1、2021 年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（文科）（一）年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（文科）（一） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A，全集 U1，2，1，2，3，4，若UA1，3，4），则集合 A 是（ ） A1，2，0，2 B1，2，2 C1，2 D0 2已知 f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）lnx+1，则 f（e）（ ） A2 B0 C2 D1 3若 a（，0），且 sin+cos0，则 sin3（ ） A B C D 4在 1 到 100 的整数中，除去所有可以表示为 2n（nN+）的整数，则其余整数的和是（ ） A3928 B4024
2、C4920 D4924 5已知双曲线 S：1 的离心率为 2，则双曲线 S 的两条渐近线的夹角为（ ） A B C或 D或 6已知| |1，| |2，且 与 的夹角为，则| |（ ） A B2 C D 7已知点 P 在圆 C：（x2）2+（y+1）21 上，直线 l：3x+4y12 与两坐标轴的交点分别为 M，N，则 PMN 的面积的最大值是（ ） A B8 C D9 8已知在ABC 角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 a4，b3，c2则ABC 的最大角的正弦值 是（ ） A B C D 9已知 f（x）sinxcosx+sin2x（x0， ），则 f（x）的值域是（ ） A， B1
3、， C，1 D1，1 10如图，已知底面边长为 a 的正四棱锥 PABCD 的侧棱长为 2a，其截面 PAC 的面积为 8，则正四棱 锥 PABCD 的高是（ ） A B2 C4 D4 11已知命题 p：xR，x10lgx，命题 q：xR，ex，则（ ） A“pq”是假命题 B“pq”是真命题 C“pq”是假命题 D“pq”是真命题 12设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x）且函数 y（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论 一定成立的是（ ） A函数 f（x）的极大值是 f（2），极小值是 f（1） B函数 f（x）的极大值是 f（2），极小值是 f（1） C函数 f（x）的
4、极大值是 f（2），极小值是 f（2） D函数 f（x）的极大值是 f（2），极小值是 f（2） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13若抛物线的准线方程为 y2，则该抛物线的标准方程是 14若 aR，i 为虚数单位，|2+|4，则 a 15设函数 f（x），若 f（f（）8，则 m 16 已知函数 f （x） x2+ax+b 有两个零点 x1、 x2， 且1x10 x22， 则 za2b 的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题
5、为必题为必 考题：第考题：第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）题为选考题，考生根据要求作答。） 17已知an为等差数列，各项都为正数的等比数列bn的前 n 项和为 Sn，且 b13，S339，a1b27， a40b41 （）求an、bn的通项公式； （）求和 a1+2a2+2a3+2an+an+1 18已知正四面体 ABCD，M、N 分别在棱 AD、AB 上，且 AMMD，ANAB，P 为棱 AC 上任意一 点（P 不与 A 重合） （）求证：直线 MN平面 BDP； （）若正四面体 ABCD 的各棱长均为 60cm求三棱锥 MBDC 的体积 19西安市某街道办为了绿植街道两边的绿
6、化带，购进了 1000 株树苗，这批树苗最矮 2 米，最高 2.5 米， 桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图（如图） （）试估计这批树苗高度的中位数； （）现按分层抽样方法，从高度在2.30，2.50的树苗中任取 6 株树苗，从这 6 株树苗中任选 3 株，求 3 株树苗中至少有一株树苗高度在2.40，2.50的概率 20已知椭圆 C：1（ab0），F1、F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，P 为椭圆 C 上的任一点， 且|PF2|的最大值和最小值分别为 3 和 1，过 F2的直线为 l （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，求ABF1的面积的最大值 21已知
