1、第十七第十七章章 勾股定理勾股定理 一、知识精读一、知识精读 (一）一）、 勾股定理勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 222 abc 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股 四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等 于斜边的平方 （二）（二）. 勾股定理的应用勾股定理的应用. 勾股定理是直角三角形的一个重要的
2、性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数 形结合的一个典范. 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系 的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各 是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使 用勾股定理进行求解 （三）三）. 勾股定理的证法勾股定理的证法. 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，
3、列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4 EFGH SSS 正方形正方形ABCD， 22 1 4() 2 abbac ，化简可证 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22 1 42 2 Sabcabc c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 大正方形面积为 222 ()2Sabaabb 所以 222 abc 方法三： 1 () () 2 Sabab 梯形 ， 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 ，
4、化简得证 （四）（四）.勾股定理的应用勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在 ABC 中， 90C，则 22 cab ， 22 bca ， 22 acb 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 （五）（五）.勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222 abc 中，a，b，c为正整数时，称 a，b，c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2 ,1nn n （ 2,nn为正整数）； 22 21,
5、22 ,221nnnnn （n为正整数） 2222 ,2,mnmn mn （ ,mnm ，n为正整数） （六）六） 勾股定理的历史背景勾股定理的历史背景. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被记载于周髀算经中在欧洲，通 常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理. （七）（七）. 与直角三角形有关的问题与直角三角形有关的问题. （1） 直角三角形的定义. （2） 直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于 30 ，则它所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等. （八）、中考视点 勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直
6、角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运 用： （）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边 （）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式 （）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点 勾股定理的逆定理 知识概要 勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征， 而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据， 是由数定形 （1. ）勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形 （ .）如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么 另一个叫作它的逆命题 （.
7、） 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理 二、二、中考考点中考考点分析分析 勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确 定三角形的形状 教材解读 一、勾股定理的内容 勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是 a、b，斜边是 c，那么 a2+b2c2. 因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变 形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长. 二、正确判定一个三角形是否是直角
8、三角形 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形. 这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判 断一个三角形是否为直角三角形. 要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边 c；二是验证 c2与 a2+b2是否相等.若 c2a2+b2，则ABC 是直角三角形，且C90 ；若 c2a2+b2，则ABC 不是直角三角形. 三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用 勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长 为的线段为例，
9、利用勾股定理作出长为的线段，如下左图所示 用同样的方法我们可以在数轴上画出表示的点，如下右图所示. 四、勾股定理逆定理的推导 勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a bc，即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为 a、b、c，边长之间满足关系 a bc，那么我们是否 能够据此确定三角形的形状呢？ 下面是组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形， （）a，b，c； （）a，b，c； （）a，b，c 我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系 a bc，我们再观察上面三个 根
10、据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进 行大胆的猜测： 如果一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a bc，那么这个三角形是直角三角形 我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证 明 【例题】 已知的三边a、 b、 c 且满足条件 a bc， 试判断是否为直角三角形 【思考与分析】 根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以 a、b 为直角边，那么它的斜边 c 必满足 c a +b，那么这个直角三角形的三边就与的三边分别对应相等，所以说如果是直角三角形，那么
