1、2020-2021 学年河南省南阳市宛城区九年级（上）期中数学试卷学年河南省南阳市宛城区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1若式子有意义，则实数 x 的值可以是（ ） A0 B1 C2 D5 2已知，则的值是（ ） A B C D 3下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A B C D 4关于 x 的一元二次方程 x2+（k2）x+k210 的一个根是 0，则 k 的值是（ ） A1 B1 C1 D2 5从“+，”中选择一种运算符号，填入算式“
2、 （+1）x”的“”中，使其运算结果为有 理数，则实数 x 不可能是（ ） A+1 B51 C2 D1 6若 x25，则 x2+10 x2 的值为（ ） A10+1 B10 C13 D1 7定义新运算“ab” ：对于任意实数 a、b，都有 ab（a+b） （ab）1，例 42（4+2） （42） 112111则方程 x1x 的根的情况为（ ） A无实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D只有一个实数根 8某口罩加工厂 2020 年一月份口罩产值达 50 万元，第一季度总产值达 175 万元，若设二、三月份的月平 均增长率为 x，则由题意可列方程为（ ） A50（1+x）2175
3、 B50+50（1+x）2175 C50（1+x）+50（1+x）2175 D50+50（1+x）+50（1+x）2175 9等腰三角形的一边长为 4，另外两边的长是关于 x 的方程 x210 x+k0 的两个实数根，则该等腰三角形 的周长是（ ） A14 B14 或 15 C4 或 6 D24 或 25 10如图，矩形 ABCD 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D（2，3） ，AD5，若反比例函数 y （x0）的图象经过点 B，则 k 的值为（ ） A4 B C10 D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11方程 x（x2）2x 的根是
4、 12如图是小孔成像原理示意图，若点 O 到 AB 的距离是 18cm，O 到 CD 的距离是 6cm，物体 AB 的高度是 9cm，则像 CD 的高度是 cm 13已知 Mx+3，当 x 分别取 1，2，3，2020 时，所对应 M 值的总和是 14 “黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见如图，D、E 是ABC 中边 BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 与ABC 的面积之比是 15如图，A、B、C、D 都是格点（小正方形的顶点） ，动点 E 在线段 AC 上，若点 A 的坐标是（1，1） ，则 当ADE 与ABC 相似时，动点 E 的坐标是 三、解答题（共三
5、、解答题（共 75 分）分） 16解方程：x24x0 17计算： （1） （） 1 +|1|（）0； （2） （） （）+（32）2 18求当 m 为何值时，关于 x 的方程 mx2（2m1）x+m20 有实数根 19如图，E 是ABCD 的边 CD 延长线上一点，连接 BE，交 AC 于点 O，交 AD 于 F （1）图中的相似三角形共有 A.7 对；B.6 对；C.5 对；D.4 对 （2）求证：OB2OEOF 20 “通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方 式例如：解方程 x0，就可利用该思维方式，设y，将原方程转化为：y2y0 这个熟悉
6、的 关于 y 的一元二次方程，解出 y，再求 x这种方法又叫“换元法” 请你用这种思维方式和换元法解决 下列问题： （1）填空：若 2（x2+y2）2+（x2+y2）0，则 x2+y2的值为 ； （2）直接写出方程 x23|x|+20 的根； （3）解方程：x2x+280 21 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容 【定理证明】 （1）请根据教材内容，结合图，写出证明过程 【定理应用】 （2）如图，四边形 ABCD 中，M、N、P 分别为 AD、BC、BD 的中点，边 BA、CD 延长 线交于点 E，E45，则MPN 的度数是 （3）如图，矩形 ABCD 中，AB4
7、，AD3，点 E 在边 AB 上，且 AE3BE将线段 AE 绕点 A 旋转 一周，得到线段 AF，M 是线段 CF 的中点，直接写出旋转过程中线段 BM 长的最大值和最小值 22 【问题提出】在 2020 抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习， 九年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀， 互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班 56 名同学共通过多少次电话 呢？ 【模型构建】用点 M1、M2、M3、M56分别表示第 1、2、3、56 名同学，把该班级人数 n 与视 频通话次数 S 之间
