1、20202020- -20212021 学年高三下学期数学考试仿真系列卷四学年高三下学期数学考试仿真系列卷四 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本
2、试卷上无效 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.若集合 2 11 ,|1AxN xBx yx，则AB的真子集的个数为（ ） A3 B4 C7 D8 2.已知复数 5 2 i z i ，则共轭复数z在复平面对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 6 2 2 2 3 x x 的展开式中 3 x的系数为（ ）
3、A 64 3 B 128 81 C64 D-128 4.函数 sin2 ( ) xx x f x ee 在, 的大致图象是（ ） A B C D 5.十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造 产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段 1 2 , 3 3 ，记 为第一次操作；再将剩下的两个区间 1 0, 3 ， 2 ,1 3 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去 掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至
4、无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉 的各区间长度之和不小于 4 5 ，则需要操作的次数n的最小值为（ ）（参考数据：lg20.3010， lg30.4771） A3 B4 C5 D6 6.在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点， 连接AC，MN交于点P.已知 1 3 APAC且 3 4 AMAB， 若AN AD ，则实数的值为（ ） A. 1 2 B. 3 5 C. 2 3 D. 3 4 7.知抛物线 2 20ypx p上一点1,Mm到其焦点的距离为 5，双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左 顶点为A且离心率为 5 2 ，若双曲线的一条渐近线与直线AM
5、垂直，则双曲线的方程为（ ） A 2 2 1 4 y x B 2 2 1 4 x y C 22 21xy D 22 41xy 8.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的 应用 其定义黎曼函数( )R x为当 q x p （ , p q为正整数，q p 是既约真分数） 时 1 R x p ， 当0 x或1x 或x为0,1上的无理数时 0R x 已知a、b、a b都是区间0,1内的实数，则下列不等式一定正确 的是 A()( )( )R abR aR b B()( )( )R a bR aR b C()( )( )R abR aR b D()( )(
6、 )R a bR aR b 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9.为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测 试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ） A甲、乙两组成绩的平均分相等 B甲、乙两组成绩的中位数相等 C甲、乙两组成绩的极差相等 D甲组成绩的方差小于乙
7、组成绩的方差 10.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称 阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个 部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O： 22 1xy，则下列说法中正确的是（ ） A函数 3 yx是圆O的一个太极函数 B圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C函数 sinyx 是圆O的一个太极函数 D函数 f x的图象关于原点对称是 f x为圆O的太极函数的充要条件 11.已知, 是两个不重合的平面， ,m n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A若,/ /m
8、n mn，则 B若,/ /mn，则mn C若/ ,m ，则/ /m D/ ,/m n ，则m与所成的角和n与所成的角相等 12.下列不等式中正确的是（ ） Aln33ln2 Bln e C 15 215 D3 ln28e 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.写出一个满足前 5 项的和为 31，且递减的等比数列的通项 n a _. 14.某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续7天中随机选择3天进行 紧急疏散演练，则选择的3天中恰好仅有2天连续的概率为_ 15.若函数( )sin(2)3c
9、os(2)() 2 f xxx 的图象关于点(,0) 4 P 成中心对称，则函数 ( )f x 在, 6 6 上的最小值与最大值的和是_. 16.已知函数 1, 0 ( ) ln ,0 x xex f x exx x ，则函数( ) |( )| 1g xf x零点的个数为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在sinsinsinBCA C 3 tantan cos c AB aB 2 coscoscosaAbCcB这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三
