1、2021 年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷（年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷（3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 Px|x24，Qx|1x3，则 PQ（ ） Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x2 Dx|1x3 2欧拉公式 eicos+isin（e 为自然底数，i 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著 名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数 e2i在复平面内对应点所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的取值范围是（ ） A3，2 B3，1 C
2、2，+） D3，+） 4已知 a，b 都大于零且不等于 1，则“logab1”是“（a1）（b1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知函数 f（x）ln|x|，其图象大致为（ ） A B C D 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A3 B2 C D 7在直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，A（1，0），B（1，0）点 P 满足 kPA k PB3 且|PA|+|PB|4， 则|OP|（ ） A B C D 8已知离散型随机变量 1，2的分布列为： 1 1 3 5 P a b 2 1 2 4 5 P b a 则下列说法一
3、定正确的是（ ） AE（1）E（2） BE（1）E（2） CD（1）D（2） DD（1）D（2） 9如图，已知在ABC 中，BAC90，AB1，BC2，D 为线段 BC 上一点，沿 AD 将ABD 翻转至 ABD，若点 B在平面 ADC 内的射影 H 恰好落在线段 AC 上，则二面角 BDCA 的正切的最大 值为（ ） A B1 C D 10设数列xn满足 xn+1xn22xn，nN*，且对于任意 x10，都存在正整数 n 使得 xnm，则实数 m 的最 大值为（ ） A B C2 D3 二、填空题：共二、填空题：共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小
4、题 6 分，共分，共 36 分分 11函数 f（x）cos2x+sinxcosx，则 f（x）的最小正周期为 ，对称轴方程为 12二项展开式（12x）5a0a1x+a2x2a3x3+a4x4a5x5，则 a3 ， 13已知圆内接四边形 ABCD 的边长 BC2AB2，CDDA，则 AC ，四边形 ABCD 的面 积为 14 已知直线l： ykx+b （k0） 与圆x2+y21相切， 且被圆 （x4） 2+y24截得的弦长为 ， 则k ， b 15已知实数 x，y 满足 x2+y2xy3，则 Sx2y24xy 的最大值为 16某次灯谜大会共设置 6 个不同的谜题，分别藏在如图所示的 6 只灯笼里
5、，每只灯笼里仅放一个谜题并 规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部 6 个谜题，则 一名参与者一共有 种不同的答题顺序 17 已知非零向量的夹角为， 若存在两不相等的正实数 1， 2， 使得 ， 则 12的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，共小题，共 74 分分 18已知锐角ABC 中，asinA+bsinCcsinC+bsinB （）求 A； （）求 sinB+cosC 的取值范围 19如图，在三棱锥 PABC 中，AB，PA2，PBAC1，F 为线段 BC 的中点已知 ACAB，且 二面角 PABC 的平面角大小为 60 （）求证：
6、ACPF； （）求直线 PF 与平面 PAC 所成角的正弦值 20已知an，bn分别是等差数列和等比数列，a1b11，a2b20，且 a1a2，nN* （）若 a2，b3，a3成等差数列，求an，bn的通项公式； （）当 n2 时，证明：anbn 21如图，已知点 A1，A2分别是椭圆 C1：1 的左、右顶点，点 P 是椭圆 C1与抛物线 C2：y22px （p0）的交点，直线 A1P，A2P 分别与抛物线 C2交于 M，N 两点（M，N 不同于 P） （）求证：直线 MN 垂直 x 轴； （） 设坐标原点为 O， 分别记OPM， OMN 的面积为 S1， S2， 当OPA2为钝角时， 求的最
