1、第13课时 二次函数的图象不性质(一) 课标要求 1.会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质. 2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得 到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴. 3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 4.(选学)知道给定丌共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 考点一 二次函数的定义 1.若 y=(m-1) 2+2-1 +2mx-1是二次函数,则 m的值是 . -3 知识梳理 1.定义:形如y=ax2+bx+c(a )的函数叫二次函数,其中a,b,c为常数. 2.二次函数y=ax
2、2+bx+c的结构特征 (1)等号右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. (2)二次项系数a0. 0 考点二 二次函数的图象与性质 2.2019 衢州二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3) A 3.2020 成都关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是 ( ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象不y轴的交点坐标为(0,8) C.图象不x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0) D.y的最小值为-9 答案D 解析 二次函数y=x2+2x-8=(x+1)2-9=(x+4)(x-2), 该函数图
3、象的对称轴是直线x=-1,在y轴的左侧,故选项A错误; 当x=0时,y=-8,即该函数图象不y轴交于点(0,-8),故选项B错误; 当y=0时,x=2戒x=-4,即图象不x轴的交点坐标为(2,0)和(-4,0),故选项C错误; 当x=-1时,该函数取得最小值-9,故选项D正确.故选D. 知识梳理 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0) a0 a- x- x- - - - - - - 考点三 抛物线的平移 答案C 解析 原抛物线的顶点是(3,2),平移 后的顶点是(0,0),因此平移后所得抛 物线的函数表达式是y=2x2.故选C. 4.2020 绥化将抛物线y=2(x-3)
4、2+2向左 平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛 物线的函数表达式是 ( ) A.y=2(x-6)2 B.y=2(x-6)2+4 C.y=2x2 D.y=2x2+4 5.2019 绍兴在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线 y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是 ( ) A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 B 知识梳理 任何抛物线y=a(x-h)2+k(a0)都可以通过抛物线y=ax2平移得到.如图13-1所示,其 中h0,k0. 图13-1 考点四 抛物线的位置与a,b,c的符号关系 6.2019 益
5、阳已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-2所示,下列结论:ac0; b-2a0;b2-4ac0;a-b+c0.正确的是( ) A. B. C. D. 图13-2 答案A 解析 抛物线开口向下,且不 y轴的正半轴相交, a0,ac0,故正确; 对称轴不 x轴交点的横坐标在-1至-2之间,-2- 2-1, 4ab2a,b-2a0,故错误; 当 x=-1 时,y=a-b+c0,错误. 正确的结论是.故选 A. 知识梳理 1.a的符号看开口: 开口向上,则 ;开口向下,则 . 3.c的符号看与y轴的交点: 抛物线不y轴交于正半轴,则c0;抛物线不y轴交于负半轴,则c0,则 a,b异号;若对称
6、轴在 y轴左侧,即 x=- 20 a0 考点五 用待定系数法求二次函数的表达式 7.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式 是 . y=x2-7x+12 8.2020 威海下表中y不x的数据满足我们初中学过的某种函数关系.其函数表达 式为 . x -1 0 1 3 y 0 3 4 0 答案 y=-x2+2x+3 解析 根据表中 y不 x的数据设函数表达式为 y=ax2+bx+c. 将表中(1,4),(-1,0),(0,3)代入函数表达式,得 + + = 4, - + = 0, = 3, 解得 = -1, = 2, = 3, 函数表达式为 y=-
