1、2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级（上）期末数学试卷学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级（上）期末数学试卷 一一.选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列点位于反比例函数图象上的是（ ） A （1，2） B （1，3） C （1，2） D （1，3） 2下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3一元二次方程 x2+2x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 4下列事件是确定事件的是（ ） A阴天一定会下雨 B黑暗中从 5 把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门
2、 C打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播 D在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落 5在平面直角坐标系中，将抛物线 y3x2先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解 析式是（ ） Ay3（x+1）2+2 By3（x+1）22 Cy3（x1）2+2 Dy3（x1）22 6如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA 的值为（ ） A B C3 D 7 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中 容圆径几何？”其意思是： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步， 问该直角三角形
3、能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” （ ） A3 步 B5 步 C6 步 D8 步 8如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，反比例函数的图象过 D 点和边 BC 的中点 E，连接 DE，若CDE 的面积是 1，则 k 的值是（ ） A3 B4 C D6 9如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，B30，CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点 D， 连接 AE，则 SADE：SCDB的值等于（ ） A1： B1： C1：2 D2：3 10 如图， 是二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象的一部分， 对称轴为直线 x1， 下列命题： abc0； b24ac0；当 y
4、0 时，3x1；a2b+c0；m（ma+b）+ba（m 为实数） 其中正确 的命题有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二二.填空题（每题填空题（每题 3 分，共分，共 21 分）分） 11若关于 x 的方程（a1）x7x+30 是一元二次方程，则 a 12为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降 价后为 256 元设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 13已知ABC 外接圆半径为 5，ABAC，BC8，求ABC 的高 AD 长 14一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 15已知直线 l 经过
5、点（0，1）且与 x 轴所夹锐角的正切值为，则直线 l 的解析式为 16已知反比例函数的解析式为 y，则当 y2 时，自变量 x 的取值范围是 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，RtOA1C1，RtOA2C2，RtOA3C3，RtOA4C4，的斜边都在坐 标轴上，A1OC1A2OC2A3OC3A4OC430，若点 A1的坐标为（3，0） ，OA1OC2，OA2 OC3，OA3OC4，则依此规律，点 A2021的坐标为 三.解答下列各题（共 69 分） 18.（1）计算：tan2452cos60+（2）0（） 1； （2）解方程： （x+3）22（x+3） 19.如图，ABC 在正方形格
6、纸中， （1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使 A（2，3） ，C（6，2） ，并写出点 B 坐标； （2）以坐标原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将ABC 放大，画出放大后的图形A1B1C1 并写出点 A 的对应点 A1的坐标； （3）若线段 AB 绕原点 O 旋转 90后点 B 的对应点为 B2，写出点 B2的坐标 20.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“齐” “心” “抗” “疫”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有 任何区别，每次摸球前先搅拌均匀 （1）若从中任取一个球，写出球上的汉字刚好是“齐”的概率； （2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列
7、表的方法，求取出的两个球上的汉字能 组成“齐心”的概率 21.环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值 1.0mg/l 时，环保局要求该企业立即整改，必须在 15 天以内（含 15 天）排污达标整改过程中，所排污 水中硫化物的浓度 y（mg/l）与时间 x（天）的变化规律如图所示，其中线段 AB 表示前 5 天的变化规律， 从第 5 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 成反比例关系 （1）求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； （2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？ 22.如图，在 RtABC 中，B90，AD