8、的关系用如图模型表示： 【问题解决】 （1）填写如图中第 5 个图中 S 的值为 （2）通过探索发现，通电话次数 S 与该班级人数 n 之间的关系式为 ，则当 n56 时，对应的 S （3）若该班全体女生相互之间共通话 253 次，求该班共有多少名女生？ （4）若该班数学兴趣小组的同学们，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信 182 条，则该班数学兴趣小组的人数是 23 （1） 【证明】如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，CADB求证：CA2CDCB （2） 【应用】如图，在ABCD 中，P 为 BC 上一点，Q 为 BA 延长线上一点，CQPD若 CQ 6，CP3，求
9、 AD 的长 （3） 【拓展】如图，在菱形 ABCD 中，P 是 BC 上一点，BDPQ，BD2PQ，ABC2PAQ，当 BP1，AQ3时，请直接写出菱形 ABCD 的边长 2020-2021 学年河南省南阳市宛城区九年级（上）期中数学试卷学年河南省南阳市宛城区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1若式子有意义，则实数 x 的值可以是（ ） A0 B1 C2 D5 【分析】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件即可求出答案 【解答】解：根据题意，得 1x0 解得 x1 观察选项，只有选项 A 符合题意 故选：A 2
10、已知，则的值是（ ） A B C D 【分析】因为已知，所以可以设：a2k，则 b3k，将其代入分式即可求解 【解答】解：， 设 a2k，则 b3k， ， 故选：A 3下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A B C D 【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方 数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式求解即可 【解答】解：A、2，能与合并，故本选项不符合题意； B、，不能与合并，故本选项符合题意； C、，能与合并，故本选项不符合题意； D、能与合并，故本选项不符合题意 故选：B 4关于 x 的一元二次方程 x2+（k2）x+k210 的一个
11、根是 0，则 k 的值是（ ） A1 B1 C1 D2 【分析】把 x0 代入方程计算即可求出 k 的值 【解答】解：把 x0 代入方程得：k210， 解得：k1 或 k1， 故选：C 5从“+，”中选择一种运算符号，填入算式“ （+1）x”的“”中，使其运算结果为有 理数，则实数 x 不可能是（ ） A+1 B51 C2 D1 【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可 【解答】解：A、 （+1）（+1）0，故本选项不合题意； B、无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； C、 （+1）（2）3，故本选项不合题意； D、 （+1） （1）2，故本选项不合题意 故
12、选：B 6若 x25，则 x2+10 x2 的值为（ ） A10+1 B10 C13 D1 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把 x25 代入原式计算，得到答案 【解答】解：x2+10 x2 x2+10 x+2527 （x+5）227， 当 x25 时，原式（25+5）22728271， 故选：D 7定义新运算“ab” ：对于任意实数 a、b，都有 ab（a+b） （ab）1，例 42（4+2） （42） 112111则方程 x1x 的根的情况为（ ） A无实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D只有一个实数根 【分析】利用新定义得到（x+1） （x1）1x，再把方程化为一般
13、式后计算判别式的值，然后利用 0 可判断方程根的情况 【解答】解：由新定义得（x+1） （x1）1x， 整理得 x2x20， （1）241（2）90， 方程有两个不相等的实数根 故选：C 8某口罩加工厂 2020 年一月份口罩产值达 50 万元，第一季度总产值达 175 万元，若设二、三月份的月平 均增长率为 x，则由题意可列方程为（ ） A50（1+x）2175 B50+50（1+x）2175 C50（1+x）+50（1+x）2175 D50+50（1+x）+50（1+x）2175 【分析】设二、三月份的月平均增长率为 x，则二月份口罩产值为 50（1+x）万元，三月份口罩产值为 50（1+
