1、2020-2021 学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（下）开学数学试卷学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（下）开学数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1数 2 的倒数是（ ） A2 B2 C D 2抛物线 yx（x2）的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 3下列运算中，结果正确的是（ ） A4aa3a Ba10a2a5 Ca2+a3a5 Da3a4a12 4用分别写有“宁波” ， “文明” ， “城市”的字块拼句子，那么能够排成“宁波文明城市”或“文明城市宁 波”的概率是（ ） A B C D 5
2、如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的是（ ） ABCADCA BBACDAC CBD90 DCBCD 6一组数据为 1，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分为（ ） A4，5 B5，4.5 C5，4 D3，2 7如图，过 x 轴正半轴任意一点 P 作 x 轴的垂线，分别与反比例函数 y1和 y2的图象交于点 A 和点 B若点 C 是 y 轴上任意一点，连接 AC、BC，则ABC 的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 8如图，用邻边分别为 a，b（ab）的矩形硬纸板裁出以 a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、 两个半圆均相切的两个小圆把半圆作
3、为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣 诞帽（拼接处材料忽略不计） ，则 a 与 b 满足的关系式是（ ） Aba Bba Cb Dba 9已知抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：abc0；a+b+c2；a；b1其 中正确的结论是（ ） A B C D 10如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点 E，F 分 别在边 BC，AD 上，则放入的四个小正方形的面积之和为（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11分解因式：x29 12如图，点 A、B、C
4、 在圆 O 上，且BAC40，则BOC 13如图，已知ABCD 的对角线 BD4cm，将ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180，则点 D 所转过的路径 长为 cm 14如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如O） 为 60，A，B，C，D 都在格点上，且线段 AB、CD 相交于点 P，则 tanAPC 的值是 15我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆” ，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交 点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，点 A、B、C、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点 D 的坐标为（0，3）AB 为半圆直径，半圆圆心
5、 M（1，0） ，半径为 2，则经过点 D 的“蛋圆”的切线的 解析式为 16图 1 是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等如图 2 将纸板沿虚线 进行切割， 无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形， 其面积为8+4， 则图3中线段AB的长为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分）. 17 （1）计算：20120+4sin60 （2）求代数式的值：+（x+2） ，其中 x 18如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与 底座构成的BAD60使用发现，光线最佳时灯
6、罩 BC 与水平线所成的角为 30，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？ （结果精确到 0.1cm，参考数据：1.732） 19ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示 （1）作ABC 关于点 C 成中心对称的A1B1C1 （2）将A1B1C1向右平移 3 个单位，作出平移后的A2B2C2 （3）在 x 轴上求作一点 P，使 PA1+PC2的值最小，并求出点 P 的坐标 20为了进一步了解八年级 500 名学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班 50 名学生进行一分钟 跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示： 组别 次数