10、角形存在，求出bc的最大值；若问题中的三角形不 存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分） 问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a，_，求bc的最大值 18.已知等比数列 n a的前n项和为 n S，0 n a 且 1 3 36a a ， 3412 9aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若13 n b n S ，求数列 n b及数列 n n a b的前n项和 n T 19.如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为 4 的等边三角形，PAAC， 2 2BDCD ，PA 平 面ABC，点E为BC的中点，平面BDC 平面ABC （1）求证：/DE平面P
11、AC； （2）T为线段BC上靠近点C的四等分点，求直线BD与平面ADT所成的角的正弦值. 20.马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱.王老师是一位资深的马拉松爱好 者，他的微信朋友圈内也有大量的好友加入了他的“马拉松跑友群”，他随机选取了其中的 100 人（男、 女各 50 人），记录了他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下： 跑步公里数 性别 510 1015 1520 2025 2530 30 男 4 8 10 12 10 6 女 8 4 14 14 6 4 （1）已知某人一天的跑步公里数超过 20 公里被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根
12、据题意 完成下面的22列联表，并据此判断能否有 97.5%的把握认为“评定级别”与“性别”有关? 初级 高级 总计 男 女 总计 （2）若王老师以这 100 位好友该日跑步公里数的频率分布来估计其跑群中所有跑友每日跑步公里数的概率 分布，现从王老师的所有跑群好友中任选 2 人，其中每日跑步公里数不超过 10 公里的有X人，超过 30 公 里的有Y人，设XY，求的分布列及数学期望. 附： 2 2 n adbc k abcdacbd ， 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 21.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右
13、焦点分别为 12 ,F F， 12 | 2FF =，过点 1 F的直线与椭圆C交 于,A B两点，延长 2 BF交椭圆C于点M， 2 ABF的周长为 8. （1）求C的离心率及方程； （2）试问：是否存在定点 0 (,0)P x，使得 PM PB为定值？若存在，求0 x；若不存在，请说明理由. 22.已知函数 sin x f xaexx，0,x. （1）证明：当1a时，函数 f x有唯一的极大值点； （2）当20a 时，证明： f x. 20202020- -20212021 学年高三下学期数学考试仿真系列卷四学年高三下学期数学考试仿真系列卷四 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自
14、己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每
15、小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.若集合 2 11 ,|1AxN xBx yx ，则AB的真子集的个数为（ ） A3 B4 C7 D8 【答案】A 【解析】11 = 0,1,2AxN x， 2 |1=1,1Bx yx ， 0,1AB ，所以AB的真子集的个数为 2 213 ，故选:A。 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解、根式函数定义域以及集合的交集运算，考查了真子集个数，属 于基础题. 2.已知复数 5 2 i z i ，则共轭复数z在复平面对应的点位于（ ） A第一象限 B
16、第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解析】 5 25 12 222 iii zi iii ， 1 2zi 对应的点的坐标为1, 2 ，在第三象限，故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的几何意义，属于基础题. 3. 6 2 2 2 3 x x 的展开式中 3 x的系数为（ ） A 64 3 B 128 81 C64 D-128 【答案】D 【解析】 6 2 2 2 3 x x 展开式的通项公式为 666 3 166 2 22 (2 )2 33 rr rrrrr r TCxCx x ， 令633r，则1r ， 所以 6 2 2 2 3 x x 的展开式中
17、3 x的系数为 15 6 2 2128 3 C .故选：D 【点睛】本题考查了根据二项式定理展开式的通项求特定项的系数,属于基础题. 4.函数 sin2 ( ) xx x f x ee 在, 的大致图象是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】因为 sin2 ( ) xx x f x ee ，所以 2sin2sin xxxx xx fxf x eeee ，所以 ( )f x为, 上 的奇函数，其图象关于原点对称，故 C、D 不正确；当 (0, )x 时，sin0 x ，所以( )0f x ，故 B 不正 确;故选:A. 【点睛】【点睛】本题考查了通过研究函数的性质来识别的函数图象,属于基础