8、 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径的O 经过点 D （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若C30，且 CD3，试求阴影部分的面积 23.综合与实践 问题情境：如图 1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰 RtABC 和等腰 RtADE，并连接 CE， BD 操作发现： （1）当等腰 RtADE 绕点 A 旋转，如图 2，勤奋小组发现了： 线段 CE 与线段 BD 之间的数量关系是 直线 CE 与直线 BD 之间的位置关系是 类比思考： （2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图 3，若ABC 与ADE 都为直角三角形， BACDAE90，且 AC2
9、AB，AE2AD，请你写出 CE 与 BD 的数量关系和位置关系，并加以证 明 拓展应用： （3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点 E 在直线 AB 上方时，若 DE AB，且 AB，AD1，其他条件不变，试求出线段 CE 的长 （直接写出结论） 24.综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，4）三点， 点 P（m，n）是直线 BC 下方抛物线上的一个动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点 P 运动到什么位置时，PBC 的面积最大，求出此时 P 点坐标及PBC 面积的最大值； （3）在 y 轴上是否
10、存在点 Q，使以 O，B，Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级（上）期末数学试卷学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列点位于反比例函数图象上的是（ ） A （1，2） B （1，3） C （1，2） D （1，3） 【分析】由函数，得到 3xy，只要把答案 A、B、C、D 的点的坐标代入，上式成立即可 【解答】解：函数， 3xy， 只要把点的坐标代入，上式成立即可， 代入得：A、C、D
11、的坐标都不成立，只有 B 的符合 故选：B 2下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 故选：B 3一元二次方程 x2+2x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况 【解答】解：在方程 x2+2x1
12、0 中，2241（1）80， 方程 x2+2x10 有两个不相等的实数根 故选：A 4下列事件是确定事件的是（ ） A阴天一定会下雨 B黑暗中从 5 把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门 C打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播 D在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落 【分析】找到一定发生或一定不发生的事件即可 【解答】解：A、阴天一定会下雨，是随机事件； B、黑暗中从 5 把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件； C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件； D、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件 故选：D 5在平面直角坐标系中
13、，将抛物线 y3x2先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解 析式是（ ） Ay3（x+1）2+2 By3（x+1）22 Cy3（x1）2+2 Dy3（x1）22 【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线 y3x2的对称轴为直线 x0，顶点坐标为（0，0） ，则抛物 线 y3x2向右平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x1， 顶点坐标为 （1， 2） ，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y3x2的对称轴为直线 x0，顶点坐标为（0，0） ， 抛物线 y3x2向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的
14、抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标 为（1，2） ， 平移后抛物线的解析式为 y3（x1）2+2 故选：C 6如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA 的值为（ ） A B C3 D 【分析】根据题意和图形，可以得到 CD 和 AC 的长，然后即可求得 sinA 的值 【解答】解：延长 AB 到 D，连接 CD，如右图所示， 由题意可得， AC，CD1， sinA， 故选：A 7 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中 容圆径几何？”其意思是： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步， 问该直角三
15、角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” （ ） A3 步 B5 步 C6 步 D8 步 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径 【解答】解：根据勾股定理得：斜边为17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 r3（步） ，即直径为 6 步， 故选：C 8如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，反比例函数的图象过 D 点和边 BC 的中点 E，连接 DE，若CDE 的面积是 1，则 k 的值是（ ） A3 B4 C D6 【分析】设 E 的坐标是（m，n） ，kmn，则 C 的坐标是（m，2n） ，求得 D 的坐标，然后根据三角形的 面积公式求得 mn 的值
