1、考点十六考点十六 直线与圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线综合问题 一、选择题 1已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近线的距离为 2，则 此双曲线的焦距等于( ) A. 3 B2 3 C3 D6 答案 B 解析 由题意， 得焦点 F(c,0)到渐近线 bxay0 的距离为 d |bc0| a2b2 bc c b 2， 又c a 3，c2a2b2，解得 c 3，所以该双曲线的焦距为 2c2 3，故选 B. 2已知圆 O：x2y24，从圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP1(P1在 y 轴上)，点 M 在 直线 PP1上，且向量P1M 2P1P ，则
2、动点 M 的轨迹方程是( ) A4x216y21 B16x24y21 C.x 2 4 y2 161 D x2 16 y2 41 答案 D 解析 由题意可知 P 是 MP1的中点，设点 M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则 x01 2x， y0y. 又 x20y204，故 x 2 2y24，即x 2 16 y2 41.故选 D. 3(2020 天津高考)设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，过抛物线 y 24x 的焦点 和点(0，b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方 程为( ) A.x 2 4
3、y2 41 Bx2y 2 41 C.x 2 4y 21 Dx2y21 答案 D 解析 由题意可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线 l 的斜率为b，又双曲线的渐近线 的方程为 y b ax，所以b b a，b b a1.因为 a0，b0，所以 a1，b1.故选 D. 4(2020 山东潍坊高密二模)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的 直线交椭圆于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则椭圆 E 的方程为( ) A. x2 45 y2 361 B x2 45 y2 271 C. x2 27 y2 181 D x2 18 y2 91
4、 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减并化简得b 2 a2 y1y2 x1x2 y1y2 x1x2， 即b 2 a2 1 1 01 31 1 2 b2 a2 1 2a 22b2， 由于 a2b2c2 且 c3， 由此可解得 a218， b29，故椭圆 E 的方程为 x2 18 y2 91.故选 D. 5(2020 山东临沂二模、枣庄三调)已知 F 是抛物线 y22px(p0)的焦点，过 F 的直线与 抛物线交于 A，B 两点，AB 的中点为 C，过 C 作抛物线准线的垂线交准线于 C1，若 CC1的
5、中 点为 M(1,4)，则 p( ) A4 B8 C4 2 D8 2 答案 B 解析 因为 CC1的中点为 M(1,4)，所以 yAyB8，xCp 212，所以 xC2 p 2，因为 xAxBp2 xCp 2 ， 所以 xAxB4p， 设直线 AB 的方程为 xmyp 2， 代入抛物线的方程， 得 y22pmyp20， 所以yAyB2pm， xAxBm(yAyB)p8mp， 所以 82pm， 8mp4p， 解得 p8， m1 2， 故选 B. 6已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 P，直线 l：4x3y 0 与椭圆 C 相交于 A，B 两点若|A
6、F|BF|6，点 P 到直线 l 的距离不小于6 5，则椭圆 C 的 离心率的取值范围是( ) A. 0，5 9 B 0， 3 2 C. 0， 5 3 D 1 3， 3 2 答案 C 解析 如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边形 AFBF 是平行 四边形，可得 6|AF|BF|AF|AF|2a，得 a3，取 P(0，b)，由点 P 到直线 l 的距离 不小于6 5，可得 |3b| 3242 6 5，解得|b|2.所以 e c a 1b 2 a2 14 9 5 3 ，故选 C. 7(多选)(2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)
