1、2021 年四川省成都外国语学校中考数学一诊试卷年四川省成都外国语学校中考数学一诊试卷 A 卷卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 13 的倒数是（ ） A3 B3 C D 2下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ） A B C D 3我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为 370000km2把 370000 这个数用科学记数法表示为（ ） A37104 B3.7105 C0.37106 D3.7106 4在平面直角坐标系中，点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，
2、2） D （3，2） 5已知，则的值为（ ） A1 B1 C1 D无法确定 6在 5 轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 90 分，甲的成绩方差是 15，乙 的成绩方差是 3，下列说法正确的是（ ） A甲的成绩比乙的成绩稳定 B乙的成绩比甲的成绩稳定 C甲、乙两人的成绩一样稳定 D无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 7如图，在已知的ABC 中，按以下步骤作图： 分别以 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N； 作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD 若 CDAC，A50，则ACB 的度数为（ ） A90 B95 C100 D105 8若关于
3、x 的方程0 有增根，则 m 的值是（ ） A B C3 D3 9如图，ACEFDB，若 AC8，BD12，则 EF（ ） A3 B C4 D 10已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： a+b+c0；ab+c1；abc0；4a2b+c0；ca1， 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 11分解因式：a2bb 12已知一次函数 ykx+k，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过第 象限 13如图，ABC 是O 的内接三角形，C30，O 的半径为
4、5，若点 P 是O 上的一点，在ABP 中，PBAB，则 PA 的长为 14已知一个两位数，它的十位上的数字 x 比个位上的数字 y 大 1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得 到的新数比原数小 9，求这两位数所列的方程组是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 54 分）分） 15 （1）计算： （2）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解 16先化简，再求值：，其中 a，b 满足（a2）2+0 17某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜 爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如下表所示）
5、 ，将调查结果整理后绘制了一幅不完整的 统计表： 最受欢迎兴趣班调查问卷 统计表 选项 兴趣班 请选择 兴趣班 频数 频率 A 绘画 A 0.35 B 音乐 B 18 0.30 C 舞蹈 C 15 b D 跆拳道 D 6 你好!请选择一个（只能选一个）你最喜欢的兴趣 班，在其后空格内打“，谢谢你的合作 合 计 a 1 （1）统计表中的 a ，b ； （2）根据调查结果，请你估计该市 2000 名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数； （3）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从 A、B、C、D 四类兴趣班中随机选取一类，请用画树 状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率 18 某区域平面示
6、意图如图所示， 点 D 在河的右侧， 红军路 AB 与某桥 BC 互相垂直 某校 “数学兴趣小组” 在“研学旅行”活动中，在 C 处测得点 D 位于西北方向，又在 A 处测得点 D 位于南偏东 65方向，另 测得 BC414m，AB300m，求出点 D 到 AB 的距离 （参考数据 sin650.91，cos650.42，tan652.14） 19如图，一次函数 ykx+b（k0）的图象与反比例函数 y（m0）的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（2，3） ，点 B 的坐标为（4，n） （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 x 轴上是否
7、存在点 P，使APC 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 20.如图，AB 是O 的直径，C，G 是O 上两点，且，过点 C 的直线 CDBG 于点 D，交 BA 的 延长线于点 E，连接 BC，交 OD 于点 F （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若，求证：AEAO； （3）连接 AD，在（2）的条件下，若 CD，求 AD 的长 B 卷卷 一填空题（共一填空题（共 5 小题）小题） 21已知 a，b 都是实数，则 ab的值为 22已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x25x+a0 的两个实数根，且 x12x2210，则 a 23如图，RtABC 中
