的对称轴为直线 x2 （1）抛物线与 x 轴的另一个交点 C 的坐标为 ； （2）试确定抛物线的解析式； （3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）
8、 ，观察图 象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量 x 的取值范围 24 （6 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，连接 AC，若 CACP，A30 （1）求证：CP 是O 的切线； （2）若 OA1，求弦 AC 的长 25 （8 分）如图，ABC 中，BD 平分ABC，E 为 BC 上一点，BDEBAD90 （1）求证：BD2BABE； （2）求证：CDECBD； （3）若 AB6，BE8，求 CD 的长 26 （8 分） 【发现】 如图（1） ，AB 为O 的一条弦，点 C 在弦 AB 所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道
9、ACB 的度数 （填“变”或“不变” ） ；若AOB150，则ACB 爱动脑筋的小明猜想，如果平面内 线段 AB 的长度已知，ACB 的大小确定，那么点 C 是不是在某一个确定的圆上运动呢？ 【研究】 为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究如图（2） ，若 AB2，直线 AB 上方一点 C 满足ACB45，为了画出点 C 所在的圆，小明以 AB 为底边构造了一个等腰 RtAOB，再以 O 为圆 心，OA 为半径画圆，则点 C 在O 上请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写 作法，保留作图痕迹，并用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗） 后来，小明通过逆向思维及合情推理，得
10、出 一个一般性的结论， 即： 若线段 AB 的长度已知， ACB 的大小确定， 则点 C 一定在某一个确定的圆上， 即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型 【应用】 （1）如图（3） ，AB2，平面内一点 C 满足ACB60，则ABC 面积的最大值为 （2）如图（4） ，已知正方形 ABCD，以 AB 为腰向正方形内部作等腰BAE，其中 BEBA，过点 E 作 EFAB 于点 F，点 P 是BEF 的内心 BPE ，BPA ； 连接 CP，若正方形 ABCD 的边长为 2，则 CP 的最小值为 27 （11 分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那
11、么称这两个三角形互为顺 相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似例如，如图（1） ， CDECAB，且沿周界 CDEC 与 CABC 环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此CDE 和CAB 互为顺相似；如图（2） ，CDECBA，且沿周界 CDEC 与 CBAC 环绕的方向相反，因此CDE 和 CBA 互为逆相似 （1）根据以上材料填空： 如图（3） ，ABCD，则AOBCOD，它们互为 相似（填“顺”或“逆” ，下同） ； 如图（4） ，RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，则ABC ，它们互为 相 似； 如图（5） ，若DABEBC90，并且 BD
12、CE 于点 F，则ABD ，它们互为 相 似； （2）如图（6） ，若AOBCOD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺 相似还是互为逆相似； （3）如图（7） ，在 RtABC 中，C90，AC20，BC15，点 P 在ABC 的斜边上，且 AP16， 过点 P 画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC 相似，则满足的截线共有 条 28 （11 分）已知抛物线 C1：yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 左边） ，与 y 轴交于点 C，抛 物线 C2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（4，0） ，与 y 轴交于点 D（0，2） （1）求抛
13、物线 C2的解析式； （2）点 P（m，0）为线段 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 C1于点 M， 交抛物线 C2于点 N 请用含 m 的代数式分别表示点 M、N 的坐标； 设四边形 OMEN 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 的最大值以及此时 m 的值； 在点 P 移动的过程中，若 CMDN0，则 m 的值为 （3）如图（2） ，点 Q（0，n）为 y 轴上一动点（0n4） ，过点 Q 作 x 轴的平行线依次交两条抛物线于 点 R、S、T、U，则 TURS 2020-2021 学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试
