1、2021 年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（二）年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（二） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|3x12，Bx|x21，则 AB（ ） A（2，1）（1，3） B（2，11，3） C1，1 D1，3） 2已知复数 z，则|z+i|（ ） A B2 C D 3给出如图所示的算法框图，若输出的 n6 时，a 的取值范围是（ ） A（65，665） B65，665 C65，211） D65，665） 4已知数列an满足点（n，an）在直线 4xy+20 上，则数列an的前 n 项和 Sn（ ） A2（4n1） B64n
2、 C4n2+8n D2n2+4n 5已知双曲线 M：1（m0）的焦点 F 到其渐近线的距离为 4，则双曲线 M 的渐近线方程是 （ ） Ay By Cy Dy 6已知 a2100，b365，c930（参考值 lg20.3010，lg30.4771），则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Cbca Dcba 7已知向量 （1，2）， （2，1）， （5，4），则以向量 与 为基底表示向量 的结果是（ ） A B C D+ 8已知数列an+2n是等比数列，且 a10，a24，则数列 a6（ ） A1984 B1920 C992 D960 9函数 f（x）的零点的个数是（ ） A1
3、 B2 C3 D4 10若（2+x2）6a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8+a5x10+a6x12，则 a0+a5（ ） A88 B86 C76 D66 11一个由橡皮泥制作的空间几何体的三视图如图，三个视图的外边框都是边长为 6 的正方形，各边上的 交点为边的中点将该几何体揉搓成一个球体（不计损耗），则该球体的半径为（ ）（圆周率 取 3） A36 B4 C3 D 12已知在线段 AB 上有 C、D 两点，满足 AC40cm，CD120cm，DB20cm，点 P 在线段 CD 上运动， 设 M 为 AP 的中点，N 为 CD 的中点（如图），则的值（ ） A等于 1 B等于 2 C
4、等于 3 D与 P 的位置有关 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。）分。） 13已知随机变量 B（5，），则 P（3） （用数字作答） 14已知角 的顶点是直角坐标系 xOy 的原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若 P（4，3）是 的终边 上一点，则 sin2 15已知椭圆 C：1（ab0）左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1且倾斜角为 30的直线 l1与过 F2的直线 l2交于 P 点，点 P 在椭圆上，且F1PF290则椭圆 C 的离心率 e 16已知可导函数 f（x）的定义域为（0，+），满足 xf（x）2f（x）0，且 f（2）
5、4，则不等式 f（2x） 4x的解集是 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 第第 22、23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答。）考生根据要求作答。） 17已知函数 f（x）sinxcosx（0）的最大值为 2，且 f（x）的最小正周期为 （）若 x0，求 f（x）的最小值和最大值； （）设ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c，D 为 AC 的中点，若 am，BD，f （）0，求ABC 的面积 SABC 18已知抛物线
6、E：yx2的焦点为 F，过 y 轴正半轴上一点 M 的直线 l 与抛物线 E 交于 A、B 两点，O 为 坐标原点，且2 （）求证：直线 l 过定点； （）设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C，求四边形 OABC 面积的最小值 19如图，在三棱锥 DABC 中，侧面ABD 是边长为 6 的等边三角形，底面ABC 是角 C 为 120的等 腰三角形，CD （）求证：平面 ABD平面 ABC； （）若 M 在 CD 上，且 CMMD，求二面角 MABD 的余弦值 20中国悠久文化之一“石头、尖刀、布”游戏，留传至今，仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式 “石 头”即拳头，“尖刀”即食指和中指，
7、“布”即手掌，“石头”胜“尖刀”，“尖刀”胜“布”，“布” 胜“石头”现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负，假定每个人每次伸出什么手势 是随机的并且是均等的（一次游戏，可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负，不分胜负即三人手 势均相同或互不相同） （）若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率； （）若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，仅一人获胜时，获胜者得 5 分，失败者各得分2；有 2 人同时获胜时，获胜者各得 3 分，失败者得2 分；不分胜负时，各得 0 分现在进行两次“石头、尖 刀、布”游戏，用 X 表示甲所得的总分数，求 X 的分布列和期望