7、 x 频数（人数） 第 l 组 80 x100 6 第 2 组 100 x120 8 第 3 组 120 x140 a 第 4 组 140 x160 18 第 5 组 160 x180 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的 a ，次数在 140 x160 这组的频率为 ； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这个样本数据的中位数落在第 组； （4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x120 不合格；x120 为合格，则这个年级合格 的学生有 人 21已知，如图，直线 MN 交O 于 A，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM 交O 于 D，过 D 作 DE MN 于 E
8、 （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 DE6cm，AE3cm，求O 的半径 22某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线 ABD，线段 CD 分别表示该产品 每千克生产成本 y1（单位：元） ，销售价 y2（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系 （1）请解释图中点 D 的实际意义 （2）求线段 CD 所表示的 y2与 x 之间的函数表达式 （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 23我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线 （1）如图 1，AD，AF 分别为ABC 的高线和角平分线，若
9、 AE 为ABC 的倍角高线 根据定义可得DAF ，CAD （填写图中某个角） ； 若BAC90，求证：ABE 为等腰三角形 （2）如图 2，在钝角ABC 中，ACB 为钝角，ABC45，若 AD，AF 分别为ABC 的高线和角平 分线，倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E，若 tanACD3，BE2，求线段 AE 的长 （3）在ABC 中，若 AB2，ABC30，倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E，当ABE 为等腰三角形， 且 AEAB 时，求线段 BC 的长 24如图，矩形 ABCD 中，AD10，CD15，E 是边 CD 上一点，且 DE5，P 是射线 AD 上一动点，过 A，P，
10、E 三点的O 交直线 AB 于点 F，连接 PE，EF，PF，设 APx （1）当 x5 时，求 AF 的长 （2）在点 P 的整个运动过程中 tanPFE 的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围； 当矩形 ABCD 恰好有 2 个顶点落在O 上时，求 x 的值 （3）若点 A，H 关于点 O 成中心对称，连接 EH，CH当CEH 是等腰三角形时，求出所有符合条件 的 x 的值 （直接写出答案即可） 2020-2021 学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（下）开学数学试卷学年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级（下）开学数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题
11、（共一选择题（共 10 小题）小题） 1数 2 的倒数是（ ） A2 B2 C D 【分析】直接利用倒数的定义求 2 的倒数是； 【解答】解：2 的倒数是； 故选：D 2抛物线 yx（x2）的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 【分析】首先把解析式配方成为顶点式 ya（xh）2+k，再根据顶点式的特殊形式可得顶点坐标 【解答】解：yx（x2）x2+2x（x1）2+1， 顶点坐标为（1，1） 故选：A 3下列运算中，结果正确的是（ ） A4aa3a Ba10a2a5 Ca2+a3a5 Da3a4a12 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法法则：底数
12、不变，指数相减，同底数幂的乘法法则：底数不 变，指数相加，可判断各选项 【解答】解：A、4aa3a，故本选项正确； B、a10a2a10 2a8a5，故本选项错误； C、a2+a3a5，故本选项错误； D、根据 a3a4a7，故 a3a4a12本选项错误； 故选：A 4用分别写有“宁波” ， “文明” ， “城市”的字块拼句子，那么能够排成“宁波文明城市”或“文明城市宁 波”的概率是（ ） A B C D 【分析】列举出所有情况，让能够排成“宁波文明城市”或“文明城市宁波”的情况数除以总情况数即 为所求的概率 【解答】解：用分别写有“宁波” ， “文明” ， “城市”的字块拼句子，可能的结果有
13、：宁波文明城市，宁 波城市文明，文明宁波城市，文明城市宁波，城市宁波文明，城市文明宁波 6 种，所以那么能够排成“宁 波文明城市”或“文明城市宁波”的概率是 故选：C 5如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的是（ ） ABCADCA BBACDAC CBD90 DCBCD 【分析】本题要判定ABCADC，已知 ABAD，AC 是公共边，具备了两组边对应相等，故添加 CBCD、BACDAC、BD90后可分别根据 SSS、SAS、HL 能判定ABCADC，而 添加BCADCA 后则不能 【解答】解：A、添加BCADCA 时，不能判定ABCADC，故 A 选项符合题