14、卷学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分）分） 1已知，那么 1 【分析】直接利用已知进而变形，代入原式求出答案 【解答】解：， 3a2b， 1 故答案为：1 2如图，DEBC，AEDE1，BC3，则线段 CE 的长为 2 【分析】由平行线的性质可得ADEB，由 AEDE1，可得ADEDAE，易得DAEB， 可得 ACBC，易得结果 【解答】解：DEBC， ADEB， AEDE1， ADEDAE， DAEB，BC3， ACBC3， CEAC
15、AE312， 故答案为：2 3如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ACD30，AD1，则 AB 2 【分析】根据圆周角定理得到ADB90，BACD30，然后利用含 30 度的直角三角形三边 的关系求解 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， BACD30， AB2AD212 故答案为 2 4若圆锥的母线长为 8cm，其底面半径为 2cm，则圆锥的侧面积为 16 cm2（结果保留 ） 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解 【解答】解：圆锥的侧面积282216（cm2） 故答案为：16 5已知 x1 是方程 x2+2mx30 的一个根，则 m 1 【分析】根
16、据一元二次方程的解，把 x1 代入方程 x2+2mx30 得到关于 m 的一次方程，然后解此一 次方程即可 【解答】解：把 x1 代入 x2+2mx30 得 1+2m30，解得 m1 故答案为：1 6一组数据 1、2、3、4、5 的方差是 2 【分析】根据方差公式计算即可S2（x1 ）2+（x2 ）2+（xn ）2 【解答】解： （1+2+3+4+5）53， S2（13）2+（23）2+（33）2+（43）2+（53）22 故填 2 7关于 x 的一元二次方程 x22x+a0 有两不等实根，则 a 的取值范围是 a1 【分析】根据根的判别式得到44a0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得
17、44a0， 解得 a1 故答案为 a1 8抛物线 yx22x+1 的顶点坐标是 （1，0） 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可 【解答】解：yx22x+1（x1）2， 抛物线顶点坐标为（1，0） 故答案为： （1，0） 9把函数 yx2的图象先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，则平移后的图象的函数表达式是 y （x+2）2+1 【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可 【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，yx2的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单 位得 y（x+2）2+1 故答案为 y（x+2）2+1 10已知二次函数 ya（x2）
18、 2+c（a0） ，当自变量 x 分别取1、4、6 时，对应的函数值分别为 y1，y2， y3，则 y1，y2，y3的大小关系是 y2y1y3 （用“”号连接） 【分析】 利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出 y1， y2， y3的值， 结合 a0， 即可得出 4a+c9a+c 16a+c，即 y2y1y3 【解答】解：当 x1 时，y1a（12）2+c9a+c； 当 x4 时，y2a（42）2+c4a+c； 当 x6 时，y3a（62）2+c16a+c a0， 4a+c9a+c16a+c， y2y1y3 故答案为：y2y1y3 11如图，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，以
19、点 A 为圆心、AC 长为半径画弧，交 AB 于 点 D，再分别以 B、D 为圆心，大于BD 的长为半径画弧，两弧交于 M，N，作直线 MN，分别交 AB、 BC 于点 E、F，则线段 EF 的长为 【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质，即可得到 BE 的长，再根据ABCFBE，即可 得到 EF 的长 【解答】解：RtABC 中，ACB90，AC6，BC8， 由勾股定理得，AB， 由题可得，ADAC6， BD1064， 由题可得，MN 垂直平分 BD， BE2，BEFACB90， 又BB， ABCFBE， ， 即， 解得 EF， 故答案为： 12若实数 m、n 满足 m+n2，则代数
20、式 2m2+mn+mn 的最小值是 6 【分析】设 y2m2+mn+mn，由 m+n2 得 n2m，再由二次函数的性质即可解决问题 【解答】解：设 y2m2+mn+mn， m+n2， n2m， y2m2+m（2m）+m（2m）m2+4m2（m+2）26， 此为一个二次函数，开口向上，有最小值， 当 m2 时，y 有最小值为6， 故答案为：6 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共计分，共计 18 分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题 目要求目要求.） 13 （3 分）关于 x 的方程（m+1）x
