1、 山东省（新高考）山东省（新高考）2021 届高三届高三第第二二次模拟考次模拟考数学数学试卷试卷（三三） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每
2、小题，每小题 5 5 分，分，共共 4040 分在分在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1设， ，则等于（ ） A B C D 2集合，集合 ，则集合等于（ ） A B C D 3已知函数的定义域是，满足 且对于定义域内任意 x，y 都有()( )f xyf x ( )f y 成立，那么的值为（ ） A1 B2 C3 D4 4一个等比数列前项的和为 48，前项的和为 60，则前项的和为（ ） A83 B108 C75 D63 5若向量，满足，且 ，则（ ） A B C D 1 34iz 2 2iz 12 ()f zz 1 3i2
3、11i 2i 55i 21 0 1 x Ax x 1 2 log1Bx yx AB 1 0, 2 1, 1,11, ( )f x(0,)(2)1f (2)(4)ff n 2n3n a b2a1b , 3 a b, ab b 5 6 2 3 6 6已知直线与 相交于、两点，则为钝角三角形 的充要条件是（ ） A B C D 7已知函数 的部分图象如图所示，则（ ） A B C D 8北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与 奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奥会， 某学校决定派
4、小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场， 若小明和小李必须安装同一个 吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）种 A B C D 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项符合题多项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9已知、都是定义在 上的函数，且为奇函数，的图象关于直线对称，则 下列说法中正确的有（ ） A为偶函数 B为奇函
5、数 C的图象关于直线对称 D为偶函数 10如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ） :20l axy 22 :14CxyaABABC 1,3a23,23a 23,11,23a ,2323,a cos0,0,0f xAxA 3cos 6 fxx 3cos 6 fxx 3cos 26 f x x 3cos 26 f x x 5 8101214 f x g xR f x g x1x ( ) 1ygfx 轾 =+ 臌 ygfx yfg x 1x () 1yfg x 轾 =+ 臌 1111 ABCDABC D P 1 BC A直线平面 B二面角的大小为 C三棱锥的体积为定值 D异面直线与所成角的取值范
6、围是 11已知实数，满足，下列结论中正确的是（ ） A B C D 12在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率大于 0 的直 线交抛物线C于A， B两点 （其中A在B的上方） ， 过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线， ，l 于点 P，Q，N则（ ） A B若 P，Q 是线段的三等分点，则直线的斜率为 C若 P，Q 不是线段的三等分点，则一定有 D若 P，Q 不是线段的三等分点，则一定有 第第卷卷 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为 64，则该展开式中的常
7、数项是_ 1 BD 11 AC D 1 BCDB 2 11 PAC D AP 1 AD , 4 2 a b 2 01aabba 4b28ab 11 1 ab 27 4 ab xOy 2 :4C yx ABOA OB PMNQ MNAB 2 2 MNPQOQ MNNQOQ 1 3 n x x 14 如图， 某湖有一半径为的半圆形岸边， 现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)， 在其正东方向相距的点 A 处安装一套监测设备为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点 B 以及湖 中的点 C 处，再分别安装一套监测设备，且满足，定义：四边形及其内 部区域为“直接监测覆盖区域”；设则“直接监测覆
8、盖区域”面积的最大值为_ 15已知直线是曲线的切线，也是曲线 的切线，则实数_，实数 _ 16已知函数， ，若使关于的不等式 成立，则实数的范围为_ 四四、解答题：、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知数列的前 n 项和为 （1）若为等差数列，求的通项公式； （2）若数列满足，求 100 m 200 m ABAC90BACOACB AOB ykx x ye lnyxm k m 2 2 2 ( )log12 21 x f xxx xR 0, 2 (2sincos
