1、三、压轴题 压轴题(四) 第二部分 刷题型 8已知函数 f(x)axa24(a0，xR)，若 p2q28，则fq fp的取值 范围是( ) A(，2 3) B2 3，) C(2 3，2 3) D2 3，2 3 答案答案 解析 fq fp aqa24 apa24 qa4 a pa4 a ，表示点 A(p， q)与点 B a4 a，a 4 a 连线的斜率 又 a0， 所以 a4 a4，故取点 E(4,4)当 AB 与圆的切 线 EC 重合时，kAB取最小值，可求得 kECtan15 2 3，所以fq fp的最小 值为 2 3； 当 AB 与圆的切线 ED 重合时， kAB取最大值， 可求得 kED
2、tan75 2 3，所以fq fp的最大值为 2 3，故 fq fp的取值范围是2 3，2 3 解析解析 12(多选)(2020 山东济南 6 月仿真模拟)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 BC1上的动点，下列说法正确的是( ) A对任意点 P，DP平面 AB1D1 B三棱锥 PA1DD1的体积为1 6 C线段 DP 长度的最小值为 6 2 D存在点 P，使得 DP 与平面 ADD1A1所成角的 大小为 3 答案答案 解析 由题可知，正方体的面对角线长度为 2，分别连接 C1D，BD， B1D1，AB1，AD1，易得平面 C1DB平面 AB1D1，DP平面
3、C1DB，故对任 意点 P，DP平面 AB1D1，故 A 正确；分别连接 PA，PD1，无论点 P 在哪 个位置，三棱锥 PA1DD1的高均为 1，底面 A1DD1的面积为1 2，所以三棱 锥 PA1DD1的体积为1 3 1 21 1 6，故 B 正确；线段 DP 在C1BD 中，当 点 P 为 BC1的中点时，DP 最小，此时 DPBC1，在 RtBPD 中，DP BD2PB2 22 2 2 2 6 2 ，故 DP 的最小值为 6 2 ，故 C 正确； 解析解析 点 P 在平面 ADD1A1上的投影在线段 AD1上，设点 P 的投影为点 Q，则 PDQ 为 DP 与平面 ADD1A1所成的角
4、，sinPDQPQ PD，PQ1，而 6 2 PD 2， 所以DP与平面ADD1A1所成角的正弦值的取值范围是 2 2 ， 6 3 ， 而 sin 3 3 2 6 3 ，所以不存在点 P，使得 DP 与平面 ADD1A1所成角的大小 为 3，故 D 错误故选 ABC. 解析解析 16(2020 山东聊城二模)足球运动是一项古老的体育活动，众多的资 料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛 用足球是由正五边形与正六边形构成的共 32 个面的多面体，著名数学家欧 拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足 FVE2，那么 足球有_个正六边形的面，若正六边形的
5、边长为 21，则足球的直径为 _(结果保留整数)(参考数据：tan54 1.38， 31.73，3.14) 20 22 解析 因为足球是由正五边形与正六边形构成的，所以每块正五边形 皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个 顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论设 正五边形为 x 块，正六边形为 y 块，由题知， xy1 35x6y 1 25x6y2， 5x1 26y， 解析解析 解得 x12， y20. 所以足球有 20 个正六边形的面， 12 个正五边形的面 每 个正六边形的面积为 1 2( 21) 2 3 2 6 63 3 2 .每个正五边形
6、的面积为 1 2 21 21tan54 2 5 105tan54 4 . 球 的 表 面 积 S 20 63 3 2 12 105tan54 4 630 3315tan54 1089.9434.71524.6.所以 4R2 (2R)21524.6,2R22.所以足球的直径为 22. 解析解析 21(2020 山东滨州二模)在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机 体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关 症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区 200 名患者的 相关信息，得到如下表格： 潜伏期 (单位：天) 0,2 (2,4 (4,6 (6,8 (8,10 (
7、10,12 (12,14 人数 17 41 62 50 26 3 1 (1)求这 200 名患者的潜伏期的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表)； (2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的 关系，以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 200 名患者中 抽取 40 人得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否 有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上(含 50 岁) 20 50 岁以下 9 总计 40 (3)以这 200 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患
8、者潜 伏期超过 6 天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为 了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了 10 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能(即概率最大)是多少？ 附： P(K2k0) 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 K2 nadbc2 abcdacbd，其中 nabcd. 解 (1) x 1 200 (117341562750926113 131)5.4(天) (2)根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上(含 50 岁) 15 5 20 50 岁以下 9 11 20 总计 24
9、 16 40 则 K240151159 2 20202416 3.75， 经查表， 得 K23.750 时，都有 m2 2fx 1 x 2 2km1 恒成立， 求最大的整数 k.(参考数据：1.78) (2)注意到 x0， 不等式 m2 2fx1 x 2 2km1 中， 当 m0 时，显然成立； 当 m0 时，不等式可化为 2f(x)1 x 2 2km1 m2 ， 令 h(x)2f(x)1 x2e x1 x，则 h(x)2e x1 x2， h 1 2 2e 1 21 1 2 22e 1 240，所以存在 x0 1 2， 3 3 ， 使 h(x0)2ex0 1 x2 00. 因为 y2ex在(0
10、，)上单调递增，y 1 x2在(0，)上单调递减，所 以 h(x)在(0，)上单调递增，所以 x0是 h(x)的唯一零点 且在区间(0，x0)上，h(x)0，h(x)单调递增， 所以 h(x)的最小值为 h(x0)2ex0 1 x0 1 x2 0 1 x0， 解解 令 1 x0t( 3，2)， 则 1 x2 0 1 x0t 2t(3 3，6)， 将 h(x)的最小值设为 a，则 a(3 3，6)， 因此原式需满足 a2 2km1 m2 ， 即 am22 2km10 在 mR 上恒成立， 又 a0，可知判别式 8k4a0 即可，即 ka 2，且 a(3 3，6)， 所以 k 可以取到的最大整数为 2. 解解 本课结束
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