7、的一条渐近 线方程为 x2y0，双曲线的左焦点在直线 xy 50 上，A，B 分别是双曲线的左、右顶 点，点 P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2的取 值可能为( ) A.3 4 B1 C4 3 D2 答案 CD 解析 根据题意知b a 1 2，c 5，故 a2，b1，双曲线方程为 x2 4y 21，则 A(2,0)， B(2,0)，设 P(x0，y0)，则x 2 0 4 y201，x00，y00，k1k2 y0 x02 y0 x02 2x0y0 x204 x0 2y0，根据渐近 线方程知 0y0 x01.故选 CD. 8(多选)(2020
8、海南中学高三第七次月考)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F、准线为 l， 过点 F 的直线与抛物线交于两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点 P 在 l 上的射影为 P1，则( ) A若 x1x26，则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M(0,1)，则|PM|PP1| 2 D过点 M(0,1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC 解析 对于 A，因为 p2，所以 x1x22|PQ|，则|PQ|8，故 A 正确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射影为 Q1，则由梯形性质可得|
9、NN1| |PP1|QQ1| 2 |PF|QF| 2 |PQ| 2 ，故 B 正确；对于 C，因为 F(1,0)，所以|PM|PP1|PM| |PF|MF| 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x0，y1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 的直线为 ykx1，联立 ykx1， y24x， 可得 k2x2(2k4)x10，令 0，则 k1，所 以直线 yx1 与抛物线也只有一个公共点， 此时有三条直线符合题意， 故 D 错误 故选 ABC. 二、填空题 9 (2020 湖南湘潭高三下学期三模)若直线 2x4ym0 经过抛物线 y2x2的焦点， 则 m _. 答案 1 2 解析 抛物线方程y2x
10、2可化为x21 2y， 故该抛物线的焦点坐标为 0，1 8 .由题意可得20 41 8m0，故 m 1 2. 10(2020 辽宁沈阳三模)在平面直角坐标系 xOy 中，F 是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右 焦点， 直线 y2b 与双曲线交于 B， C 两点， 且BFC90 ， 则该双曲线的离心率为_ 答案 3 5 5 解析 由题意可知 F(c,0)， 把 y2b 代入双曲线方程可得 x 5a， 不妨设 B( 5a,2b)， C( 5a,2b)，因为BFC90 ，所以 kBF kCF1，即 2b 5ac 2b 5ac1，化简，得 4b 2 5a2c2，因为 b2c2a2，所
11、以c 2 a2 9 5，所以离心率 e c a 3 5 3 5 5 . 11(2020 山东枣庄二调)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，直 线 3xy4 30 过点 F1且与 C 在第二象限的交点为 P，若POF160 (O 为原点)，则 F2 的坐标为_，C 的离心率为_ 答案 (4,0) 31 解析 直线 3xy4 30 与 x 轴交点为(4,0)，即 F1(4,0)，c4，F2(4,0)，又直 线 3xy4 30 的斜率为 3，倾斜角为 60 ，而POF160 ，POF1是等边三角形， P(2,2 3)， 4 a2 12 b21， a2b2
12、c216， 解得 a22 3， b28 3， 离心率为 ec a 4 2 31 31. 12 (2020 湖南师大附中摸底考试)点 M 是抛物线 C： x22py(p0)的对称轴与准线的交点， 点 F 为抛物线 C 的焦点，点 P 在抛物线 C 上在FPM 中，sinPFMsinPMF，则 的 最大值为_ 答案 2 解析 如图，过点 P 作准线的垂线，垂足为 B，则由抛物线的定义可得|PF|PB|，由 sin PFMsinPMF， 在PFM中由正弦定理可知|PM|PF|， 所以|PM|PB|， 所以1 |PB| |PM|， 设 PM 的倾斜角为 ， 则 sin1 ， 当 取得最大值时， sin
13、 最小， 此时直线 PM 与抛物线相切， 设直线 PM 的方程为 ykxp 2， 则 x22py， ykxp 2， 即 x22pkxp20， 所以 4p2k24p20， 所以 k 1，即 tan 1，则 sin 2 2 ，则 的最大值为 1 sin 2. 三、解答题 13(2020 全国卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：x 2 a2y 21(a1)的左、右顶点，G 为 E 的上 顶点，AG GB 8，P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点 解 (1)依据题意作出如下图象： 由椭圆方程