11、它必与以 a、b 为直角边的直角三角形全等 解：我们作t， ，b，a 根据勾股定理：a b 又 的三边 a、b、c 满足条件 a +bc， c 又在中a、b、c， t（） 是直角三角形， 【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限 个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明. 中考考点指导 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体 推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边 的平方比较而得到错误的结论 三三、经典
12、例题经典例题分类分类精讲精讲 题型一：直接考查勾股定理题型一：直接考查勾股定理 例.在ABC中，90C 已知6AC ，8BC 求AB的长 已知17AB ，15AC ，求BC的长分析：直接应用勾股定理 222 abc 解： 22 10ABACBC 22 8BCABAC 题型二：利用勾股定理测量长度题型二：利用勾股定理测量长度 例题例题 1 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ C BD A 解析：解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学 模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用 勾股定
13、理！ 根据勾股定理 AC 2+BC2=AB2, 即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12. 例题例题 2 2 如图 （8） ， 水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处， 直立长着一根芦苇， 出水部分 BC 的长是 0.5 米， 把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC. 解析：解析：同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知ACD 中,ACD=90,在 R tACD 中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：解：如图 2，根据勾股定理，AC 2+CD
14、2=AD2 设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5 x 2+1.52=（ x+0.5）2 解之得 x=2. 故水深为 2 米. 题型三：勾股定理和逆定理并用题型三：勾股定理和逆定理并用 例题例题3 3 如图3， 正方形ABCD中， E是BC边上的中点， F是AB上一点， 且ABFB 4 1 那么DEF 是直角三角形吗？为什么？ 解析：解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何 条件，我们也可以开创条件，由ABFB 4 1 可以设 AB=4a，那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 R tAFD 、RtB
15、EF 和 RtCDE 中，分别利用勾股定理求出 DF,EF 和 DE 的长，反过来再利用勾股定 理逆定理去判断DEF 是否是直角三角形。 详细解题步骤如下： 解：解：设正方形 ABCD 的边长为 4a,则 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在 RtCDE 中，DE 2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理 EF 2=5a2, DF2=25a2 在DEF 中，EF 2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 DEF 是直角三角形，且DEF=90. 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 题型四：利用勾股定理求线段长度题型四：利用勾股定理求
16、线段长度 例题例题 4 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落 在 BC 边上的点 F，求 CE 的长. 解析：解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。 详细解题过程如下：详细解题过程如下： 解：解：根据题意得 RtADERtAEF AFE=90, AF=10cm, EF=DE 设 CE=xcm， 则 DE=EF=CDCE=8x 在 RtABF 中由勾股定理得： AB 2+BF2=AF2，即 82+BF2=102， BF=6cm CF=BCBF=106=4(cm) 在 RtECF 中由勾股定理
17、可得： EF 2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+42 6416x+x 2=2+16 x=3(cm),即 CE=3 cm 注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例题例题 5 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边， 他测得 AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD 边与 AB 边垂直吗？怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直？ 解析：解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取
18、部分长度来验证。如图 4， 矩形 ABCD 表示桌面形状，在 AB 上截取 AM=12cm,在 AD 上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)， 连结 MN，测量 MN 的长度。 如果 MN=15,则 AM 2+AN2=MN2,所以 AD 边与 AB 边垂直； 如果 MN=a15,则 9 2+122=81+144=225, a2225,即 92+122 a2，所以A 不是直角。利用勾股定理解 决实际问题 例题例题 6 6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何 东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远 的地方灯刚
19、好打开？ 解析：解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米，可想 而知应该是头先距离灯 5 米。转化为数学模型，如图 6 所示，A 点表示控制灯，B M 表示人的高度，BCMN,BCAN 当头（B 点）距离 A 有 5 米时，求 BC 的长度。已知 AN=4.5 米,所以 AC=3 米，由勾股定理，可计算 BC=4 米.即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开。 题型六：旋转问题：题型六：旋转问题： 例 1、如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合，若 AP=3，求 PP的长。 变式 1：如图，P 是等边三角形 ABC
20、 内一点，PA=2,PB=2 3,PC=4,求ABC 的边长. 分析：利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. 变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45， 试探究 222 BECFEF、间的关系，并说明理由. 题型七：题型七：关于翻折问题关于翻折问题 例 1、如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落 在 CD 边上的点 G 处，求 BE 的长. 变式：如图，AD 是ABC 的
21、中线，ADC=45，把ADC 沿直线 AD 翻折，点 C 落在点 C的位置，BC=4, 求 BC的长. 题型八：关于勾股定理在实际中的应用：题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受 到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影 响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校 受到影响的时间为多少？ 题型九：题型九：关于最短性问题关于最短性问题 例 5、如右