7、函数 f（x）lnxln2x （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （2）设 h（x）f（x）1，求证：h（x）在1，+）上有唯一零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知曲线 S 的参数方程为（ 为参数，02）点 P（，）在曲线 S 上， 直线 l 过点 P，且倾斜角为 （）求点 P 在曲线 S 上对应的参数 的值； （）求直线 l 被曲线 S 截得的线段的长度 选修选修
8、 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）x|x3|4 （）解不等式 f（x）0； （）设 g（x）（x3，且 x0），求 g（x）的值域 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 A，全集 U1，2，1，2，3，4，若UA1，3，4），则集合 A 是（ ） A1，2，0，2 B1，2，2 C1，2 D0 解；因为全集 U1，2，1，2，3，4，若UA1，3，4）， 由补集的定义可得，A1，2，2 故选：B 2已知 f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）lnx+1，则 f（e）（ ） A2 B0 C2 D1 解：根据题意，当 x0 时，f（x
9、）lnx+1，则 f（e）lne+12， 又由 f（x）为奇函数，则 f（e）f（e）2， 故选：C 3若 a（，0），且 sin+cos0，则 sin3（ ） A B C D 解：因为 sin+cos0，所以， 又因为 a（，0）， 所以， 则 sin3 故选：A 4在 1 到 100 的整数中，除去所有可以表示为 2n（nN+）的整数，则其余整数的和是（ ） A3928 B4024 C4920 D4924 解：因为当 2n1，100时，n1，2，3，4，5，6， 所以， 又 1+2+3+100， 所以在 1 到 100 的整数中， 除去所有可以表示为 2n（nN+） 的整数， 其余的整数的
10、和为 50501264924 故选：D 5已知双曲线 S：1 的离心率为 2，则双曲线 S 的两条渐近线的夹角为（ ） A B C或 D或 解：当 m+80 时，双曲线 S：1 的离心率为 2， 可得2， 解得 m4，所以双曲线的渐近线方程为：xy0， 双曲线 S 的两条渐近线的夹角为： 当 m+80 时，双曲线 S：1 的离心率为 2， 可得2， 解得 m12，所以双曲线的渐近线方程为：xy0， 双曲线 S 的两条渐近线的夹角为： 故选：B 6已知| |1，| |2，且 与 的夹角为，则| |（ ） A B2 C D 解：| |1，| |2，且 与 的夹角为， 12， | |22 +312+
11、3227， 故| |， 故选：A 7已知点 P 在圆 C：（x2）2+（y+1）21 上，直线 l：3x+4y12 与两坐标轴的交点分别为 M，N，则 PMN 的面积的最大值是（ ） A B8 C D9 解：如图， 圆 C 的圆心（2，1）到直线 3x+4y12 的距离 d 则圆 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最大值为 3 又直线 l：3x+4y12 与两坐标轴交点分别为 M（4，0），N（0，3）， |MN|5 AMN 面积的最大值为 S53 故选：A 8已知在ABC 角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 a4，b3，c2则ABC 的最大角的正弦值 是（ ） A B C D 解
12、：最大角是 A，根据余弦定理：，且 A（0，）， 故选：D 9已知 f（x）sinxcosx+sin2x（x0， ），则 f（x）的值域是（ ） A， B1， C，1 D1，1 解：f（x）sin2x+sin2xcos2xsin（2x）， x0，2x，sin（2x），1， f（x）的值域为，1 故选：C 10如图，已知底面边长为 a 的正四棱锥 PABCD 的侧棱长为 2a，其截面 PAC 的面积为 8，则正四棱 锥 PABCD 的高是（ ） A B2 C4 D4 解：由题意可知，PAPC2a， 所以PAC 的高， 所以PAC 的面积， 又截面 PAC 的面积为 8， 所以，解得 a4， 所以