8、21设函数 f（x）2ax+ln（2x1）（aR） （）讨论 f（x）的单调性； （）当 a1 时，求证：f（x）（2x1）e2x1（e 为自然对数的底数） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合，有相同的单位长度曲 线 S 的极坐标方程为 4cos2sin，直线 l 的参数方程为（t 为参数，a1） （）求曲线 S 的长度； （
9、）若直线 l 被曲线 S 截得的线段长为 4，求实数 a 的集合 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x3|2|x+1|+x （）解不等式 f（x）1； （）求证：xR，对a、b（0，+），a+b2，不等式f（x）成立 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|3x12，Bx|x21，则 AB（ ） A（2，1）（1，3） B（2，11，3） C1，1 D1，3） 解：Ax|2x3，Bx|x1 或 x1， AB（2，11，3） 故选：B 2已知复数 z，则|z+i|（ ） A B2 C D 解：z， z+i+i+i2i（1
10、i）+i2i+2+i2+3i， 故|z+i|， 故选：A 3给出如图所示的算法框图，若输出的 n6 时，a 的取值范围是（ ） A（65，665） B65，665 C65，211） D65，665） 解：模拟程序的运行，可得 n0，y1 满足判断框内的条件，执行循环体，n2，y5 满足判断框内的条件，执行循环体，n4，y65 满足判断框内的条件，执行循环体，n6，y665 因为输出的 n 的值为 6， 所以 n6 时 ya，即 665a，n4 时 ya，即 65a， 故 a 的取值范围是65，665） 故选：D 4已知数列an满足点（n，an）在直线 4xy+20 上，则数列an的前 n 项和
11、 Sn（ ） A2（4n1） B64n C4n2+8n D2n2+4n 解：数列an满足点（n，an）在直线 4xy+20 上， 可得 an4n+2，an+1an4，a16， 所以数列an是等差数列，首项为 6，公差为 4， 所以数列an的前 n 项和 Sn6n+ 2n2+4n 故选：D 5已知双曲线 M：1（m0）的焦点 F 到其渐近线的距离为 4，则双曲线 M 的渐近线方程是 （ ） Ay By Cy Dy 解：双曲线 M：1（m0）的焦点 F 到其渐近线的距离为 4， 由双曲线的一个焦点坐标（，0），一条渐近线方程为：， 可知：4，即 m+816，解得 m8， 所以双曲线的渐近线方程为：
12、yx 故选：C 6已知 a2100，b365，c930（参考值 lg20.3010，lg30.4771），则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Cbca Dcba 解：a2100，b365，c930（参考值 lg20.3010，lg30.4771）， lgalg2100100lg230.10， lgblg36565lg3650.477131.0115， lgclg930lg36060lg3600.477128.626， a，b，c 的大小关系为：bac 故选：B 7已知向量 （1，2）， （2，1）， （5，4），则以向量 与 为基底表示向量 的结果是（ ） A B C D+
13、 解：设 x +y ， 即（5，4）x（1，2）+y（2，1）， 则，得 x，y， 即 ， 故选：A 8已知数列an+2n是等比数列，且 a10，a24，则数列 a6（ ） A1984 B1920 C992 D960 解：因为 a10，a24， 所以 a1+212，a2+228， 又数列an+2n是等比数列，故公比 q4， 所以 a6+26245211， 故 a6211261984 故选：A 9函数 f（x）的零点的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 解：函数 f（x）的零点就是0，函数的零点的个数，也就是方程根的个数 即 2xx21，x1，而 x22x10，40，所以方程由两个解，并且不是
14、1 所以函数 f（x）的零点的个数是 2 故选：B 10若（2+x2）6a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8+a5x10+a6x12，则 a0+a5（ ） A88 B86 C76 D66 解：令 x0 得 a02664， a5为 x10的系数，即 a5212， 则 a0+a564+1276， 故选：C 11一个由橡皮泥制作的空间几何体的三视图如图，三个视图的外边框都是边长为 6 的正方形，各边上的 交点为边的中点将该几何体揉搓成一个球体（不计损耗），则该球体的半径为（ ）（圆周率 取 3） A36 B4 C3 D 解：根据几何体的三视图可知该几何体为一个棱长为 6 的正方体，切去四个角
