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    广西玉林市柳州市2021届高三第二次模拟考试理科数学试卷(含答案)

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    广西玉林市柳州市2021届高三第二次模拟考试理科数学试卷(含答案)

    1、 广西玉林市、 柳州市 2021 届高三第二次模拟考试数学 (理) 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 AxN|2x70,Bx|x22x30,则 AB( ) A.x|0bc B.cba C.bac D.bca 4.2020 年,受新冠肺炎疫情的影响,在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式,此种 方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求.某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能 手机对学习成绩的影响”,得到了如下样本数据: 附: 2 2 () ()()()()

    2、 n adbc K ab cd ac bd ,nabcd. 根据表中的数据,下列说法中正确的是( ) A.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响; B.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响; C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习无影响; D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习有影响. 5.函数 f(x) 1 2 x2xsinx 的大致图象可能是( ) 6.某校迎新晚会上有 6 个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排 在第三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编

    3、排方案共有 ( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.120 种 7.等差数列an的前 n 项和为 Sn,当首项 a1和公差 d 变化时,a3a8a10是一个定值,则下 列选项中为定值的是( ) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 8.已知函数 yx称为高斯函数,其中x表示不超过实数 x 的最大整数.执行如图程序框图, 则输出的 S 值为( ) A.42 B.43 C.44 D.45 9.已知点 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 所在平面上一点,满足 PCPAPB0,则PB 的最小值是( ) A. 52 2 B. 21 2 C.1 D. 73 2 10.圆 C:(x2)

    4、2(y3)21 上一动点 M,抛物线 y28x 上一动点 N(x0,y0),则 x0|MN| 的最小值为 A.251 B. ( )2 C.3 D.4 11.已知关于 x 的方程 xlna2ln|x|有三个不等的实数根,则实数 a 的取值范围是( ) A.( 1 2 e,) B.( 1 4 e2,) C.(e,) D.(e2,) 12.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a, 点 E, F, G 分别为棱 AB, AA1, C1D1的中点, 下列结论中正确的个数是( ) 过 E,F,G 三点作正方体的截面,所得截面为正六边形; B1D1/平面 EFG; 异面直线 EF 与 BD1所成角

    5、的正切值为2; 四面体 ACB1D1的体积等于 3 3 a . A.1 B.2 C.3 D.4 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.正项等比数列an中,a11,a64a4,记 Sn为an的前 n 项和.若 Sm127,则 m . 14.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分(由对角 线 OB 及函数 yx3围成)的概率为 . 15.已知 P 为球 O 球面上一点, 点 M 满足2OMMP, 过点 M 与 OP 成 30 的平面截球 O, 截面的面积为 16,则球 O 的表面

    6、积为 . 16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:ykx8 上存在点 P,过点 P 作圆 O:x2y24 的切线,切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1x2y1y22,则实数 k 的取值范围 为 . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知函数 f(x)sin(2x )(01,都有 f(x)4x11 x x 恒成立,求整数 a

    7、 的最大值. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题 计分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.选修 44:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2 x4t 2 2 y2t 2 (t 为参数).以坐标原点 O 为 极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 cos2atan(a0). (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设 P(4,2),直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点,若|PM|,|MN

    8、|,|PN|成等比数列, 求实数 a 的值. 23.选修 45:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)|x4|x3|. (1)求不等式 f(x)12 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)( 1 3 )1 3a20 恒成立,求实数 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题:一、选择题:(每小题 5 分, 满分 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C B C A C D D B B B 二、填空题:二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 137 14 1 4 15. 72 163 3,)(, 三、解答题:三、解

    9、答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17解:(1) 6 x 是 f x的对称轴,2 62 kk Z,1 分 解得: 6 kk Z,2 分 又0 2 , 6 ,3 分 sin 2 6 fxx , 1 sin 2 62 fAA ,4 分 0,A, 13 2, 666 A ,5 分 5 2 66 A , 解得: 3 A .6 分 (2)设 BC 边上的高为h,所以有Abcahsin 2 1 2 1 ,7 分 则bch 4 3 8 分 由余弦定理得: 22222 2cosabcbcAbcbc 9 分 即得: 2 2abcbcbc(当且仅当bc时取等号),10 分 4bc(当且仅当bc时取等号)

    10、,11 分 3 4 3 bch, 此时 BC 边上的高取得最大值3.12 分 18解:(1)这 100 名游客评分的平均值为 55 0.01 65 0.24 75 0.35 85 0.26 95 0.142 分 77.8 3 分 (2)由题意得 3 (0.010.0240.035) 100.6 5 P 4 分 32 1( ) 55 m m m a , 5 分 数列 m a的前 4 项和为 5 22 40655 . 2 625 1 5 6 分 由题意,X 的可能取值为-3,-1,1,3 7 分 3 28 (3) 5125 P X , 2 2 3 2336 (1) 55125 P XC , 2 1

    11、 3 2354 (1) 55125 P XC , 3 327 (3) 5125 P X ,9 分 故 X 的分布列为: X -3 -1 1 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 10 分 8365427753 3113 1251251251251255 EX 11 分 X 的数学期望为 3 5 . 12 分 19.解:(1)ABC和SBC都为等边三角形,且有公共边BC , AB SBBCACSC. 1 分 P为SA的中点,所以SABP,SACP,3 分 又BPCPP,SA平面PBC.4 分 (2)取BC的中点O,连接OA,OS,易得3, 3,OAOSBCOABCOS 2

