1、2020-2021 学年湖南省常德市澧县九年级第一学期期末数学试卷学年湖南省常德市澧县九年级第一学期期末数学试卷 一、选择题：（每小题一、选择题：（每小题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A（x+3）（x3）+40 Bx20 C3x24y0 D（x+1）（x3）+4x2+x 2如果反比例函数 y的图象分布在第一、三象限，那么 a 的值可以是（ ） A3 B2 C0 D1 3 将二次函数 y5x2的图象先向右平移 2个单位， 再向下平移 3个单位， 得到的函数图象的解析式为 （ ） Ay5（x+2）2+3 By5（x2） 2+3 Cy5（x+2）23 D
2、y5（x2） 23 4在ABC 中，则ABC 为（ ） A直角三角形 B等边三角形 C含 60的任意三角形 D是顶角为钝角的等腰三角形 5如图，在直角坐标系中，OAB 的顶点为 O（0，0），A（4，3），B（3，0）以点 O 为位似中心， 在第三象限内作与OAB 的位似比为的位似图形OCD，则点 C 的坐标为（ ） A（1，1） B（，1） C（1，） D（2，1） 6如图，ADBECF，点 B，E 分别在 AC，DF 上，DE2，EFAB3，则 BC 长为（ ） A B2 C D4 7 如图， 在 55 正方形网格中， 一条圆弧经过 A、 B、 C 三点， 那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中
3、的 （ ） AM BP CQ DR 8符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）2，f（2）4，f（3）6； （2）f（）2，f（）3，f（）4 利用以上规律计算：f（2014）f（）等于（ ） A2013 B2014 C D 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题；共小题；共 24 分）分） 9如图，BD 是 RtABC 斜边 AC 上的高，DEAB 于 E，则图中与ABC 相似的三角形有 个 10已知点（1，y1）、（2，y2）、（，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1、y2、y3的大 小关系是 11已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，AB2cm，
4、那么 PA cm 12如图，点 A 在双曲线 y上，ABx 轴于点 B，若ABO 的面积是 3，则 k 13已知关于 x 的一元二次方程 kx22x+10 有实数根，若 k 为非负整数，则 k 等于 14若函数 y与 y2x4 的图象的交点坐标为（a，b），则 的值是 15如图，边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，半径为 2 的A 与 BC 交于点 F， 则 tanDEF 16二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程 ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当 x1 或 x3 时，y0上述结论中正确的
5、 是 （填上所有正确结论的序号） 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题；共小题；共 72 分）分） 17解方程：x26x270 18计算：sin45 19已知函数 yy1y2，y1与 x 成正比例，y2与 x 成反比例，且当 x1 时，y2；当 x2 时，y7 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）求当 x3 时的函数值 20如图，为测量某条河的宽度 BC，工程队用无人机在距地面高度为 200 米的 A 处测得 B，C 两点的俯角 分别为 30和 45，且点 B，C，D 在同一水平直线上，求 A，C 之间的距离和这条河的宽度 BC（结 果保留根号） 21某天猫店销售某种规格学生软式
6、排球，成本为每个 30 元以往销售大数据分析表明：当每只售价为 40 元时，平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元，其月销售量就减少 20 个，若售价每下降 1 元，其月销 售量就增加 200 个 （1）若售价上涨 m 元，每月能售出 个排球（用 m 的代数式表示） （2）为迎接“双十一”，该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球，并决定整个 11 月份进行降价 促销，问售价定为多少元时，能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 22为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“经典雅韵”诵读比赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行 统计，并绘制如下两个不完整的统计图，请结
7、合图中提供的信息，解答下列各题： （1）直接写出 a 的值，a ，并把频数分布直方图补充完整 （2）求扇形 B 的圆心角度数 （3）如果全校有 2000 名学生参加这次活动，90 分以上（含 90 分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学 生有多少人？ 23如图，在圆 O 中，弦 AB8，点 C 在圆 O 上（C 与 A，B 不重合），连接 CA、CB，过点 O 分别作 OD AC，OEBC，垂足分别是点 D、E （1）求线段 DE 的长； （2）点 O 到 AB 的距离为 3，求圆 O 的半径 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1ax+b（a，b 为常数，且 a0）与反比例函数