14、x）2万元，根据第一季度总产值达 175 万元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设二、三月份的月平均增长率为 x，则二月份口罩产值为 50（1+x）万元，三月份口罩产值 为 50（1+x）2万元， 依题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2175 故选：D 9等腰三角形的一边长为 4，另外两边的长是关于 x 的方程 x210 x+k0 的两个实数根，则该等腰三角形 的周长是（ ） A14 B14 或 15 C4 或 6 D24 或 25 【分析】分为两种情况：腰长为 4，底边为 4，分别求出即可 【解答】解：设底边为 a， 分为两种情况：当腰长是 4 时，则 a+
15、410， 解得：a6， 即此时底边为 6， 底边为 4，2a10， 解得 a5， 所以该等腰三角形的周长是 14 故选：A 10如图，矩形 ABCD 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D（2，3） ，AD5，若反比例函数 y （x0）的图象经过点 B，则 k 的值为（ ） A4 B C10 D 【分析】设 A（t，0） ，利用两点间的距离公式得到（t+2）2+3252，解方程得到 A（2，0） ，设 C（0， m） ，根据矩形的性质通过点的平移得到 B（4，m3） ，则利用 ACBD 得到 22+m2（4+2）2+（m3 3）2，解方程得 B 点坐标，然后把 B 点坐标代入 y
16、中可得到 k 的值 【解答】解：设 A（t，0） ， D（2，3） ，AD5， （t+2）2+3252，解得 t2， A（2，0） ， 设 C（0，m） ， D 点向右平移 2 个单位，向上平移（m3）个单位得到 C 点， A 点向右平移 2 个单位，向上平移（m3）个单位得到 B 点， B（4，m3） ， ACBD， 22+m2（4+2）2+（m33）2，解得 m， B（4，） ， 把 B（4，）代入 y得 k4 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11方程 x（x2）2x 的根是 x12，x21 【分析】利用因式分解法得步骤向岸边方程变形为（x2） （x+1）0，再根据
17、x20 或 x+10，即 可求出答案 【解答】解：x（x2）2x， x（x2）（x2）0， （x2） （x+1）0， x20 或 x+10， 解得：x12，x21； 故答案为：x12，x21 12如图是小孔成像原理示意图，若点 O 到 AB 的距离是 18cm，O 到 CD 的距离是 6cm，物体 AB 的高度是 9cm，则像 CD 的高度是 3 cm 【分析】 正确理解小孔成像的原理， 因为 ABCD 所以ABODCO， 则有， 而 AB 的值已知， 所以可求出 CD 【解答】解：ABCD， ABODCO， ， 又AB9cm， CD3cm 故答案为：3 13已知 Mx+3，当 x 分别取 1
18、，2，3，2020 时，所对应 M 值的总和是 2022 【分析】根据二次根式的性质，分两种情况分别求出结果，即 x2 和 x2 两种情况，求出当 x1，x 2 时 M 的值，再求出当 x2 时 M 的值 【解答】解：Mx+3|x2|x+3， 当 x2 时，|x2|2x，此时 Mx+32xx+352x， x1，M52x3， x2，M52x1， 当 x2 时，|x2|x2，此时 Mx+3x2x+31， 当 x 分别取 1，2，3，2020 时，Mx+33+1+1（20202）2022 故答案为：2022 14 “黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见如图，D、E 是
19、ABC 中边 BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 与ABC 的面积之比是 2 【分析】 先由黄金分割点的定义得 BECDBC， 则 BDBCCDBCBCBC， 得 DEBEBDBCBC（2）AB，再由三角形面积公式求解即可 【解答】解：过 A 作 AHBC 于 H，如图所示： D、E 是边 BC 的两个“黄金分割”点， BECDBC， BDBCCDBCBCBC， DEBEBDBCBC（2）AB， ADE 与ABC 的面积之比2， 故答案为：2 15如图，A、B、C、D 都是格点（小正方形的顶点） ，动点 E 在线段 AC 上，若点 A 的坐标是（1，1） ，则 当ADE 与ABC 相似时，动
20、点 E 的坐标是 （3，3）或（，） 【分析】首先根据图，可得 AD1，AB3，AC6，然后分别从若ADEABC 与若 ADEACB 去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 AE 的值，小心别漏解 【解答】解：根据题意得：AD1，AB3，AC6， AA， 若ADEABC 时， 即：， 解得：AE2， 点 A 的坐标是（1，1） ， E（3，3） ； 若ADEACB 时， 即：， 解得：AE， E（，） ， 当ADE 与ABC 相似时，动点 E 的坐标是（3，3）或（，） ， 故答案为： （3，3）或（，） 三解答题三解答题 16解方程：x24x0 【分析】找出 a，b，c 的值，代入求