13、正四棱锥 PABCD 的高即为PAC 的高 故选：B 11已知命题 p：xR，x10lgx，命题 q：xR，ex，则（ ） A“pq”是假命题 B“pq”是真命题 C“pq”是假命题 D“pq”是真命题 解：命题 p：xR，x10lgx，当 x100 时，不等式成立，故 p 为真命题； 命题 q：xR，ex，当 x1 时，不等式不成立，故 q 为假命题； 故：“pq”是真命题，“pq”是假命题，“pq”是真命题，“pq”是真命题 故选：D 12设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x）且函数 y（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论 一定成立的是（ ） A函数 f（x）的极大值是
14、 f（2），极小值是 f（1） B函数 f（x）的极大值是 f（2），极小值是 f（1） C函数 f（x）的极大值是 f（2），极小值是 f（2） D函数 f（x）的极大值是 f（2），极小值是 f（2） 解：由函数的图象可知，f（2）0，f（2）0， 并且当 x2 时，f（x）0， 当2x1，f（x）0， 函数 f（x）有极大值 f（2） 又当 1x2 时，f（x）0， 当 x2 时，f（x）0， 故函数 f（x）有极小值 f（2） 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。把答案填在答题卷中相应的横线上）分。把答案填在答题
15、卷中相应的横线上） 13若抛物线的准线方程为 y2，则该抛物线的标准方程是 x28y 解：由抛物线的准线方程为 y2，可知抛物线是焦点在 y 轴负半轴上的抛物线， 设其方程为 x22py（p0）， 则其准线方程为 y，得 p4 该抛物线的标准方程是 x28y 故答案为：x28y 14若 aR，i 为虚数单位，|2+|4，则 a 解：因为|2+ | ， 所以，解得 故答案为： 15设函数 f（x），若 f（f（）8，则 m 1 解：根据题意，函数 f（x）， 则 f（）5m4m， 当 m3 时，4m1，f（f（）f（4m）24 m8，解可得 m1，符合题意， 当 m3 时，4m1，f（f（）f（
16、4m）5（4m）m206m8，解可得 m2，不符合 题意， 综合可得：m1， 故答案为：1 16 已知函数 f （x） x2+ax+b 有两个零点 x1、 x2， 且1x10 x22， 则 za2b 的取值范围为 2， 3 解：由题意可得， 由不等式组作出可行域如图， 由 2a+b+40，取 b0，得 a2， 联立，解得， 作出直线 a2b0，由图可知，平移直线至（1，2）时，za2b 有最大值为 3； 至（2，0）时，za2b 有最小值为2 za2b 的取值范围为2，3， 故答案为：2，3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程
17、或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必题为必 考题：第考题：第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）题为选考题，考生根据要求作答。） 17已知an为等差数列，各项都为正数的等比数列bn的前 n 项和为 Sn，且 b13，S339，a1b27， a40b41 （）求an、bn的通项公式； （）求和 a1+2a2+2a3+2an+an+1 解：（）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，q0， 由 b13，S339，a1b27，a40b41，可得 3+3q+3q239，a 13q7，a1+39d3q 31， 解得 q3，d2，a12，
18、则 an2+2（n1）2n；bn33n13n，nN*； （）a1+2a2+2a3+2an+an+12（a1+a2+a3+an+an+1）a1an+1 2（n+1）（2+2n+2）22（n+1）2n2+4n 18已知正四面体 ABCD，M、N 分别在棱 AD、AB 上，且 AMMD，ANAB，P 为棱 AC 上任意一 点（P 不与 A 重合） （）求证：直线 MN平面 BDP； （）若正四面体 ABCD 的各棱长均为 60cm求三棱锥 MBDC 的体积 解：（）证明：由 AMMD，可得点 M 在 AD 上，则有 AMAD， 又 ANAB，所以 MNDB， 又 MN平面 BDP，BD平面 BDP，