18、题. 5.十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造 产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段 1 2 , 3 3 ，记 为第一次操作；再将剩下的两个区间 1 0, 3 ， 2 ,1 3 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去 掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉 的各区间长度之和不小于 4 5 ，则需要操作的次数n的最小值为（ ）（参考数据：lg20.3
19、010， lg30.4771） A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】第一次操作去掉的区间长度为 1 3 ；第二次操作去掉两个长度为 1 9 的区间，长度和为 2 9 ；第三次操 作去掉四个长度为 1 27 的区间， 长度和为 4 27 ； 第n次操作去掉 1 2n个长度为 1 3n 的区间， 长度和为 1 2 3 n n 于 是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为 1 1222 1 3933 n n n n S ，由题意， 24 1 35 n ，即 21 lglg 35 n，解得3.97n，又n为整数，所以n的最小值为 4故选：B 【点睛】本题考查了以数学文化为背景，考查了等比数
20、列前 n 项和以及对数不等式的解法，属于基础题。 6.在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点， 连接AC，MN交于点P.已知 1 3 APAC且 3 4 AMAB， 若AN AD ，则实数的值为（ ） A. 1 2 B. 3 5 C. 2 3 D. 3 4 【答案】B 【解析】 3 4 AMAB，则 4 3 ABAM ANAD ，则 1 ADAN 1141 () 3393 APACABADAMAN P，M，N共线， 41 1 93 ， 3 5 ，故选：B. 【点睛】本题考查了向量共线,需注意（1）点为两直线的交点，可利用向量共线的方法，先利用一条向量 共线求出等量关系，再代入另一
21、条向量共线，根据系数和为 1，可求出参数值. （2）若,P B D三点共线，点A为线外一点，则有AP ABAD uu u ruu u ruuu r ，且1, 属于基础题. 7.知抛物线 2 20ypx p上一点1,Mm到其焦点的距离为 5，双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左 顶点为A且离心率为 5 2 ，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线的方程为（ ） A 2 2 1 4 y x B 2 2 1 4 x y C 22 21xy D 22 41xy 【答案】D 【解析】因为1,Mm到其焦点的距离为 5，故15 2 p ，故8p ，故抛物线的方程为 2 16yx，故 4
22、m. 因为离心率为 5 2 ， 故 2 5 1 2 b a ， 故 1 2 b a ， 根据抛物线和双曲线的对称性， 不妨设M在第一象限， 则1,4M，则AM与渐近线 2 x y 垂直，故 40 2 1a ，故1a ，故 1 2 b ，故双曲线方程为： 22 41xy，故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的定义以及双曲线的几何性质，属于中档题. 8.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的 应用 其定义黎曼函数( )R x为当 q x p （ , p q为正整数，q p 是既约真分数） 时 1 R x p ， 当0 x或1x 或x为0,1上的无理数
23、时 0R x 已知a、b、a b都是区间0,1内的实数，则下列不等式一定正确 的是 A()( )( )R abR aR b B()( )( )R a bR aR b C()( )( )R abR aR b D()( )( )R a bR aR b 【答案】B 【解析】设| , , q Ax xp q p 为正整数， q p 是既约真分数，|0Bx x或1x 或x为0,1上的无 理数，则根据题意有： 当 aA bA 时，则 R abR aR b， R a bR aR b， 当 aB bB 时， 0R abR aR b， 0R a bR aR b； 当 aA bB 时， R abR aR bR a
24、， 0R a bR aR b； 当 aB bA 时， R abR aR bR b， 0R a bR aR b 综上所述， R a bR aR b一定成立故选 B 【点睛】本题考查了以黎曼函数为背景，考查学生获取新知识应用新知识的能力 当a、b、a b都是区 间0,1内的实数时，a b与ab的取值可能为 q x p 的形式（ , p q为正整数， q p 是既约真分数），也可能 为0或1或x为0,1上的无理数，解决的途径主要是要针对a，b的取值进行分类讨论，然后根据( )R x的 性质判断R ab与 +R aR b，R a b与 R aR b的关系，属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本