8、，ACB90，B30，AC1，且 AC 在直线 l 上，将ABC 绕点 A 顺时针 旋转到， 可得到点 P1， 此时 AP12； 将位置的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置， 可得到点 P2， 此时 AP22+； 将位置的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置， 可得到点 P3， 此时 AP33+； 按此规律继续旋转，直到点 P2020为止，则 AP2020等于 24如图，过原点的直线与反比例函数 y（x0） 、反比例函数 y（x0）的图象分别交于 A、B 两 点，过点 A 作 y 轴的平行线交反比例函数 y（x0）的图象于 C 点，以 AC 为边在直线 AC 的右侧作 正方形 ACDE，点 B
9、恰好在边 DE 上，则正方形 ACDE 的面积为 25如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 是 CD 的中点，连接 AE，将ADE 沿 AE 折叠至AHE，连 接 BH，延长 AE 和 BH 交于点 F，BF 与 CD 交于点 G，则 FG 二解答题（共二解答题（共 3 小题）小题） 26为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面 积 x 不超过 15 亩时， 每亩可获得利润 y1900 元； 超过 15 亩时， 每亩获得利润 y （元） 与种植面积 x （亩） 之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种） x（亩
10、） 20 25 30 35 y（元） 1800 1700 1600 1500 （1）请求出种植樱桃的面积超过 15 亩时每亩获得利润 y 与 x 的函数关系式； （2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积 x 不超过 50 亩，设小王家种植 x 亩 樱桃所获得的总利润为 W 元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润 W（元）的最大 值 27天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1） 问题发现： 如图 1， 在等边ABC 中， 点 P 是边 BC 上任意一点， 连接 AP， 以 AP 为边作等边APQ， 连接 CQ求证：BPCQ； （
11、2） 变式探究： 如图 2， 在等腰ABC 中， ABBC， 点 P 是边 BC 上任意一点， 以 AP 为腰作等腰APQ， 使 APPQ，APQABC，连接 CQ判断ABC 和ACQ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC 中，点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是 正方形 APEF 的中心，连接 CQ若正方形 APEF 的边长为 6，CQ2，求正方形 ADBC 的边长 28在同一直角坐标系中，抛物线 C1yax22x3 与抛物线 C2：yx2+mx+n 关于 y 轴对称，C2与 x 轴交 于 A、B 两点，其中点 A 在点 B
12、的左侧交 y 轴于点 D （1）求 A、B 两点的坐标； （2）对于抛物线 C2：yx2+mx+n 在第三象限部分的一点 P，作 PFx 轴于 F，交 AD 于点 E，若 E 关 于 PD 的对称点 E恰好落在 y 轴上，求 P 点坐标； （3）在抛物线 C1上是否存在一点 G，在抛物线 C2上是否存在一点 Q，使得以 A、B、G、Q 四点为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出 G、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 C 2 C 3 B 4 D 5 B 6 B 7 D 8 A 9 D 10 C 二填空题（共二填空题（共
13、4 小题）小题） 11 b（a+1） （a1） 12一、二、三 13 5 14 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 15解： （1）原式34+2+1 32+2+1 4； （2）， 解不等式得，x3， 解 x+24x3 得，x2， 不等式组的解集是 3x2， 不等式组的整数解是：2，1，0，1，2 16 解：原式 ， a，b 满足（a2）2+0， a20，b+10， a2，b1， 原式1 17 解： （1）调查的总人数为 180.360（人） ，即 a60， b0.25； 故答案为 60；0.25； （2）20000.35700， 所以估计该市 2000 名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的
14、人数为 700 人； （3）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为 4， 所以两人恰好选中同一类的概率 18 解：如图，过点 D 作 DEAB 于 E，过 D 作 DFBC 于 F，则四边形 EBFD 是矩形， 设 DEx， 在 RtADE 中，AED90， tanDAE， AE， BE300， 又 BFDEx， CF414x， 在 RtCDF 中，DFC90，DCF45， DFCF414x， 又 BEDF， 即：300414x， 解得：x214， 故：点 D 到 AB 的距离是 214m 19 解： （1）将点 A 的坐标代入 y（m0）得：m236，