    12、22, OAOBAS 90AOS,.的平面角为二面角SBCAAOS 5 分 即.ABCSBC面面可得,OA OB OS两两垂直. 以O为坐标原点,OA,OB,OS的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间 直角坐标系,如图. 6 分 设2AB ,则3AOOS, 则点3,0,0A,0,1,0B, 0, 1,0C,0,0, 3S, 2 33 ,0, 33 Q ,7 分 3,1,0CA, 3,0,3SA, 2 33 , 1, 33 BQ . 9 分 设平面SAC的一个法向量为 , ,nx y z , 则 30, 330, n CAxy n SAxz ,令1x ,可得1,3,1n . 10 分 设BQ与

    13、平面SAC所成角为, 则 2 33 3 3 10 33 sincos, 1041 11 3 1 33 BQ n BQ n BQn . 12 分 20解:(1) 2 22 131 1, 42 b aba 由题意有2 分 2,1ab解得 3 分 椭圆方程为. 1 4 2 2 y x 4 分 (2))0 , 3(, 3 1 Fc, 当直线斜率.1800 0,不合题意 时,显然AOBk 5 分 当时0k,设直线l:)3( xky 联立直线l与椭圆 )3( 1 4 2 2 xky y x 6 分 有04123841 2222 kxkxk )( 设 A),( 11 yx,),( 22 yxB, 2 2 2

    14、1 2 2 21 41 412 , 41 38 k k xx k k xx 7 分 2 2 2121 2 2121 41 ) 333()3()3( k k xxxxkxkxkyy 8 分 . 0, 0 2121 yyxxOBOAAOB为钝角,则 9 分 0 41 411 41 412 41 2 2 2 2 2 2 2121 k k k k k k yyxx 10 分 . 11 44 11 44 , 0411 2 kk,且. 0k 11 分 综上,) 11 44 , 0()0 , 11 44 (的取值范围是k 12 分 21解:(1)当时3a, 3 ( )ln43f xxx x ,)(xf定义域

    15、为(0,+)1 分 22 2 2 ) 1)(34(43 4 31 )( x xx x xx xx xf ,注意到034x 2 分 .)(, 0)( 10单调递增时,当xfxfx .)(, 0)(1 单调递减时,当xfxfx )递减区间为()的单调递增区间为(, 1,1 , 0)(xf 3 分 ( )f x在 1x 时取得极大值且极大值为 14f,无极小值4 分 (2).1ln 1 1lnxxaxaxx x x a x a x 恒成立原不等式5 分 变形有) 1(12lnxaxxx ., 1 1 12ln , 1)恒成立在(即 a x xxx x 6 分 设) 1( 1 12ln )( x x

    16、xxx xh原问题等价于axh min )( 2 ) 1( 2ln )( x xx xh ,令2ln)(xxxg 7 分 则0 11 1)( x x x xg)单调递增在( , 1)(xg . 04ln224ln4)4(, 03ln123ln3)3(gg 8 分 由零点存在定理有.ln2, 02ln)()4 , 3( 000000 xxxxxgx即使存在 9 分 当.)(, 0)(, 0)(), 1 ( 0 单调递减时,xhxhxgxx 当.)(, 0)(, 0)(),( 0 单调递增时,xhxhxgxx 1 12ln )()( 0 000 0min x xxx xhxh ,利用 00 ln2

    17、xx 10 分 1 1 12)2( )( 0 0 000 min x x xxx xh 11 分 )5 , 4(1),4 , 3( 00 xx aZ,a的最大值为 4. 12 分 22解:(1)由 2 4 2 2 2 2 xt yt 消去t, 可得直线 l 的普通方程为20 xy;2 分 由cos2 tana得 2 cos2 sina,3 分 22 cos2sina, cosx,siny, 2 2(0)xay a4 分 由tan有意义可知cos0,cos0 x, 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2(0,0)xay xa5 分 (2)由( 4, 2)P ,直线l的参数方程为 2 4 2 2 2

    18、2 xt yt (t 为参数) 将该方程代入曲线 C 的直角坐标方程 2 2(0,0)xay xa中, 得 2 2 2(4)8(4)0ta ta6 分 设 M,N 两点对应的参数分别为 1 t, 2 t, 则 12 2 2(4)tta, 1 2 8(4)t ta 7 分 |,|,|PMMNPN成等比数列, 2 |PM | |PN|=|MN|, 2 1212 | | |tttt,8 分 即 2 1 2121 2 4t tttt t, 21 2 21 5)(t ttt 2 8(4)40(4)aa,9 分 1a 10 分 23 解:(1) 原不等式等价于 4 4312 x xx 或 34 4312 x xx 或 3 4312 x xx , 1 分 解得 13 2 x 或x或 11 2 x .4 分 不等式的解集为 13 2 x x 或 11 2 x . 5 分 (2)不等式 1 3 1 ( )20 3 a f x 恒成立,等价于 1 3 min 1 2 3 a f x ( ) , 6 分 即 1 3 min 1 43( ) 3 2 a xx . 7 分 43437xxxx ,当且仅当34x 时,等号成立. 8 分 1 3 1 9( ) 3 a , 13 39 a 则312a ,解得1a , 9 分 实数a的取值范围是(,1. 10 分


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