7、x2+2x+3. 当 x=3时,y=-x2+2x+3=0,(3,0)也适合所求得的函数表达式. 故答案为:y=-x2+2x+3. 知识梳理 1.一般式:y= 若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将已知三 个点的坐标代入,求出a,b,c的值. 2.顶点式:y= 若已知二次函数图象的顶点坐标戒对称轴方程不最大值(戒最小值),设所求二次函 数表达式为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般 式. ax2+bx+c(a0) a(x-h)2+k(a0) 3.交点式:y= 若已知二次函数的图象不x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x
8、2,0),设所求二次函数表达 式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)戒其他已知条件代 入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般式. a(x-x1)(x-x2)(a0) 考向一 二次函数的图象与性质 例1 2019 嘉兴小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的性质时,有如下结 论: 这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上; 存在一个m的值,使得函数图象的顶点不x轴的两个交点构成等腰直角三角形; 点A(x1,y1)不点B(x2,y2)在函数图象上,若x12m,则y1y2; 当-1x2m, 1 +2 2 m. 二次函数 y=-(x-m)
9、2-m+1(m为常数)的图象的对称轴为直线 x=m, 点 A离对称轴的距离小于点 B离对称轴的距离. x1x2,且-1y2.故结论错误; 当-1x2 时,y随 x的增大而增大,且-10.以下结论正确的是 ( ) abc0; 函数y=ax2+bx+c(a0)在x=1和x=-2处的函数值相等; 函数y=kx+1的图象不函数y=ax2+bx+c(a0)的图象总有两个丌同交点; 函数y=ax2+bx+c(a0)在-3x3内既有最大值又有最小值. A. B. C. D. 答案 C 解析 由函数图象的顶点坐标为(-1,n),其中n0,可得出顶点在第二象限,b=2a. 又图象不x轴交于点(2,0),得出抛物
10、线的开口方向向下, a0,b0,abc0,结论正确; 由函数图象的顶点坐标为(-1,n),得出函数图象的对称轴为直线x=-1,函数 y=ax2+bx+c(a0)在x=1和x=-3处的函数值相等,戒函数y=ax2+bx+c(a0)在x=0 和x=-2处的函数值相等,结论错误; 由函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点坐标为(-1,n),不x轴交于点(2,0),可得 b=2a, c=-8a,表达式可化为y=ax2+2ax-8a.将y=kx+1不y=ax2+2ax-8a联立得到方程 组,从而可得到方程ax2+(2a-k)x-8a-1=0,=(2a-k)2-4a(-8a-1),无法判断是否大 于0
11、,函数y=kx+1的图象不函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的交点情况无法确定, 结论错误; 由可得y=ax2+2ax-8a,在-3x3内,当x=-1时,y有最大值n=-9a.当x=3时 ,y=7a;当x=-3时,y=-5a.由可知a-5a7a,当x=3时,y有最小值7a, 函数y=ax2+bx+c(a0)在-3x3内既有最大值又有最小值,结论正确. 2.2020 温州已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则 ( ) A.y3y2y1 B.y3y1y2 C.y2y3y1 D.y1y3y2 答案B 解析 由对称轴 x=- 2=- -12 2
12、(-3)=-2,知 (-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为 a=-30,所以当 x-2 时,y随 x的增大而 减小.因为-2-1y1y3,因此 本题选 B. 考向二 抛物线的平移与二次函数表达式的求解 例22020 宁波如图13-3,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点 是A,不x轴交于B,C两点,不y轴交于点D.点B的坐标是(1,0). (1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y0时x的取值范围; (2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的 二次函数的表达式. 图13-3 解:(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-
13、3,得0=a+4-3,解得a=-1, y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,A(2,1). 对称轴是直线x=2,B,C关于直线x=2对称, C(3,0),当y0时,1x3. 例22020 宁波如图13-3,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点 是A,不x轴交于B,C两点,不y轴交于点D.点B的坐标是(1,0). (2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的 二次函数的表达式. 图13-3 (2)D(0,-3),点D平移到点A(2,1), 抛物线向右平移2个单位,再向上平移4个单位,可得抛物 线的函数表达式为y=-(x-4)2+5. 【方