14、E：x 2 a2y 21(a1)可得 A(a,0)，B(a，0)，G(0,1)， AG (a,1)，GB (a，1)AG GB a218，a29. 椭圆 E 的方程为x 2 9y 21. (2)证明：由(1)，得 A(3,0)，B(3,0)，设 P(6，y0)， 则直线 AP 的方程为 y y00 63(x3)，即 y y0 9(x3)， 直线 BP 的方程为 yy 00 63 (x3)，即 yy0 3(x3) 联立直线 AP 的方程与椭圆的方程可得 x2 9y 21， yy0 9x3， 整理，得(y209)x26y20 x9y20810， 解得 x3 或 x3y 2 027 y209 . 将
15、 x3y 2 027 y209 代入 yy0 9(x3)可得 y 6y0 y209， 点 C 的坐标为 3y2027 y209 ， 6y0 y209 . 同理可得，点 D 的坐标为 3y203 y201 ，2y 0 y201 . 直线 CD 的方程为 y 2y0 y201 6y0 y209 2y0 y201 3y2027 y209 3y 2 03 y201 x3y 2 03 y201 ， 整理可得 y 2y0 y201 4y0 33y20 x3y 2 03 y201 ， y 4y0 33y20 x3y 2 03 y201 2y0 y201 4y0 33y20 x3 2 . 故直线 CD 过定点
16、 3 2，0 . 14(2020 山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)已知动圆与 y 轴相切于点 M(0,2)，过 点 E(0，1)，F(0，1)分别作动圆异于 y 轴的两切线，设两切线相交于 Q，点 Q 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的轨迹方程； (2)过(2,0)的直线 l 与曲线 相交于不同两点 A，B，若曲线 上存在点 P，使得 OP OA OB 成立，求实数 的范围 解 (1)设过点 E，F 与动圆相切的切点分别为 C，D， 则|QC|QD|，|FD|FM|，|EC|EM|， 故|QE|QF|QE|QD|DF|QE|QC|FM|CE|FM|EM|FM|， 由 E，F，M 的坐标可
17、知|EM|3，|FM|1， |QE|QF|4|EF|， 由椭圆的定义可知，点 Q 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(不包括长轴端点) 设曲线 的方程为y 2 a2 x2 b21(ab0，x0)， 则 a2，c1，b23， 故曲线 的轨迹方程为y 2 4 x2 31(x0) (2)由题可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)(k 1)， 由 y2 4 x2 31， ykx2， 消去 y 得(3k24)x212k2x12(k21)0， 144k448(3k24)(k21)0， 0k24 且 k21， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 则 x1
18、x2 12k2 3k24，x1x2 12k21 3k24 ， y1y2k(x1x24)k 12k2 3k244 16k 3k24， OP OA OB ，(x0，y0)(x1x2，y1y2)， x0 x1x2 12k2 3k24，y0 16k 3k24. 当 0 时，k0，直线 l 为 x 轴，满足 OP OA OB . 当 0，k0 时，x01 (x1x2) 1 12k2 3k24，y0 1 (y1y2) 1 16k 3k24， 代入椭圆方程得 16k2 423k242 12k22 323k2421， 化简得 2 16k2 3k24 16 3 4 k2 ， 0k24，且 k21，020，b0)
19、的一个焦点为 F(c,0)(c0)，且双 曲线 C1的两条渐近线与圆 C2：(xc)2y2c 2 4均相切，则双曲线 C1 的渐近线方程为( ) Ax 3y0 B 3x y0 C. 5x y0 Dx 5y0 答案 A 解析 根据题意知，焦点 F(c,0)到渐近线 yb ax 的距离为 d bc a2b2 c 2，故 a 23b2，故 双曲线 C1的渐近线方程为 x 3y0.故选 A. 2 (2020 陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测)抛物线x22py(p0)的焦点与双曲线 x2 16 y2 91 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则 p 的值为( ) A.40 3 B5 2 C20 3