16、，即 k 的值 【解答】解：设 E 的坐标是（m，n） ，kmn， 则 C 的坐标是（m，2n） ， 在 y中，令 y2n，解得：x， SCDE1， |n|m|1，即n1， mn4 k4 故选：B 9如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，B30，CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点 D， 连接 AE，则 SADE：SCDB的值等于（ ） A1： B1： C1：2 D2：3 【分析】由 AB 是O 的直径，得到ACB90，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线 定理得到，求出 ADAB，BDAB，过 C 作 CFAB 于 F，连接 OE，由 CE 平分ACB 交O 于 E，得到
17、OEAB，求出 OEAB，CFAB，根据三角形的面积公式即可得 到结论 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90， B30， ， CE 平分ACB 交O 于 E， ， ADAB，BDAB， 过 C 作 CFAB 于 F，连接 OE， CE 平分ACB 交O 于 E， ， OEAB， OEAB，CFAB， SADE：SCDB（ADOE） ： （BDCF）（） ： （） 2：3 故选 D 方法二：连接 BE，易知 AEAB，BCAB， 由ADECDB， SADE：SBDC（AE：BC）22：3， 故选：D 10 如图， 是二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象的一部分， 对称轴为直线
18、x1， 下列命题： abc0； b24ac0；当 y0 时，3x1；a2b+c0；m（ma+b）+ba（m 为实数） 其中正确 的命题有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点判断；根据抛物线与 x 轴的交点判断 ；根据抛物线的对称性判断；根据抛物线与 x 轴的交点为（1，0）判断；根据函数的最小值判断 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 对称轴为直线 x1， b0， 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0， abc0，本小题说法正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，本小题说法错误； 抛物线与 x 轴的交点为（1，
19、0） ，对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 当 y0 时，3x1，本小题说法正确； 对称轴为直线 x1， 1， b2a， 抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， a+b+c0， c3a， a2b+ca4a3a6a0，本小题说法错误； 对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 有最小值， am2+bm+cab+c， m（ma+b）+ba（m 为实数） ，本小题说法正确； 故选：B 二填空题二填空题 11若关于 x 的方程（a1）x7x+30 是一元二次方程，则 a 1 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：关于 x 的方程（a1）x7x+30 是一元二
20、次方程， a2+12 且 a10， 解得：a1 故答案为：1 12为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降 价后为 256 元设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为 289（1x）2256 【分析】设平均每次的降价率为 x，则经过两次降价后的价格是 289（1x）2，根据关键语句“连续两 次降价后为 256 元， ”可得方程 289（1x）2256 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，则第一降价售价为 289（1x） ，则第二次降价为 289（1 x）2，由题意得： 289（1x）2256 故答案为：289（1x）2256 13已
21、知ABC 外接圆半径为 5，ABAC，BC8，求ABC 的高 AD 长 1 或 9 【分析】分成ABC 是锐角三角形的钝角三角形两种情况进行讨论，作 ADBC 于点 D，则 AD 一定经 过点圆心 O，利用垂径定理和勾股定理求得 OD 的长，即可求 AD 的长 【解答】解：当ABC 是锐角三角形时，如图 1， 作 ADBC 于点 D，则 AD 一定经过点圆心 O，连接 OB， 在直角OBD 中，BDBC63， OD4， 则 ADOA+OD5+49； 当ABC 是钝角三角形时，如图 2， 同理，OD4，则 ADOAOD541， 故 AD 的长为 1 或 9， 故答案为 1 或 9 14一个圆锥的
22、侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 180 【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的 2 倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图 的弧长底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数 【解答】解：设母线长为 R，底面半径为 r， 底面周长2r，底面面积r2，侧面面积lrrR， 侧面积是底面积的 2 倍， 2r2rR， R2r， 设圆心角为 n，有2r， n180 故答案为：180 15已知直线 l 经过点（0，1）且与 x 轴所夹锐角的正切值为，则直线 l 的解析式为 yx+1 或 y x+1 【分析】设直线 l 的解析式为 ykx+1，求得与 x 轴的交点
23、，然后通过解直角三角形即可求得 k 的值，从 而求得直线的解析式 【解答】解：设直线 l 的解析式为 ykx+b， 直线 l 经过点（0，1） ， b1， 直线 l 的解析式为 ykx+1， 令 y0，则 x， 直线与 x 轴的交点为（，0） ， 直线 l 与 x 轴所夹锐角的正切值为， ， |， k， 直线 l 的解析式为 yx+1 或 yx+1， 故答案为 yx+1 或 yx+1 16已知反比例函数的解析式为 y，则当 y2 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 x0 【分析】直接利用反比例函数的性质结合所在象限分析得出答案 【解答】解：当 0y2 时，x1； 当 y0 时，x0， 故当
