1、第4课时 分式及其运算 课标要求 了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能进行简单的 分式加、减、乘、除运算. 考点一 分式的有关概念 1.在式子 2, 1 2, 2 -1中,属于分式的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.2019 宁波若分式 1 -2有意义,则 x的取值范围是 ( ) A.x2 B.x2 C.x0 D.x-2 B B 3.2020 丽水若分式+5 -2 的值是零,则 x的值为 ( ) A.2 B.5 C.-2 D.-5 D 知识梳理 1.A,B表示两个整式,形如 的代数式,当 B中含有 且 时,叫分式. 2.对于分式 ,当 B=0时,分
2、式无意义;当 时,分式有意义. 3.若分式 的值为 0,则 且 . 字母 B0 B0 A=0 B0 考点二 分式的基本性质 4.2020 河北若 ab,则下列分式化简正确的是 ( ) A.+2 +2 = B.-2 -2 = C. 2 2 = D. 1 2 1 2 = 5.2018 内江已知1 1 = 1 3,则 -的值是 ( ) A.1 3 B.-1 3 C.3 D.-3 6.化简 2-16 3-12得 . D C + 知识梳理 分式的 基本性质 = = (其中 A,B,M都是整式,且 B0,M0) 分式 的约分 把一个分式的分子、分母的 约去,使分式化为最简分式 (即分子、分母没有公因式的分
3、式) 通分 将异分母分式化为同分母分式 公因式 考点三 分式的运算 7.2020 天津计算 (+1)2 + 1 (+1)2的结果是 ( ) A. 1 +1 B. 1 (+1)2 C.1 D.x+1 8.化简 a- 2 - 的结果是 ( ) A.a-b B.a+b C. 1 - D. 1 + 9.2019 武汉计算 2 2-16 1 -4的结果是 . A B + 知识梳理 分式 的加减 同分母: = ; 异分母: = 分式 的乘除 乘法: = ; 除法: = 分式的 混合运算 在分式的混合运算中,应先算乘除,再算加减.如果有括号,就先算括 号里面的.分式化简的结果一定要化成 分式或整式 最简 考
4、向一 分式的化简、求值 例 12020 衢州先化简,再求值: 2-2+1 1 -1,其中 a=3. 解:原式= (-1)2 (a-1)= -1. 当 a=3 时,原式= 3 3-1 = 3 2. 考向精练 1.2020 扬州化简:-1 2-1 2+. 解:原式=-1 (+1) (+1)(-1)=1. 2.2018 舟山化简并求值: +,其中 a=1,b=2. 解:原式= 2-2 +=a-b.当 a=1,b=2时,原式=1-2=-1. 3.2019 大庆已知 ab=1,b=2a-1,求代数式1 2 的值. 解:因为 b=2a-1,所以 2a-b=1,又因为 ab=1,所以2 1 = 2- =1,
5、所以1 2 =-1. 考向二 分式的条件求值 例 22020 遵义化简式子 2-2 2 x-4-4 ,从 0,1,2 中取一个合适的数作为 x的值代入求值. 解:原式=(-2) 2 2-4+4 = (-2) 2 (-2)2 = 1 -2.x0,2, x取 1.当 x=1 时,原式=-1. 【方法点析】求解此类问题,应注意字母的取值一定要使原分式有意义,而 丌是只看化简后的式子. 考向精练 4.已知 a2+3ab+b2=0(a0,b0),则代数式 + 的值等于 . -3 5.2020 济宁已知 m+n=-3,则分式+ -2-2 -2n 的值是 . 答案 解析 原式=+ -2-2 2 =+ -2-
6、2-2 =-+ (+)2 =- 1 +. 把 m+n=-3代入,得原式=1 3. 1 3 6.2020 常德先化简,再选一个合适的数代入求 值: x+1-7-9 2-9 . 解: x+1-7-9 2-9 = (+1)-(7-9) (+3)(-3) = 2+-7+9 (+3)(-3) = (-3)2 (+3)(-3) = -3 +3, 答案丌唯一,如选 x=2,此时,原式 = 2-3 2+3=- 1 5. 考向三 分式的创新应用 例3 2019 盐城【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买 一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如: 第一次: 菜价3元/千克 质量 金额 甲
7、1千克 3元 乙 1千克 3元 第二次: 菜价2元/千克 质量 金额 甲 1千克 元 乙 千克 3元 (1)完成上表; (2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额总质量) 2 1.5 【数学思考】设甲每次买质量为 m千克的菜,乙每次买金额为 n 元的菜,两次的单 价分别是 a 元/千克,b元/千克,用含有 m,n,a,b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的 均价甲,乙.比较甲,乙的大小,并说明理由. 【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次,在没有水流时, 船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速度为p(pv),船顺水航行速度为(v+p),逆 水航行速度为(v-p)
8、,所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验,比较t1,t2的大小,并说 明理由. (2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额总质量) (2)根据“均价=总金额 总质量”,得甲=(3+2) (1+1)=2.5(元/千克); 乙=(3+3) (1+1.5)=2.4(元/千克). 【数学思考】设甲每次买质量为 m千克的菜,乙每次买金额为 n 元的菜,两次的单 价分别是 a 元/千克,b元/千克,用含有 m,n,a,b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的 均价甲,乙.比较甲,乙的大小,并说明理由. 【数学思考】 甲=(am+bm) (m+m)=+ 2 (元/千克);乙=(n+n) + = 2
9、 +(元/千克). 甲 乙= + 2 2 + = (+)2-4 2(+) = (-)2 2(+)0, 甲乙. 【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次,在没有水流时, 船的速度为v,所需时间为t1;如果水流速度为p(pv),船顺水航行速度为(v+p),逆 水航行速度为(v-p),所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验,比较t1,t2的大小,并说 明理由. 【知识迁移】t1t2.理由如下: t1=2 ,t2= + + -, t1-t2=2 - + + - = -22 (2-2)0, 故 t1b0,则有 ( ) A.k2 B.1k2 C.1 2k1 D.0k1 2 图4-1 B 1.当
10、 x=1时,下列分式没有意义的是 ( ) A.+1 B. -1 C.-1 D. +1 2.2019 聊城如果分式|-1 +1的值为 0,那么 x的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-1 或 1 D.1或 0 B B 3.已知 a2-3a+1=0,则 a+1 -2的值为 ( ) A. 5-1 B.1 C.-1 D.-5 4.2020 衡阳计算: 2+ -x= . 5.2020 黄冈计算: 2-21- + 的结果是 . B 1 - - 6.2020 潍坊先化简,再求值: 1- +1 2-2+1 -3 -1,其 中 x是 16的算术平方根. 解:原式= 2-2+1 2-2+1 +1 2-2+1 -3 -1 = 2-3 2-2+1 -1 -3 = (-3) (-1)2 -1 -3 = -1. x是 16 的算术平方根, x=4,当 x=4 时,原式=4 3.
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