14、意； B、添加BACDAC，根据 SAS，能判定ABCADC，故 B 选项不符合题意； C、添加BD90，根据 HL，能判定ABCADC，故 C 选项不符合题意； D、添加 CBCD，根据 SSS，能判定ABCADC，故 D 选项不符合题意； 故选：A 6一组数据为 1，5，3，4，5，6，这组数据的众数、中位数分为（ ） A4，5 B5，4.5 C5，4 D3，2 【分析】根据众数和中位数的概念求解 【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，5，5，6， 则众数为：5， 中位数为：4.5 故选：B 7如图，过 x 轴正半轴任意一点 P 作 x 轴的垂线，分别与反比例函数 y1
15、和 y2的图象交于点 A 和点 B若点 C 是 y 轴上任意一点，连接 AC、BC，则ABC 的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】设线段 OPx，则可求出 AP、BP，继而分别得出梯形 ACOP、BCOP 的面积，然后两者相减可 得出ABC 的面积 【解答】解：设线段 OPx，则 PB，AP， S四边形ACOP（OC+AP）OPOC+1；SBCOP（OC+BP）OPOC+2， SABCS四边形BCOPS四边形ACOP1 故选：A 8如图，用邻边分别为 a，b（ab）的矩形硬纸板裁出以 a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、 两个半圆均相切的两个小圆把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面
16、，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣 诞帽（拼接处材料忽略不计） ，则 a 与 b 满足的关系式是（ ） Aba Bba Cb Dba 【分析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质 求得 a、b 之间的关系即可 【解答】解：半圆的直径为 a， 半圆的弧长为 把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面， 设小圆的半径为 r，则：2r 解得：r ACar， 如图小圆的圆心为 B，半圆的圆心为 C，作 BACA 于 A 点， 则：AC2+AB2BC2 即： （）2+（）2（）2 整理得：ba 故选：D 9已知抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所
17、示，则下列结论：abc0；a+b+c2；a；b1其 中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线的开口向上，a0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上，c0， 对称轴为 x0，a、b 同号，即 b0， abc0， 故本选项错误； 当 x1 时，函数值为 2， a+b+c2； 故本选项正确； 对称轴 x1， 解得：a， b1， a， 故本选项错误； 当 x1 时，函数值0， 即 ab+c0， （1） 又
18、a+b+c2， 将 a+c2b 代入（1） ， 22b0， b1 故本选项正确； 综上所述，其中正确的结论是； 故选：D 10如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点 E，F 分 别在边 BC，AD 上，则放入的四个小正方形的面积之和为（ ） A B C D 【分析】作 GHBC，证明GHEEMN，根据相似三角形的性质得到 GH2EM，HE2MN，根据 正方形的性质列方程求出 MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案 【解答】解：如图，过 G 作 GHBC 于 H， 则HGE+HEGHEG+MEN90， HGEMEN， GHEEMN
19、90， GHEEMN， ， GH2EM，HE2MN， 设 MNx，则 HE2x， EM14x， GH2EM2（14x） ， 2（14x）+x1， 解得：x， EM14x， EN， GE2EN， 四个小正方形的面积之和2（）2+， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11分解因式：x29 （x+3） （x3） 【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式 【解答】解：x29（x+3） （x3） 故答案为： （x+3） （x3） 12如图，点 A、B、C 在圆 O 上，且BAC40，则BOC 80 【分析】由点 A、B、C 在圆 O 上，且BAC40，根据在同圆
20、或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得BOC 的度数 【解答】解：BAC40， BOC2BAC24080 故答案为：80 13如图，已知ABCD 的对角线 BD4cm，将ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180，则点 D 所转过的路径 长为 2 cm 【分析】将平行四边形旋转 180后，点 D 所转过的路径是以线段 BD 为直径的半圆，已知直径的长利 用弧长公式求得即可 【解答】解：将ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180，点 D 所转过的路径为以 BD 为直径的半圆， 其长度为2 故答案为：2 14如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形