9、 )(42sin2cos)2ffmm n a * n SnN n a 11 165S 38 28aa n a n S 12 2 111 35 222 n n SSSn n S 18 （12 分）在平面四边形中，对角线与交于点，是的 中点，且 （1）若，求的长； （2）若，求 19 （12 分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服 ABCD4AB 2 2AD ACBDEEBD 2AEEC 4 ABDBC 3AC cosBAD 务评价系统现从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服 务的好评率为；其中对商品和服务
10、均为好评的有 80 次 （1）是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变 量，求对商品和服务全好评的次数的分布列及其期望 （其中） 20（12分） 如图， 在四棱锥 中， 四边形是边长为的菱形， 且 （1）证明：平面平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值 3 5 7 10 0.1 4 XX 2 0 P Kk 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 2 2 ()
11、()()()() n adbc K ab cd ac bd na b cd SABCDABCD260ABC90ASD 2SC SADABCD SABCDBSCD 21 （12 分）已知椭圆的一个焦点为，且过点 （1）求椭圆的方程； （2） 设， 点是椭圆上一点， 且不与顶点重合， 若直线与直线 交于点，直线与直线交于点求证：为等腰三角形 22 （12 分）已知函数， （1）当时，求的值域； （2）令，当时，恒成立，求的取值范围 数学数学答案答案 第第卷卷 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题，每小题 5 5 分，分，共共 4040 分在分在每小题给出每小题给出的
12、的四个选项中四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 【答案】D 【解析】，则， ，则，故选 D 2 【答案】C 【解析】， 22 22 :10 xy Cab ab 3,0 3 1, 2 C 1 ,0Aa 2 ,0A a0,Bb MC 1 AB 2 A M P 1 AM 2 A BQBPQV 1 x f xeax 2 g xkx 0a f x 1a 0,x ln1 g x f xx x k 1 34iz 2 2iz 12 55izz ( )f zz 1212 ()55if zzzz 121 0 1 | 1 2 x Axxx x 由，得，所以， 所以，故选 C 3 【答
13、案】C 【解析】对于定义域内任意 x，y，都有成立， 令，得， ，故选 C 4 【答案】D 【解析】设等比数列前项和为， 因为等比数列前项的和为 48 且不为零，则，成等比数列， 故，故，故选 D 5 【答案】B 【解析】由题意，向量，满足，且， 可得， 所以向量与的夹角为，故选 B 6 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则， 设圆心到直线 的距离为，则， 则， 整理可得，解得， 因为直线 不过圆心，则，解得， 综上所述，故选 C 011x 01x |01Bxx AB | 11xx ()( )( )f xyf xf y 2xy(4)(2)(2)
14、1 12fff (2)(4)123ff 3n x n 48604860 x 4860144x63x a b2a1b , 3 a b 22 ()2 1 cos10 3 abba bb abb 2 C1,Ca2r = ABC45CAB Cld 2 22 1 a d a 2 12 sin 2 1 ad CAB r a 2 410aa 2323a lC220a1a 23,11,23a 7 【答案】D 【解析】由图象可知 因为，所以 又，可得， 由，所以，解得， 结合选项可知，因此，故选 D 8 【答案】A 【解析】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组， 当三人组中包含小明和小李时，安装方案有种； 当
15、三人组中不包含小明和小李时，安装方案有种， 共计有种，故选 A 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项符合题多项符合题 目要求目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】ACD 【解析】因为为奇函数，所以， 因为的图象关于直线对称，所以， A 项：， 则函数为偶函数，A 正确； B 项：，不是奇函数，B 错误； C 项：因为，所以， 则的图象关于直线对称，C 正确； 3A 3 0