15、构成的多面体， 故 V4216921636180 根据球的体积公式，由于圆周率 取 3， 所以， 故选：D 12已知在线段 AB 上有 C、D 两点，满足 AC40cm，CD120cm，DB20cm，点 P 在线段 CD 上运动， 设 M 为 AP 的中点，N 为 CD 的中点（如图），则的值（ ） A等于 1 B等于 2 C等于 3 D与 P 的位置有关 解：设点 A 的坐标为 0，则 C 点坐标为 40，D 点坐标为 160，B 点坐标为 180， 设点 P 的坐标为 x（40 x160）， 故点 M 的坐标为，点 N 的坐标为 100， 所以 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本
16、大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卷中相应的横线上。）分。把答案填在答题卷中相应的横线上。） 13已知随机变量 B（5，），则 P（3） （用数字作答） 解：随机变量 B（5，）， 则 P（3） 故答案为： 14已知角 的顶点是直角坐标系 xOy 的原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若 P（4，3）是 的终边 上一点，则 sin2 解：由题意点 P（4，3）到原点 O 得距离 r5 由任意角的三角函数的定义得：sin，cos， 可得 sin22sincos2（） 故答案为： 15已知椭圆 C：1（ab0）左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1且倾
17、斜角为 30的直线 l1与过 F2的直线 l2交于 P 点，点 P 在椭圆上，且F1PF290则椭圆 C 的离心率 e 解：由题意可知PF1F2是直角三角形，且PF1F230， PF2c，F1F22c， ， PF1+PF22a，即 ， ， 故答案为： 16已知可导函数 f（x）的定义域为（0，+），满足 xf（x）2f（x）0，且 f（2）4，则不等式 f（2x） 4x的解集是 x|x0 解：令 g（x）（x0）， xf（x）2f（x）0， g（x）0， g（x）在区间（0，+）上单调递减， 又 f（2）4， g（2）1， 不等式 f（2x）4x1，即 g（2x）g（1）， 由得：2x1， 解
18、得 x0， 不等式 f（2x）4x的解集是x|x0， 故答案为：x|x0 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 第第 22、23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答。）考生根据要求作答。） 17已知函数 f（x）sinxcosx（0）的最大值为 2，且 f（x）的最小正周期为 （）若 x0，求 f（x）的最小值和最大值； （）设ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c，D 为 AC 的中点，若 am，BD，f （）0，求ABC
19、的面积 SABC 解：（I）f（x）sinxcosxsin（x+），（tan）， 由题意得，2，即 m3， 则 ， 因为 T， 所以 2，f（x）2sin（2x）， 因为 x0， 所以 2x， 所以 sin（2x），1， 故函数的最大值 2，最小值 （II）由（I）得，a3， 由 f（）2sin（B）0，得 B， 由 B 为三角形内角得 B， 因为 D 为 AC 的中点，a3，BD， 所以（）， 所以+|cosB， 所以 c2+3c280， 解得 c4 或 c7（舍）， 故ABC 的面积 SABC 3 18已知抛物线 E：yx2的焦点为 F，过 y 轴正半轴上一点 M 的直线 l 与抛物线 E
20、 交于 A、B 两点，O 为 坐标原点，且2 （）求证：直线 l 过定点； （）设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C，求四边形 OABC 面积的最小值 解：（）证明：设直线 l 的方程为 ykx+m（m0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得 x2kxm0，则 x1x2m， 所以 y1y2x12x22m2， 因为x1x2+y1y22， 所以 m2m20，解得 m2， 所以直线 l 过定点 M（0，2） （）不妨设 x10，则由（）知 x2 ， 由对称性得 SBOCSBOF|OF|x2 | ， 又 SAOBSAOB+SBOCx1+ 2 3， 当且仅当 x1，即 x1时，取等号， 故
21、四边形 OABC 面积的最小值为 3 19如图，在三棱锥 DABC 中，侧面ABD 是边长为 6 的等边三角形，底面ABC 是角 C 为 120的等 腰三角形，CD （）求证：平面 ABD平面 ABC； （）若 M 在 CD 上，且 CMMD，求二面角 MABD 的余弦值 【解答】（）证明：取 AB 中点 O，连接 OC、OD， 因为ABD 是边长为 6 的等边三角形，所以 OA3，ODAB， 因为ABC 是角 C 为 120的等腰三角形，所以ACO60，OCAB， 所以COD 为二面角 CABD 的平面角，OC，AC2， 因为 OD6sin603，CD，所以 CD2OC2+OD2，所以COD