22、图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上 边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺 旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程 才能捕到害虫?（取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有 面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？ 四四、常见错解剖析、常
23、见错解剖析 （一）（一）、勾股定理只能在直角三角形中运用、勾股定理只能在直角三角形中运用 【例 1】 在ABC 中，AC=3，BC=4，则 AB 的长为（ ）. A. 5 B. 10 C. 4 D. 大于 1 且小于 7 常见错误： A. 错误分析： 题意是已知三角形的两边求第三边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目 中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出 AB 的范围. 正确答案： D. （二）（二）、运用勾股定理时要分清斜边和直角边、运用勾股定理时要分清斜边和直角边 【例 2】 在tABC 中
24、，AC=9，BC=12，则 AB2= . 常见错误： 在tABC 中，利用勾股定理，得 AB2AC2BC2=225. 错误分析： 没有区分要求的 AB 是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给 出明确的条件， 对此我们应该分情况讨论， 如果 AB 是斜边，则利用勾股定理， 得 AB2AC2BC2=225； 如果 AB 是直角边， 因为 BCAC，所以 BC 为斜边，则利用勾股定理，得 AB2BC2AC263. AB2为 225 或 63. 正确答案： 225 或 63. （三）（三）、给定三角形要分形状运用勾股定理、给定三角形要分形状运用勾股定理 【例 3】
25、 在中，=13，=15，高=12，求的周长 常见错误：根据勾股定理， 22-2 22 ， 22-2 22 ， ， 此时，的周长为 错误分析：可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了是锐角三角形而忽视了它还 可能为钝角三角形的情况. 正确答案：应该分情况讨论，当是锐角三角形时，解法如上. 当是钝角三角形时，其图如下， 根据勾股定理， 22-2 22 ， 22-222， ，. 此时，的周长为： 故的周长为 42 或 32. （四）（四）、不能正确、不能正确区分直角边和斜边区分直角边和斜边 【例 4】 已知一个三角形的三边长 a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？ 错
26、解： 不是.在三角形中，利用勾股定理，a2b2194，c2144. a2b2c2，故此三角形不是直角三角形. 错解分析： 本题中虽然 a2b2c2， 但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形， 我们应该首先分析一下这三个边， 边长最长的应为斜边，即 b 为斜边，b2169，a2c225144169，即 a2c2b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们 在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路. 正确答案： 是. 【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做 题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边. （五）（五）
27、、考虑不全面造成漏解、考虑不全面造成漏解 【例 5】已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2a4b4，试判断ABC 的形状. 错解： a2c2b2c2a4b4 （1） c2（ a2b2）（ a2b2） （a2b2）（2） c2a2b2 （3） ABC 是直角三角形. 错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到 a2b20 的情况就直接在等式两边除以一个可能为 0 的数，从而导致了错误 正解： a2c2b2c2a4b4 c2（ a2b2）（ a2b2） （a2b2） （1）当 a2b20 时，化简后得 c2a2b2 ABC 是直角三角形. （2）当 a2b
28、20 时，ab ABC 是等腰三角形. 【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的 性质 2：在等式两边不能同时除以一个可能为 0 的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意. （六）（六）、不能仅凭模糊记忆、不能仅凭模糊记忆 【例 6】在ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且（ab）（ab）c2，则（ ） A.A 为直角 B.C 为直角 C.B 为直角 D.不是直角三角形 错解：选 B 错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边 c 的 对角C 一定
29、表示直角.该题中的条件应转化为 a2b2c2，即 a2b2c2，应根据这一关系进行判断. 正解：a2b2c2，a2b2c2. a 边所对的角为直角. 故选 A. 【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结 论. （七）（七）、考虑不全造成漏解、考虑不全造成漏解 【例 7】已知直角三角形的两边长分别为 3、4，求第三边长. 错解：第三边长为 错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为 3 和 4 时，斜边长为 5.但这一理解的前 提是 3、4 为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直
30、角边. 正解：（1）当两直角边为 3 和 4 时，第三边长为 （2）当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长为. （八）（八）、理解流于形式，造成思维定势、理解流于形式，造成思维定势 【例 8】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直角三角形吗？ 错解： a2，b2，c21，而 a2b2c2， 该三角形不是直角三角形. 错解剖析： 虽然 a2b2c2， 但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形， 因为我们发现有 a2c2b2， 所以这个三角形是直角三角形. 正解：这个三角形是直角三角形 （九）（九）、混淆勾股定理与逆定理、混淆勾股定理与逆定理 【例 9】 在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船
31、沿北偏东0 方向以每小时 8 海里的速度前进，乙船沿南偏 东某个角度以每小时 15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你知 道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 错解:甲船航行的距离为 BM=8 216（海里），乙船航行的距离为 BP=15 230（海里）. 34 （海里）且 MP=34（海里） MBP 为直角三角形 MBP90 . 乙船是沿着南偏东 30 方向航行. 错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的 错误. 正解：甲船航行的距离为 BM=8 216（海里），乙船航行的距离为 BP=15 230（
32、海里）. 1623021156，3421156， BM2BP 2MP2. MBP 为直角三角形. MBP90 . 乙船是沿着南偏东 30 的方向航行的. 五五、发散思维点拨、发散思维点拨 （一）（一）、方程思想、方程思想 【例 1】 如图，在长方形 ABCD 中，DC=5cm，在 DC 上存在一点 E，沿直线 AE 把AED 折叠，使 点 D 恰好落在 BC 边上，设此点为 F，若ABF 的面积为 30cm2，那么AED 的面积为_. 【分析与解】 由ABF 的面积为 30cm2， 可得 BF=12cm. 则在 RtABF 中，AB=5cm，BF=12cm， 根据勾股定理可知 AF=13cm.