16、 2 f 3 cos 2 0 6 5 3 3 f 5 2 36 kkZ 61 52 kkZ 1 2 3cos 26 f x x 12 32 C A6 2 2 A2 6 28 f x fxf x g x1x 11gxgx ()( )( ) 111gfxgfxgfx 轾轾轾 -+=-+=+ 臌臌臌 ( ) 1ygfx 轾 =+ 臌 ()( )( ) gfxgfxgfx 轾轾轾 -=-? 臌臌臌 11gxgx ()() 11fgxfgx 轾轾 -=+ 臌臌 yfg x 1x D 项：因为，所以， 则函数为偶函数，D 正确， 故选 ACD 10 【答案】AC 【解析】如图， 在 A 中， 平面 BB1
17、D1，同理， ，直线平面，故 A 正确； 在 B 中，由正方体可知平面不垂直平面，故 B 错误； 在 C 中，平面，平面，平面， 点在线段上运动，到平面的距离为定值， 又的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故 C 正确； 在 D 中，当点 P 与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为， 故异面直线与所成角的取值范围是，故 D 错误， 故选 AC 11 【答案】AD 【解析】， 对于 A：， 11gxgx ()() 11fgxfg x 轾轾 -+=+ 臌臌 () 1yfg x 轾 =+ 臌 1111 ACB D 111 ACBB 1111 B DBBB 11 AC 111 ACBD 11
18、DCBD 1111 ACDCC 1 BD 11 AC D 1 BCD ABCD 11 ADBC 1 AD 11 AC D 1 BC 11 AC D 1 BC 11 AC D P 1 BCP 11 AC D 11 AC D 11 PAC D 1 BC AP 1 AD 3 AP 1 AD , 3 2 2 01aabba 2 1 a b a 2 2 (1) 11 12 111 aa ba aaa ，即，故 A 正确； 对于 B：， ，不一定成立，故 B 错误； 对于 C：，故 C 错误； 对于 D： ，故 D 正确， 故选 AD 12 【答案】AB 【解析】抛物线的焦点为，设直线方程为， ， 由，得
19、， ，直线方程为， 共线， 同理， ， ，即，A 正确； 1a 10a 11 122 (1)24 11 baa aa 4b 11 22123(1)42 34 11 abaaa aa 2 34828ab 2 2 11111 (1)1 1 a abaaa 23 2 (1) 11 (1)3(1)3 111 aa abaaa aaa 268 1 2 5 11 15 (1)() 6(1)8 3 28(1) (1)3 28(1) aa a a a a 1527 3 44 (1,0)F AB (1)yk x 0k 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 2 (1) 4 yk x yx 2222 (2
20、4)0k xkxk 2 12 2 24k xx k 12 1x x 12 2 2 1 2 M xx x k 2 (1) MM yk x k MN 2 y k , ,O P A 11 PP xy xy 2 1111 111 2 22 P P x yxyy x ykykyk 2 2 Q y x k 12 2 2 2 M PQ yyy xx kkk 22 22 11 MNPQ xxxx kk MPQN xxxxMPNQ 若 P，Q 不是线段的三等分点，则， ， 又， ，解得， （） ，B 正确； 由，得， ， 又， ， ， 当时，C 错； 由图可知，而，只要，就有，D 错， MN 1 3 PQMN
21、12 22 1212 1( 1)2 233 yy kkk 2 12 4(1) 3 k yy k 12 4 2 M yyy k 22 12121212 (1)(1)(1)4y ykxxkx xxx 2 121212 2 16 ()416yyyyy y k 2 2 164(1) 16 3 k kk 2 2k 0k 2222 (24)0k xkxk 22 2 221kk x k 22 2 2 221kk x k 2 22 221 (1) k yk x k 2 2 2 11 2 Q yk x kk 2 QM yy k 2 2 222 22 1125221kkk OQ kkk 2 12 2 2 1 2
22、yyk PQ kk 22222 22 44 52214(1)(1 1)(13)kkkkk OQPQ kk 2 2k OQPQ 1NQ 2 Q OQy k 02k1OQNQ 故选 AB 第第卷卷 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】1215 【解析】二项式的展开式中，所有项的系数之和为 64， 令，得， 的展开式的通项公式为， 令，可得， 的展开式的常数项为，故答案为 1215 14 【答案】 【解析】在中， ，即， ， ， 令，则， “直接监测覆盖区域”面积的最大值为， 故答案为 15 【答案】，2 【解析】对于，设切点为，