22、90 即二面角 CABD 为直二面角，所以平面 ABD平面 ABC （）解：过 M 点作 MNOD 于 N，连接 OM，所以 MNOC， 由（）知 ABOC，ABOD，OCODO，所以 AB平面 COD， 又因为 OM平面 COD，所以 ABOM， 又因为 ABOD，所以DOM 为二面角 MABD 的平面角， 因为 CMMD，所以 ONOD，MNOC， OM ， 所以二面角 MABD 的余弦值为 20中国悠久文化之一“石头、尖刀、布”游戏，留传至今，仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式 “石 头”即拳头，“尖刀”即食指和中指，“布”即手掌，“石头”胜“尖刀”，“尖刀”胜“布”，“布” 胜“石头
23、”现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负，假定每个人每次伸出什么手势 是随机的并且是均等的（一次游戏，可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负，不分胜负即三人手 势均相同或互不相同） （）若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率； （）若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，仅一人获胜时，获胜者得 5 分，失败者各得分2；有 2 人同时获胜时，获胜者各得 3 分，失败者得2 分；不分胜负时，各得 0 分现在进行两次“石头、尖 刀、布”游戏，用 X 表示甲所得的总分数，求 X 的分布列和期望 解：（1）设“仅甲获胜”为事件 A，“有两人同时获胜”为事件 B，
24、则 P（A）， P（B） （2）一场比赛中，甲可得 5 分，3 分，0 分，2 分， 甲得 5 分的概率为，甲得 3 分的概率为， 甲得 0 分的概率为，甲得2 分的概率为， 则 X 的所有可能取值为 10，8，6，5，3，1，0，2，4， P（X10）， P（X8）2， P（X6）， P（X5）2， P（X3）2+2， P（X1）2， P（X0）， P（X2）2， P（X4）， 所以 X 的分别列为： X 10 8 6 5 3 1 0 2 4 P E（X）10+8+6+5 +3+1 +0+（2） +（4） 21设函数 f（x）2ax+ln（2x1）（aR） （）讨论 f（x）的单调性； （）
25、当 a1 时，求证：f（x）（2x1）e2x1（e 为自然对数的底数） 【解答】（）解：函数 f（x）2ax+ln（2x1），定义域为， 因为， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）在上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，即 2a（2x1）+20，解得， 令 f（x），0，即 2a（2x1）+20，解得 x， 所以 f（x）在上单调递增，在上单调递减 综上所述，当 a0 时，f（x）在上单调递增； 当 a0 时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 （）证明：当 a1 时，f（x）2x+ln（2x1）， 要证 f（x）（2x1）e2x1，即证 2x+ln（2x1）（2x1）e2x
26、1， 令 t2x1，则 g（t）tett1lnt（t0）， 则 g（t）， 令 h（t）tet1，则 h（t）et（t+1）0，故 h（t）在0，+）上单调递增， 又 h（0）10，h（1）e10， 设 h（t）在（0，+）内只有一个解设为 m， 则 h（m）0，即 mem1， 于是当 t（0，m）时，g（t）0，则 g（t）单调递减， 当 t（m，+）时，g（t）0，则 g（t）单调递增， 所以当 tm 时，g（t）取得最小值为 g（m）memm1lnm（mem1）（m+lnm）ln（mem） ln10， 所以对于任意的 t（0，+），g（t）0，即 tett1lnt0， 从而有 2x+ln
27、（2x1）（2x1）e2x1，即 f（x）（2x1）e2x1 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合，有相同的单位长度曲 线 S 的极坐标方程为 4cos2sin，直线 l 的参数方程为（t 为参数，a1） （）求曲线 S 的长度； （）若直线 l 被曲线 S 截得的线段长为 4，求实数 a 的集合 解：（）曲线 S 的极坐标方程
28、为 4cos2sin， 根据，转换为直角坐标方程为（x2）2+（y+1）25， 该曲线是以（2，1）为圆心，为半径的圆， 所以圆的周长为 （）直线 l 的参数方程为（t 为参数，a1）转换为 直线 l 被曲线 S 截得的线段长为 4， 所以圆心（2，1）到直线的距离 d， 整理得或， 解得或 1；或1， 故实数 a 的集合为 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x3|2|x+1|+x （）解不等式 f（x）1； （）求证：xR，对a、b（0，+），a+b2，不等式f（x）成立 解：（1）f（x）|x3|2|x+1|+x， 则 f（x）1或或 解得2x1 或1x0 则不等式 f（x）1 的解集为2，0； 证明：（2）a+b2， 又 a、b（0，+），2a+b，则 ab1， ，当且仅当 ab 时取最大值， 作出函数 f（x）的图象如图： 由图可知，f（x）5，3，且当 x1 时，f（1）3 x1R，对a、b（0，+），a+b2，不等式f（x）成立
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