33、 再由折叠的性质可知 AD=AF=13cm. 所以 FC=1cm. 可设 DE=EF=x，则 EC=5-x. 在 RtEFC 中，可得： 12+（5-x）2=x2. 解这个方程，得 x=. 所以 SAED= 13=16.9（cm2）. （2）、化归思想、化归思想 【例 2】 如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿着圆柱的侧面移动 到 BC 的中点 S 的最短路径长为（ ） 【分析与解】 求几何体表面的最短距离， 可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图， 化“曲面”为“平面”， 再寻找解题的途径. 如上右图，可得展开图中的 AB的长为 422，BS的长为
34、4 22. 在 RtABS中，根据勾股定理， 得 AS=. 所以动点 P 从 A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的最短路径长为.故选 A. （三）（三）、分类讨论思想、分类讨论思想 【例 3】 在ABC 中，AB=15，AC=20，AD 是 BC 边上的高，AD=12，试求出 BC 边的长. 【分析与解】 此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其 高的位置应分两种情况来求.如下图所示，ABC 有两种情况. 当 BC 边上的高 AD 在ABC 的内部时，如图 1. 由勾股定理，分别在 RtABD 和 RtADC 中，得 BD2=AB2-AD2
35、=152-122=81， 则 BD=9. CD2=AC2-AD2=202-122=256， 则 CD=16. 所以 BC=9+16=25. 当 BC 边上的高 AD 在ABC 的外部时，如图 2. 同样由勾股定理可得 BD=9，CD=16. 这时 BC=16-9=7. 综上可得 BC 边的长为 25 或 7. 【例 4】 如图所示，在中，BC4， 求的面积. 【思考与分析】 要求的面积， 现在已经知道三边的长， 我们只要再知道一边上的高就可以了， 这就需要作一边的垂线构造直角三角形和直角三角形，然后利用勾股定理求出高，进 而求出的面积. 解法一： 过点 A 作于 D， 则ADB=ADC=90
36、设 DC=x，则14x 在t中，由勾股定理得： -（14x） 在t中，由勾股定理得： x. 由，解得 x=5. 所以 x16925144，故 所以 解法二： 设 ADx，则在t中，由勾股定理得：B -A-x 在t中，由勾股定理得：C x， 再根据题意，知 BC=BD+DC， （四）（四）、勾股定理是直角三角形的一个重要性质勾股定理是直角三角形的一个重要性质 这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此 它是数形结合的一个典范下面就让我们通过一道例题来体会一下. 【例 5】 已知：在ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC
37、边上的中线 AD=12cm.则ABC 是等腰三角形吗？ 【思考与分析】 先画出图形，如图，求出 BD=5cm，利用直角三角形的判定方法，说明 ADBC，然后在ADC 中， 利用勾股定理求出 AC，从而得到 AB=AC. 解： 由 AD 是 BC 边上的中线， 得 BD=CD=BC= 10=5（cm）.（由形到数） 在ABD 中，有 AD2+DB2=122+52=132 =AB2， 所以ABD 是直角三角形， 其中ADB=90 ， ADC=90 . （由数到形） 在 RtADC 中，AC2=AD2+DC2=122+52=169， 又因为 AC0，所以 AC=13（cm）.（由形到数） 即 AB=
38、AC. 故ABC 是等腰三角形.（由数到形） 【反思】 此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合的 思想，从中你可以体会到数形结合的奥妙. 【例 6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底，竹竿高出水面 0.5m，把竹竿的顶端拉向岸 边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ） A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m 【思考与分析】为了顺利解决此题，我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上，则有 BD=1.5m，AF=CE=0.5m， AD=BF=BE=水深，在 RtABD 中
39、，设河水的深度 BF=xm，则有 AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根据勾股定理，列 方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可. 解：如上图所示，在 RtABD 中， 设河水的深度 BF=xm，则有 AB=（0.5+x）m，AD=xm， BD=1.5m 根据勾股定理，列方程：（0.5+x）2=1.52+x2，解得 x=2. 所以河水的深度为 2m. 故答案选 A. 【小结】本题是数学问题在生活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草图，把实际问题转化成数学问题，运用我们所 学的数学知识来求解.这种通过分析题意，画出图形，将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法，我