19、所以 MN平面 BDP； （）设 G 为底面ABC 的重心，Q 为 AC 的中点，如图所示， 则cm，GBcm，cm， 所以cm， 由（）可知 MNDB，且 MN平面 DBC，DB平面 DBC，故 MN平面 DBC， 所以点 M 与点 N 到平面 BDC 的距离相等， 所以三棱锥 MBDC 的体积与三棱锥 NBDC 的体积相等， 又三棱锥 NBDC 的体积与三棱锥 DBNC 的体积相等， 所以 ， 所以三棱锥 MBDC 的体积为 19西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了 1000 株树苗，这批树苗最矮 2 米，最高 2.5 米， 桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图（如图） （）试估计
20、这批树苗高度的中位数； （）现按分层抽样方法，从高度在2.30，2.50的树苗中任取 6 株树苗，从这 6 株树苗中任选 3 株，求 3 株树苗中至少有一株树苗高度在2.40，2.50的概率 解：（）由频率分布直方图得： 2.0，2.2）的频率为：（1+3.5）0.10.45， 2.2，2.3）的频率为：2.50.10.25， 估计这批树苗高度的中位数为： 2.1+2.12 （）按分层抽样方法，从高度在2.30，2.50的树苗中任取 6 株树苗， 则2.30，2.40）中抽取：64 株， 2.40，2.50）中抽取：62 株， 从这 6 株树苗中任选 3 株， 基本事件总数 n， 3 株树苗中
21、至少有一株树苗高度在2.40，2.50包含的基本事件个数： m 16， 3 株树苗中至少有一株树苗高度在2.40，2.50的概率 P 20已知椭圆 C：1（ab0），F1、F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，P 为椭圆 C 上的任一点， 且|PF2|的最大值和最小值分别为 3 和 1，过 F2的直线为 l （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，求ABF1的面积的最大值 解：（）由椭圆的性质可知，解得 a2，c1， b2a2c23， 所以椭圆方程为， （）由题意分析可知直线 l 的斜率不能为零，设 A（x1，y1），B（x2，y2），l 的方程为 xmy+1，
22、联立方程，得（3m2+4）y2+6my90， 36m2+36（3m2+4）0， ， 12 12 ， 所以当且仅当 m0 时|y1y2|取到最大值 3， 3， 即三角形 ABF1面积的最大值为 3 21已知函数 f（x）lnxln2x （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （2）设 h（x）f（x）1，求证：h（x）在1，+）上有唯一零点 解：（1）由 f（x）lnxln2x，得 f（x）， f（1）ln2，又 f（1）0， 曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 yln2（x1）； 证明：（2）h（x）f（x）1lnxln2x1， h（x）（x0）， 由 h（x）
23、0，得 ln2x20，即 2x21，x， 当 x（0，）时，h（x）0，当 x（，+）时，h（x）0， 则 h（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， h（x）在1，+）上单调递增， 又 h（1）10，当 x+时，h（x）+， h（x）在1，+）上有唯一零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知曲线 S 的参数方程为（ 为参数，02）点 P（，）在曲线 S 上， 直线 l 过点 P，
24、且倾斜角为 （）求点 P 在曲线 S 上对应的参数 的值； （）求直线 l 被曲线 S 截得的线段的长度 解：（）曲线 S 的参数方程为（ 为参数，02）点 P（，）在曲 线 S 上， 所以，由于 02， 所以 （）曲线 S 的参数方程为（ 为参数，02）转换为直角坐标方程为（x1）2+y2 9， 直线 l 过点 P（，），且倾斜角为， 所以直线的方程为， 由于圆心（1，0）在直线上，故直线 l 被曲线 S 截得的线段成为圆的直径 6 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）x|x3|4 （）解不等式 f（x）0； （）设 g（x）（x3，且 x0），求 g（x）的值域 解：（）f（x）0 x|x3|40 或， 解得 x4， 不等式 f（x）0 的解集为（，4 （）当 x3，且 x0 时，g（x）3x3（x+）， 当 0 x3 时，x+24，当且仅当 x2 时等号成立， （x+）4，3（x+ ）1，即 g（x）1； 当 x0 时，x0，0，x24，当且仅当 x2 时等号成立， 3x7，即 g（x）7， g（x）的值域为（，17，+）
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