21、的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如O） 为 60，A，B，C，D 都在格点上，且线段 AB、CD 相交于点 P，则 tanAPC 的值是 【分析】如图取格点 E，连接 EC、DE设小菱形的边长为 1首先证明APCECD，再证明CDE 90，根据 tanAPCtanECD，即可解决问题； 【解答】解：如图取格点 E，连接 EC、DE设小菱形的边长为 1 由题意：ECAB， APCECD， CDO60，EDB30， CDE90， CD2，DE， tanAPCtanECD， 故答案为 15我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆” ，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交 点，那么这条直线
22、叫做“蛋圆”的切线如图，点 A、B、C、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点 D 的坐标为（0，3）AB 为半圆直径，半圆圆心 M（1，0） ，半径为 2，则经过点 D 的“蛋圆”的切线的 解析式为 y2x3 【分析】根据圆心坐标及圆的半径，结合图形，可得点 A 坐标为（1，0） ，点 B 坐标为（3，0） ，利用 待定系数法确定抛物线解析式，因为经过点 D 的“蛋圆”切线过 D 点，所以本题可设它的解析式为 y kx3，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题 【解答】解：AB 为半圆的直径，半圆圆心 M 的坐标为（1，0） ，半圆半径为 2， A（1，0）
23、 ，B（3，0） ， 抛物线过点 A、B， 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3） ， 又抛物线过点 D（0，3） ， 3a1 （3） ，即 a1， yx22x3， 经过点 D 的“蛋圆”切线过 D（0，3）点， 设它的解析式为 ykx3， 又抛物线 yx22x3 与直线 ykx3 相切， x22x3kx3，即 x2（2+k）x0 只有一个解， （2+k）2400， 解得：k2， 即经过点 D 的“蛋圆”切线的解析式为 y2x3 故答案为：y2x3 16图 1 是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等如图 2 将纸板沿虚线 进行切割，无缝隙无重叠的拼成图 3 所示
24、的大正方形，其面积为 8+4，则图 3 中线段 AB 的长为 +1 【分析】根据题中信息可得图 2、图 3 面积相等；图 2 可分割为一个正方形和四个小三角形；设原八角 形边长为 a，则图 2 正方形边长为 2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形面积和为 2a2，解得 a 1AB 就知道等于多少了 【解答】解：设原八角形边长为 a，则图 2 正方形边长为 2a+a、面积为（2a+a）2，四个小三角形 面积和为 2a2， 列式得（2a+a）2+2a28+4，解得 a1，则 AB1+ 故答案为：+1 三解答题三解答题 17 （1）计算：20120+4sin60 （2）求代数式的值：+（x+2
25、） ，其中 x 【分析】 （1）先根据零指数幂，算术平方根和特殊角的三角函数值进行计算，再求出答案即可； （2）先把除法变成乘法，算乘法，算加法，最后求出答案即可 【解答】解： （1）20120+4sin60 1+24 1+22 1； （2）+（x+2） +（x+2） +x+2 x+， 当 x时，原式+3 18如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与 底座构成的BAD60使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？ （结果精确到 0.1cm，参考数据：1.7
26、32） 【分析】根据 sin30，求出 CM 的长，根据 sin60，求出 BF 的长，得出 CE 的长，即可得 出 CE 的长 【解答】解：由题意得：ADCE，过点 B 作 BMCE，BFEA， 灯罩 BC 长为 30cm，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30， CMMB，即三角形 CMB 为直角三角形， sin30， CM15cm， 在直角三角形 ABF 中，sin60， ， 解得：BF20， 又ADCBMDBFD90， 四边形 BFDM 为矩形， MDBF， CECM+MD+DECM+BF+ED15+20+251.6cm 答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 51.6c
27、m 19ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示 （1）作ABC 关于点 C 成中心对称的A1B1C1 （2）将A1B1C1向右平移 3 个单位，作出平移后的A2B2C2 （3）在 x 轴上求作一点 P，使 PA1+PC2的值最小，并求出点 P 的坐标 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）分别作出 A1，B1，C1的对应点 A2，B2，C2即可 （3）如图，作点 A1关于 x 轴的对称点 A，连接 AC2交 x 轴于点 P，点 P 即为所求作求出直线 A C2的解析式即可解决问题 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求作 （2）如图，A