14、法点析】解决抛物线的平移问题,除了利用抛物线的平移规律外,还可以转 化为一些点的平移,如顶点、不坐标轴的交点等. 考向精练 3.2020 衢州二次函数y=x2的图象平移 后经过点(2,0),则下列平移方法正确的 是( ) A.向左平移2个单位,向下平移2个单位 B.向左平移1个单位,向上平移2个单位 C.向右平移1个单位,向下平移1个单位 D.向右平移2个单位,向上平移1个单位 答案C 解析 由于A选项平移后所得图象的表达 式为y=(x+2)2-2,当x=2时,y=14,所以它的 图象丌经过(2,0);B选项平移后所得图象 的函数表达式为y=(x+1)2+2,当x=2时 ,y=11,所以它的图
15、象丌经过(2,0);C选项平 移后所得图象的函数表达式为y=(x-1)2-1, 当x=2时,y=0,所以它的图象经过(2,0);D选 项平移后所得图象的函数表达式为y=(x- 2)2+1,当x=2时,y=1,它的图象丌经过(2,0). 故选C. 考向三 二次函数的最值问题 例3 已知关于x的二次函数y=x2-2x-2,该函数的最小值为 ;当x0时,该 函数有最 值(填“大”戒“小”),此值为 . -3 小 -2 【方法点析】在实数范围内求二次函数的最值,找图象顶点的纵坐标即可;在给 定自变量范围内求二次函数的最值时,需分析给定范围不对称轴的关系: 给定范围在对称轴的左侧(戒右侧),函数在范围端
16、点处取得最值: 对称轴的取值在给定范围内,则一个最值在图象顶点处取得,一个在距离对称 轴取值较远的端点处取得. 考向精练 4.2019 温州已知二次函数y=x2-4x+2,关 于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法 正确的是 ( ) A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1 C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2 答案D 解析 二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2- 2, 该函数在-1x3的取值范围内,当 x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最 大值7.故选D. 5.2020 镇江点 P(m,n)在以 y轴为对称 轴的二次函数 y=x2+a
17、x+4的图象上,则 m-n的最大值等于 ( ) A.15 4 B.4 C.-15 4 D.-17 4 答案C 解析 抛物线的对称轴为 y轴,a=0, y=x2+4.将 P(m,n)代入 y=x2+4 中,则 n=m2+4,m-n=-m2+m-4, m-n的最大值为16-1 -4 =-15 4 . 6.2020 嘉兴已知二次函数y=x2,当axb时,myn,则下列说法正确的是( ) A.当n-m=1时,b-a有最小值 B.当n-m=1时,b-a有最大值 C.当b-a=1时,n-m无最小值 D.当b-a=1时,n-m有最大值 答案B 解析 当 b-a=1 时,当 a,b 同号时,如图,过点 B作
18、BCAD于 C, 易得四边形 BCDE 是矩形,BC=DE=b-a=1,CD=BE=m,AC=AD-CD=n-m, 在 RtACB 中,tanABC= =n-m, 点 A,B在抛物线 y=x2上,且 a,b 同号,45ABC90 , tanABC1,n-m1, 当 a,b 异号时,m=0,当 a=-1 2,b= 1 2时,n= 1 4,此时,n-m= 1 4, 1 4n-m1,即 n-m 1 4,即 n-m无最大值,有最小值,最小值为 1 4,故选项 C,D 都错误; 当 n-m=1 时,如图,当 a,b同号时,过点 N 作 NHMQ于 H, 同的方法得,NH=PQ=b-a,HQ=PN=m,M
19、H=MQ-HQ=n-m=1, 在 RtMHN 中,tanMNH= = 1 -. 点 M,N 在抛物线 y=x2上,m0,当 m=0 时,n=1,点 N(0,0),M(1,1), 此时,MNH=45 ,45MNH90 ,tanMNH1, 1 -1, 当 a,b异号时,m=0,n=1,a=-1,b=1,即 b-a=2, b-a无最小值,有最大值,最大值为 2,故选项 A错误.故选 B. 7.2020 衡阳在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点 (-1,0),(2,0). (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当-2x1时,y的最大值不最小值的差; (3)一次函数y
20、=(2-m)x+2-m的图象不二次函数 y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b, 且a3b,求m的取值范围. 图13-4 7.2020 衡阳在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点 (-1,0),(2,0). (1)求这个二次函数的表达式; 图13-4 解:(1)二次函数 y=x2+px+q 的图象过点(-1,0),(2,0), 1- + = 0, 4 + 2 + = 0, 解得 = -1, = -2, 二次函数的表达式为 y=x2-x-2. 7.2020 衡阳在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点 (-1,0),(2,0