8、y2（m 为常数，且 m0）的图象交于点 A（2，1），B（1，n） （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接 OA，OB，求AOB 的面积； （3）直接写出当 y1y2时，自变量 x 的取值范围 25已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 至点 E，使得 AEAB，联结 DE、AC点 F 在线 段 DE 上，联结 BF，分别交 AC、AD 于点 G、H （1）求证：BGGF； （2）如果 AC2AB，点 F 是 DE 的中点，求证：AH2GHBH 26如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，抛物线 yax2+b
9、x+c 经过 A、B、C 三点，且点 A 坐标为（1，0） （1）求这条抛物线及其对称轴的表达式； （2）点 P 是抛物线上点 A 与点 C 之间任意一点，当PBC 与OBC 面积相等时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 D 是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上找一点 Q，使得以 B、C、D、Q 为顶点的 四边形为平行四边形，请求出一组满足以上条件的点 D、Q 的坐标，并直接写出其余满足条件的点 Q 的 坐标 参考答案参考答案 一、选择题：（每小题一、选择题：（每小题 3 分，共计分，共计 24 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A（x+3）（x3）+40 Bx20 C3x2
10、4y0 D（x+1）（x3）+4x2+x 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可 解：A、由已知方程化简得到：x50，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、由已知方程化简得到：3x10，未知数的最高次数为 1 次，不是一元二次方程，故此选项不符合 题意； 故选：A 2如果反比例函数 y的图象分布在第一、三象限，那么 a 的值可以是（ ） A3 B2 C0 D1 【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定 a 的符号，然后确定 a 的值即可 解：反比例函数 y的图象分布在第一、三
11、象限， a0， 只有 2 符合， 故选：B 3 将二次函数 y5x2的图象先向右平移 2个单位， 再向下平移 3个单位， 得到的函数图象的解析式为 （ ） Ay5（x+2）2+3 By5（x2） 2+3 Cy5（x+2）23 Dy5（x2） 23 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y5x2的图象先向右平移 2 个单位所得函数的解析式为： y5（x2）2； 由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y5（x2）2的图象先向下平移 3 个单位所得函数的解析式 为： y5（x2）23 故选：D 4在ABC 中，则ABC 为（ ） A直角三
12、角形 B等边三角形 C含 60的任意三角形 D是顶角为钝角的等腰三角形 【分析】首先结合绝对值以及偶次方的性质得出tanA30，2cosB0，进而利用特殊角的三 角函数值得出答案 解：（tanA3）2+|2cosB|0， tanA30，2cosB0， tanA，cosB， A60，B30， ABC 为直角三角形 故选：A 5如图，在直角坐标系中，OAB 的顶点为 O（0，0），A（4，3），B（3，0）以点 O 为位似中心， 在第三象限内作与OAB 的位似比为的位似图形OCD，则点 C 的坐标为（ ） A（1，1） B（，1） C（1，） D（2，1） 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点
13、的坐标的关系，把 A 点的横纵坐标都乘以即可 解：以点 O 为位似中心，位似比为， 而 A （4，3）， A 点的对应点 C 的坐标为（，1） 故选：B 6如图，ADBECF，点 B，E 分别在 AC，DF 上，DE2，EFAB3，则 BC 长为（ ） A B2 C D4 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案 解：ADBECF， ， DE2，EFAB3， ， BC， 故选：A 7 如图， 在 55 正方形网格中， 一条圆弧经过 A、 B、 C 三点， 那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的 （ ） AM BP CQ DR 【分析】 根据垂径定理的推论： 弦的垂直平分线必过圆心， 分别作
14、AB， BC 的垂直平分线即可得到答案 解：作 AB 的垂直平分线，作 BC 的垂直平分线，如图， 它们都经过 Q，所以点 Q 为这条圆弧所在圆的圆心 故选：C 8符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）2，f（2）4，f（3）6； （2）f（）2，f（）3，f（）4 利用以上规律计算：f（2014）f（）等于（ ） A2013 B2014 C D 【分析】根据已知条件的规律，得到 f（2014）和 f（）的值，即可求解 解：由 f（1）2，f（2）4，f（3）6；f（）2，f（）3，f（）4 f（2014）2028，f（）2014 f（2014）f（）2014 故选