20、 D8 7 3 答案 A 解析 抛物线 x22py(p0)的焦点坐标为 0，p 2 ，双曲线 x2 16 y2 91 的右焦点坐标为(5,0)， 两焦点的连线的方程为 y p 10(x5)， 又双曲线的渐近线方程为 y 3 4x， 所以 p 10 3 41， 解得 p40 3 ，故选 A. 3设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，以 OF 为直径的圆交双曲线的一条渐 近线于另一点 A(O 为坐标原点)，且|OA|2|AF|，则双曲线 C 的离心率 e 为( ) A. 5 B 5 2 C 2 D2 答案 B 解析 由题意可得 tanAOF|AF| |OA| |AF
21、| 2|AF| 1 2， 渐近线方程为 y b ax， 所以 b a 1 2， e 2c 2 a2 b2a2 a2 a2 4 a2 a2 5 4，故 e 5 2 .故选 B. 4(2020 海南中学高三摸底)已知椭圆 C：x 2 4 y2 31 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，则F1AB 的面积为( ) A.6 2 7 B4 3 7 C12 2 7 D8 3 7 答案 C 解析 直线 AB 方程为 yx1，联立椭圆方程x 2 4 y2 31，整理可得 7x 28x80，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x28 7，x1
22、 x2 8 7，故弦长|AB| 1k2 x1x224x1 x224 7 .点 F1(1,0)到直线 AB 的距离 h 2，故 SF1AB1 2|AB|h 12 2 7 .故选 C. 5(2020 河南开封二模)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点为 F，过 F 作 x 轴的垂线分别交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，若AOB 的面积为 2b2，则双曲线 C 的离 心率为( ) A. 2 B 3 C2 2 3 D2 3 3 答案 A 解析 不妨设 F(c,0)，联立 xc， yb ax， 所以 xc，ybc a .所以|AB|2bc a ，所以1 2c 2bc a
23、 2b2，所以 c22ab，所以 a22abb20，所以 ab.所以 c22a2，所以 ec a 2.故选 A. 6(2020 山东日照第一中学高三下模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 抛物线交于 A，B 两点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 M，MAF 的平分线与抛物线的 准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q.若|AB|8，则|PQ|( ) A2 B4 C6 D8 答案 B 解析 如图，过 B 作抛物线准线的垂线，垂足为 N，连接 MF，PF，PB，设 MF 交 AP 于 点 G，由题得MAPQAP，|AF|AM|，所以 APMF，|MG|GF|.所以|
24、PM|PF|，所以 MPAFPA，所以PFBPNB90 ，所以PFBPNB，|PF|PN|，所以|PM| |PN|，即点 P 是 MN 的中点，所以|PQ|1 2(|AM|BN|) 1 2(|AF|BF|) 1 2|AB|4.故选 B. 7(多选)已知 P 是双曲线 C：x 2 3 y2 m1 上任一点，A，B 是双曲线上关于坐标原点对称的 两点设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|t 恒成立，且实数 t 的最大值 为2 3 3 .则下列说法正确的是( ) A双曲线的方程为x 2 3y 21 B双曲线的离心率为 2 C函数 yloga(x1)(a0，且 a
25、1)的图象恒过 C 的一个焦点 D直线 2x3y0 与 C 有两个交点 答案 AC 解析 设 A(x0，y0)，B(x0，y0)，P(x，y)，x x0，x 2 3 y2 m1，y 2mx 2 3 m，y20mx 2 0 3 m，k1k2yy 0 xx0 yy0 xx0 y2y20 x2x20 m 3，所以|k1|k2|2 m 3，若|k1|k2| m 3，直线 PA，PB 与 渐近线平行或重合， 不符合题意， 所以不等式取不到等号， 而|k1|k2|t 恒成立， 所以 t2 m 3 2 3 3 ，所以 m1，双曲线方程为x 2 3y 21，A 正确；双曲线的离心率为2 3 3 ，B 错误；双