21、2+2mx30 是一元二次方程，则（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】根据一元二次方程定义可得 m+10，再解可得答案 【解答】解：由题意得：m+10， 解得：m1， 故选：D 14 （3 分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷 6 次没有 1 次点数 1 朝上，那么第 7 次抛掷，点数 1 朝上的概 率是（ ） A B C1 D0 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有 6 种等可能结果，其中点数 1 朝上的只有 1 种结果，再利用概率公式求解即可得出答案 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有 6 种等可能结果，其中点数 1 朝上的只有 1 种结果， 第
22、7 次抛掷，点数 1 朝上的概率是， 故选：A 15 （3 分）如图，AB 为O 的弦，点 C 为 AB 的中点，AB8，OC3，则O 的半径长为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】已知 AB 和 OC 的长，根据垂径定理可得，ACCB4，在 RtAOC 中，根据勾股定理可以求 出 OA 【解答】解：OCAB 于 C， ACCB， AB8， ACCB4， 在 RtAOC 中，OC3， 根据勾股定理， OA5 故选：B 16 （3 分）如图，已知ABCD，以 B 为位似中心，作ABCD 的位似图形EBFG，位似图形与原图形的位 似比为，连结 CG，DG若ABCD 的面积为 30，则CDG 的
23、面积为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】连接 BG，根据位似变换的概念得到点 D、G、B 在同一条直线上，FGCD，根据相似三角形 的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案 【解答】解：连接 BG， ABCD 和EBFG 是以 B 为位似中心的位似图形， 点 D、G、B 在同一条直线上，FGCD， 四边形 ABCD 是平行四边形，面积为 30， CDB 的面积为 15， FGCD， BFGBCD， ， ， CDG 的面积155， 故选：C 17 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如表： x 1 0 1 3 y 1 3
24、 5 3 则代数式（4a+2b+c）的值为（ ） A B C9 D15 【分析】 由当 x0 和 x3 时 y 值相等， 可得出二次函数图象的对称轴为直线 x， 进而可得出的 值，由 x1 时 y5，可得出当 x2 时 y5，即 4a+2b+c5，再将及 4a+2b+c5 代入 （4a+2b+c）中即可求出结论 【解答】解：当 x0 和 x3 时，y 值相等， 二次函数图象的对称轴为直线 x， 当 x1 时，y5， 当 x212 时，y5， 4a+2b+c5 （4a+2b+c）5 故选：B 18 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC2，以点 A 为旋转中心将矩形 ABCD 旋转，旋
25、转后的矩形 记为 AEFG，如图所示CD 所在直线与 AE、GF 交于点 H、I，CHIH则线段 HI 的长度为（ ） A3 B2 C5 D 【分析】由“HL”可证 RtAGIRtADI，可得GAIDAI，由余角的性质可得IAHAID，可 证 IHAH，通过证明ADICDA，可得，可求 DI1，即可求解 【解答】解：如图，连接 AI，AC， 以点 A 为旋转中心将矩形 ABCD 旋转，旋转后的矩形记为 AEFG， AGAD，GAEDAB90， 在 RtAGI 和 RtADI 中， ， RtAGIRtADI（HL） ， GAIDAI， 90GAI90DAI， IAHAID， IHAH， 又IHH
26、C， IHHCAH， IAC90， DAI+DAC90， 又DAC+DCA90， DAIDCA， 又ADIADC90， ADICDA， ， ， DI1， CIID+CD5， IHIC， 故选：D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共计小题，共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （10 分）用适当的方法解方程： （1） （x1）29； （2）x2+4x50 【分析】 （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）x13， 所以 x14，x22； （2）
27、（x+5） （x1）0， x+50 或 x10， 所以 x15，x21 20 （6 分）如图，转盘被等分成 6 个扇形，每个扇形上依次标有数字 1，2，3，4，5，6在游戏中特别规 定：当指针指向边界时，重新转动转盘 （1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于 3 的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于 8”的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 36 个等可能的结果，两次转动转盘，指针指向的数的和大于 8”的结果有 10 个， 再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）自由转动转盘，当它停止转动时，指