15、：B 二、填空题（共二、填空题（共 8 小题；共小题；共 24 分）分） 9如图，BD 是 RtABC 斜边 AC 上的高，DEAB 于 E，则图中与ABC 相似的三角形有 4 个 【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形相似逐个判断即可 解：BD 是 RtABC 斜边 AC 上的高， ADBBDCABC90， A+C90，A+ABD90，C+CBD90， ACBD，CABD， ADBBDC， ABCBDC，CC， BDCABC， 同理ADBABC；BDEDEABAD， 即图中与ABC 相似的三角形有BDC、ADB、AED、DEB 共 4 个， 故答案为：4 10已知点（1，y1）、（2，y2
16、）、（，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1、y2、y3的大 小关系是 y1y3y2 【分析】先根据反比例函数 y的系数（k2+1）0 判断出函数图象在二、四象限，在每个象 限内，y 随 x 的增大而增大，再根据12，判断出 y1、y2、y3的大小 解：反比例函数 y中，k（k2+1）0， 此函数的图象在二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， 102， y10y3y2， 故答案为 y1y3y2 11已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，AB2cm，那么 PA 1 cm 【分析】根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 APAB，代入运算即可 解：由于 P 为
17、线段 AB2 的黄金分割点， 且 AP 是较长线段； 则 AP2（1）cm 故答案为：（1）cm 12如图，点 A 在双曲线 y上，ABx 轴于点 B，若ABO 的面积是 3，则 k 6 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S|k| 解：根据题意可知：SABO|k|3，即 k6 又反比例函数的图象位于第二、四象限， k0， k6 故答案为：6 13已知关于 x 的一元二次方程 kx22x+10 有实数根，若 k 为非负整数，则 k 等于 1 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可 k 的值 解：由题意可知：（2）2
18、4k0 且 k0 解得 k1 且 k0 由于 k 为非负整数， k1 故答案是：1 14若函数 y与 y2x4 的图象的交点坐标为（a，b），则 的值是 2 【分析】求出两函数组成的方程组的解，即可得出 a、b 的值，再分别代入求出即可 解：联立两个函数表达式得， 整理得：x2+2x+10， 解得：x1， y2， 交点坐标是（1，2）， a1，b2， 则112 故答案为2 15如图，边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，半径为 2 的A 与 BC 交于点 F， 则 tanDEF 【分析】根据圆周角定理得出DBCDEF，进而得出 tanDEFtanDBC，求出答案即可
19、 解：由题意可得：DBCDEF， 则 tanDEFtanDBC 故答案为： 16二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程 ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；当 x1 或 x3 时，y0上述结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号） 【分析】由图可知，对称轴 x1，与 x 轴的一个交点为（3，0），则有 b2a，与 x 轴另一个交点（ 1，0）； 由 a0，得 b0； 当 x1 时，y0，则有 ab+c0； 一元二次方程 ax2+bx+c+10 可以看作函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点，由图象可知函数 y ax2+b
20、x+c 与 y1 有两个不同的交点，一元二次方程 ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根； 由图象可知，y0 时，x1 或 x3 解：由图可知，对称轴 x1，与 x 轴的一个交点为（3，0）， b2a，与 x 轴另一个交点（1，0）， a0， b0； 错误； 当 x1 时，y0， ab+c0； 正确； 一元二次方程 ax2+bx+c+10 可以看作函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点， 由图象可知函数 yax2+bx+c 与 y1 有两个不同的交点， 一元二次方程 ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根； 正确； 由图象可知，y0 时，x1 或 x3 正确； 故答