25、题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9.为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参加环保知识测 试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ） A甲、乙两组成绩的平均分相等 B甲、乙两组成绩的中位数相等 C甲、乙两组成绩的极差相等 D甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】BCD 【解析】对于选项 A，甲组成绩
26、的平均数为 456677843 77 ， 乙组成绩的平均分为 555678945 77 ， 所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，故 A 错误； 对于选项 B，甲、乙两组成绩的中位数都为6，故 B 正确； 对于选项 C，甲、乙两组成绩的极差都为4，故 C 正确； 对于选项D， 甲组成绩的方差为 22222 4343434343 4562728 7677777 749 ， 乙组成绩的方差为 22222 4343434343 536789 11477777 749 ， 所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，故 D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了根据条形统计图计算出甲、乙两组成绩的平均
27、分、中位数、极差与方差，进而可判断 各选项的正误,属于基础题. 10.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称 阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个 部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O： 22 1xy，则下列说法中正确的是（ ） A函数 3 yx是圆O的一个太极函数 B圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C函数 sinyx 是圆O的一个太极函数 D函数 f x的图象关于原点对称是 f x为圆O的太极函数的充要条件 【答案】AC 【解析】对于选项 A：因为 33 ()(
28、)( )fxxxf x ，所以函数 3 yx是奇函数，它的图象关于原点 对称，如下图所示： 所以函数 3 yx是圆O的一个太极函数，故 A 正确； 对于选项 B：如下图所示：函数( )yg x是偶函数，( )yg x也是圆O的一个太极函数，故 B 错误； 对于选项 C：因为 sinyx 是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆 22 1xy也关于原 点对称，如下图所示：因此函数 sinyx 是圆O的一个太极函数，故 C 正确； 对于选项 D：根据选项 B 的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故 D 错误. 故选:AC 【点睛】本题考查了以数学文化为背景,考查了函数的性质,属于
29、基础题. 11.已知, 是两个不重合的平面， ,m n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A若,/ /mn mn，则 B若,/ /mn，则mn C若/ ,m ，则/ /m D/ ,/m n ，则m与所成的角和n与所成的角相等 【答案】BCD 【解析】对于选项 A：若,mn m，则n或/n， 又/ /n，并不能得到这一结论，故 A 错误； 对于选项 B：若,/ /mn，则由线面垂直的性质定理和线面平行的 性质定理可得mn，故 B 正确； 对于选项 C：若/ / ,m，则有面面平行的性质定理可知/ /m， 故 C 正确； 对于选项 D：若/ / ,/ /mn，则由线面角的定义和等角定理知
30、，m与 所成的角和n与所成的角相等，故 D 正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查了空间线面、面面位置关系,考查了空间想象能力,属于基础题. 12.下列不等式中正确的是（ ） Aln33ln2 Bln e C 15 215 D3 ln28e 【答案】AC 【解析】构造函数 ln x fx x ，则 2 1 ln x fx x ，当0 xe时， 0fx ，则 f x单调递增； 当xe时， 0fx ，则 f x单调递减；所以当xe时， f x取得最大值 1 e . 对于选项 A，ln3ln22ln3 l ln2 n3ln2 33 23 ，由32e可得 23ff，故 A 正确； 对于选项 B， ln
31、l l n n e ee ，由ee，可得fef，故 B 错误； 对于选项 C，由 ( )( ) 1615ff可推导出 ln16ln15 1615 ，即 4ln2ln15 415 ，即 ln 2 5 ln 15 1 ，则 ln215ln15 ，即 15 n25lln1 ，所以 15 215 ，故 C 正确； 对于选项 D，因为 max 1ln2 2 2 f xf ef e ，所以 8 28 3 ln2 3eee ，所以3 ln28e，故 D 错 误. 【点睛】本题考查了构造函数,研究函数的单调性比较大小,属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5
32、 分，共分，共 2020 分分 13.写出一个满足前 5 项的和为 31，且递减的等比数列的通项 n a _. 【答案】 1 2 n （答案不唯一） 【解析】不妨设16 1 a，依题意数列是递减的等比数列，所以10 q，又 q qa s n n 1 )1 ( 1 ，所以取公比 2 1 q，所以31 5 s，所以 1 2 n n a,故答案为： 1 2 n 【点睛】本题属于开放性试题,考查了双曲线的几何性质,属于基础题. 14.某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续7天中随机选择3天进行 紧急疏散演练，则选择的3天中恰好仅有2天连续的概率为_ 【答案】 4 7 【解