28、针指向的数大于 3 的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 36 个等可能的结果，两次转动转盘，指针指向的数的和大于 8”的结果有 10 个， 两次转动转盘，指针指向的数的和大于 8”的概率为 21 （6 分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续 7 个月估计了每个月的煤气使用数据，并记录如 表： 日期 6 月 1 日 7 月 1 日 8 月 1 日 9 月 1 日 10 月 1 日 11 月 1 日 12 月 1 日 使用量（方） 9.51 10.12 9.47 9.63 10.12 10.12 11.03 （1）求这 7 个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数； （2）
29、若煤气每方 3 元，估计小强家一年的煤气费为多少元 【分析】 （1）将数据重新排列，再根据众数、中位数和平均数的定义求解即可； （2）用每方的费用乘以 12 个月，再乘以平均每月的使用量，据此可得答案 【解答】解： （1）将这 7 个数据重新排列为：9.47，9.51，9.63，10.12，10.12，10.12，11.03， 则 这7个 月 每 月 煤 气 使 用 量 的 众 数 为10.12方 ， 中 位 数 为10.12方 ， 平 均 数 为 10（方） ； （2）估计小强家一年的煤气费为 31210360（元） 22 （6 分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长） ，另外三面
30、用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 36m，设垂直于墙的一边长为 xm （1）若所围的面积为 160m2，求 x 的值？ （2）求当 x 的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？ 【分析】 （1）若所围的面积为 160m2，则矩形的长宽160，据此列出方程并求解即可； （2）设长方形鸡场的面积为 S，由题意得 S 关于 x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）由题意得： x（362x）160， 解得：x18，x210， 0362x36， 0 x18， x 的值为 8 或 10 （2）设长方形鸡场的面积为 S，由题意得： Sx（362x） 2x2+36x 2（x9）2
31、+162， 20， 当 x9 时，S 取得最大值，最大值为 162 当 x 的值是 9 时，所围成的鸡场面积最大，最大值是 162m2， 23 （6 分）已知直线 yx+3 分别交 x 轴和 y 轴于点 A 和 B，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A 和 B，且抛物线 的对称轴为直线 x2 （1）抛物线与 x 轴的另一个交点 C 的坐标为 （1，0） ； （2）试确定抛物线的解析式； （3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗） ，观察图 象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量 x 的取值范围 3x0 【分析】 （1）先求出点 B，点 A 坐标
32、，由对称性可求点 C 坐标； （2）利用待定系数法可求解析式； （3）由图象可求解 【解答】解： （1）直线 yx+3 分别交 x 轴和 y 轴于点 A 和 B， 点 A（3，0） ，点 B（0，3） ， 抛物线的对称轴为直线 x2 点 C（1，0） ， 故答案为（1，0） ； （2）抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（3，0） ，B（0，3） ，点 C（1，0） ， ， ， 二次函数的解析式为：yx2+4x+3； （3）如图所示： 当3x0 时，二次函数值小于一次函数值， 故答案为：3x0 24 （6 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长
33、线交于点 P，连接 AC，若 CACP，A30 （1）求证：CP 是O 的切线； （2）若 OA1，求弦 AC 的长 【分析】 （1）连接 OC，由等腰三角形的性质得出AACO30，P30，求出ACP 的度数， 则可求出答案； （2）连接 BC，由勾股定理可求出答案 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图 1， OAOC，A30， AACO30， CACP， AP30， ACP180AP1803030120， OCPACPACO1203090， OCCP， CP 是O 的切线； （2）解：如图 2，连接 BC， OAOB1， AB2， AB 是O 的直径， ACB90， A30， BCAB1，
34、 AC 25 （8 分）如图，ABC 中，BD 平分ABC，E 为 BC 上一点，BDEBAD90 （1）求证：BD2BABE； （2）求证：CDECBD； （3）若 AB6，BE8，求 CD 的长 【分析】 （1）直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案； （2）直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出DBEEDC，即可得出答案； （3）利用锐角三角函数关系得出ABDDBE30，进而得出答案 【解答】 （1）证明：BD 平分ABC， BADDBE， 又ABDE， BADBDE， ， BD2BABE； （2）证明：BADBDE， ADBDEB， BDE90， DBE+BED90， A