26、曲 线的焦点为( 2,0)，函数 yloga(x1)(a0，且 a1)的图象过定点(2,0)，所以 C 正确；双曲线 x2 3y 21 的渐近线方程为 y 3 3 x，而直线 2x3y0 的斜率为2 3 3 3 ，所以直线 2x3y0 与双曲线没有交点，所以 D 错误故选 AC. 8(多选)(2020 海南高三四模)已知抛物线 C：y22px(p0)的准线经过点 M(1,1)，过 C 的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则下列结论正确的是( ) Ap2 B|AB|DE|的最小值为 16 C四边形 ADBE 的
27、面积的最小值为 64 D若直线 l1的斜率为 2，则AMB90 答案 ABD 解析 由题可知p 21，所以 p2，故 A 正确；设直线 l1 的斜率为 k(k0)，则直线 l2的斜 率为1 k.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线 l1：yk(x1)，直线 l2：y 1 k(x 1)联立 y24x， ykx1， 消去 y 整理得 k2x2(2k24)xk20，所以 x1x22k 24 k2 ，x1x2 1.所以|AB|x1x2p2k 24 k2 24 4 k2.同理|DE|x3x4p 2 1 k24 1 k2 244k2，从而 |AB|DE|84 1
28、 k2k 2 16，当且仅当 k 1 时等号成立，故 B 正确；因为 S 四边形ADBE1 2 |AB| |DE|8 1 1 k2 (1k2)32 1 k2 k 2 32，当且仅当 k 1 时等号成立，故 C 错误； MA MB (x11，y11) (x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)1，将 x1x23， x1x21 与 y1y22，y1y24 代入上式，得MA MB 0，所以AMB90 ，故 D 正确故 选 ABD. 二、填空题 9(2020 新高考卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两 点，则|AB|_. 答案 16 3 解析 如
29、图，抛物线的方程为 y24x，抛物线的焦点为 F(1,0)，又直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3，直线 AB 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线的方程消去 y 并化简得 3x210 x 30， 解法一：解得 x11 3，x23，|AB| 1k2|x1x2|13 |1 33| 16 3 . 解法二：10036640，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x210 3 ，过 A，B 分别作准 线 x1 的垂线，设垂足分别为 C，D，如图所示，|AB|AF|BF|AC|BD|x11x2 1x1x2216 3 . 10已知 P 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上一点，F1，F2
30、 是其左、右焦点，F1PF2取最大值 时 cosF1PF21 3，则椭圆的离心率为_ 答案 3 3 解析 易知F1PF2取最大值时，点 P 为椭圆x 2 a2 y2 b21 与 y 轴的交点，由余弦定理及椭 圆的定义，得 2a22a 2 3 4c2，即 a 3c，所以椭圆的离心率 ec a 3 3 . 11(2020 湖南衡阳二模)直线 yk(x6)(k0)与双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)及其渐近 线从左至右依次交于点 A，B，C，D，双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，且焦距为 4，则 F2CD 与F1AB 的面积之比为_ 答案 2 解析 由 x2 a2 y2 b21
31、， ykx6， 得 1 a2 k2 b2 x212k 2x b2 136k 2 b2 0，由 x2 a2 y2 b20， ykx6， 得 1 a2 k2 b2 x212k 2x b2 36k 2 b2 0，由以上两式可知，xAxDxBxC，故 AD，BC 具有相同的中点，故|AB| |CD|， 如图， 由焦距为 4 可得 F1(2， 0)， F2(2,0)， 则|GF2|2|GF1|.所以SF2CD SF1AB |CD| |MF2| |AB| |NF1| |GF2| |GF1|2. 12 (2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知抛物线 C： x22py(p0)的准线方程为 y1， 直线 l：