21、案为 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题；共小题；共 72 分）分） 17解方程：x26x270 【分析】利用因式分解法解方程即可得出答案 解：x26x270, （x9）（x+3）0， 故 x90 或 x+30， 解得：x19，x23 18计算：sin45 【分析】本题涉及二次根式的乘法和特殊角的三角函数首先计算二次根式的乘法，然后根据实数的运 算法则求得计算结果 解：原式36312 19已知函数 yy1y2，y1与 x 成正比例，y2与 x 成反比例，且当 x1 时，y2；当 x2 时，y7 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）求当 x3 时的函数值 【分析】（1）设 y1k
22、1x（k10），y2（k20），然后表示出 y、x 的函数关系式，再把两组数据 代入函数解析式进行计算即可得解； （2）把自变量 x3 代入函数解析式进行计算即可得解 【解答】（1）y1与 x 成正比例， 设 y1k1x（k10）， y2与 x 成反比例， 设 y2（k20）， yy1y2， yk1 x ， 当 x1 时，y2；当 x2 时，y7 ， 解得， y4x； （2）当 x3 时，y4311 20如图，为测量某条河的宽度 BC，工程队用无人机在距地面高度为 200 米的 A 处测得 B，C 两点的俯角 分别为 30和 45，且点 B，C，D 在同一水平直线上，求 A，C 之间的距离和这
23、条河的宽度 BC（结 果保留根号） 【分析】可求出 AC200，求出 BD 和 CD，则 BC 可求出 解：AEDB， ACDEAC45， 在 RtACD 中，ACD45，AD200 米， AC200（米）， AEDB， ABDEAB30， 在 RtABD 中，BD200（米）， 在 RtACD 中，ACDCAD45， CDAD200， BCBDCD（200200）（米） 答：AC 为 200米这条河的宽度 BC 为（200 200）米 21某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个 30 元以往销售大数据分析表明：当每只售价为 40 元时，平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元，其
24、月销售量就减少 20 个，若售价每下降 1 元，其月销 售量就增加 200 个 （1）若售价上涨 m 元，每月能售出 60020m 个排球（用 m 的代数式表示） （2）为迎接“双十一”，该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球，并决定整个 11 月份进行降价 促销，问售价定为多少元时，能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 【分析】（1）由销售数量60020上涨价格，即可得出结论； （2）设每个排球降价 x 元，则 11 月份可售出该种排球（200 x+600）个，根据月利润单件利润月销 售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论 解：（1
25、）根据题意得：60020m 故答案为：60020m （2）设每个排球降价 x 元，则 11 月份可售出该种排球（200 x+600）个， 根据题意得：（40 x30）（200 x+600）8400， 解得：x13，x24 当 x3 时，销量为 12001300，适合题意； 当 x4 时，销量为 14001300，舍去 40 x37 答：每个排球的售价为 37 元 22为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“经典雅韵”诵读比赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行 统计，并绘制如下两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题： （1）直接写出 a 的值，a 30 ，并把频数分布直方图补充完整
26、（2）求扇形 B 的圆心角度数 （3）如果全校有 2000 名学生参加这次活动，90 分以上（含 90 分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学 生有多少人？ 【分析】（1）先根据 E 等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用 D 等级人数除以总人数可得 a 的值，用总人数减去其他各等级人数求得 C 等级人数可补全图形； （2）用 360乘以 A 等级人数所占比例可得； （3）用总人数乘以样本中 E 等级人数所占比例 解：（1）被调查的总人数为 1050（人）， D 等级人数所占百分比 a%100%30%，即 a30， C 等级人数为 50（5+7+15+10）13 人， 补全图形如下： 故答案为
27、：30； （2）扇形 B 的圆心角度数为 36050.4； （3）估计获得优秀奖的学生有 2000400 人 23如图，在圆 O 中，弦 AB8，点 C 在圆 O 上（C 与 A，B 不重合），连接 CA、CB，过点 O 分别作 OD AC，OEBC，垂足分别是点 D、E （1）求线段 DE 的长； （2）点 O 到 AB 的距离为 3，求圆 O 的半径 【分析】（1）由 ODAC 知 ADDC，同理得出 CEEB，从而知 DEAB，据此可得答案； （2）作 OHAB 于点 H，连接 OA，根据题意得出 OH3，AH4，利用勾股定理可得答案 解：（1）OD 经过圆心 O，ODAC， ADDC，