35、DB+EDC90， DBEEDC， 又CC， CDECBD； （3）解：由（1）得：BD2BABE， AB6，BE8， BD26848， BD4， cosABD， ABD30， ABDDBC30， C30， CDBE， BDCD4 26 （8 分） 【发现】 如图（1） ，AB 为O 的一条弦，点 C 在弦 AB 所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道ACB 的度数 不变 （填“变”或“不变” ） ；若AOB150，则ACB 75 爱动脑筋的小明猜想，如果平 面内线段 AB 的长度已知，ACB 的大小确定，那么点 C 是不是在某一个确定的圆上运动呢？ 【研究】 为了解决这个问题，小明先从一个特
36、殊的例子开始研究如图（2） ，若 AB2，直线 AB 上方一点 C 满足ACB45，为了画出点 C 所在的圆，小明以 AB 为底边构造了一个等腰 RtAOB，再以 O 为圆 心，OA 为半径画圆，则点 C 在O 上请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写 作法，保留作图痕迹，并用 2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗） 后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出 一个一般性的结论， 即： 若线段 AB 的长度已知， ACB 的大小确定， 则点 C 一定在某一个确定的圆上， 即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型 【应用】 （1）如图（3） ，AB2，平面内一点 C 满
37、足ACB60，则ABC 面积的最大值为 3 （2）如图（4） ，已知正方形 ABCD，以 AB 为腰向正方形内部作等腰BAE，其中 BEBA，过点 E 作 EFAB 于点 F，点 P 是BEF 的内心 BPE 135 ，BPA 135 ； 连接 CP，若正方形 ABCD 的边长为 2，则 CP 的最小值为 【分析】 【发现】根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出ACB； 【研究】先作出 AB 的垂直平分线，再以垂足为圆心，AB 的一半为半径确定出圆心 O，即可得出结论； 【应用】 （1）先确定出ABC 的外接圆的半径，再判断出点 C 到 AB 的最大距离为 3，即可得出结论； （2）先确定
38、出BFE90，再判断出BEPBEF，EBPABE，最后用三角形的内角 和定理，即可得出结论； 先作出ABP 的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出 CP 最小时，点 P 的位置，最后构造直 角三角形，即可得出结论 【解答】解： 【发现】根据圆周角性质，ACB 的度数不变， AOB150， ACBAOB75， 故答案为：不变，75； 【研究】补全图形如图 1 所示， 【应用】 （1）如图 2， 记ABC 的外接圆的圆心为 O，连接 OA，OB， ACB60， AOB2ACB120， OAOB， OAB30， 过点 O 作 OHAB 于 H， AHAB， 在 RtAHO 中，设O 的半径为 2
39、r，则 OHr， 根据勾股定理得， （2r）2r23， r1（舍去负数） ， OA2，OH1， 点 C 到 AB 的最大距离 h 为 r+OH2+13， SABC最大ABh233， 故答案为：3； （2）EFAB， EFB90， BEF+EBF90， 点 P 是BEF 的内心， PE，PF 分别是BEF 和EBF 的角平分线， BEPBEF，EBPABPABE， BPE180（BEP+EBP）180（BEF+EBF）18090135； 在BPE 和BPA 中， ， BPEBPA（SAS） BPABPE135， 故答案为：135，135； 如图 3， 作ABP 的外接圆，圆心记作点 O，连接 O
40、A，OB，在优弧 AB 上取一点 Q，连接 AQ，BQ， 则四边形 APBQ 是O 的圆内接四边形， AQB180BPA45， AOB2AQB90， OAOBAB， 连接 OC，与O 相交于点 P此时，CP是 CP 的最小值， 过点 O 作 OMAB 于 M，ONCB，交 CB 的延长线于 N， 则四边形 OMBN 是正方形， ONBNBMAB1， CNBC+BN3， 在 RtONC 中，OC， CP的最小值CPOCOP， 故答案为： 27 （11 分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺 相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三
41、角形互为逆相似例如，如图（1） ， CDECAB，且沿周界 CDEC 与 CABC 环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此CDE 和CAB 互为顺相似；如图（2） ，CDECBA，且沿周界 CDEC 与 CBAC 环绕的方向相反，因此CDE 和 CBA 互为逆相似 （1）根据以上材料填空： 如图（3） ，ABCD，则AOBCOD，它们互为 逆 相似（填“顺”或“逆” ，下同） ； 如图（4） ，RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，则ABC ACD（或CBD） ，它 们互为 逆 相似； 如图（5） ，若DABEBC90，并且 BDCE 于点 F，则ABD BCE ，它们互为 顺 相似