7、大值 22已知 a0，函数 f（x） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）已知函数 f（x）存在极值点 x1，x2，求证：|f（x1）f（x2）| 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 Px|x24，Qx|1x3，则 PQ（ ） Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x2 Dx|1x3 解：Px|2x2，Qx|1x3， PQx|1x2 故选：C 2欧拉公式 eicos+isin（e 为自然底数，i 为虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著 名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数 e2i在复平面内对应点所在的象限是（ ） A第一象限 B第二
8、象限 C第三象限 D第四象限 解：由题意得：e2icos2+isin2， 而 cos20，sin20， 故点（cos2，sin2）在第二象限， 故选：B 3若实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的取值范围是（ ） A3，2 B3，1 C2，+） D3，+） 解：由约束条件作出可行域如图， 由图可得，B（0，1）， 联立，解得 A（1，1）， 作出直线 x+2y0，由图可知，平移直线 x+2y0 至 A 时，zx+2y 有最小值为3， 至 B 时，z 有最大值为 2 zx+2y 的取值范围是3，2 故选：A 4已知 a，b 都大于零且不等于 1，则“logab1”是“（a1）（b1）0”
9、的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：a，b 都大于零且不等于 1，logab1logaa， 若 0a1 时，则 1ab0，所以（a1）（b1）0， 若 a1 时，则 ba1，所以（a1）（b1）0， 所以“logab1”可以推出“（a1）（b1）0”，满足充分性； 因为（a1）（b1）0，所以 a1，b1 或 0a1，0b1， 只能推出 logab0，不能推出 logab1，不满足必要性； 所以“logab1”是“（a1）（b1）0”的充分不必要条件 故选：A 5已知函数 f（x）ln|x|，其图象大致为（ ） A B C D 解：函数 f（x
10、）的定义域为（，0）（0，+）， 函数 f（x）ln|x|ln|x|f（x）， 所以函数 f（x）为奇函数，故排除 BD， 因为 f（1）0，f（）lnln20， 故排除 C， 故选：A 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A3 B2 C D 解：由三视图知几何体是一个三棱柱，且在一个角上截去一个三棱锥 CABD， 侧棱与底面垂直，底面是以 2 为边长的等边三角形，高为 3， 且 D 是中点，则 BD1， 几何体的体积 V ， 故选：D 7在直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，A（1，0），B（1，0）点 P 满足 kPA k PB3 且|PA|+|PB|4， 则|OP|（
11、） A B C D 解：设点 P（x，y），A（1，0），B（1，0）， kPA，kPB， 所以 kPAkPB 3， x21，x0， 又|PA|+|PB|4， 所以点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆， 所以 2a4，a2，c1，b2a2b23， 椭圆方程为+1， 由解得， 则|OP| 故选：B 8已知离散型随机变量 1，2的分布列为： 1 1 3 5 P a b 2 1 2 4 5 P b a 则下列说法一定正确的是（ ） AE（1）E（2） BE（1）E（2） CD（1）D（2） DD（1）D（2） 解：由题意可得：a+b，a，b（0，） E（1）a+3 +5b2+4b， E（2）b+2
12、 +4+5a2+4a， 由 a 与 b 的大小关系不确定，因此 E（1）与 E（2）大小关系不确定 D（1）（124b） 2a+（324b）2 +（524b）2b（4b1）20， E（2）44b， D（2） （44b1） 2b+ （44b2）2 +（44b4） 2 +（44b5） 2 （b） 20 +（，）， D（1）D（2） 故选：D 9如图，已知在ABC 中，BAC90，AB1，BC2，D 为线段 BC 上一点，沿 AD 将ABD 翻转至 ABD，若点 B在平面 ADC 内的射影 H 恰好落在线段 AC 上，则二面角 BDCA 的正切的最大 值为（ ） A B1 C D 解：过 H 作 H