23、1 3 n x x 1x 264 n 6n 6 1 3 x x 63 3 66 22 166 C3( 1)( 1) C3 rr rrrrrrr r Txxx 3 30 2 r 2r = 6 1 3 x x 224 6 ( 1) C31215 2 10000 525000 m OABAOB100OB200OA 222 2cosABOBOAOB OAAOB100 54 cosAB 2 11 sin 22 OACBOABABC SSSOA OBAB 2 5 100sin2cos 2 OACB S tan2 2 5 1005sin 2 OACB S 2 10000 525000 m 2 10000 5
24、25000 m e x ye( ,) n n e 因为，故切线斜率， 故切线方程为，由已知得切线过， 所以，故，所以 对于，设切点为， 所以，因为切线为，得， 所以，所以切点为，代入，得，所以 故答案为，2 16 【答案】 【解析】显然函数定义域是， ， 的图象关于点对称， 原不等式可化为， 即，(*) 设， 则 ， ， ， ， x ye n ke () nn yeexn (0,0) () nn een1n ke lnyxm( ,ln)ccm 1 y x yex 1 |x cye c 1 c e 1 ( ,1) e lnyxm 1 1lnm e 2m e 2m R 22 22 22 ()( )
25、log ( 1)2log ( 1)2 2121 xx fxf xxxxx 22 2 2 22 log( 1)( 1)()42 1 221 x xx xxxx ( )yf x(0,1) (2sincos )2(42sin2cos)ffm (2sincos )( 42sin2cos)ffm 12 xx 2222 11221212 1( 1)11()xxxxxxxx 22 1212 1212 2222 1212 ()()1 1111 xxxx xxxx xxxx 2 11 1xx 2 22 1xx 22 1212 11xxxx 12 22 12 11 11 xx xx 22 12 112212 22
26、 12 1( 1)(1 11 0) xx xxxxxx xx 即， ， 由，得， ， 是增函数， 不等式(*)化为，(*) 令， ， 不等式(*)化为， 问题转化为存在，使不等式成立， 当时，的最小值为 2， ，故答案为 四四、解答题：、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）是等差数列，设公差为 d， ， ， （2）， ， ，得， 22 1122 11xxxx 22 21122 log ( 1)( 1)xxxx 12 22 xx 12
27、 11 2121 xx 12 22 211222 22 log ( 1)2log ( 1)2 2121 xx xxxx ( )f x 2sin cos4 2sin2cosm sincos2sin() 4 t 0, 2 1,2t 2 142tmt 2 (1)2mt 1,2t 2 (1)2mt 1,2t 2 (1)2t 2m2m 23 n an 16,1 3 2 ,2 n n n S n n a 116 11165Sa 6 15a 38 28aa 56 28aa 5 13a2d 132()352 n nan 12 2 111 35 222 n n SSSn 121 21 111 322 222 n
28、 n SSSnn 1 32 2 n n Sn3 22 n n Sn 当时， 综上： 18 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）在中， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以 因为，所以 由余弦定理得， 所以 （2）因为，所以 设， 在中，由余弦定理得； 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 1n 1 16S 16,1 3 2 ,2 n n n S n 10 2 BC 2 4 ABD4AB 2 2AD 4 ABD sinsin ABAD ADBABD 4 sin 4 sin1 2 2 ADB 0ADB 2 ADB 2 2BD 2DEBE10AE 5 coscos 5 AE
29、DBEC 2AEEC 10 2 EC 222 51055 2cos222 2252 BCBEECBE ECBEC 10 2 BC 3AC 2AEEC 2AE DEBEx ABD 2 22 2 244 cos 2 2 22 x ADB x AED 2 22 2 22 cos 2 2 2 x ADB x 22 484 8 24 2 xx xx 2 2x 所以， 在中，由余弦定理得 19 【答案】 （1）不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）分布列见 解析， 【解析】 （1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 总计 对商品好评 对商品