24、 y2 时，自变量 x 的取值范围是：x1 或 x0 故答案为：x1 或 x0 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，RtOA1C1，RtOA2C2，RtOA3C3，RtOA4C4，的斜边都在坐 标轴上，A1OC1A2OC2A3OC3A4OC430，若点 A1的坐标为（3，0） ，OA1OC2，OA2 OC3，OA3OC4，则依此规律，点 A2021的坐标为 【考点】规律型：点的坐标 【专题】规律型；推理能力 【答案】 （3（）2021，0） 【分析】 根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 OA2OC23； OA3OC33 （） 2；OA4 OC43（）3，于是可得到 A2021（3（
25、）2021，0） 【解答】解：A2OC230，OA1OC23， OA2OC23；OA3OC33（）2；OA4OC43（）3， OA20213（）2021， 点 A2021与 A1位置相同，在 x 轴的正半轴上， 点 A2021（3（）2021，0） ， 故答案为： （3（）2021，0） 三解答题 18.（1）计算：tan2452cos60+（2）0（） 1； （2）解方程： （x+3）22（x+3） 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程因式分解法；特殊角的三角函数值 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）原式利用特殊角的三角函数
26、值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解： （1）原式12+1（2） 11+1+2 3； （2）方程整理得： （x+3）22（x+3）0， 分解因式得： （x+3） （x+32）0， 可得 x+30 或 x+10， 解得：x13，x21 19.如图，ABC 在正方形格纸中， （1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使 A（2，3） ，C（6，2） ，并写出点 B 坐标； （2）以坐标原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将ABC 放大，画出放大后的图形A1B1C1 并写出点 A 的对应点 A1的坐标； （3）若线段 AB
27、 绕原点 O 旋转 90后点 B 的对应点为 B2，写出点 B2的坐标 【考点】作图旋转变换；作图位似变换 【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）以与 A 点左边相距 2 个单位长的格线所在的直线为 y 轴，以与 A 点下方 3 个单位长的格线 所在的直线为 x 轴，两直线交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，即可得到 B 的坐标； （2）连接 OA 并延长使 AAOA，连接 OB 并延长使 BBOB，连接 OC 并延长使 CCOC，连 接 AB，AC，BC，可得ABC为所求的三角形； （3）画出图形即可解决问题 【解答】解： （1）建立平面直角
28、坐标系，如图所示， 由图形可得：B（2，1） ； （2）如图所示：A1B1C1即为所求， 由图形可得：A1（4，6） ； （3）若线段 AB 绕原点 O 顺时针（或逆时针）旋转 90后点 B 的对应点为 B2（或 B2） ， 则点 B2的坐标为（1，2）或（1，2） 20.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“齐” “心” “抗” “疫”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有 任何区别，每次摸球前先搅拌均匀 （1）若从中任取一个球，写出球上的汉字刚好是“齐”的概率； （2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能 组成“齐心”的概率 【考点】概率公式；
29、列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）直接利用概率公式计算； （2） 先画树状图展示所有 12 种等可能的结果， 再找出取出的两个球上的汉字能组成 “齐心” 的结果数， 然后由概率公式求解 【解答】解： （1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“齐”的概率为； （2）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的结果数为 2， 取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的概率为 21.环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值 1.0mg/l 时，环保局要求该企业立即
30、整改，必须在 15 天以内（含 15 天）排污达标整改过程中，所排污 水中硫化物的浓度 y（mg/l）与时间 x（天）的变化规律如图所示，其中线段 AB 表示前 5 天的变化规律， 从第 5 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 成反比例关系 （1）求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； （2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？ 【考点】反比例函数的应用 【专题】分类讨论；反比例函数及其应用；数据分析观念 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）当 x15 时，y1，即可求解 【解答】解： （1）由图象知，点 A、B 的坐标分别为（0
31、，14） 、 （4，5） ， 当 0 x5 时，设 AB 的表达式为 ykx+b， 将点 A、B 的坐标代入上式得，解得， 故 y2x+14； 当 x5 时，设函数的表达式为 y， 把点 B 的坐标（4，5）代入上式并解得：k20， 故 y； 故函数的表达式为 y； （2）不能，理由： 当 x15 时，y1， 故不能按期完成排污整改达标 22.如图，在 RtABC 中，B90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径的O 经过点 D （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若C30，且 CD3，试求阴影部分的面积 【考点】含 30 度角的直角三角形；圆周角定