13、MCD 于 M，连接 BM， 过 H 作 HNAD 于 N，连接 BN， 因为点 B在平面 ADC 内的射影是 H 点，所以 BH平面 ACD， 由三垂线定理知 BMCD，BNAD， 所以BMH 为二面角 BDCA 的平面角， 设BMH，CAD，则 BAD90， 所以 AN1cos（90）sin，ANAHcos， 所以 AHtan，于是 BH， 因为BAC90，AB1，BC2，所以 AC，ACD30， 又因为 HCtan，所以 HMHCsin30（tan）， 所以 tan， 令tant，则 tan， 当 t时等号成立，所以二面角 BDCA 的正切的最大值为 故选：C 10设数列xn满足 xn+
14、1xn22xn，nN*，且对于任意 x10，都存在正整数 n 使得 xnm，则实数 m 的最 大值为（ ） A B C2 D3 解：数列xn满足 xn+1xn22xn，nN*，且对于任意 x10，都存在正整数 n 使得 xnm， 若数列xn是递增数列，则 xn+1xn22xnxnxn3 或 xn0， 存在正整数 n 使得 xnm， 故需 m3，此时 m 的最大值为 3， 若数列xn是递减数列，则 xn+1xn22xnxn0 xn3， 存在正整数 n 使得 xnm， 故需 m0，此时 m 的最大值为 0， 综上可得：m 的最大值为 3， 故选：D 二、填空题：共二、填空题：共 7 小题，多空题每
15、小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分 11 函数 f （x） cos2x+sinxcosx， 则 f （x） 的最小正周期为 ， 对称轴方程为 xk+， （kZ） 解：因为 f（x）cos2x+sinxcosx+sin2xsin（2x+ ）+， 所以函数的最小正周期 T， 令 2x+k+ （kZ）， 解得：xk+（kZ）， 所以函数的对称轴方程为：xk+，（kZ） 故答案为：，xk+，（kZ） 12二项展开式（12x）5a0a1x+a2x2a3x3+a4x4a5x5，则 a3 80 ， 31 解：二项展开式（12x）5a0a1x+a2x2a
16、3x3+a4x4a5x5，则 a380， 令 x0，可得 a01 而且（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5， 再令 x，可得，1+32，31， 故答案为：80；31 13已知圆内接四边形 ABCD 的边长 BC2AB2，CDDA，则 AC ，四边形 ABCD 的面 积为 解：由于 B+D180，则 cosBcosD， 由题设及余弦定理得， 在ABC 中，AC2AB2+BC22ABBCcosB54cosB， 在ACD 中，AC2AD2+DC22ADDCcosD14+14cosB， 由得 cosB，故 B120，D60， 则 AC 由于 B+D180，sinBsinD
17、， 由以上的结果及题设， 可知四边形 ABCD 的面积 SSABC+SACDABBCsinB+ADCDsinD （1 2+） ， 故答案为：， 14已知直线 l：ykx+b（k0）与圆 x2+y21 相切，且被圆（x4）2+y24 截得的弦长为，则 k ，b 解：由直线 l：ykx+b（k0）与圆 x2+y21 相切， 得， 又直线 l：ykx+b（k0）被圆（x4）2+y24 截得的弦长为， ， 联立可得，（k0），b2k 故答案为：， 15已知实数 x，y 满足 x2+y2xy3，则 Sx2y24xy 的最大值为 5 【解答】解x2+y2xy3，x2+y2xy+3， 又x2+y2|x|2+
18、|y|22|x|y|2|xy| xy+32|xy| 若 xy0 时，xy+32xy，xy3， xy0 时，xy+32xy，xy1 1xy3 设 txy，则 St24t（t2）24，t1，3， 当 t1 时，Smax945， S 的最大值为 5 故答案 5 16某次灯谜大会共设置 6 个不同的谜题，分别藏在如图所示的 6 只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题并 规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部 6 个谜题，则 一名参与者一共有 60 种不同的答题顺序 解：由题意可知，只需要同一列顺序为从下到上即可，一共 6 只灯笼， 第一步，从 6 个选 3 个，第二步
19、，从 3 个选 2 个，最后回答剩下的哪一个， 故有 C63C32C1160 种， 故答案为：60 17 已知非零向量的夹角为， 若存在两不相等的正实数 1， 2， 使得 ， 则 12的取值范围为 （0，3，+） 解：由，可得， 即， ， ， 即， 设，t0， 可得， 解得或 即或 123； 故答案为：（0，3，+） 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 18已知锐角ABC 中，asinA+bsinCcsinC+bsinB （）求 A； （）求 sinB+cosC 的取值范围 解：