28、 同理：CEEB， DE 是ABC 的中位线， DEAB， AB8， DE4 （2）过点 O 作 OHAB，垂足为点 H，OH3，连接 OA， OH 经过圆心 O， AHBHAB， AB8， AH4， 在 RtAHO 中，AH2+OH2AO2， AO5，即圆 O 的半径为 5 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1ax+b（a，b 为常数，且 a0）与反比例函数 y2（m 为常数，且 m0）的图象交于点 A（2，1），B（1，n） （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接 OA，OB，求AOB 的面积； （3）直接写出当 y1y2时，自变量 x 的取值范围 【分析】（
29、1）先把 A 点代入 y2中求出 m 得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定 B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设直线 AB 与 y 轴交于点 C，如图，则 C 点坐标为（0，1），根据三角形面积公式，利用 SAOB SAOC+SCOB进行计算； （3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可 解：（1）把 A（2，1）代入 y2得 m212， 反比例函数解析式为 y2， 把 B（1，n）代入 y得 n2， B 点坐标为（1，2）， 把 A（2，1），B（1，2）代入 y1ax+b 得，解得， 一次函数解析式为 y1x1； （2
30、）设直线 AB 与 y 轴交于点 C，如图， 当 x0，得 yx11， C 点坐标为（0，1） SAOBSAOC+SCOB 12+11； （3）由图象可得，当 y1y2时，自变量 x 的取值范围是 x2 或 0 x1 25已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 至点 E，使得 AEAB，联结 DE、AC点 F 在线 段 DE 上，联结 BF，分别交 AC、AD 于点 G、H （1）求证：BGGF； （2）如果 AC2AB，点 F 是 DE 的中点，求证：AH2GHBH 【分析】（1）由平行四边形的性质可得 ABCDAE，ABCD，可证四边形 ACDE 是平行四边形，可 得，可得
31、结论； （2）由“SAS”可证BEFDEA，可得EBFEDA，通过证明AHGBHA，可得结论 【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， ABAE， AECD， 四边形 ACDE 是平行四边形， ACDE， ， BGGF； （2）ABAE， BE2AE， AC2AB， BEAC， 四边形 ACDE 是平行四边形， ACDE， DEBE， 点 F 是 DE 的中点， DE2EF， AEEF， DEBE，EE，AEEF， BEFDEA（SAS）， EBFEDA， ACDE， GAHEDA EBFGAH AHGBHA， AHGBHA， AH2GHBH 26如图 1，在
32、平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C，抛物线 yax2+bx+c 经过 A、B、C 三点，且点 A 坐标为（1，0） （1）求这条抛物线及其对称轴的表达式； （2）点 P 是抛物线上点 A 与点 C 之间任意一点，当PBC 与OBC 面积相等时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 D 是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上找一点 Q，使得以 B、C、D、Q 为顶点的 四边形为平行四边形，请求出一组满足以上条件的点 D、Q 的坐标，并直接写出其余满足条件的点 Q 的 坐标 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）由面积关系可得 OPBC，可
33、求 OP 解析式，即可求解； （3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解 解：（1）直线 yx+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C， 点 B（3，0），点 C（0，3）， 抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0），C（0，3）三点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3， 对称轴的表达式为 x1，即 x1； （2）如图 1，连接 OP， PBC 与OBC 面积相等， 点 P 到 BC 的距离点 O 到 BC 的距离， 点 P，点 O 在 BC 的同侧， POBC， PO 解析式为 yx， xx2+2x+3， x， 1x0， x， 点 P（，）； （3
34、）设点 Q（1，q），点 D（m，n）， 若 BC 为对角线， 四边形 DCQB 是平行四边形， BC 与 DQ 互相平分， ， m2， n4+22+33， q0， 点 Q（1，0），点 D（2，3）； 当 BC 为边，CQ 为对角线时， 四边形 DCBQ 是平行四边形， BD 与 CQ 互相平分， ， m2， n422+35， q8， 点 Q（1，8），点 D（2，5）； 当 BC 为边，CD 为对角线时， 四边形 QCBD 是平行四边形， BQ 与 CD 互相平分， ， m4， n16+24+35， q2， 点 Q（1，2），点 D（4，5）； 综上所述：点 Q 坐标为（1，0）或（1，8）或（1，2）
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