42、； （2）如图（6） ，若AOBCOD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺 相似还是互为逆相似； （3）如图（7） ，在 RtABC 中，C90，AC20，BC15，点 P 在ABC 的斜边上，且 AP16， 过点 P 画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC 相似，则满足的截线共有 3 条 【分析】 （1）根据新定义直接判断，即可得出结论； 先判断出ADCBDC90ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义 判断，即可得出结论； 先判断出ABDC，进而得出ABDBCE，最后用新定义判断，即可得出结论； （2）先由AOBCOD，判断出，AOBCOD，进
43、而得出AOCBOD，即可得出 结论； （3）先求出 BP9，分三种情况，过点 P 作 AB，AC，BC 的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立 方程求解，即可得出结论 【解答】解： （1）ABCD， AOBCOD， AOB 和COD 互为逆相似， 故答案为：逆； CDAB， ADCBDC90ACB， 、AA， ABCACD， ABC 和ACD 互为逆相似； 、BB， ABCCBD， ABC 和CBD 互为逆相似； 故答案为：ACD（或CBD） ，逆； BDCE， BFC90， CBD+C90， EBC90， CBD+ABD90， ABDC， ABDBCE， ABD 和BCE 互为顺相似； 【注
44、：、当ABDFCB 时，ABD 和FCB 互为逆相似； 、当ABDFBE 时，ABD 和FBE 互为逆相似； 】 故答案为：BCE，顺； （2）AOCBOD，AOC 和BOD 互为逆相似； 理由：AOBCOD， ，AOBCOD， AOBBOCCODBOC， AOCBOD， ， ， AOCBOD， AOC 和BOD 互为逆相似； （3）在 RtABC 中，AC20，BC15，根据勾股定理得，AB25， AP16， BPABAP9， 如图 1， 过点 P 作 PGBC 于 G， BGP90ACB， BB， ABCPBG， ， ， BGBC， 点 G 在线段 BC（不包括端点）上， 过点 P 作 P
45、GAC 于 G， AGPACB， AA， ABCAPG， ， ， AGAC， 点 G在线段 AC（不包括端点）上， 过点 P 作 PGAB，交直线 BC 与 G，交直线 AC 于 H， APGAPH90ACB， AA， ABCGBP， ， ， BG15BC， 点 G和点 H 都和点 C 重合（注：为了说明问题，有意将点 G和点 H 没画在点 C 处） ， 故答案为：3 28 （11 分）已知抛物线 C1：yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 左边） ，与 y 轴交于点 C，抛 物线 C2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E（4，0） ，与 y 轴交于点 D（0，2）
46、 （1）求抛物线 C2的解析式； （2）点 P（m，0）为线段 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 C1于点 M， 交抛物线 C2于点 N 请用含 m 的代数式分别表示点 M、N 的坐标； 设四边形 OMEN 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 的最大值以及此时 m 的值； 在点 P 移动的过程中，若 CMDN0，则 m 的值为 1 或 （3）如图（2） ，点 Q（0，n）为 y 轴上一动点（0n4） ，过点 Q 作 x 轴的平行线依次交两条抛物线于 点 R、S、T、U，则 TURS 1 【分析】 （1）令抛物线 l1：y0，可
47、求得点 A 和点 B 的坐标，然后设设抛物线 l2的解析式为 ya（x+1） （x4） ，将点 D 的坐标代入可求得 a 的值，从而得到抛物线的解析式 （2）利用待定系数法可得，M（m，m2+2M+3） ，N（M，m2m2） 由点 A 和点 B 的坐标可求得 AB 的长，依据 SAMBNABMN 列出 S 与 x 的函数关系，从而可得到当 S 有最大值时，m 的值，于是可得结论 CM 与 DN 不平行时，可证明四边形 CDNM 为等腰梯形，然后可证明 GMHN，列出关于 m 的方程， 于是可求得点 P 的坐标；当 CMDN 时，四边形 CDNM 为平行四边形故此 DCMN5，从而得到关 于 m 的方程，从而可得结论 （3）设 S，T 的横坐标分别为 x1，x2，设 R，U 的横坐标分别为 x3，x4利用根与系数的关系解决问题 即可 【解答】解： （1）令x2+2x+30，解得：x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ， 设抛物线 l2的解析式为 ya（x+1） （x4） ， 将 D（0，2）代入得：4a2， a， 抛物线的解析式为 yx2x2 （2）由题意 P（m
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