21、根公式计算即可 【解答】解：整理得 x23x0， a1，b3，c， b24ac（3）241（）10， x， x1，x2 17计算： （1） （） 1 +|1|（）0； （2） （） （）+（32）2 【分析】 （1）直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接利用乘法公式将原式变形计算得出答案 【解答】解： （1） （） 1 +|1|（）0； 2+11 2； （2） （） （）+（32）2 （）2（）2+（3）212+4 +1812+4 2212 18求当 m 为何值时，关于 x 的方程 mx2（2m1）x+m20 有实数根 【分析】讨论：当 m0 时
22、，方程为一元一次方程，有一个实数解；当 m0 时，利用判别式的意义得到 （2m1）24m（m2）0，再解两个不等式得到此时 m 的范围，然后综合两种情况得到 m 的范 围 【解答】解：当 m0 时，方程为 x20，解得 x2； 当 m0 时，根据题意得（2m1）24m（m2）0，解得 m且 m0， 综上所述，当 m时，关于 x 的方程 mx2（2m1）x+m20 有实数根 19如图，E 是ABCD 的边 CD 延长线上一点，连接 BE，交 AC 于点 O，交 AD 于 F （1）图中的相似三角形共有 B A.7 对；B.6 对；C.5 对；D.4 对 （2）求证：OB2OEOF 【分析】 （1
23、）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可； （2）由 ABCD 得AOBCOE，有 OE：OBOC：OA；由 ADBC 得AOFCOB，有 OB： OFOC：OA，进而得出 OB2OFOE 【解答】解： （1）ABCD 是平行四边形 ADBC，ABDC ABOCEO，AOFCOB，EFDEBC，ABFDEF，ABFEBC 五对，还有一 对特殊的相似即ABCADC， 共 6 对， 故选 B； （2）ABCD， AOBCOE OE：OBOC：OA； ADBC， AOFCOB OB：OFOC：OA OB：OFOE：OB， 即 OB2OFOE 20 “通过等价变换，化复杂为简单，化陌生
24、为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方 式例如：解方程 x0，就可利用该思维方式，设y，将原方程转化为：y2y0 这个熟悉的 关于 y 的一元二次方程，解出 y，再求 x这种方法又叫“换元法” 请你用这种思维方式和换元法解决 下列问题： （1）填空：若 2（x2+y2）2+（x2+y2）0，则 x2+y2的值为 0 ； （2）直接写出方程 x23|x|+20 的根； （3）解方程：x2x+280 【分析】 （1）设 x2+y2t，原方程转化为 2t2+t0，解得 t10，t2，然后利用非负数的性质确定 x2+y2的值； （2）设|x|t，原方程转化为 t23t+20，解得 t1
25、1，t22，当 t1 时，则|x|1；当 t2 时，则|x| 2，然后利用绝对值的意义得到 x 的值； （3）设t，原方程转化为 t2+2t80，解得 t14，t22，当 t4 时，4，当 t2 时，2，然后分别解无理方程即可 【解答】解： （1）设 x2+y2t，原方程转化为 2t2+t0，解得 t10，t2， 当 t0 时，x2+y20；当 t时，x2+y2（舍去） ； 所以 x2+y2的值为 0； 故答案为 0； （2）设|x|t，原方程转化为 t23t+20，解得 t11，t22， 当 t1 时，则|x|1，解得 x1， 当 t2 时，则|x|2，解得 x2， 所以原方程的解为 x11
26、，x21，x32，x42； （3）设t，原方程转化为 t2+2t80，解得 t14，t22， 当 t4 时，4，不合题意舍去； 当 t2 时，2，则 x2x4，解得 x1，x2， 经检验，原方程的解为 x1，x2， 21 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容 【定理证明】 （1）请根据教材内容，结合图，写出证明过程 【定理应用】 （2）如图，四边形 ABCD 中，M、N、P 分别为 AD、BC、BD 的中点，边 BA、CD 延长 线交于点 E，E45，则MPN 的度数是 135 （3）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，点 E 在边 AB 上，且 AE3BE将
27、线段 AE 绕点 A 旋转 一周，得到线段 AF，M 是线段 CF 的中点，直接写出旋转过程中线段 BM 长的最大值和最小值 【分析】 （1）延长 DE 至 F，使 EFDE，连接 CF，证明AEDCEF，得到 ADCF，AACF， 证明四边形 DBCF 为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据平行线的性质得到MPDABD、NPD+PDC180，根据三角形的外角性质计算， 得到答案； （3）延长 CB 至 H，连接 FH，AH，根据三角形中位线定理得到 BMFH，根据勾股定理求出 AH， 结合图形计算，得到答案 【解答】 （1）证明：延长 DE 至 F，使 EFDE，连接 CF