28、2B2C2即为所求作 （3）如图，作点 A1关于 x 轴的对称点 A，连接 AC2交 x 轴于点 P，点 P 即为所求作 A（2，1） ，C2（3，2） ， 设直线 AC2的解析式为 ykx+b，则有， 解得， 直线 AC2的解析式为 y3x7， 令 y0，解得 x， P（，0） 20为了进一步了解八年级 500 名学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班 50 名学生进行一分钟 跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示： 组别 次数 x 频数（人数） 第 l 组 80 x100 6 第 2 组 100 x120 8 第 3 组 120 x140 a
29、 第 4 组 140 x160 18 第 5 组 160 x180 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的 a 12 ，次数在 140 x160 这组的频率为 0.36 ； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这个样本数据的中位数落在第 3 组； （4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x120 不合格；x120 为合格，则这个年级合格 的学生有 360 人 【分析】 （1）本题需先根据表中所给的数据以及频数与频率之间的关系即可求出答案 （2）本题需根据频数分布表中的数据即可将直方图补充完整 （3）本题需先根据表中所给的数据即可得出这个样本数据的中位数落在那个组中 （4）本
30、题需先根据频数与频率之间的关系，再根据所了解的学生数即可求出答案 【解答】解： （1）a50（6+8+18+6） 12； 18500.36； （2） （3）根据表中所给的数据得：这个样本数据的中位数落在第 3 组； （4）根据题意得： 500360（人） 所以这个年级合格的学生有 360 人 21已知，如图，直线 MN 交O 于 A，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM 交O 于 D，过 D 作 DE MN 于 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 DE6cm，AE3cm，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OD，根据平行线的判断方法与性质可得ODEDEM90，且 D 在O 上，
31、故 DE 是O 的切线 （2）由直角三角形的特殊性质，可得 AD 的长，又有ACDADE根据相似三角形的性质列出比例 式，代入数据即可求得圆的半径 【解答】 （1）证明：连接 OD OAOD， OADODA OADDAE， ODADAE DOMN DEMN， ODEDEM90 即 ODDE D 在O 上，OD 为O 的半径， DE 是O 的切线 （2）解：AED90，DE6，AE3， 连接 CD AC 是O 的直径， ADCAED90 CADDAE， ACDADE 则 AC15（cm） O 的半径是 7.5cm 22某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线 ABD，线段 C
32、D 分别表示该产品 每千克生产成本 y1（单位：元） ，销售价 y2（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系 （1）请解释图中点 D 的实际意义 （2）求线段 CD 所表示的 y2与 x 之间的函数表达式 （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 140kg 时，该产品每千克生产成本与销售价 相等，都为 40 元； （2）根据线段 AB 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （3）先求出销售价 y2与产量 x 之间的函数关系，利用：总利润每千克利润产量列出有关 x 的二次 函数，求得
33、最值即可 【解答】解： （1）点 D 的实际意义：当产量为 140kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 40 元 （2）设线段 CD 所表示的 y2与 x 之间的函数表达式为 y2k1x+b1， 点（0，124） ， （140，40）在函数 y2k1x+b1的图象上 ，解得：， y2与 x 之间的函数表达式为 y2x+124（0 x140） ； （3）设线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式为 y1k2x+b2， 点（0，60） ， （100，40）在函数 y1k2x+b2的图象上 ，解得：， y1与 x 之间的函数表达式为 y1x+60（0 x100） 设产量为 x
34、千克时，获得的利润为 W 元 当 0 x100 时，W（x+124）（x+60）x（x80）2+2560， 当 x80 时，W 的值最大，最大值为 2560 元 当 100 x140 时，W（x+124）40 x（x70）2+2940 由0 知，当 x70 时，W 随 x 的增大而减小 当 x100 时，W 的值最大，最大值为 2400 元 25602400， 当该产品的质量为 80kg 时，获得的利润最大，最大利润为 2560 元 23我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线 （1）如图 1，AD，AF 分别为ABC 的高线和角平分线，若 AE