15、则反比例函数的表达式为：y， 将点 B 的坐标代入上式并解得：n，故点 B（4，） ， 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式 ykx+b 得：，解得：， 故一次函数的表达式为：yx+； （2）yx+，令 y0，则 x2，故点 C（2，0） ， 当APC 为直角时， 则点 P（2，0） ； 当P（P）AC 为直角时， 由点 A、C 的坐标知，PC4，AP3，则 AC5， cosACP，解得：CP， 则 OP2， 故点 P 的坐标为： （2，0）或（，0） 20. (1）证明：连接 OC， OCOB， OCBOBC，OBCCBD， CBDOCB， OCBD， ECOEDB， CDBG 于点 D，
16、 EDB90， ECO90， OC 是O 的半径， CD 是O 的切线； （2）OCBD， OCFDBF，COFBDF， OCFDBF， ， ， ， OCBD， EOCEBD， ， ， 设 OE2a，则 EB3a， OBa， AOa， EAa， AEAO； （3）OCOAa，EO2a， OCEO， 又OCE90， E30， BDE90，BC 平分EBD， EBD60，OBCDBC30， CD， BC2，BD， ， OC， 作 DMAB 于点 M， DMB90， BD，DBM60， BM，DM， OC， AB， AMABBM， DMA90，DM， AD 一填空题（共一填空题（共 5 小题）小题）
17、 21 4 22 23 2021+673 24 44； 25 二解答题（共二解答题（共 3 小题）小题） 26 解： （1）设 ykx+b， 将 x20、y1800 和 x30、y1600 代入得：， 解得：， y20 x+2200， （2）当 0 x15 时，W1900 x， 当 x15 时，W最大28500 元； 当 15x50 时，W（20 x+2200）x 20 x2+2200 x 20（x55）2+60500， x50， 当 x50 时，W 最大60000 元， 综上，小王家承包 50 亩荒山获得的总利润最大，并求总利润 W 的最大值为 60000 元 27 （1）问题发现： 证明：
18、ABC 与APQ 都是等边三角形， ABAC，APAQ，BACPAQ60， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， 在BAP 和CAQ 中， BAPCAQ（SAS） ， BPCQ； （2）变式探究： 解：ABC 和ACQ 的数量关系为：ABCACQ；理由如下： 在等腰ABC 中，ABBC， BAC（180ABC） ， 在等腰APQ 中，APPQ， PAQ（180APQ） ， APQABC， BACPAQ， BACPAQ， ， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， BAPCAQ， ABCACQ； （3）解决问题： 解：连接 AB、AQ，如图 3 所示： 四边形 ADBC 是正方
19、形， ，BAC45， Q 是正方形 APEF 的中心， ，PAQ45， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， ， ABPACQ， ， CQ2， BPCQ4， 设 PCx，则 BCAC4+x， 在 RtAPC 中，AP2AC2+PC2， 即 62（4+x）2+x2， 解得：x2， x0， x2+， 正方形 ADBC 的边长4+x42+2+ 28 解： （1）C1、C2关于 y 轴对称， C1与 C2的交点一定在 y 轴上，且 C1与 C2的形状、大小均相同， a1，n3， C1的对称轴为 x1， C2的对称轴为 x1， m2， C1的函数表示式为 yx22x3，C2的函数表达式为 yx
20、2+2x3； 在 C2的函数表达式为 yx2+2x3 中，令 y0 可得 x2+2x30， 解得 x3 或 x1， A（3，0） ，B（1，0） ； （2）点 E、E关于直线 PD 对称， EPDEPD，DEDE，PEPE PE 平行于 y 轴，EPDPDE， EPDPDE， PEDE， PEDEPEDE， 即四边形 PEDE是菱形 当四边形 PEDE是菱形存在时，由直线 AD 解析式 yx3，ADO45， 设 P（a，a2+2a3） ，E（a，a3） ， DEa，PEa3a22a+3a23a， ，解得 a10（舍去） ，a2， （3）存在 AB 的中点为（1，0） ，且点 G 在抛物线 C1
21、上，点 Q 在抛物线 C2上， 当 AB 为平行四边形的一边时， GQAB 且 GQAB， 由（2）可知 AB1（3）4， GQ4， 设 G（t，t22t3） ，则 Q（t+4，t22t3）或（t4，t22t3） ， 当 Q（t+4，t22t3）时，则 t22t3（t+4）2+2（t+4）3， 解得 t2， t22t34+435， G（2，5） ，Q（2，5） ； 当 Q（t4，t22t3）时，则 t22t3（t4）2+2（t4）3， 解得 t2， t22t34433， G（2，3） ，Q（2，3） ， 当 AB 为平行四边形的对角线时，设 G（m，m22m3） ，Q（n，n2+2n3） ， ， 解得 m，n2或 m，n2+， G（，2） ，Q（2，2）或 G（，2） ，Q（2+，2） 综上可知，存在满足条件的点 G、Q，其坐标为 G（2，5） ，Q（2，5）或 G（2，3） ，Q（2，3） 或 G（，2） ，Q（2，2）或 G（，2） ，Q（2+，2）
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