28、， 在AED 和CEF 中， ， AEDCEF（SAS） ， ADCF，AACF， ABCF， ADDB， BDCF， 四边形 DBCF 为平行四边形， DFBC，DFBC， DEBC，DEBC； （2）解：M、P 分别为 AD、BD 的中点， MPAB， MPDABD， N、P 分别为 BC、BD 的中点， PNCD， NPD+PDC180， NPD180PDC， PDCE+ABD， MPNMPD+NPDABD+180EABD135， 故答案为：135； （3）解：延长 CB 至 H，连接 FH，AH， CMMF，CBBH， BMFH， 由勾股定理得，AH5， 当点 F 在线段 AH 上时，
29、FH 最小，最小值为 532， 当点 F 在线段 HA 的延长线上时，FH 最大，最大值为 5+38， BM 长的最大值为 4，最小值为 1 22 【问题提出】在 2020 抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习， 九年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀， 互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班 56 名同学共通过多少次电话 呢？ 【模型构建】用点 M1、M2、M3、M56分别表示第 1、2、3、56 名同学，把该班级人数 n 与视 频通话次数 S 之间的关系用如图模型表示： 【问题解决
30、】 （1）填写如图中第 5 个图中 S 的值为 15 （2） 通过探索发现， 通电话次数 S 与该班级人数 n 之间的关系式为 Sn （n1） ， 则当 n56 时， 对应的 S 1540 （3）若该班全体女生相互之间共通话 253 次，求该班共有多少名女生？ （4）若该班数学兴趣小组的同学们，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信 182 条，则该班数学兴趣小组的人数是 14 人 【分析】 （1）观察图形，利用 S顶点数经过每个顶点的线段条数2，即可求出结论； （2）观察图形，利用 S顶点数经过每个顶点的线段条数2，即可找出通电话次数 S 与该班级人数 n 之间的关系式，再代
31、入 n56 即可求出 S 的值； （3）设该班有 x 名女生，由（3）的结论结合该班全体女生相互之间共通话 253 次，即可得出关于 x 的 一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （4）设该班数学兴趣小组的人数是 y 人，则每人发送（y1）条微信，利用全组共发送微信条数人数 每人发送微信条数，即可得出关于 y 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解： （1）56215 故答案为：15 （2）Sn（n1） 当 n56 时，S56（561）1540 故答案为：Sn（n1） ；1540 （3）设该班有 x 名女生， 依题意得：x（x1）253， 整理得：x2x5060， 解得：x1
32、23，x222（不合题意，舍去） 答：该班有 23 名女生 （4）设该班数学兴趣小组的人数是 y 人，则每人发送（y1）条微信， 依题意得：y（y1）182， 整理得：y2y1820， 解得：y114，y213（不合题意，舍去） 故答案为：14 人 23 （1） 【证明】如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，CADB求证：CA2CDCB （2） 【应用】如图，在ABCD 中，P 为 BC 上一点，Q 为 BA 延长线上一点，CQPD若 CQ 6，CP3，求 AD 的长 （3） 【拓展】如图，在菱形 ABCD 中，P 是 BC 上一点，BDPQ，BD2PQ，ABC2PAQ，当 BP1，AQ3
33、时，请直接写出菱形 ABCD 的边长 【分析】 （1）直接判断出CADCBA，即可得出结论； （2）先判断出CQPB，得出PCQQCB，进而得出 CQ2CPCB，即可得出结论； （3）先判断出PAQADC，进而判断出APQEPA，得出，知 AP2PEPQ，进 而判断出 AP22PQ2，得出 APPQ，即可得出结论 【解答】 （1）证明：CADB，CC， CADCBA， ， CA2CDCB； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BD， CQPD， CQPB， PCQQCB， PCQQCB， ， CQ2CPCB， CB12， AD12； （3）如图， 延长 PQ，AD 相交于点 E， 四边形 ABCD 是菱形， ADBADCABC， ABC2PAQ， PAQADB， PQBD， ADBE， PAQE， APQEPA， APQEPA， ， AP2PEPQ， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， BDPQ， 四边形 BDEP 是平行四边形， DEBP1，PEBD， BD2PQ， PE2PQ， AP22PQ2， APPQ， ， AEAQ6， ADAEDE615 菱形 ABCD 的边长为 5
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