35、 为ABC 的倍角高线 根据定义可得DAF EAF ，CAD BAE （填写图中某个角） ； 若BAC90，求证：ABE 为等腰三角形 （2）如图 2，在钝角ABC 中，ACB 为钝角，ABC45，若 AD，AF 分别为ABC 的高线和角平 分线，倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E，若 tanACD3，BE2，求线段 AE 的长 （3）在ABC 中，若 AB2，ABC30，倍角高线 AE 交直线 BC 于点 E，当ABE 为等腰三角形， 且 AEAB 时，求线段 BC 的长 【分析】 （1）根据“三角形的倍角高线”的概念填空； 欲证明ABE 为等腰三角形，只需推知BBAE 即可； （2）如
36、图 2，过点 E 作 EGAB 交 AB 的延长线于点 G，由（1）易得CADEAG，BADEBG 45，令 EGx根据 tanACD3，易得 BGx，AG3x，故 AEx，结合 BEx2，故 AE （3） 需要分类讨论： 情况一： BAC90； 情况二： 180BAC90； 情况三： 0BAC90， 根据“三角形的倍角高线”的概念、勾股定理，借助于方程进行解答 【解答】解： （1）如图 1，AD，AF 分别为ABC 的高线和角平分线，AE 为ABC 的倍角高线， DAFEAF，BAFCAF， BAFBAECAFCAD， CADBAE 故答案是：EAF，BAE； BAC90，ADBC， B+B
37、ADBAD+CAD，即BCAD 又AF 平分BAC，DAFFAE， BAFEAFCAFDAF，即BAECAD， BBAE EBEA，即ABE 为等腰三角形 （2）如图 2，过点 E 作 EGAB 交 AB 的延长线于点 G， 由（1）易得CADEAG，BADEBG45， AEGACD 令 EGx tanACD3， tanACDtanAEG3， 易得 BGx，AG3x， 由勾股定理得到 AEx， 又BEx2， AE （3）情况一：EAEB，BEAB30， AE 为三角形的倍角高线， 作 ADBC，可得BAECAD30 C60，BAC90， AB2， BC 情况二：BABE，BAEBEA75， 作
38、 ADBC， AE 为ABC 的倍角高线， BAECAD75， ACB15， 过 C 作 AB 的垂线交 BA 的延长线于点 F CAF45， 设 AFCFx，则 BF， BC 情况三：BABE，BAEBEA15，作 ADBC， AE 为ABC 的倍角高线， BAECAD15， BAC45，设 CFAFx， ABC30， BF ， BC 综上所述：BC 为， 24如图，矩形 ABCD 中，AD10，CD15，E 是边 CD 上一点，且 DE5，P 是射线 AD 上一动点，过 A，P，E 三点的O 交直线 AB 于点 F，连接 PE，EF，PF，设 APx （1）当 x5 时，求 AF 的长 （
39、2）在点 P 的整个运动过程中 tanPFE 的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围； 当矩形 ABCD 恰好有 2 个顶点落在O 上时，求 x 的值 （3）若点 A，H 关于点 O 成中心对称，连接 EH，CH当CEH 是等腰三角形时，求出所有符合条件 的 x 的值 （直接写出答案即可） 【分析】 （1）如图 1 中，连接 AE由ADEFEP，推出，求出 PF，再利用勾股定理即可 解决问题； （2）由圆周角定理可知，PFEDAE，推出 tanPFEtanDAF即可解决问题； 分三种情形画出图形分别求解即可解决问题； （3）分四种情形画出图形分别求解即可 【解答】解： （1
40、）如图 1 中，连接 AE 在 RtDPE 中，DE5，DPADAP5， PE5， 在 RtADE 中，AE5， PAF90， PF 是O 的直径， PEFADE90， DAEPFE， ADEFEP， ， ， PF5， 在 RtPAF 中，AF15； （2）tanPFE 的值不变 理由：如图 1 中，PFEDAE， tanPFEtanDAF； 如图 2 中，当O 经过 A、D 时，点 P 与 D 重合，此时 m10 如图 3 中，当O 经过 A、B 时， 在 RtBCE 中，BE10， tanPFE， PE5， PD5， xPA5 如图 4 中当O 经过 AC 时，作 FMDC 交 DC 的延
41、长线于 M 根据对称性可知，DECMBF5， 在 RtEFM 中，EF5， PEEF， PD， xADPD， 综上所述，x10 或 5 或时，矩形 ABCD 恰好有 2 个顶点落在O 上 （3）如图 5 中，当 ECCH10 时，作 HICD 交 DC 的延长线于 I PDEEIF， ， EI202x， CI202x10102x， 在 RtCIH 中，102（102x）2+（10 x）2， 解得 x2 或 10（舍弃） 如图 6 中当 ECEH10 时， 在 RtAEH 中，AH15， 易知 PFAH15， PE：EF：PF1：2：， PE3， 在 RtPDE 中，DP2， xPAADPD102； 如图 7 中当 HCHE 时，延长 FH 交 CD 于 M，则 EMCMBF5， PDEEMF， ， ， PD， x10 如图 8 中，当 EHEC 时，连接 FH，PH，延长 CD 交 FH 于 M PDEEMF， ， ， EM2x20， 在 RtEHM 中，102（x10）2+（202x）2 解得：x10+2或 102（舍弃） ， 综上所述，满足条件的 x 的值为 2 或 102或或 10+2
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