40、们一般称为建 模的数学思想方法.本题在画出草图， 把题意抽象成纯数学问题后， 实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型 （如上图） ”， 在此基础上，借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为： 另外，在此题中还运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过 设未知数，建立方程进行求解，运用方程思想，有时可大大简化求解过程. 六六、基础练习、基础练习 一填空题， 1、 在 RtABC 中C= 0 90 则 （1）a=5 b=12 则 c=_ (2) b=8 c=17 则 a=_ 2、 如果梯形低端离建筑物 9m 那么 15m 长的梯形可达到
41、建筑物的高度是_ 3、 直角三角形的两直角边长分别为 3m 4m 则斜边长为_ 斜边上的高为_ 4、 在 RtABC 中C= 0 90 若 a:b=3:4 c=20 则 a=_ b=_ 5、在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米 、如图所示，要从电线杆高 4m 的点 处向地面斜拉一根长 5m 的缆绳 固 定点 A 到电线杆底部 B 的距离 AB=_ D B C A 7、一个直角三角形的三边长是不大于 10 的三个连续的偶数，则它的周长是_ 8、
42、一个三角形的三边长分别是 1 2 m、 2m 、 1 2 m 则三角形中最大的角是_ 9、 若三角形的三边 a b c 满足 222 cab 则边_所对的角是直角 10、 在三角形 ABC 中 若三边分别是 9 、 12 、 15 则以两个这样的三角形所拼成的矩形面积为_ _ 二 选择题 1、 下列各组数为勾股数的是（ ） A 7 、12、 13 B 3、 4 、7 C 8、 15、 17 D 1.5 、2 、2.5 2、下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt的是（ ） A、a=1.5， b=2, c=3 B、a=7, b=24, c=25 C、a=6, b=8, c=10 D、
43、a=3, b=4, c=5 3、若线段 a，b，c 组成 Rt，则它们的比为（ ） A、234 B、346 C、51213 D、467 4、如果 RtABC 两直角边的比为 512，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A、6013 B、512 C、1213 D、60169 5、如果 Rt的两直角边长分别为 n 21、2n（n1），那么它的斜边长是（ ） A、2n B、n+1 C、n 21 D、n 2+1 6、已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（ ） A、24cm 2 B、36cm 2 C、48cm 2 D、60cm 2 7、 在三角形 AB
44、C 中 AB=15 AC=13 高 AD=12 则三角形 ABC 的周长为（ ） A 42 B 32 C 42 或 32 D 37 或 33 8、 若直角三角形中 有两边长是 12 和 5 则第三边的平方为（ ） A 169 B 169 或 119 C 13 或 15 D 15 9、 直角三角形有一直角边长为 11 另外两条边长是两个连续的自然数 则周长是（ ） A 132 B 121 C 120 D 123来源:Zxxk.Com 10、 三角形 ABC 的三边分别为 a=1.2cm b=1.6cm c=2cm 则C 是（ ） A 锐角 B 直角 C 钝角 D 以上三种都有可能 三 解答题 1
45、、 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4 阴影部分的面积是_. 2、 某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽a=4m，高b=3m，长d=35m，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面 积. ABCDAEBEAEBE A B D C E a b c d D C E A B 3、 如图，正方形的面积为 25cm，测量出=12cm,=13cm,问、三点在一条直线上 吗？为什么？ 4、 已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四边 形 ABCD 的面积。 5、 如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长7m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆
46、底部B的距离. 6、 如图， 铁路上 A， B 两点相距 25km， C， D 为两村庄， DAAB 于 A， CBAB 于 B， 已知 DA=15km， CB=10km， 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 七七、勾股定理的逆定理达标练习、勾股定理的逆定理达标练习 (一一)、基础基础 巩固巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为 123 B.三边长的平方之比为 123 C.三边长之比为 345 D.三内角之比为 345 2.如图 1824 所示,有一个形状为直角梯形的零件 ABCD， ADBC， 斜腰 DC 的长为 10 cm， D=120 ， 则该零件另一腰 AB 的长是_ cm（结果不取近似值）. 图 1824 图 1825 图 1826 3.如图 1825，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为_. 4.如图 1826，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点，F 为 AD 上的一点，且 AF= 4 1 AD，试判 断 EFC 的形状. ACDEABBCEAB A D E B
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