33、析】连续7天中随机选择3天，有 3 7 35C 种选择，其中恰好仅有2天连续，把连续的2天看成一个元 素，另一天看成一个元素，则这两个元素不相邻，由插空法知有 2 5 20A 种选择，所以所求的概率为 204 357 P故答案为： 4 7 【点睛】本题考查了排列组合的实际应用问题,遇到元素必须相邻的情况，采用捆绑法，遇到元素不能相邻 的问题，采用插空法，如果既有相邻也有不相邻的综合情况时，注意先捆绑再插空,属于基础题. 15.若函数( )sin(2)3cos(2)() 2 f xxx 的图象关于点(,0) 4 P 成中心对称，则函数 ( )f x 在, 6 6 上的最小值与最大值的和是_. 【
34、答案】3 【解析】( )sin(2)3cos(2)2sin(2) 3 f xxxx ， 则由题意，知 ()0 4 f ，又| | 2 ， 6 ，所以( )2sin(2)2cos2 2 f xxx ， 又 , 6 6 x ，2, 3 3 x ，( )(0)2 max f xf，( )()()1 66 min f xff ， ( )( )3 maxmin f xf x.故答案为：3 【点睛】本题考查了三角函数关系式的变换与正弦型函数的性质，考查数学运算能力和转换能力及思维能 力，属于基础题. 16.已知函数 1, 0 ( ) ln ,0 x xex f x exx x ，则函数( ) |( )|
35、1g xf x零点的个数为_ 【答案】3 【解析】因为( ) |( )| 1g xf x的零点个数 yf x与1y 图象的交点个数，当0 x时， 1x f xxe ，所以 1 1 x fxxe ，当, 1x 时， 0fx ，当1,0 x 时， 0fx ， 所以 f x在, 1 上单调递减，在1,0上单调递增，所以 f x在,0上的最小值为 1 1 111fe ， 又因为当0 x时， 0f x ， 且 00f， 所以,0 x 时， 1,0f x ； 当0 x时， lnf xexx，所以 ln1fxex ，当 1 0, e x 时， 0fx ，当 1 ,x e 时， 0fx ，所以 f x在 1
36、0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增，所以 f x在0,上的最小值 为 111 ln1fe eee ，又当01x时， 0f x ，当1x 时， 0f x ，所以0,x时， 1,f x ，作出 , 1yfxy的函数图象如下图所示： 由图象可知 ,1yfxy有3个交点，所以( ) |( )| 1g xf x有3个零点，故答案为:3 【点睛】本题考查了导数的综合应用,通过导数研究函数的单调性,画出图像研究函数零点个数,考查了 数形结合思想,考查了逻辑推理能力与数学运算能力,属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过
37、程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在sinsinsinBCA C 3 tantan cos c AB aB 2 coscoscosaAbCcB这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出bc的最大值；若问题中的三角形不 存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分） 问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a，_，求bc的最大值 【答案】答案见解析. 【解析】若选择条件，sinsinsinBCAC，三角形存在. sinsinsinA CCA C， 化简可得：2cossinsinACC sin0C ， 1 cos 2 A
38、， 3 A 由余弦定理可知， 222 2cosbcbcAa 22 4bcbc， 2 34bcbc 利用基本不等式 2 2 433 2 bc bcbc ，当且仅当bc时等号成立， 2 4 4 bc ，04bc 综上max4bc. 若选择条件， 3 tantan cos c AB aB ，三角形存在. 由正弦定理可得 3sinsinsin sincoscoscos CAB ABAB 化简可得 sin3sinsin sincoscoscoscoscos ABCC ABABAB sin0C ， 31 ,tan3 sincos A AA ， 3 A ， 同理条件可得max4bc 若选择条件，2 cosc
39、oscosaAbCcB，三角形存在. 由正弦定理得：2sincossincossincosAABCCB 化简得：2sincossinsinAABCA sin0A， 1 cos 2 A ， 3 A 同理条件可得max4bc 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用以及利用基本不等式求最值，考查转化能力与运算能力，属于基础 题. 18.已知等比数列 n a的前n项和为 n S，0 n a 且 1 3 36a a ， 3412 9aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若13 n b n S ，求数列 n b及数列 n n a b的前n项和 n T 【答案】（1） 1* 2 3n n anN ；