20、（）asinA+bsinCcsinC+bsinB a2+bcc2+b2 即 b2+c2a2 bc， 得 cosA， 则 A， （）sinB+cosCsinB+cos（B）sinBcos（+B） sinBcosB+sinBsinBcosB（sinBcosB） sin（B）， 三角形是锐角三角形， 0B，0C，A， B+C，CB， B， 则B， 则 sinsin（B ）sin， 即sin（B），则sin（B）， 即 sinB+cosC 的取值范围是（，） 19如图，在三棱锥 PABC 中，AB，PA2，PBAC1，F 为线段 BC 的中点已知 ACAB，且 二面角 PABC 的平面角大小为 60
21、（）求证：ACPF； （）求直线 PF 与平面 PAC 所成角的正弦值 【解答】（1）证明：在平面 ABC 内，过 B 点作 BDAB，使 BDAC，取 BD 中点 E， 连接 CD、EF、PE、PD， 因为 PA2AB2+PC2，所以 ABPB， 所以PBD 为二面角 PABC 的平面角，于是PBD60， 又 PBBD1，所以PBD 为正三角形， 所以 PEBD，即 BDPE， 因为 EFCDAB，所以 BDEF， 又因为 PEEFE，EF平面 PEF，PE平面 PEF， 所以 BD平面 PDE， 又因为 PF平面 PDE，所以 BDPF， 又因为 ACBD，所以 ACPF （2）解；建立如
22、图所示的空间直角坐标系， PEPAsin601, 因为 ABBC，ABPB，所以 AB平面 PBD， 因为 AB平面 ABCD，所以平面 ABCD平面 PCD， 又因为 PECD，平面 ABCD平面 PCDCD， 所以 PE平面 ABCD，所以各点坐标如下： A(0,0,0),B(0,0),C(1,0,0),P(,),F(), (, ),(,),(0,), 设平面 PAC 法向量为 (x,y,z), ,令 y1, (0,1,2), 所以直线 PF 与平面 PAC 所成角的正弦值为 20已知an，bn分别是等差数列和等比数列，a1b11，a2b20，且 a1a2，nN* （）若 a2，b3，a3
23、成等差数列，求an，bn的通项公式； （）当 n2 时，证明：anbn 解：（）设等差数列an的公差为 d，bn的公比为 q,则 d0,q0 且 q1, a1b11，a2b2，即 1+dq, 又 a2，b3，a3成等差数列,可得 2b3a2+a3,即 2q22+3d, 解得 d,q, 则 an1(n1) ；bn()n1； （）证明：由 a1b11，a2b2， 即 1+dq,d0,q0 且 q1, 则 n2 时，bnqn1(1+d)n11+Cd+Cd2+.+dn11+(n1)dan, 所以当 n2 时，anbn 21如图，已知点 A1，A2分别是椭圆 C1：1 的左、右顶点，点 P 是椭圆 C1
24、与抛物线 C2：y22px （p0）的交点，直线 A1P，A2P 分别与抛物线 C2交于 M，N 两点（M，N 不同于 P） （）求证：直线 MN 垂直 x 轴； （） 设坐标原点为 O， 分别记OPM， OMN 的面积为 S1， S2， 当OPA2为钝角时， 求的最大值 解：（）证明：根据题意可得 A1(2,0),A2(2,0), 设 P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2), 则直线 A1P 为 xy2， 联立,消去 x 得 y2y+4p0, 所以 y1y04p, 所以 y1,x1 , 直线 A2P 的方程为 x y+2, 同理可得联立直线 A2P 与抛物线的方程，得 y2y0
25、4p, 所以 y2,x2 , 所以 x1x2 , 所以直线 MN 垂直于 x 轴 ()设 P(x0,y0)是抛物线于椭圆的交点， 所以, 所以 S1SOPMS S |OA|y1|OA1|y0|, S2SOMN|x1|2y1|, 所以| y 0 2| |()2+|+|, 因为OPA2为钝角， 所以0，即 x022x0+y020, 将 y021 代入 x022xo+1 0,解得x02, 令 f(x)|+|,x2, 当 x1 时，f(x)最大值为 所以 x01 时， 最大值为 22已知 a0，函数 f（x） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）已知函数 f（x）存在极值点 x1，x2，求证：|f（
26、x1）f（x2）| 解：（I）f（x）， ， 因为 a0，函数的定义域为 R， 若 a1，f（x）0 恒成立，故 f（x）在 R 上单调递增， 若 0a1，则当 x1时，当 x1+时，f（x）0，此时 f（x）单调递增， 当 1x1+时，f（x）0，此时 f（x）单调递减， 故 a1 时，f（x）在 R 上单调递增， 若 0a1，f（x）在（），（1+，+）上单调递增，在（1，1+） 上单调递减； （II）由函数 f（x）存在极值点 x1，x2，结合（I）得，x11，x21+， ， f（x1），f（x2） ， 设 m，则 1am2， 因为 exx+1， 则（1+）+e（1）（1+m）em（1m）m21 a， f（x1）f（x2） ， e（1+）+e（1）
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