32、3x4y40 与抛物线 C 和圆 x2y22y0 从左至右的交点依次为 A，B，E，F，则 抛物线 C 的方程为_，|EF| |AB|_. 答案 x24y 16 解析 根据题意知p 21，故 p2，故抛物线方程为 x 24y，设焦点为 M(0,1)，x2y2 2y0，即 x2(y1)21，直线 l：3x4y40 过圆心，联立方程 x24y， 3x4y40， 得 4y2 17y40， 解得 y11 4， y24.故|AB|AM|1 1 411 1 4， |EF|FM|14114， 故|EF| |AB|16. 三、解答题 13(2020 新高考卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)
33、的离心率为 2 2 ，且过点 A(2，1) (1)求 C 的方程； (2)点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ| 为定值 解 (1)由题意可得 c a 2 2 ， 4 a2 1 b21， a2b2c2， 解得 a26，b2c23， 故椭圆方程为x 2 6 y2 31. (2)证明：设点 M(x1，y1)，N(x2，y2) 因为 AMAN，所以AM AN 0， 即(x12)(x22)(y11)(y21)0. 当直线 MN 的斜率存在时，设方程为 ykxm，如图 1. 代入椭圆方程消去 y 并整理，得(12k2)x24kmx2m260， x1x2
34、 4km 12k2，x1x2 2m26 12k2 ， 根据 y1kx1m，y2kx2m，代入整理，可得 (k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240， 将代入上式，得(k21)2m 26 12k2 (kmk2) 4km 12k2 (m1)240， 整理化简得(2k3m1)(2km1)0， 因为 A(2,1)不在直线 MN 上，所以 2km10， 所以 2k3m10，k1， 于是 MN 的方程为 yk x2 3 1 3， 所以直线过定点 E 2 3， 1 3 . 当直线 MN 的斜率不存在时，可得 N(x1，y1)，如图 2. 代入(x12)(x22)(y11)(y21)0 得(x1
35、2)21y210， 结合x 2 1 6 y21 31，解得 x12(舍去)或 x1 2 3， 此时直线 MN 过点 E 2 3， 1 3 .因为 AE 为定值，且ADE 为直角三角形，AE 为斜边， 所以 AE 的中点 Q 满足|DQ|为定值 AE长度的一半 1 2 22 3 2 11 3 22 2 3 . 由于 A(2,1)，E 2 3， 1 3 ，故由中点坐标公式可得 Q 4 3， 1 3 . 故存在点 Q 4 3， 1 3 ，使得|DQ|为定值 14(2020 浙江高考)如图，已知椭圆 C1：x 2 2y 21，抛物线 C2：y22px(p0)，点 A 是 椭圆 C1与抛物线 C2的交点
36、，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1于点 B，交抛物线 C2于点 M(B，M 不 同于 A) (1)若 p 1 16，求抛物线 C2 的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值 解 (1)当 p 1 16时，C2 的方程为 y21 8x，故抛物线 C2 的焦点坐标为 1 32，0 . (2)解法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 直线 l 的方程为 xym(0，m0)， 由 x2 2y 21， xym， 得(22)y22mym220， 所以 y1y22m 22 ，y0m 22，x0y0m 2m 22， 因为 M 在抛
37、物线上，所以 2m2 222 4pm 22， 所以 m4p2 2 2 . 由 y22px， xym， 得 y22p(ym)， 即 y22py2pm0，所以 y1y02p， 所以 x1x0y1my0m2p22m， 所以 x12p22m 2m 22. 由 x2 2y 21， y22px， 得 x24px20. 所以 x14p 16p28 2 2p4p22， 则2p4p222p22m 12 222p 28p 28p16p， 所以4p2218p，解得 p2 1 160，p 10 40 ， 所以 p 的最大值为 10 40 ，此时 A 2 10 5 ， 5 5 . 解法二：设直线 l 的方程为 xmyt(m0，t0)，A(x0，y0) 将 xmyt 代入x 2 2y 21，得(m22)y22mtyt220， 所以点 M 的纵坐标为 yM mt m22. 将 xmyt 代入 y22px，得 y22pmy2pt0， 所以 y0yM2pt，解得 y02pm 22 m ，因此 x02pm 222 m2 ， 由x 2 0 2 y201 解得 1 p24 m 2 m 22 m 2 m 4160， 所以当 m 2，t 10 5 时，p 取到最大值为 10 40 .
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