40、（2） 21 31 2 n n n T 【解析】（1）设等比数列 n a的公比为q， 由 3412 9aaaa，可得 2 1212 9aaqaa， 2 q9， 由0 n a ，可得q3，由 1 3 36a a ，可得 2 1 1 36a a q ，可得 1 2a ， 可得 1* 2 3n n anN ； （2）由 1 2 3n n a ，可得 1 12 1 3 31 11 3 nn n n aq S q ， 由13 n b n S ，可得3 1 13 n bn ，可得bnn， 可得 n n a b的通项公式： 1 23n nn a bn ， 可得 011 2 1 32 33n n Tn 12
41、32 1 32 33n n Tn 得 1 011 1 33 22 333323 1 3 n nnn n Tnn ， 可得 21 31 2 n n n T 【点睛】本题考查了等比数列基本量运算以及错位相减法求和，考查了数学运算能力，属于基础题. 19.如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为 4 的等边三角形，PAAC， 2 2BDCD ，PA 平 面ABC，点E为BC的中点，平面BDC 平面ABC （1）求证：/DE平面PAC； （2）T为线段BC上靠近点C的四等分点，求直线BD与平面ADT所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 6 8 . 【解析】 （1） BDCD，点E
42、为BC的中点， DEBC. 又 平面BDC 平面ABC， 平面BDC平面ABCBC， DE 平面BDC， DE 平面ABC. 又PA 平面ABC， 则DEPA. PA平面PAC， DE 平面PAC， DE平面PAC. （2）连接AE，由ABC是边长为 4 的等边三角形， 且点E为BC的中点， 则AEBC， 以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由ABC是边长为 4 的等边三角形， PAAC， 2 2BDCD ， 则(0,2 3,0)A，( 2,0,0)B ， (2,0,0)C ，(0,0,2)D，1,0,0T， (2,0,2)BD ，| 2
43、2BD . 设平面ADT的法向量为 , ,nx y z ， 则由(1,0, 2)DT ，(1, 2 3,0)AT ， 得 0 0 n DT n AT ， 20 2 30 xz xy ， 令2 3x ， 得(2 3,1, 3)n . 由 4 32 36 33 6 cos, 8| |2 212 1 32 24 n BD BD n nBD ， 直线BD与平面ADT所成的角的正弦值为 3 6 8 . 【点睛】本题考查了空间面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理以及求线面角的正弦值，最常见的求 线面角的方法是分别求出所涉及平面的一个法向量，然后通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角得到 线面角的正弦值的
44、大小，考查了学生的空间想象能力及计算能力,属于中档题. 20.马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱.王老师是一位资深的马拉松爱好 者，他的微信朋友圈内也有大量的好友加入了他的“马拉松跑友群”，他随机选取了其中的 100 人（男、 女各 50 人），记录了他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下： 跑步公里数 性别 510 1015 1520 2025 2530 30 男 4 8 10 12 10 6 女 8 4 14 14 6 4 （1）已知某人一天的跑步公里数超过 20 公里被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意 完成下面的22列联表，并据
45、此判断能否有 97.5%的把握认为“评定级别”与“性别”有关? 初级 高级 总计 男 女 总计 （2）若王老师以这 100 位好友该日跑步公里数的频率分布来估计其跑群中所有跑友每日跑步公里数的概率 分布，现从王老师的所有跑群好友中任选 2 人，其中每日跑步公里数不超过 10 公里的有X人，超过 30 公 里的有Y人，设XY，求的分布列及数学期望. 附： 2 2 n adbc k abcdacbd ， 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）没有 97.5%的把握认为“评定级别”与“性别”有关；（2）见详解. 【解析】（1）跑
46、步公里数的22列联表如下： 初级 高级 总计 男 22 28 50 女 26 24 50 总计 48 52 100 因为 2 2 10022 2426 2 50 50 8 0.6415.0 48 4 52 2k 所以没有 97.5%的把握认为“评定级别”与“性别”有关. （2）由这 100 人跑步公里数的频数分布表得：在跑群中任选一人跑步公里数不超过 10 公里的概率为 3 25 ， 超过 30 公里的频率为 1 10 ，在 10 公里和 30 公里之间的频率为 7839 = 10050 ， 当0,0XY，1,1XY时，0XY，所以 1 2 393931152161581 0 5050251025002502500 PC; 当0,1XY或1,0XY时，1XY，则 11 22 13939378234858429 1 10505025500125025001250 PCC; 当0,2XY或2,0XY时，2XY，则 11331961 2 101025251006252500 P; 所以XY的分布列为： 0 1 2 P 1581 2500 429 1250 61 2500 所以 15818586198049 012 2500250025002500125 E .
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