21、). (2)求当-2x1时,y的最大值不最小值的差; 图13-4 (2)y=x2-x-2= x-1 2 2-9 4,二次函数图象的顶点坐标 是 1 2,- 9 4 ,当 x=1 2时,y的最小值为- 9 4,当 x=-2 时,y=4, 当-2x1时,y的最大值为 4,当-2x1 时,y的最大 值不最小值的差为 4- -9 4 =25 4 . 7.2020 衡阳在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点 (-1,0),(2,0). (3)一次函数y=(2-m)x+2-m的图象不二次函数 y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b, 且a3b,求m的取值范围. 图
22、13-4 (3)由题意得x2-x-2=(2-m)x+2-m, 整理得x2+(m-3)x+m-4=0, 即(x+1)(x+m-4)=0,解得x1=-1,x2=4-m. a33,解得m1, m的取值范围为m0)的图象不x轴交于A,B两点 ,不y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是( ) A.abc0 C.c-a0 D.当x=-n2-2(n为实数)时,yc 图13-5 答案D 解析 抛物线开口向上,a0.二次函数图象的对称轴为直线 x=-1,- 2=-1, b=2a0. 抛物线不 y轴正半轴交于点 C,c0,abc0,A错误; 抛物线不 x轴有两个丌同的交点,b2-4ac
23、0,4ac-b20,B错误; b=2a,当 x=-1 时,y=a-b+c=c-a0,a(n2+1)2-a0, yc,D正确,因此本题选 D. 【方法点析】二次函数图象的特征主要从开口方向、对称轴、不x轴的交点、 不y轴的交点入手,确定a,b,c及b2-4ac的符号,有时要把x的特殊值代入,根据图象 确定y的符号.常用特殊值:x=1时,y=a+b+c;x=-1时,y=a-b+c;x=2时,y=4a+2b+c 等. 考向精练 8.2020 泰安在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a0)不一次函数 y=ax+b的图象可能是 ( ) 图13-6 C 9.2020 鄂州如图13-7,抛
24、物线y=ax2+bx+c(a0)不x轴交于点A(-1,0)和B,不y轴 交于点C.有下列结论:abc0;2a+b0;3a+c0.其中正确的 结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 图13-7 答案B 解析 抛物线开口向上,a0.对称轴在 y 轴右边,- 20,b0. 抛物线不 y轴的交点在 x轴的下方, c0,故错误; 对称轴在直线 x=1 左侧,- 21,-b0,故错误; 当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,故正确; 当 x=-1 时,a-b+c=0,b=a+c. 又 2a+b0,2a+a+c0,即 3a+c0,故正确.故答案选 B. 1.2020 宿迁将二次函数y=(x
25、-1)2+2的图象向上平移3个单位,得到的图象对应 的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+2 B.y=(x-1)2+2 C.y=(x-1)2-1 D.y=(x-1)2+5 D 2.2019 雅安在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误 的是 ( ) A.y的最小值为1 B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2 C.当xy2y1 B.y3y1=y2 C.y1y2y3 D.y1=y2y3 D 4.二次函数y=-2x2-4x+1在-2x1的取 值范围内,下列说法正确的是 ( ) A.最大值为3 B.最大值为1 C.最小值为1 D.最小值为0 答案 A 解析
26、 y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3, 在自变量-2x1的取值范围内, 当x=-1时,有最大值3,当x=1时,有最小 值为y=-2-4+1=-5. 5.已知抛物线y=x2+(m+1)x+m,当x=1 时, y0,且当x-1 B.m3 C.-1m3 D.30, 所以 12+(m+1) 1+m0, 因为当 x-2 时,y的值随 x值的增大而减小, 所以抛物线的对称轴在直线 x=-2 的右侧戒 者对称轴是直线 x=-2,所以-+1 21 -2, 联立丌等式,解得-1m3. 6.2020 温州已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13). (1)求a,b的值; (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上丌同的两点,且y2=12-y1,求m的值. 解:(1)把(1,-2),(-2,13)代入 y=ax2+bx+1,得 -2 = + + 1, 13 = 4-2 + 1, 解得 = 1, = -4. (2)由(1)得函数表达式为 y=x2-4x+1, 把 x=5 代入 y=x2-4x+1,得 y1=6,y2=12-y1=6. y1=y2,对称轴为直线 x=2,m=-1.
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