30、不满意 总计 ， 所以，不可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关 （2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为， 且的取值可以是 其中； ； ， 的分布列为： 4 2BD ABD 222 168322 cos 2416 2 ABADBD BAD ABAD 0.1 8 5 2 2 8040120 602080 14060200 2 2 200(16002400) 1.5872.706 140 60 120 80 K 0.1 802 2005 X 0,1,2,3,4 4 4 381 (0) 55 P X 3 1 4 4 23216 (1)C 555 P X 22 2 4 4 2
31、3216 (2)C 555 P X 3 3 4 4 2396 (3)C 555 P X 4 4 216 (4) 55 P X X X01234 P 4 81 5 1 216 5 4 216 5 4 96 5 4 16 5 由于， 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）如图： 取的中点，连接和， ，且， 又，则为正三角形，故， 又，为直角三角形， 在中，则， 又，、平面， 平面， 又平面，平面平面 （2），则点在以为直径的圆上，且， 设点到平面的距离为， 而， 当取最大值时四棱锥的体积最大， 此时平面， 又由（1）可知，如图建系， 2 4, 5 XB 8 5 EX 2 7
32、7 ADOSOCOAC 60ADCABCADDC 2ADCDACDCOAD3CO 90ASDASD 1 1 2 SOAD ACS 222 COSOSCCOSO ADSOOADSOADS COADS COABCDSADABCD 90ASDSAD1SO SABCDd 1 3 SABCDABCD VSh 菱形 1 22 2 sin602 3 2 ABCD S 菱形 dSABCD SOABCD COAD 则， 则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，得； 设平面的法向量为，则，即， 取，则，得， 则， 设二面角的平面角为，经观察为钝角， 则， 故二面角的余弦值为 21 【答案】 （1）； （2）证明
33、见解析 【解析】 （1）由题意得，解得椭圆 C 的方程是 （2）易得， ( 3, 2,0)B (0,0,1)S ( 3,0,0)C ()0,1,0D (3,2,1)BS ( 3,0, 1)SC (0,1, 1)SD BSC 111 ,(),x y zm 0 0 BS SC m m 111 11 320 30 xyz xz 1 1x 1 0y 1 3z (1,0, 3)m SCD 222 ,(),xy zn 0 0 SC SD n n 22 22 30 0 xz yz 2 1x 2 3y 2 3z (1, 3, 3)n 1 32 7 cos, 72 7 m n m n m n BSCD 2 7
34、coscos, 7 m n BSCD 2 7 7 2 2 1 4 x y 222 22 3 13 1 4 c abc ab 2 2 1 4 x y 1 2,0A 2 2,0A0,1B ， 设直线， 联立，得， ，得， ， 直线， 联立，得； 联立，得， 轴且 PQ 的中点 N 为， 轴， 为的中线且， 为等腰三角形 22 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）， 由，得， 在区间上单调递减，在区间上单调递增 函数的最小值为， 1 1 :1 2 AB yx 2 1 :1 2 A B yx 1 1 :2,0 2 AMyk xkk 22 2 44 yk x xy 2222 41161640kx
35、k xk 2 2 16 2 41 M k x k 2 2 82 41 M k x k 2 4 41 M k y k 2 1 24 M A M M y k xk 2 1 :2 4 A Myx k 2 1 1 2 yk x yx 244 , 21 21 kk Q kk 1 2 4 1 1 2 yx k yx 242 , 21 21 k P kk PQx 24 ,1 21 k k /BN x BN BPQVPQBN BPQ ln1,aaa ,1 x fxea 0fx lnxa f x,lnaln ,a f x ln lnln1ln1 a faeaaaaa 函数的值域是 （2）当时， （） ， ， ，
36、 令，则， 令，则， ，在上单调递增， ， 于是在上单调递增，且， （） ， 又由（1）知当，时，的值域是， 即， 所以，恒成立， 所以， 即，所以， 的取值范围是 f xln1,aaa 1a 1 x f xex 2 11 ln1 ln1 g x f xf xxkx x 0 x 22 1 ln11 ln1 x f xxkxexkx 2ln1 11 1 ln1 1 ln1 ln1 xx x x ee ex xx k x xe x x 1 x e m x x 2 11 x xe m x x 11 x xxe x xxe 0 x 0 x x0, 00 x 0m x m x0, 0m x 0 x 1a 0,x 1 x f xex 0, 100 x f xexf 1 x ex ln1xx ln1m xmx 1 ln1 m x mx 1k k,1
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