32、理；切线的判定与性质；扇形面积的计算 【专题】证明题；与圆有关的计算；运算能力；推理能力 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）证明 DOAB，即可求解； （2）证明OFD、OFA 是等边三角形，S阴影S扇形DFO，即可求解 【解答】解： （1）连接 OD， AD 是BAC 的平分线， DABDAO， ODOA， DAOODA， 则DABODA， DOAB，而B90， ODB90， BC 是O 的切线； （2）连接 DE、OD、DF、OF，设圆的半径为 R， C30，CD3， ODCDtan3033， DABDAE30， ， DOE60， DOF60， FOA60， OFD、OFA 是等边三
33、角形， DFAC， S阴影S扇形DFO 23.综合与实践 问题情境：如图 1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰 RtABC 和等腰 RtADE，并连接 CE， BD 操作发现： （1）当等腰 RtADE 绕点 A 旋转，如图 2，勤奋小组发现了： 线段 CE 与线段 BD 之间的数量关系是 直线 CE 与直线 BD 之间的位置关系是 类比思考： （2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图 3，若ABC 与ADE 都为直角三角形， BACDAE90，且 AC2AB，AE2AD，请你写出 CE 与 BD 的数量关系和位置关系，并加以证 明 拓展应用： （3）创新小组在（2）的基础上，又作了进
34、一步拓展研究，当点 E 在直线 AB 上方时，若 DE AB，且 AB，AD1，其他条件不变，试求出线段 CE 的长 （直接写出结论） 【考点】几何变换综合题 【专题】几何综合题 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）如图 2 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于 H证明EACDAB（SAS） ，即可解决问 题 （2） 结论： CE2BD， CEBD 如图 3 中， 延长 BD 交 AC 于点 O， 交 EC 于点 H 证明ABDACE， 即可解决问题 （3）如图 4 中，当 DEAB 时，设 DE 交 AC 于 H，易证 ACDE求出 EH，CH，理由勾股定理即可 解决问题 【
35、解答】解： （1）如图 2 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于 H AEAD，ACAB，EADCAB90， EACDAB， EACDAB（SAS） ， ECBD，ECAABD， ABD+AOB90，AOBCOH， ECA+COH90， CHO90， BDEC， 故答案为 ECBD，BDEC （2）结论：CE2BD，CEBD 理由：如图 3 中，延长 BD 交 AC 于点 O，交 EC 于点 H BACDAE， BADCAE， AC2AB，AE2AD， ， ABDACE， ， CE2BD，ABDACE， ABD+AOB90，AOBCOH， ECA+COH90， CHO90， BDE
36、C （3）如图 4 中，当 DEAB 时，设 DE 交 AC 于 H，易证 ACDE AE2AD，AD1， AE2，DE，AH，EH， AC2AB，AB， CHACAH， 在 RtECH 中，EC4 24.综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，4）三点， 点 P（m，n）是直线 BC 下方抛物线上的一个动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点 P 运动到什么位置时，PBC 的面积最大，求出此时 P 点坐标及PBC 面积的最大值； （3）在 y 轴上是否存在点 Q，使以 O，B，Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，
37、请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】综合题；存在型；运算能力；应用意识 【答案】 （1）yx2x4； （2）P（，5） ，SPBC最大为； （3）存在这样的点 Q，坐标分别是：Q1（0，）或 Q2（0，） ，Q3（0，12）或 Q4（0，12） ， 【分析】 （1）将 A、B、C 坐标代入即可求解析式； （2）设 P 坐标，表示出PBC 的面积，再求出最大面积和面积最大时 P 的坐标； （3）两个直角顶点是对应点，而AOC 两直角边的比为，只需BOQ 两直角边比也为，两个三角 形就相似，分两种情况列出比例式即可 【解答】解： （1）设二次函数的解析式
38、为 ya（xx1） （xx2） ， 二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，4） ， x11，x23，4a（xx1） （xx2） ， 解得 x11，x23，a， 二次函数的解析式为 y（x+1） （x3）x2x4， 故答案为：y（x+1） （x3）x2x4； （2）设直线 BC 解析式为 ykx+b，将 B（3，0） ，C（0，4）代入得， 解得 b，c4， BC 解析式是 yx4， 如答图 1，过 P 作 PDy 轴，交 BC 于 D， 点 P（m，n）是直线 BC 下方抛物线上的一个动点， 0m3，nm2m4，D（m，m4） ， PD（m4）（m2m4）m2+4m
39、， SPBCPD （xBxC）（m2+4m） （30）2m2+6m2（m）2+， 03， m时，SPBC最大为，此时 nm2m4（）245， P（，5） ， 故答案为：P（，5） ，SPBC最大为； （3A（1，0） ，C（0，4） ，B（3，0） ， ，OB3， 点 Q 在 y 轴上， BOQAOC90， 若以 O，B，Q 为顶点的三角形与AOC 相似，则BOQ 与AOC 对应， 分两种情况： 如答图 2，AOCQOB， 则即，解得 OQ， Q1（0，）或 Q2（0，） ； AOCBOQ， 则即，解得 OQ12， Q3（0，12）或 Q4（0，12） ， 综上所述，存在 y 轴上的点 Q，使以 O，B，Q 为顶点的三角形与AOC 相似，这样的点一共 4 个：Q1 （0，）或 Q2（0，） ， Q3（0，12）或 Q4（0，12） ， 故答案为：存在这样的点 Q，坐标分别是：Q1（0， ）或 Q2（0，） ，Q3（0，12）或 Q4（0，12） ，
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